Tài liệu giảng (Tốn 10) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 x y y Bài 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 y x x 2 x y Bài 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 y x x2 y2 x x y Bài 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình y y x 2y x y Bài 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình y 2x x2 x y Bài 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình y 3x Bài 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình x y 4y x 4x y 2 2 y 2 2 x x x y Bài 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình y y x y2 1 y x2 Bài 8: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 x x y2 xy x y Bài 9: [ĐVH] Giải hệ phương trình xy y x 2 x y Bài 10: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 y x 2 x y Bài 11: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 y x4 x 1998 y 1998 Bài 12: [ĐVH] Giải hệ phương trình 1998 x y 1998 x y Bài 13: [ĐVH] Giải hệ phương trình y x x y Bài 14: [ĐVH] Giải hệ PT y x x y m Bài 15: [ĐVH] Tim m để hệ sau có nghiệm y x m Đ/s: m LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 x y y 5, 1 Bài 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 y x x 5, Lời giải: Trừ vế với vế PT cho ta được: x y y x x y x y x y x y x y y 1 x 1 Nếu x y thay vào PT (1) ta y y y 5 x Nếu x y thay vào PT (1) ta được: y y y x Vậy hệ PT cho có nghiệm (x; y) (1;1),(5;5) 2 x y Bài 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 y x x2 , 1 y2 , 2 Lời giải: ĐK: xy≠0 Trừ vế với vế PT cho ta có: y x y x x y 1 x y x y 3 x y y x2 y x2 y x x y x y x y 2 1 0 x y 3 x y x2 y TH1: x y thay vào PT (2) ta có: y y y x 1(TM ) y TH2: x y x y suy x + y < Mặt khác cộng vế (1) (2) ta được: x y 1 0 x y Suy vô lý Vậy Hê PT cho có nghiệm (x; y) (1;1) x3 x y Bài 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình y y x Lời giải: x y Trừ vế với vế PT ta được: x3 y x y 2 x xy y y x TH1: x y thay vào (2) ta có: y y y x y x TH2: x xy y (*) x y Lấy (1) + (2) ta có: x3 y x y 2 x xy y y x 2 Nếu x y x y thay vào (*) ta được: y y 2 x Nếu : x xy y (**) lấy (*)-(**) ta xy 1 thay vào (*) ta có: 1 21 y 21 21 x 2 1 21 y 21 21 x 2 2 x 5 x 1 x 21 y 21 21 2 1 x 21 y 21 21 2 Vậy hệ PT cho có nghiệm 2y x y , 1 Bài 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình y 2x , 2 x2 Lời giải: ĐK: x; y ≠ ±1 Trừ vế với vế PT ta được: x y xy 1 y x x y 2 x y 2 2 x 1 y 1 1 y 1 x x 1 y 1 xy 1 2y y x (TM ) TH1: x y thay vào (1) ta được: y 1 y2 TH2: x 1 y 1 xy 1 (*) x y xy Lấy (1) + (2) ta được: x y 1 2 x 1 y 1 x 1 y 1 xy 1 y x 2y Nếu x y thay vào (1) ta được: y y x (TM ) 1 y y x Nếu x 1 y 1 xy 1 (vô lý kết hợp với PT (*)) Vậy hệ tập nghiệm hệ PT là: S 0;0 , x y Bài 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình y 3x 3; , 3; 4y , 1 x 4x , 2 y Lời giải: ĐK: xy ≠ Trừ vế với vế hai phương trình ta được: y x y x y x x y 4 x y 4 xy x y x y xy TH1: x y thay vào (1) ta x y 2 (t/m) TH2: x y xy y x x y xy xy xy Lấy (1) + (2) ta có: x y xy x y x y 4 Ta có hệ: x y 2 TM xy Vậy hệ cho có nghiệm nhất: x y 2 Bài 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình 1 2, 1 y x 1 2, x y Lời giải: Trừ vế với vế PT ta có: ĐK: x; y 1 1 y x y x Do xy x y xy 1 xy y x yx x y 0, x; y yx 1 xy y x 0 x y 2 1 Thay x y vào (1) ta có: 2 1 y x 1(TM ) y y y Vậy hệ đa cho có nghiệm x y x x y, 1 Bài 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình y y x, Lời giải: x y Trừ vế với vế PT ta có: x y x y y x x y x y 1 x y y x TH1: x y thay vào phương trình (2) ta được: y y y 3 x 1 1 y x 2 TH2: y x thay vào (1) ta được: x x 1 1 y x 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm y2 1 y , 1 x2 Bài 8: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 x x , y2 Lời giải: ĐK: xy ≠ 2 x y y Dễ thấy x; y > 0, ta có hệ PT cho tương đương: 2 xy x Trừ vế với vế hai PT hệ ta được: xy x y y x y x x y xy x y x y (do x; y 0) Với x = y dễ dàng giải x y xy x y, 1 Bài 9: [ĐVH] Giải hệ phương trình I xy y x, Lời giải: Hệ PT cho tương đương với: x x 1 x y 1 x y x y I x y 1 y 1 x y 1 y x y Vậy hệ PT cho có vơ số nghiệm (x; y) (1;1) (m;-1-m) với m 2 x y 2, 1 Bài 10: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 y x 2, Lời giải: ĐK: x; y ≥ Ta có: 1 2 y 1 x x x; y 1 x y 1 x 1 y y 1 Thử lại ta thấy x y nghiệm hệ PT cho Vậy x y nghiệm PT 2 x y Bài 11: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 y x4 Lời giải: ĐK: xy ≠0 1 Cộng hai vế PT cho ta được: x y x y 1 3 x x x x 1 2 Theo BĐT AM-GM ta có: 2x y x y 1 y y 3 y y 3 y y x y x y 1 x x Dấu “=” xảy x 1; y 1 y 12 y x 1; y Thử lại ta thấy nghiệm thỏa mãn hệ PT cho, hệ cho có nghiệm x2 x2 x 1998 y 1998 Bài 12: [ĐVH] Giải hệ phương trình 1998 x y 1998 Lời giải: ĐK:0 ≤ x; y ≤ 1998 Trừ vế với vế PT ta được: x 1998 x y 1998 x * Nhận thấy vai trò x y hệ PT nhau, khơng tính tổng qt giả sử x ≥ y Khi ta có: x 1998 x y 1998 x Dấu “=” xảy x y , Vậy từ (*) suy x y thay vào PT ban đầu ta x 1998 x 1998 Dễ giải phương trình có nghiệm x = x = 1998 Thử lại TM Vậy PT cho có nghiệm (x;y) (0;0), (1998;1998) x y Bài 13: [ĐVH] Giải hệ phương trình y x Lời giải: ĐK: x, y Lấy PT (1) – (2) ta có: 2 x y x y 2x y y x 0 2x y 4 y 4 x x y x y 2x y y x Thay vào PT ta được: x x 2 x x 12 x 2 x x 12 x x 38 x 33 x y x 11 y 11 9 x y Bài 14: [ĐVH] Giải hệ phương trình y x Lời giải: Trừ vế với vế PT cho ta được: 2 x y x y x4 y4 2 x y 0 0 x4 y4 x y x y x y x x x x x x4 y4 x y 3x x x y x y m Bài 15: [ĐVH] Tim m để hệ sau có nghiệm y x m Đ/s: m Lời giải: ĐK: x, y Trừ vế với vế PT ta có: x y x y x y 0 x 3 y 3 x y x y m Để hệ có nghiệm có nghiệm x y x y m có nghiệm x y x y m Xét x x m x 3 x y x y m 17 17 m x x 1 x x x 3 Xét 2 4 x y Từ suy để PT có nghiệm m ... ? ?2 x Nếu : x xy y (**) lấy (*)-(**) ta xy 1 thay vào (*) ta có: 1 21 y 21 21 x 2 1 21 y 21 21 x 2 2 x 5 x 1 x 21 y 21 ... 21 21 2 1 x 21 y 21 21 2 Vậy hệ PT cho có nghiệm 2y x y , 1 Bài 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình y 2x , 2? ??... x 0 2x y 4 y 4 x x y x y 2x y y x Thay vào PT ta được: x x ? ?2 x x 12 x ? ?2 x x 12 x