Biến động ẩn trong mô hình black - scholes với biến động trong mô hình garch

Bài viết trình bày mô hình biến động ngụ ý là do sự va chạm với thị trường và nghiên cứu đưa ra các bằng chứng về phân phối tỷ suất lợi nhuận có đuôi dài và dày (fat tailed) so với tiền đề tranh luận tỷ suất lợi nhuận tuân theo phân phối Log - chuẩn trong mô hình BS (Black và Scholes, 1973). Mời các bạn tham khảo!

KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 17 BIẾN ĐỘNG ẨN TRONG MƠ HÌNH BLACK - SCHOLES VỚI BIẾN ĐỘNG TRONG MƠ HÌNH GARCH NCS Ngơ Văn Tồn*, Sái Hồng Phúc** Tóm tắt Mơ hình Black - Scholes (BS) mơ hình định giá quyền chọn cơng cụ thực định giá định đầu tư chứng khốn phái sinh Mơ hình biến động hàm liên tục, quyền chọn giao dịch thực rủi ro thành phần ngẫu nhiên biến động Các quan niệm biến động không số giới thiệu trình GARCH Gần đây, mơ hình BS với q trình GARCH giới thiệu (Gong, Thavaneswaran Singh, 2010) Trong nghiên cứu này, tác giả tính tốn biến động ngụ ý cho mơ hình BS với biến động q trình GARCH Trong phương pháp tiếp cận này, mơ hình biến động ngụ ý va chạm với thị trường nghiên cứu đưa chứng phân phối tỷ suất lợi nhuận có dài dày (fat tailed) so với tiền đề tranh luận tỷ suất lợi nhuận tuân theo phân phối Log - chuẩn mơ hình BS (Black Scholes, 1973) Từ khóa: Định giá quyền chọn, mơ hình Black - Scholes, trình GARCH, biến động ẩn (Implied volatility) Giới thiệu Nói đến quyền chọn (option), khơng thể khơng nói đến mơ hình Black - Scholes Cho tới nay, mơ hình tiếng phổ biến giới tài mơ hình định giá quyền chọn Black - Scholes Nhà kinh tế học Steve Ross “Từ điển Kinh tế” Palgrave viết: “Lý thuyết định giá quyền chọn lý thuyết thành công khơng ngành Tài mà cịn tất ngành kinh tế” Fischer Black Myron Scholes công bố công thức định giá quyền chọn cơng trình nghiên cứu vào năm 1973 (Black Scholes, 1973) mà ngày gọi mơ hình BS Trong mơ hình này, lãi suất phi rủi ro r (không đổi) biến động số α (dường phi thực tế) Giao dịch quyền chọn rủi ro thành phần ngẫu nhiên xem biến động Mức biến động đại lượng phản ánh dao động giá trị tài sản sở khoảng thời gian định Nói cách khác, mức biến động giá trị tài sản đại lượng có tính * Khoa Tài - Ngân hàng, Trường Đại học Tài - Marketing ** Sinh viên CLC-18DTC3 Ngành Tài - Ngân hàng, Trường Đại học Tài - Marketing 140 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN chất thống kê đo độ phân tán tỷ suất lợi nhuận khoảng thời gian định Nó thường dùng để phản ánh mức độ rủi ro tài sản sở khoảng thời gian Các tài sản có mức biến động lớn tức khả giá trị tài sản sở bị thay đổi đột ngột khoảng thời gian ngắn theo hai hướng (tăng đột ngột giảm đột ngột) lớn, có rủi ro cao Ngược lại, tài sản có mức biến động nhỏ nghĩa tài sản có giá trị ổn định, có rủi ro thấp Khái niệm biến động khơng số giới thiệu trình GARCH Cơng trình nghiên cứu mơ hình giá cổ phiếu theo quy trình hướng nghiên cứu công cụ đầu tư phái sinh Duan (1995) người cung cấp lý thuyết tảng vững mơ hình định giá Gần đây, phần mở rộng mơ hình (Black Scholes, 1973) với biến động trình GARCH giới thiệu (Gong et al., 2010) Đo lường biến động, biến động giá công cụ tài theo thời gian biến động ngụ ý bắt nguồn từ giá thị trường giao dịch phái sinh Năm 1986, quan niệm biến động ngụ ý sử dụng cho nghiên cứu thị trường tài (Latane Rendleman, 1976) Chuỗi Taylor gần thường xuyên thực định giá quyền chọn, quản lý rủi ro đặc biệt quan trọng Mơ hình BS xem xét cho chuỗi xấp xỉ Taylor cho mục đích khác (Butler Schachter, 1986; Latane Rendleman, 1976) Mức biến động tài sản rút từ việc giải phương trình định giá quyền chọn gọi mức biến động ngụ ý tài sản (Implied asset volatility) Nói cách khác, mức biến động ngụ ý xác định dựa giá sản phẩm phái sinh với giả thiết giá xác định dựa mơ hình định giá phái sinh mà điển hình Black Scholes Có thể coi mức biến động ngụ ý báo kỳ vọng thị trường thời gian lại quyền chọn Nếu thị trường quyền chọn hiệu mức biến động ngụ ý phản ánh xác mức biến động tài sản thời gian lại quyền chọn Mức biến động ngụ ý tài sản thước đo kỳ vọng thị trường mức biến động giá trị tài sản thời điểm tương lai Chính vậy, nhà đầu tư thường quan tâm đến mức biến động ngụ ý tài sản mức biến động q khứ khơng chắn rằng, tương lai lặp lại xảy khứ Trong viết này, tác giả xem xét mơ hình (Gong et al., 2010); phần cung cấp lý thuyết công cụ bản; phần trình bày cơng thức biến động ngụ ý cho quyền chọn mua (call option) mô hình BS (Gong et al., 2010) so sánh cơng thức với mơ hình ban đầu (Black Scholes, 1973); phần trình bày số nhận xét kết luận Mơ hình BS q trình GARCH Cho (Ω, Ft , P) không gian xác suất, đó, giá tài sản St thời gian t Geometric Brownian Motion (GBM) 141 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN (1) dSt = rSt dt + σ StWt Wt chuyển động Brownian chuẩn σ độ biến động Chúng ta biết rằng, điều phù hợp với mơ hình BS (Black Scholes, 1973), quyền chọn mua kiểu châu Âu viết sau: CBS = Sφ (d1 ) − Ke − rτ φ (d ) S σ2 log( ) + (r + )τ , d = d −σ τ K d1 = (2) σ τ Trong đó: φ (.) hàm phân phối chuẩn hóa cho biến ngẫu nhiên của phân phối chuẩn tắc τ = T − t , S giá tài sản, K giá thực hiện, r lãi suất T thời gian đến hạn Nếu S giá chứng khoán, r lãi suất (phi rủi ro), đó, C quyền chọn mua kiểu châu Âu, mang lại cho người sở hữu quyền nghĩa vụ phải mua đơn vị tài sản sở cho mức giá định trước K thời hạn ngày T Tương tự, quyền chọn bán P mang lại cho người sở hữu quyền, khơng phải nghĩa vụ bán số lượng lý thuyết tài sản sở với giá K xác định trước T ngày đáo hạn Khi phương sai Log tỷ suất lợi nhuận chứng khoán thay đổi theo thời gian tức θt = σ τ công thức vừa trình bày (Gong et al., 2010) Mơ hình BS với biến động GARCH cho chuỗi liệu tài theo thời gian ( yt ) viết từ (1) sau (Gong et al., 2010): dSt = rSt dt + θt St dWt   S   S  yt = log  t  − E  log  t   = θt Z t  St −1   St −1    Quyền chọn mua cho mơ hình BS viết sau: C = SEθt [φ (d1 )] − Ke − rτ Eθt [φ (d )] S σ2 log( ) + rT + θt2 K d1 = f (θt2 ) = , d = g (θt2 ) = d1 − θt (3) θt θt tính dừng q trình GARCH có trung bình µ0 phương sai σ θ Định giá quyền chọn dựa mơ hình GARCH hướng nghiên cứu có nhiều nghiên cứu thực nghiệm Một số mơ hình có độ biến động ngẫu nhiên bao gồm: mơ hình Heston, mơ hình độ co giãn khơng đổi phương sai hay mơ hình độ biến động địa phương, mơ hình độ biến động Alpha - Beta-Rho, mơ hình GARCH, mơ hình 3/2 mơ hình Chen Trong nghiên cứu xém xét đến mơ hình GARCH để ước tính mức biến động 142 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Biến động yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến việc định giá quyền chọn Tuy nhiên, yếu tố khó dự báo Do đó, vấn đề quan trọng nằm chỗ ước tính xác cho độ bất ổn Ước tính biến động sử dụng để xác định mức giá tương lai cổ phiếu hay quyền chọn chứng khoán Nghiên cứu thực nghiệm rằng, việc sử dụng biến động lịch sử mơ hình định giá quyền chọn khác dẫn đến chênh lệch việc định giá Mơ hình GARCH (1,1) giải pháp cho vấn đề Các nghiên cứu áp dụng mơ hình GARCH (1,1) để ước tính độ biến động, áp dụng độ bất ổn ước tính để tính tốn giá quyền chọn mơ hình Black - Scholes (Bi, Yousuf Dash, 2014) ω Nếu trường hợp GARCH(1,1): E (θt2 ) = 1 − (α1σ z2 + β1 )  Một trình sau gọi trình GARCH(p,q) (Christian Jean, 2010): p q i =1 j =1 θt2 = ω + ∑ α iε t2−1 + ∑ β jσ t2− j ε t = θt zt , zt � N (0, σ θ ), ω > 0, α i ≥ 0, β j ≥ (4) Nếu xem xét đến phương trình (3), sau có kết (Gong et al., 2010): S S   log( ) + rT + E (θt2 )  log( K ) + rT + E (θt )  K Eθt [φ (d1 )] = φ   ⇒ d1 = 2 E (θt ) E (θt )     S S   log( ) + rT − E (θt2 )  log( K ) + rT − E (θt )  K Eθt [φ (d )] = φ   ⇒ d2 = 2 E (θt ) E (θt )     (5) Đề xuất dùng d1 − d Chúng ta có: d1 − d = E (θt2 ) Ct ( K , T ) giá thị trường quyền chọn mua kiểu châu Âu với giá thực K > ngày đến hạn T thời điểm t ∈ [0, T ) Biến động ngụ ý σ t ( K , T ) định nghĩa giá trị tham số biến động, so sánh với giá thị trường quyền chọn với giá cho công thức Ct ( K , T ) = CBS (t , St , K , T , r , σ t ( K , T )) Biến động ngụ ẩn mơ hình BS với biến động q trình GARCH (6) Cấu trúc BS liên quan đến giá quyền chọn đến thời điểm t , giá chứng khoán St , σ biến động chứng khoán, lãi suất r, ngày đến hạn T giá thực K Như biết, mơ hình cho rằng, biến động hàm số suốt vòng đời quyền chọn nghiên cứu thực nghiệm lại trái ngược với giả định mơ hình Biến động ngụ ý thị trường tồn đảo lộn cơng thức định giá quyền chọn Trong phần này, sử dụng (Gong et al., 2010) tồn biến động ngụ ý, thêm vào đó, tác giả sử dụng thủ tục cho mơ hình BS ngun thủy so sánh với kết cho tính tốn 143 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Tình 1: Khi σ = θt θt trình GARCH Chúng ta biết công thức quyền chọn mua mô hình BS với trình GARCH (Gong et al., 2010) C = SEθt [φ (d1 )] − Ke − rτ Eθt [φ (d )] Sử dụng phần mở rộng hàm phân phối chuẩn với phương pháp xấp xỉ Taylor bậc hai đề xuất (Corrado Miller, 1996) N ( x) = 1  x3 x3  + x − +  40  2 (7) Sử dụng (7) cho quyền chọn mua BS với biến động GARCH, có d1 − d = E (θt2 ) X = Ke − rT 1  1  (d1 )  − X  + (d )  C=S + 2 2  2  1  1  (d1 )  − X  + (d1 − E (θt2 ))  C=S + 2 2  2  (S − X ) S − X X (d1 ) + C= E (θt2 ) + 2π 2π Để có phương trình theo θt đơn giản hóa phương trình cách thay d1 S K với biểu thức tương đương Ngoài ra, phải giả định: u = log( ) + rT E (θt2 ) 2π ( S − X ) E (θ ) + 2( S − X )[u + ] + XE (θt2 ) C= 2 2π E (θt ) t 2π E (θt2 ) = 2π ( S − X ) E (θt2 ) + 2u ( S − X ) + ( S − X ) E (θt2 ) + XE (θt2 ) ( S + X ) E (θt2 ) + 2π ( S − X ) E (θt2 ) − 2π E (θt2 )C + 2u ( S − X ) = ( S + X ) E (θt2 ) + 2π [( S − X ) − 2C ] E (θt2 ) + 2u ( S − X ) = Đặt: α = ( S + X ), β = 2π [( S − X ) − 2C ] γ = 2u ( S − X ) , sau viết lại cơng thức sau: α E (θt2 ) + β E (θt2 ) + γ = (8) Đặt: E (θt2 ) = x E (θt2 ) = x , phương trình (8) viết sau: α x + β x + γ = (9) Phương trình (9) phương trình bậc hai đơn giản nghiệm phương trình có thể viết sau: ∆ = β − 4αγ x = 144 −β ± ∆ Hơn nữa, tình này, nghiệm 2α KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN khơng âm phương trình (9) dấu hệ số α , β γ quan trọng Thêm vào đó, α > 0, β > 0, γ < phân biệt, ∆ > ln ngụ ý tồn nghiệm thực dương phương trình (9) Tuy nhiên, dấu hệ số phụ thuộc vào giá chứng khốn, giá thực Nghiên cứu tình đặc biệt giá chứng khoán S với giá thực K S = K , quyền chọn gọi hòa vốn (At The Money) Nếu xét r = phương trình (9) hệ số γ = thấy tồn phương trình sau: α x + β x = (10) −β , α = 2S β = −2 2π C Nói Nghiệm phương trình (10) là: x = 0, x = α cách khác, gọi tổng nghiệm phương trình (9) hòa vốn (At The Money) Quyền chọn mua (call option) mơ hình BS với biến động GARCH, trường hợp hòa vốn (at the money) giá trị độ nhọn (kurtosis) tham số mô sau (Gong et al., 2010; Sheraz Preda): 2π CBS −1 E (θt2 ) S = +3 ( E (θt2 ) + 4)( E (θt2 ) − 8) 768( k ( y) Trong đó, CBS giá trị quyền chọn mua mơ hình BS với độ biến động GARCH, S giá chứng khoán θt độ biến động GARCH Ví dụ 1: Xem xét liệu sử dụng (Gong et al., 2010): S = 425.73 , CGARCH = 25.33635043, r = quyền chọn hịa vốn (ATM) có: x = −β = α Tình 2: Sử dụng biến động theo giả định BS − 2π CGARCH = 0.1491 S Trong tình này, cơng thức sử dụng cho quyền chọn mua CBS biết rằng: − rτ CBS = Sφ (d1 ) − Ke φ (d ) Chúng ta sử dụng phần mở rộng hàm phân phối chuẩn với phương pháp xấp xỉ Taylor bậc hai đề xuất (Corrado Miller, 1996): N ( x) = 1  x3 x3  + x − +  40  2 Sử dụng (7) cho quyền chọn mua BS với biến động GARCH, có: d1 − d = σ τ X = Ke − rT 1  1  (d1 )  − X  + (d )  CBS = S  + 2 2  2  1  1  (d1 )  − X  + (d1 − σ τ )  CBS = S  + 2 2  2  (S − X ) S − X X (d1 ) + CBS = σ τ + 2π 2π 145 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chúng ta muốn có phương trình theo θt đơn giản phương trình cách thay d1 với biểu thức tương đương Để đơn giản, giả định sau: S K υ = log( ) + rτ CBS = 2π ( S − X )σ τ + 2( S − X )[υ + 2πσ τ σ 2τ ] + X σ 2τ ( S + X )σ τ + 2π [( S − X ) − 2CBS ]σ τ + 2υ ( S − X ) = Đặt: α = ( S + X ) , β = 2π [( S − X ) − 2CBS ] γ = 2υ ( S − X ), phương trình viết dạng sau: ασ τ + βσ τ + γ = (11) Đặt: σ τ = y σ 2τ = y , viết phương trình (11) viết sau: α y + β y + γ = (12) Phương trình (12) gần phương trình (9), sử dụng khái niệm cho nghiệm phương trình (12) thảo luận cho phương trình (9) Ví dụ 2: Biết lãi suất ngắn hạn thị trường tiền tệ 6,2%, tính giá trị lý thuyết quyền chọn sau đây: Call option kiểu châu Âu, giá thực (strike) = 40 USD, thời gian hiệu lực tháng, phương sai giá chứng khoán sở 0,25 Giá hành chứng khốn sở 28 USD Tính mức biến động ngụ ẩn (implied volatility) giá Call option kiểu châu Âu = USD Call Option: d1 = −0, 747 ⇒ N (d1 ) = 0, 22 ; d = −1,1 ⇒ N (d ) = 0,1355 ; ⇒ CBS = 1,1146 Implied Volatility: Ct = ⇒ σ implied ≈ 48% Kết luận Trong viết này, số phần mở rộng Black - Scholes với mơ hình biến động GARCH cho thấy tương thích mặt tốn học Các tác giả sử dụng phép tính xấp xỉ Taylor thảo luận (Gong et al., 2010) Tuy nhiên, giá trị biến động ngụ ý phụ thuộc vào chất hệ số phương trình bậc hai Ngoài ra, sử dụng phương pháp tác giả đề xuất mơ hình BS với biến động trình GARCH, biến động ngụ ý cổ phiếu, đó, độ biến động xác định Giá tài sản sở trình liên tục phân phối vượt qua trở thành phân phối bất đối xứng Như vậy, tài chính, biến động ngụ ý (Implied volatility) hợp đồng quyền chọn giá trị biến động công cụ bản, đầu vào mơ hình định giá quyền chọn (chẳng hạn mơ hình BS) trả giá trị lý thuyết với giá thị trường tùy chọn Biến động ngụ ý, biện pháp hướng tới tương lai chủ quan, khác với biến động lịch sử (Historical volatility) biến động lịch sử tính từ tỷ suất lợi nhuận biết khứ chứng khoán 146 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TÀI LIỆU THAM KHẢO Bi, Z., Yousuf, A., & Dash, M (2014), A Study on Options Pricing Using GARCH and Black-Scholes-Merton Model Asian Journal of Finance & Accounting, 6(1), pp 423 - 439 Black, F., & Scholes, M (1973), The pricing of options and corporate liabilities, The Journal of Political Economy, pp 637 - 654 Butler, J S., & Schachter, B (1986), Unbiased estimation of the Black/Scholes formula Journal of Financial Economics, 15(3), pp 341 - 357 Christian, F., & Jean, Z (2010), GARCH models: John Wiley and sons Corrado, C J., & Miller, T W (1996), A note on a simple, accurate formula to compute implied standard deviations Journal of Banking & Finance, 20(3), pp 595 - 603 Duan, J C (1995), The GARCH option pricing model Mathematical Finance, 5(1), pp 13 - 32 Gong, H., Thavaneswaran, A., & Singh, J (2010), A Black-Scholes model with GARCH Volatility, Mathematical Scientist, 35(1) Latane, H A., & Rendleman, R J (1976), Standard deviations of stock price ratios implied in option prices The Journal of Finance, 31(2), pp 369 - 381 Sheraz, M., & Preda, V Kurtosis in Black-scholes Model with GARCH Volatility 147 ... mơ hình định giá Gần đây, phần mở rộng mơ hình (Black Scholes, 1973) với biến động trình GARCH giới thiệu (Gong et al., 2010) Đo lường biến động, biến động giá công cụ tài theo thời gian biến động. .. biến động địa phương, mơ hình độ biến động Alpha - Beta-Rho, mơ hình GARCH, mơ hình 3/2 mơ hình Chen Trong nghiên cứu xém xét đến mơ hình GARCH để ước tính mức biến động 142 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA... k ( y) Trong đó, CBS giá trị quyền chọn mua mô hình BS với độ biến động GARCH, S giá chứng khoán θt độ biến động GARCH Ví dụ 1: Xem xét liệu sử dụng (Gong et al., 2010): S = 425.73 , CGARCH =