18 bất phương trình vô tỉ phần 2 đặng việt hùng image marked

18 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ (Phần 2) Câu Giải bất phương trình x  x  3  x  x   x   Câu Giải bất phương trình x  x  x   10 x  15  x   Câu Giải bất phương trình x x 1   x 1 x Câu Giải bất phương trình  x  1 x  3   x  5 x  1 Câu Giải bất phương trình  x   x  x  3   x  x Câu Giải bất phương trình x  34 x  48   x    x   x  32   x   Câu Giải bất phương trình x  x   x x  2 x  x   2x x  x    x   Câu Giải bất phương trình x  x   x x  Câu Giải bất phương trình  x    x   Câu 10 Giải bất phương trình x  x    x  1 x   x    x   Câu 11 Giải bất phương trình x  x   x x  x  Câu 12 Giải bất phương trình  x  1   x3   x    x   Câu 13 Giải bất phương trình x  13  x3  x   x  x   Câu 14 Giải bất phương trình x  27  x3  x  10 Câu 15 Giải bất phương trình 81x   27 x  42 x   x   Câu 16 Giải bất phương trình sau: a) x    x    ( x  5)( x  3) b) x3  x  x  x x  x  x b) x Câu 17 Giải bất phương trình sau: a) x  10 x  16  x   x  x 1 ( x  1)   2x 1 Câu 18 Giải bất phương trình sau: a) x( x  4)  x  x  ( x  2)  b) x( x  4) x  x   (2  x)2 18 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ (Phần 2) Câu Giải bất phương trình x  x  3  x  x   x   Lời giải Điều kiện  x  x  Đặt  x  x  t ,  t    x  x   t Phương trình cho trở thành t  t  t      0t  2 1  t  2   t   3t  2t  3t   3  x  x  3  x   x  x       3  x  2 x    x  x  13      x  x      Vậy phương trình cho có nghiệm S   3;1 Câu Giải bất phương trình x  x  x   10 x  15  x   Lời giải Điều kiện x  x   Biến đổi bất phương trình dạng x  10 x  x  x   15 Đặt x  x   t ,  t    x  x  t  Khi ta có 2  t    t  15 2t  t    t  1 2t  3     t 1  t  t  t   53  53 x 2    53    53 Kết luận tốn có tập nghiệm S   ; ;         x2  5x    x  Câu Giải bất phương trình Điều kiện x  x  1  Đặt x  t, t  0  x 1 x x 1    x   x 1 x Lời giải x 1  Bất phương trình cho trở thành x t    2t 1  t   t  0  t    t  t  t  t     x   x  x  1   x  x  1      Nếu  t   x    x   1  x    x 1     1  x   x 1  x 1  x x2 2  1 x   Nếu t   x 1 x 1 Vậy toán có nghiệm S   1;0   1; 2 Câu Giải bất phương trình Điều kiện  x  1 x  3   x  1 x  3   x  5 x  1 Lời giải  x   Bất phương trình cho tương đương với x  x   x  x   x  x   t ,  t   thu Đặt 2 x  x   2 x  x   t  t     t        2  t  1 t    2 x  x   2 x  x   3t  t    7  57 7  33 7  33 7  33 x x x    4 4    7  33 7  57  7  57  x  7  57  x    4  4  7  57 7  33   7  33 7  57  Kết luận bất phương trình cho có tập nghiệm S   ; ;   4 4     Câu Giải bất phương trình x  x  3   x  x  x   Lời giải Điều kiện x  x  3  Bất phương trình cho tương đương với x  x  3  x  x  3  Đặt x  x  3  t ,  t   ta  t  1 2t  3  2t  t   3  17 3  17   t   x  3x    x  x  4 t  t  Kết hợp điều kiện đến nghiệm x  3  17 3  17 x 4 Câu Giải bất phương trình x  34 x  48  Điều kiện  x   x  32    x   x  32   x   Lời giải Bất phương trình cho tương đương với x  34 x  48  x  34 x  64 Đặt t  t  x  34 x  64  t ,  t   thu    t  t  16  6t  t   t    Khi x  34 x   x  34 x  Kết luận tập nghiệm S   ;0  34;   Câu Giải bất phương trình x  x   x x   x   Lời giải Điều kiện x  Đặt x   t  t   , ta thu x  t  xt  x  x  t   t  x  t     x  t  x  t   (*)  x  1 x  Ta có x  ; t   x  t  Do    x  t   x  x    3  x  3x    Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S  1; 2 Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x  12 x   x x   x  x  x x    x      3x   x  3x  2    x  3x   x   3x   3 x   x  3x     1 x   x  3x   Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S  1; 2 Lời giải Nhận xét x    x  x   x  Bất phương trình cho tương đương với Điều kiện x  x   3x    x  3x    x  3x    x  x  3x     3x      x  x   x  x    1  23  Ta có x  x    x     0, x   nên 1  x  x     x  16   Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S  1; 2 Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với   x x  3x   x  3x     x 2   3x   x  3x  x  3x  0 x  x  3x   x  3x   x  3x    2  x  x   0; x  x   Do    x  x     x  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S  1; 2 Nhận xét x  Câu Giải bất phương trình x  x   x x   x   Lời giải Điều kiện x  1 Bất phương trình cho tương đương với x  x x    x  1  Đặt x   y  y   thu x  xy  y   x  x  y   y  x  y     x  y  x  y     x  2 x  x  2 x  y     4 x  x   (Hệ vô nghiệm)  x  x  2 x  y  4 x  x     x  2 x  y   17  2 x  x    4 x  x     x   2 x  y  2 x  x  4 x  x    1  17  Kết luận tập nghiệm S   ;3   Lời giải Điều kiện x  1 Bất phương trình cho tương đương với  x  x x    x  1  x   x  x    x 1      2x  x 1 2x  x 1  Xét hai trường hợp  x  2 x  x    4 x  x   (Hệ vô nghiệm)  4 x  x   2 x  x    x  2 x  x  1  17   4 x  x     x   4 x  x   2 x  x   1  17  Kết luận tập nghiệm S   ;3   Lời giải Điều kiện x  1 Nhận xét x  x   0, x   Bất phương trình cho tương đương với  x   x     2 2 16 x   x  1  24 x  x  1  64 x  x  1 16 x  40 x  x  1   x  1  x       x   17 x   17       x3   x  x  1 x  x      1  17  x    1  17  So sánh điều kiện, kết luận tập nghiệm cần tìm S   ;3    2x Câu Giải bất phương trình  x  x   x   x Lời giải Điều kiện  x  Bất phương trình cho tương đương với    x 2 x x2 2 x x2  x  x    x  0 0 x x   Xét hai trường hợp  0  x   x   x  2  x  Khi    x   x    1 x  x  x    x   x   x  0; x   x   2  x  x    2   x  x  4x   Kết luận nghiệm S   2  3;0  1; 2    x   Câu 10 Giải bất phương trình x  x    x  1 x   x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  x  1   x  1 x    x  3  Đặt x   a; x   b  b   Phương trình trở thành a  b a  3ab  2b   a  a  b   2b  a  b     a  b  a  2b      a  2b  x  1  a  b  x   x2     x 1 x  2x 1  x   x  1  x  1  (Hệ vô nghiệm) a  2b  x   x      2  x  x   x  12 3 x  x  11  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với    x  1   x  1 x   x    x  1 x   x    x  1  x  1 x  1 x    x  1   x  1 x   x     x   x2   x   x   x  1  x  1 Với x   x    (Hệ vô nghiệm)   2  x  x   x  12 3 x  x  11  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với    12 x  x  28  12  x  1 x    x  x  1  12  x  1 x    x  3  x   x   x2    x   x   x  1  x  1  (Hệ vô nghiệm) x   x2      2  x  x   x  12 3 x  x  11   x  1  x   x2     x  x  2x 1  x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x     2x   x2     x2   Nhận xét x  x   x   x  1   0, x   Phương trình cho tương đương với  x    2 9 x  12 x  46 x  28 x  49   x  1  x  3  x  1  x  1    x 1 2 x  x  x  11    x  x  13 x  11      Vậy phương trình cho có nghiệm x   x   Câu 11 Giải bất phương trình x  x   x x  x  Lời giải Điều kiện x   Bất phương trình cho tương đương với x  x x  x    x  x  1  Đặt y  y Thu 3 x  xy  y   x  xy  xy  y  x2  x   y  y  0  yx y  x  x  y   y  x  y     x  y  x  y    Nhận xét y  0; y  x  y  x  Xét hai trường hợp 4  x  x  1  x 5 x  x   22  Với y  x     x x   x  x   Với x  y    x  x  x  x 1 Kết hợp hai trường hợp ta có nghiệm x  Câu 12 Giải bất phương trình  x  1   x3   x   Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x  x   x3   x  x   x  x  x    x  1  Đặt x  x   u; x   v  u  0; v   thu u  2uv  3v    u  v  u  3v    u  3v  x  x   x  x  x     4  x  4 x  x 1  9x   x  x  10  Kết luận tập nghiệm S    6;   Lời giải Điều kiện x  Nhận xét  x  1   0x   Bất phương trình cho tương đương với x  x3  12 x  16 x  16  x3   x  x3  12 x  16 x  20    x  x  10  x       x   Kết luận tập nghiệm S    6;   Lời giải Điều kiện x   Xét trường hợp x  khơng thỏa mãn bất phương trình ban đầu  Xét trường hợp x  , bất phương trình cho tương đương với x   2x   x 1  x   2  x2    x2  2 x 1 x 1  x 1    x 1  x 1  x   2x  x 1  x 1 1  x3  x  x   x3   x  x 1 x  x 1  x 1 1   Nhận xét: x2  x   x 1  x2  x2  x   x 1  0x  Do x  x 1  x2  x   x 1  x 1  x2  x     x    6;   x  x  10   Kết luận tập nghiệm S    6;      Câu 13 Giải bất phương trình x  13  x3  x   x  x   Lời giải Điều kiện x  x     x  1  x  x  3   x  Bất phương trình cho tương đương với x  x   x  x  x   10  x  1  Đặt  a  0; b   thu a  3ab  10b   a  a  5b   2b  a  5b     a  2b  a  5b    a  2b  x  x   a; x   b x   x2  x   x 1    x 1  x  3x   Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  1;   Lời giải Điều kiện x  x     x  1  x  x  3   x  Bất phương trình cho tương đương với x3  x     x  x  13 (1)  Xét x  x  13  , bất phương trình (1) nghiệm  Xét x  x  13  , ta có  x  x  13   x  x  13   1   3  x  27 x  107 x  252 x  196  9  x  x  3  x  18 x  107 x  234 x  169  x  x  13   x  x  13       x  24 x  28   x  x   x  24 x  28   Ta có x  x  13  0; x   x  x  13  15  x  1   x  24 x  28  Vậy (*) nghiệm với x  x  13  Kết hợp hai trường hợp, (1) nghiệm với giá trị x thuộc tập xác định, hay x  Lời giải Điều kiện x3  x     x  1  x  x  3   x  Bất phương trình cho tương đương với x  3x     x  x   x    x  3x   3  x  1  x  x    x3  x  10 x   x3  x   x  0    x  1    x  x   1  0 x3  x   x  x  x   x     x  1 Nhận xét x  x   0x  ; x     x3  x   x  Vậy (2) nghiệm với x  Kết luận tập nghiệm S  1;    x  3x    2  x   Câu 14 Giải bất phương trình x  27  x3  x  10 Lời giải Điều kiện x  x  10    x    x  x     x  Bất phương trình cho tương đương với  x  x     x    x  x  x  Đặt  u  13; v   , quy 3u  7uv  6v   3u  u  3v   2v  u  3v     u  3v  3u  2v    u  3v x  x   u; x   v x   x2  2x   x     x2  x  x  23  Kết luận tập hợp nghiệm S   2;   Lời giải Điều kiện x3  x  10    x    x  x     x  Bất phương trình cho tương đương với x  162 x  729  49 x3  49 x  490  x  49 x3  162 x  49 x  1219    x  x  23 x  14 x  53  1 Ta có x  x  23  0x  ;9 x  14 x  53  0x   nên (1) nghiệm với giá trị x thuộc tập xác định Kết luận tập hợp nghiệm S   2;   Lời giải Điều kiện x  x  10    x    x  x     x   Nhận xét x  không nghiệm bất phương trình ban đầu  Xét trường hợp x  , bất phương trình cho tương đương với x  21x  69     x  x  23    x  x  10  x    x  x  23   x    x  x  23  x3  x  37 x  46  x3  x  10  x     x  2   x  x  23   3  x  x  10  x   x  x  10  x    x  2  x    x  x  5   x   3 x2 x  2x   x  2 3  x   x2  2x   x   x2  2x   x    2 Bất phương trình (2) nghiệm với giá trị x thuộc tập xác định Do ta có tập nghiệm S   2;    x   Câu 15 Giải bất phương trình 81x   27 x  42 x  Lời giải Điều kiện x   Nhận xét 81x   81x  36 x   36 x   x     x    x  x   x  x   2 Bất phương trình cho tương đương với x  x  x  x    x  x     x  x   Đặt  u  0; v   quy 3uv  5u  2v  u  5u  2v   v  5u  2v     u  v  5u  2v    u  v x  x   u; x  x   v  9x2  6x   9x2  6x   9x2  6x   9x2  6x   x  Kết luận nghiệm S   ;0 Lời giải Điều kiện x   Xét hai trường hợp  Với 27 x  42 x   , bất phương trình cho nghiệm  Với 27 x  42 x   , bất phương trình cho trở thành 27 x  42 x   27 x  42 x     4 2 2268 x  324 x  504 x  9  81x    729 x  324 x  36  84 x  27 x   27 x  42 x   27 x  42 x      x   x  63 x  x  14   Kết hợp hai trường hợp thu nghiệm S   ;0 Câu 16 Giải bất phương trình sau: a) x    x    ( x  5)( x  3) b) x3  x  x  x x  x  x Lời giải: a) Điều kiện: 5  x  3 Đặt a  x  5, b   x  (a, b  0) ta bpt a  b   ab   a  1 b  1  a   x    x  4 - Trường hợp 1:  vô nghiệm   b   x    x  4 a   x    x  4 - Trường hợp 2:  vô nghiệm   b   x    x  4 Vậy bpt vô nghiệm b) Điều kiện: x  Bpt  x x   x  x x  x x  Đặt a  x , b  x  (a, b  0) ta có a   a  a  ta a 2b  a  a  ab    a  b  a   a  a  b     b  a  a  a   b  a  vô nghiệm b  a Vậy bất phương trình vơ nghiệm Câu 17 Giải bất phương trình sau: a) x  10 x  16  x   x  b) x x 1 ( x  1)   2x 1 Lời giải: a) Điều kiện: x  Bpt   x  3   x  1  x    x  3 Đặt a  x  1, b  x  , bpt trở thành   2a  2b  a  b  a  b   a  b    a  b    a  b 2 x   x 1  x     x5 x 1  x  6x  Thử lại thấy thỏa mãn Vậy bpt có nghiệm x  b) Điều kiện: x  x 1 Đặt a  x  , b  , bpt trở thành a  b  2a  2b 2     a  b   a  b2   a  b    a  b 2 x 1   16 x   x  x   x   10 1  Vậy bất phương trình có tập nghiệm S   ;   \  10;7  10 2   x   Câu 18 Giải bất phương trình sau: b) x( x  4) x  x   (2  x)2 a) x( x  4)  x  x  ( x  2)  Lời giải: a) ĐK:  x  x   x   x     x  (*) Khi 1   x  x  x  x  x  x   (2) Đặt x  x  t  (2) trở thành t t  t    t  t     t  1  t  t    Với t   t  t   nên  3  t    t  Do x  x   x  x   x  x      x   Kết hợp với (*) ta có   x   thỏa mãn Đ/s:   x   b) ĐK: x  x   x   x     x  (*) Khi 1   x  x  x  x    x  x   (2) Đặt x  x  t  (2) trở thành t t    t    t  t  Với t   t  t  nên  3  t  hay x  Kết hợp với (*) ta có  thỏa mãn x  x  4x  x2   4x  x2    x  (3) (3) ... 27 x  42 x   , bất phương trình cho nghiệm  Với 27 x  42 x   , bất phương trình cho trở thành ? ?27 x  42 x   ? ?27 x  42 x     4 2 ? ?22 68 x  324 x  504 x  9  81x    729 ... x? ?2 x  2x   x  2 3  x   x2  2x   x   x2  2x   x    2? ?? Bất phương trình (2) nghiệm với giá trị x thuộc tập xác định Do ta có tập nghiệm S   2;    x   Câu 15 Giải bất. .. thỏa mãn bất phương trình ban đầu  Xét trường hợp x  , bất phương trình cho tương đương với x   2x   x 1  x   2  x2    x2  2? ?? x 1 x 1  x 1    x 1  x 1  x   2x  x 1