Bài giảng Cơ học lý thuyết - Phần 3: Chương 13 (Đại học Bách khoa Tp.HCM)

Bài giảng Cơ học lý thuyết - Phần 3: Chương 13 (Đại học Bách khoa Tp.HCM) cung cấp cho học viên những kiến thức về các khái niệm cơ bản; nguyên lý di chuyển khả dĩ; liên kết và cơ hệ không tự do; tọa độ suy rộng;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Chương 13 Nguyên lý di chuyển BÀI GIẢNG Môn học: CƠ HỌC LÝ THUYẾT Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Phần III ĐỘNG LỰC HỌC Chương 10: Phương trình vi phân chuyển động Chương 11: Nguyên lý D’Alembert Chương 12: Các định lý tổng quát động lực học Chương 13: Nguyên lý di chuyển Chương 14: PT tổng quát động lực học PT Lagrange II Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ NỘI DUNG 13.1 Khái niệm 13.2 Nguyên lý di chuyển Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.1 Khái niệm Liên kết hệ không tự Là ràng buộc hình học động học lên chất điểm hệ, không phụ thuộc vào lực tác dụng lên điều kiện đầu chuyển động Những điều kiện ràng buộc thường diễn tả dạng hệ thức yếu tố xác định vị trí, vận tốc chất điểm hay vật rắn thuộc hệ thời gian Người ta gọi phương trình liên kết viết dạng: fj (   rk , Vk , t ≤ ) k = 1, 2,   j = 1, 2, Trong k số thứ tự chất điểm thuộc hệ, j số thứ tự phương trình liên kết Bộ mơn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.1 Khái niệm Ví dụ 1- Vật rắn hệ gồm vô số chất điểm với vô số liên kết liên kết biểu thị đẳng thức: MN=const N M 2- Hệ tay quay truyền hình vẽ   r0(1) ≡ 0, = yB (3) 0,   rA(1) ≡ rA(2)   rB (2) ≡ rB (3) A y O x B Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.1 Khái niệm Phân loại liên kết a Liên kết giữ (liên kết hai phía) liên kết khơng giữ (liên kết phía) Liên kết giữ loại liên kết mà phương trình liên kết có dạng đẳng thức tốn học Ngược lại, phương trình liên kết có dạng bất đẳng thức tốn học liên kết gọi liên kết không giữ O l y O dây M ( x, y ) x Liên kết không giữ f ( x, y ) = x + y − l ≤ l y Thanh cứng M ( x, y ) x Liên kết giữ f1 ( x, y ) = x + y − l = Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.1 Khái niệm Phân loại liên kết b Liên kết dừng không dừng Liên kết dừng loại liên kết mà phương trình liên kết khơng chứa biến thời gian t Ngược lại, phương trình liên kết có chứa biến thời gian t liên kết gọi liên kết không dừng fj (       r1 , r2 , , rn ;V1 , V2 , , Vn ≤ ) c Liên kết holonom phi holonom Liên kết holonom loại liên kết mà phương trình liên kết khơng chứa biến vận tốc Ngược lại, phương trình liên kết có chứa biến vận tốc liên kết gọi liên kết phi holonom fj (    r1 , r2 , , rn ; t ≤ ) fj (       r1 , r2 , , rn ;V1 , V2 , , Vn , t ≤ ) Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.1 Khái niệm Di chuyển – Bậc tự hệ Cân hệ Tĩnh học Động lực học Phải phân tích phản lực Bằng cách áp dụng nguyên lý liên kết nên khơng phù DCKD ta xét cân cho hợp cho hệ gồm nhiều vật hệ mà không cần tách rời vật Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.1 Khái niệm Di chuyển Di chuyển (DCKD) hệ tập hợp di chuyển vô bé chất điểm hệ từ vị trí xét sang vị trí lân cận mà thỏa mãn liên kết vị trí xét A y O x A' B C Để phân biệt di chuyển thực vô bé DCKD người ta kí hiệu sau Di chuyển thực vô bé : Di chuyển khả dĩ:  d rk  δ rk { } { } Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.1 Khái niệm Di chuyển  Tại vị trí hệ có vô số DCKD δ rk Các DCKD không độc lập { } tuyến tính phải thỏa mãn phương trình Tùy theo tính chất liên kết mà ta số DCKD độc lập với cho DCKD khác biểu diễn qua chúng dạng tổng hình học Viên bi lăn theo nhiều y hướng khác DCKD khác biểu diễn x O tổng hai độ dời theo phương x, y Để xác định chuyển động hệ ta cần xác định số DCKD độc lập Số DCKD độc lập hệ gọi DOF hệ Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.1 Khái niệm Tọa độ suy rộng Tọa độ suy rộng hệ thông số độc lập chọn để khảo sát chuyển động cho tồn hệ Với hệ ta có nhiều cách để chọn tọa độ suy rộng Số tọa độ suy rộng độc lập để xác định hệ: = s dof = 3N − R Vị trí hệ xác định n tọa độ suy rộng: q1 ; q2 ; ; qn Các DCKD tương ứng hệ suy từ tọa độ suy rộng: δ q1 ; δ q2 ; ; δ qn Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.1 Khái niệm Ví dụ q1 = O1 A O q1 ≡ dt ( OO1 A ) q1 ≡ ϕ ϕ O1  q1 ≡ ϕ  q2 ≡ ψ ϕ A A ψ B Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.1 Khái niệm Ví dụ sD s C B A ψ ϕ Con lăn lăn không trượt  q1 ≡ sD  q2 ≡ ϕC γ ϕC D θ dof =  q1 ≡ ϕ q ≡ ψ    q3 ≡ θ q ≡ s    q5 ≡ γ Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.1 Khái niệm Lực suy rộng  Xét hệ N chất điểm chịu tác dụng lực hoạt động ( Fka ); k = ÷ N Giả sử hệ có n bậc tự có vị trí xác định tọa độ suy rộng: q1 ; q2 ; ; qn Cho hệ thực DCKD cho tọa độ q1 có số gia δ q1, cịn tọa độ khác không đổi Tổng công phân tố tất lực DCKD δ q1   a = δ A1 ∑ Fk ⋅ δ rk N k =1 ( ) Với  δ rk ( )  ∂rk = δ q1 ∂q1   ∂r  a ∂rk δ A1 =∑ Fka ⋅ k δ q1 =Q1.δ q1 Trong đó: Q Fk ⋅ = ∂ q k =1 ∂q1 N Q1 gọi lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng q1 Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.1 Khái niệm Cách tính lực suy rộng – Áp dụng trực tiếp định nghĩa:   ∂ r Qi = ∑ Fka k ∂qi k =1 N – Áp dụng tính cơng Các DCKD phải độc lập tuyến tính Cho hệ di chuyển cho: δ q j ≠ 0(δ q j > 0) δ qi =0 ⇒ δ Aj = Q jδ q j Hệ số tính cơng hệ lực suy rộng tương ứng – Áp dụng tính cơng trường hợp lực hoạt động lực ∂Π Qi = − ∂qi Π Là hàm Trong trường hợp lực hoạt động có lực lực khơng ta tính ∂Π Qi = − + Qi (lực không thế) ∂qi Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.1 Khái niệm Ví dụ Tính lực suy rộng biết OA=2a, AB=2b  q1 ≡ ϕ  q2 ≡ ψ x O I ϕ Tính lực suy rộng định nghĩa A H y P ψ   ∂ r Qi = ∑ Fka k ∂qi k =1 N B diễn vector F Biểu      F3 ≡ F ( F , 0) F1 ≡ P (0, P ) F ≡ Q (0, Q )      Q r ≡= rI a sin ϕ i + a cos ϕ j     r2 ≡ = rH (2a sin ϕ + b sinψ )i + (2a cos ϕ + b cosψ ) j     r3= ≡ rB (2a sin ϕ + 2b sinψ )i + (2a cos ϕ + 2b cosψ ) j Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.1 Khái niệm Sử dụng cơng thức tính lực suy rộng:   ∂ r a k Q1 ≡ Qϕ = F = [0 × a cos ϕ + P × (− a sin ϕ )] ∑ k ∂ϕ k =1 +[0 × 2a cos ϕ + Q × (−2a sin ϕ )] +[ F × 2a cos ϕ + × (−2a sin ϕ )] ⇒ Q1 = − aP sin ϕ − 2aQ sin ϕ + 2aF cos ϕ   ∂ r a k Q2 ≡ Qψ = F ∑ k ∂ψ k =1 = [0 × + P × 0] +[0 × b cosψ + Q × (−b sinψ )] +[ F × 2b cosψ + × (−2a sinψ )] ⇒ Q2 = −bQ sinψ + 2bF cosψ Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.1 Khái niệm Ví dụ sD Tính lực suy rộng biết lăn lăn không trượt M Hệ tọa độ suy rộng đầy đủ độc lập E D ϕC PD  q1 ≡ sD  q2 ≡ ϕC Tính Q1 Cho hệ DCKD với C δ q1 > 0, δ q2 = (Rịng rọc C khơng quay) B A PB PA ∑δ A (1) k    = δ A( PA ) + δ A( PB ) + δ A( PD ) +δ A( M ) δs = PAδ sD + PBδ sD − PD sin αδ sD + M D rE M = ( PA + PB − PD sin α + )δ sD rE Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.1 Khái niệm M ⇒ ∑ δ A = ( PA + PB − PD sin α + )δ q1 rE M ⇒ Q1 = PA + PB − PD sin α + rE (1) k Tính Q2 Cho hệ DCKD với = δ q1 0, δ q2 > (Con lăn D đứng yên)    (2) ∑ δ Ak = δ A( PA ) + δ A( PB ) + δ A( PD ) + δ A( M ) = PA rCδϕC − PB rCδϕC + + = ( PA − PB )rCδϕC ⇒ ∑ δ Ak(2) = ( PA − PB )rCδ q2 ⇒Q = ( PA − PB )rC Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.2 Nguyên lý di chuyển Phát biểu nguyên lý di chuyển Điều kiện cần đủ để hệ chịu liên kết giữ, dừng, hình học lý tưởng cân vị trí xét tổng công tất lực hoạt động DCKD không   Fk δ rk = ∑ N r Qδq = ∑ = k =i i i Nếu tọa độ suy rộng độc lập tuyến tính ta Qi = Các loại toán áp dụng nguyên lý DCKD - Tìm điều kiện cân hệ - Tìm thành phần phản lực liên kết hệ - Thiết lập PT, hệ PT vi phân chuyển động hệ Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.2 Nguyên lý di chuyển Áp dụng nguyên lý di chuyển để tìm phản lực liên kết, điều kiện cân bằng: a δ A q ∀δ q = ∑ k Qδ= Áp dụng nguyên lý di chuyển để tìm gia tốc a qt δ A + δ A δ qk ∑( k k ) =∀ N k =1 Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13.2 Nguyên lý di chuyển Ví dụ O Tính lực suy rộng biết OA=2a, AB=2b Tính góc ϕ , ψ theo P, Q, F hệ cân  q1 ≡ ϕ  x q2 ≡ ψ  Q1 = Điều kiện để hệ cân ⇔  Q2 = I ϕ A − aP sin ϕ − 2aQ sin ϕ + 2aF cos ϕ = ⇒ −bQ sinψ + 2bF cosψ = H y P ψ B Q F   2F  2F  ϕ = arctan     tan ϕ = P + 2Q P + Q     ⇒ ⇒  ψ = arctan  F   tanψ = F     Q Q     Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM ... lực học PT Lagrange II Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ NỘI DUNG 13. 1 Khái niệm 13. 2 Nguyên lý di chuyển Bộ môn Cơ Kỹ... hệ - Tìm thành phần phản lực liên kết hệ - Thiết lập PT, hệ PT vi phân chuyển động hệ Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13. 2... Vn , t ≤ ) Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Chương 13 Nguyên lý di chuyển 13. 1 Khái niệm Di chuyển – Bậc tự hệ Cân hệ Tĩnh học Động lực học Phải phân tích