Bài viết chỉ ra các sai lầm khi sinh viên giải một bài toán xác suất - thống kê trong môn học Lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng. Bên cạnh đó, bài viết cũng dự kiến những sai lầm của sinh viên, đồng thời ứng phó với những sai lầm đó và đưa ra hướng khắc phục để sinh viên hoàn thiện hơn thông qua các bài toán cụ thể. Mời các bạn tham khảo!
KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 12 GIÚP HỌC TỐT MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN NGÀNH KINH TẾ, TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - MARKETING THƠNG QUA NHỮNG SAI LẦM ThS Vũ Anh Linh Duy* Tóm tắt Mỗi sai lầm sinh chướng ngại thường tồn lâu xuất sau chủ thể có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm khỏi hệ thống nhận thức Vì vậy, việc giúp sinh viên nhận sai lầm tìm cách khắc phục sai lầm q trình lĩnh hội khái niệm việc có nhiều ý nghĩa q trình dạy học góp phần nâng cao hiệu dạy học Bài viết sai lầm sinh viên giải toán xác suất - thống kê môn học Lý thuyết xác suất thống kê ứng dụng Bên cạnh đó, viết dự kiến sai lầm sinh viên, đồng thời ứng phó với sai lầm đưa hướng khắc phục để sinh viên hoàn thiện thơng qua tốn cụ thể Từ khóa: Xác suất, thống kê, Lý thuyết kiến tạo, sai lầm Đặt vấn đề Bài toán “Chia giải thưởng cho cơng bằng” tốn hay liên quan đến xác suất có khơng tranh cãi từ cách chia giải thưởng Đâu nguyên nhân gây tranh cãi trên? Chúng ta tìm hiểu toán sau: “Hai đối thủ ngang tài chơi trận đấu để tranh chức vô địch Người thắng người thắng ván đấu Tuy nhiên, lý bất khả kháng, trị chơi phải dừng lại không tiếp tục Khi đó, người thứ thắng ván, cịn người thứ hai thắng ván Vậy phải phân chia phần thưởng hợp lý”? Sai lầm 1: Có ý kiến cho rằng, chia giải thưởng theo tỷ lệ : 3, theo tỷ lệ thắng người chơi * Bộ mơn Tốn - Thống kê, Khoa Kinh tế - Luật, Trường Đại học Tài - Marketing 93 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Sai lầm 2: Có ý kiến khác cho rằng, chia giải thưởng theo tỷ lệ : 1, người thứ người thứ hai ván, mà ván 1/3 ván, nên người thứ nhận 1/3, cịn lại chia đơi (tức người thứ người thứ hai nhận thêm 1/3 giải) Hai cách chia không hợp lý Nguyên nhân dẫn đến sai lầm chia cho cơng bằng? Sai lầm khơng dựa xác suất thắng hai người chơi Vậy muốn chia giải thưởng công bằng, ta cần dựa xác suất thắng của hai người chơi Cụ thể sau: Pascal Fermat độc lập với việc giải thích tỷ lệ giải thưởng nên chia theo quan điểm xác suất Lập luận Fermat sau: Nếu tiếp tục chơi thêm ván “giả tạo” người thứ hai muốn lấy tất giải, phải chiến thắng ván 1 1 Vì vậy, xác suất thắng × × = đó, xác suất thắng người 2 thứ Vậy, chia phần thưởng theo tỷ lệ : hợp lý Qua toán trên, ta thấy việc hiểu sai vấn đề gây tranh cãi không hồi kết, sai lầm khơng sửa chữa cách xác Ngày nay, phương pháp thống kê áp dụng tất lĩnh vực liên quan đến việc định, để đưa suy luận xác từ lượng liệu đối chiếu để đưa định đối mặt với không chắn dựa trên phương pháp thống kê Việc sử dụng máy tính đại thúc đẩy q trình tính tốn thống kê quy mơ lớn tạo phương pháp thực tay, nên vấn đề đặt phải hiểu rõ chất ý nghĩa khái niệm mơn học vận dụng tốt Tuy nhiên, môn Lý thuyết xác suất thống kê xem mơn học trừu tượng nên khơng sinh viên gặp khó khăn q trình học tập Đặc biệt, việc giải tập, sinh viên dễ mắc sai lầm không hiểu nghĩa chất khái niệm định lý Bài viết nhằm giúp sinh viên nhận biết tránh sai lầm thường gặp giải tốn, qua giúp em học tốt môn học Nội dung 2.1 Cơ sở lý thuyết Jean Piaget (1896 - 1980), nhà tâm lý học triết học người Thụy Sĩ đề xuất Lý thuyết kiến tạo vào đầu kỷ 20 Lý thuyết kiến tạo ứng dụng dạy học dựa việc nghiên cứu trình học tập người, từ hình thành quan điểm dạy học phù hợp với chế Cho đến nay, Lý thuyết kiến tạo ứng dụng vào nhiều ngành khoa học, đặc biệt giáo dục Ở nhiều quốc gia, Lý thuyết kiến tạo trở thành xu hướng tất yếu đổi giáo dục Tư tưởng cốt lõi Lý thuyết kiến tạo là: tri thức xuất thông qua việc chủ thể nhận thức tự cấu trúc vào hệ thống bên mình, nhấn mạnh vai trị chủ thể nhận thức việc giải thích kiến tạo tri thức 94 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Theo Brooks (1993), quan điểm kiến tạo dạy học khẳng định rằng, người học cần phải tạo nên hiểu biết giới cách tổng hợp kinh nghiệm vào mà họ có trước Người học thiết lập nên quy luật thông qua phản hồi mối quan hệ tương tác với chủ thể ý tưởng Theo M Briner (1993), người học tạo nên kiến thức thân cách điều khiển ý tưởng cách tiếp cận dựa kiến thức kinh nghiệm có, áp dụng chúng vào tình mới, hợp thành tổng thể thống kiến thức thu nhận với kiến thức tồn trí óc Trí tuệ người học không trống rỗng Ngay đối tượng kiến thức chưa giảng dạy họ có biểu tượng, dạng thức hành động ngầm ẩn liên quan đến đối tượng kiến thức Một số biểu tượng có cấu trúc trí tuệ người học tạo nên điều kiện thuận lợi cho việc học tập kiến thức Nhưng có biểu tượng, dạng thức hành động bền vững tạo nên chướng ngại thường nguyên nhân dẫn người học tới sai lầm Theo Brousseau (1976), “sai lầm không đơn giản thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh mà hậu kiến thức trước hữu ích đem lại thành công, tỏ sai đơn giản khơng cịn thích hợp nữa” Sai lầm cịn thể kiến thức người học, kiến thức mà cần phá hủy hay làm ổn định để thay kiến thức thích ứng Và theo Brousseau: “Trong hoạt động giảng dạy, sai lầm góp phần hình thành nên nghĩa kiến thức thu nhận được” 2.2 Thiết kế học toán cụ thể Để thiết kế học, giảng viên đưa toán khiến sinh viên hiểu chưa hay hiểu sai toán Trong toán mà sinh viên thường mắc sai lầm, giảng viên dự đoán sai lầm sinh viên, gợi ý cách khắc phục sai lầm, sau đưa kết luận hồn chỉnh Bài tốn 1: Hai xạ thủ người bắn phát vào bia, xác suất trúng bia người 0,7 0,8 Tìm xác suất để bia trúng đạn? Sinh viên trình bày sau: Gọi biến cố “người thứ i bắn trúng bia” Gọi biến cố “bia trúng đạn” Sai lầm 1: Nguyên nhân: Sinh viên không phân biệt mối quan hệ biến cố Giảng viên ứng phó với sai lầm 1: Giảng viên yêu cầu sinh viên nhắc lại định nghĩa biến tổng, tích biến cố Giảng viên điều chỉnh sai lầm 1: Giảng viên gợi ý biến cố “bia bị trúng” hiểu theo nghĩa có người người bắn trúng bia, khơng phải hai phải bắn trúng bia, yêu cầu sinh viên biểu thị lại biến cố B cho 95 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Sai lầm 2: Xác suất tổng tổng xác suất, nên sử dụng công thức cộng cho hai biến cố xung khắc: Nguyên nhân: Sinh viên cho rằng, hai biến cố xung khắc với Giảng viên ứng phó với sai lầm 2: Giảng viên yêu cầu sinh viên nhắc lại định nghĩa tính xung khắc biến cố Giảng viên sửa chữa sai lầm 2: Giảng viên điều chỉnh lại cơng thức tính xác suất cho đúng? Đưa đáp án để sinh viên so sánh sau chỉnh sửa làm P(B) = P(A1 + A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1A2) = 0,7 + 0,8 – 0,7.0,8 = 0,94 Bài toán 2: Một túi chứa 10 thẻ đỏ thẻ xanh Chọn ngẫu nhiên thẻ Gọi X số thẻ đỏ chọn Hãy tìm phân phối xác suất X? Sinh viên đưa lời giải: X số thẻ đỏ chọn, giá trị X nhận {1, 2, 3} Sai lầm: Sinh viên không xác định đầy đủ không gian mẫu phép thử Nguyên nhân: Sinh viên cho rằng, X số thẻ đỏ lấy nên giá trị nhỏ mà X nhận 1, sinh viên gán X tập số nguyên dương nên dẫn đến sai lầm Giảng viên ứng phó sai lầm: - Yêu cầu sinh viên thực tính tổng xác suất ứng với X = {1, 2, 3} Sinh viên nhận sai lầm theo tính chất bảng phân phối xác suất cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc tổng xác suất - Liệt kê đầy đủ trường hợp không gian mẫu Giảng viên sửa chữa sai lầm: Giảng viên yêu cầu sinh viên điều chỉnh lại giá trị X nhận tính lại xác suất ứng với giá trị X Sau đó, đưa lời giải cho sinh viên đối chiếu với làm sau chỉnh sửa X P Bài tốn 3: Trong hộp kín có bi trắng, bi đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi lấy bi màu đen dừng lại Tìm xác suất để lấy viên, biết cách thức lấy khơng hồn lại 96 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Sinh viên làm sau: Gọi Ai biến cố “lấy bi trắng lần lấy thứ i” biến cố “lấy bi đen lần lấy thứ i” Xác suất để lấy viên bi: Sai lầm: Sinh viên sử dụng cơng thức tính xác suất tích biến cố độc lập Nguyên nhân: Sinh viên cho rằng, biến cố độc lập với nên áp dụng công thức xác suất tích biến cố độc lập Giảng viên ứng phó với sai lầm: - Yêu cầu sinh viên nhắc lại định nghĩa tính độc lập biến cố - Nhấn mạnh cụm từ “biết cách thức lấy khơng hồn lại” u cầu sinh viên giải thích cụm từ Giảng viên sửa chữa sai lầm: biến cố phụ thuộc - Nhấn mạnh biến cố - Yêu cầu sinh viên viết công thức tính xác suất tích biến cố A1, A2…, An không độc lập đôi - Sinh viên hoàn chỉnh làm đối chiếu với làm giảng viên đưa Bài toán 4: Điều tra nhu cầu khách hàng sản phẩm A công ty, người ta vấn ngẫu nhiên 380 nhân viên 500 nhân viên công ty biết có 270 nhân viên có nhu cầu sản phẩm A Với độ tin cậy 99%, ước lượng tỷ lệ nhu cầu tối thiểu sản phẩm A Sinh viên làm sau: Gọi tỷ lệ nhu cầu sản phẩm A Khoảng ước lượng tỷ lệ nhu cầu sản phẩm A: f −ε < p < f +ε Trong đó: Tỷ lệ f = ε = zα /2 270 = 0,54 500 f (1 − f ) n = 2,57 0,54 (1 − 0,54 ) 500 = 0, 0573 97 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Khoảng ước lượng tỷ lệ nhu cầu sản phẩm A: 0, 4827 < p < 0,5973 Kết luận: Tỷ lệ nhu cầu tối thiểu sản phẩm A: p > 0, 4827 Sai lầm 1: Sinh viên không phân biệt tỷ lệ tổng thể tỷ lệ mẫu Sai lầm 2: Sinh viên hiểu miền giá trị đại lượng khoảng giá trị chặn giá trị tối thiểu, giá trị chặn giá trị tối đa, nên sinh viên làm toán ước lượng đối xứng kết luận tối đa, tối thiểu Nguyên nhân: - Sinh viên không hiểu số đề - Sinh viên không phân biệt toán ước lượng tỷ lệ đối xứng ước lượng tỷ lệ phía Giảng viên ứng phó với hai sai lầm: Giảng viên yêu cầu sinh viên nhắc lại: - Xác định ý nghĩa số đề - Định nghĩa tỷ lệ tổng thể tỷ lệ mẫu - Bài toán ước lượng tỷ lệ đối xứng ước lượng tỷ lệ phía Giảng viên sửa chữa sai lầm: - Cần tính lại tỷ lệ mẫu - Nhấn mạnh cụm từ “ước lượng tỷ lệ nhu cầu tối thiểu cho sản phẩm A” (đây tốn ước lượng tỷ lệ phía) - Sinh viên chỉnh sửa làm so sánh với kết giảng viên 270 = 0, 7105 Tỷ lệ f = 380 ε = zα f (1 − f ) n = 2,33 0, 7105 × 0, 2895 = 0, 0542 380 Khoảng tin cậy bên phải: p > 0, 7105 − 0, 0542 = 0, 6563 Bài toán 5: Xem xét trọng lượng loại (tính gam), người ta tiến hành cân thử số lấy ngẫu nhiên, số liệu cho bảng đây: Trọng lượng (gam) 25 - 27 27 - 29 29 - 31 31 - 33 33 - 35 35 - 37 Số tương ứng Biết trọng lượng đại lượng có phân phối chuẩn Tiêu chuẩn đặt cho trọng lượng trung bình 31,5g Với mức ý nghĩa 5%, nói, loại đạt tiêu chuẩn hay không? 98 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Sinh viên làm sau: Với số liệu này, tính thống kê đặc trưng mẫu kết quả: x = 30, 48 ( g ); s = 2,903 ( g ) Cặp giả thuyết thống kê: H : µ = 31,5 H1 : µ < 31,5 Tiêu chuẩn kiểm định T = (X −µ ) n S Với mẫu cụ thể trên, Tqs = ( x − µ0 ) n ; miền bác bỏ Wα = {T : T < −tα ( n − 1)} = ( 30, 48 − 31,5) s Với α = 0, 05 ⇒ tα ( n − 1) = t0,05 ( 24 ) = 1, 711 25 2,903 = −1, 7568 Miền bác bỏ Wα = {−∞; −1, 711} Vì Tqs ∈ Wα : Bác bỏ H0 Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, loại không đạt tiêu chuẩn Sai lầm 1: Xác định sai cặp giả thuyết thống kê Sai lầm 2: Xác định sai miền bác bỏ, dẫn đến kết luận sai Nguyên nhân: - Sinh viên hiểu theo Toán học nên cho rằng, không đạt tiêu chuẩn có trọng lượng nhỏ 31,5g - Sai lầm dẫn đến sai lầm Giảng viên ứng phó với sai lầm: Giảng viên yêu cầu kiểm định xem trọng lượng trung bình có 31,5 hay khơng? Nếu µ = 31,5 ; cịn khơng µ ≠ 31,5 Khơng có sở để khẳng định µ < 31,5 hay µ > 31,5 Giảng viên sửa chữa sai lầm: Giảng viên yêu cầu sinh viên: - Xác định lại cặp giả thuyết thống kê - Xác định lại miền bác bỏ - Sinh viên so sánh lời giải sau chỉnh sửa với giải giảng viên H : µ = 31,5 H1 : µ ≠ 31,5 Cặp giả thuyết: (X −µ ) n ; miền bác bỏ Wα = {T : T > tα /2 ( n − 1)} S ( x − µ0 ) n = ( 30, 48 − 31,5) 25 = −1, 7568 Với mẫu cụ thể trên, Tqs = s 2,903 Tiêu chuẩn kiểm định T = Với α = 0, 05 ⇒ tα /2 ( n − 1) = t0,025 ( 24 ) = 2, 064 99 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Miền bác bỏ Wα = {−∞; −2, 064} ∪ {2, 064; +∞} Vì Tqs ∉ Wα : Chấp nhận H0 Với mức ý nghĩa 5%, kết luận loại đạt tiêu chuẩn Kết luận Sai lầm khía cạnh kiến thức có tác động trở lại q trình học tập sinh viên Nhận biết sai lầm giải tập cụ thể vô quan trọng việc học tập mơn Tốn nói chung đặc biệt Lý thuyết xác suất thống kê ứng dụng với từ ngữ dễ gây hiểu lầm Thông qua việc giải tập, sinh viên nhận sai lầm chưa hiểu chất vấn đề; đồng thời, với chỉnh sửa giảng viên giúp sinh viên hiểu cách đầy đủ xác khái niệm liên quan đến lý thuyết, từ đó, giúp sinh viên khơng cịn mắc sai lầm giải tập TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn, NXB Đại học Sư phạm Chu Trọng Thanh (2006), “Sử dụng khái niệm công cụ Lý thuyết phát sinh nhận thức J Piaget vào mơn Tốn”, Tạp chí Giáo dục, số 207, tháng 2/2009 Lê Thị Hoài Châu (2000), “Những chướng ngại, khó khăn dạy học khái niệm xác suất”, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, số 24, tr 115 - 121 Nguyễn Bá Kim (2009), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học Sư phạm Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2010), Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Huy Hoàng (Chủ biên), Nguyễn Văn Phong, Nguyễn Trung Đông, Nguyễn Tuấn Duy, Dương Phương Liên, Võ Thị Bích Kh (2021), Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê ứng dụng, Trường Đại học Tài - Marketing Trần Vui (2017), Từ lý thuyết học đến thực hành giáo dục Toán, NXB Đại học Huế Trịnh Văn Biều (2010), Các phương pháp dạy học tích cực, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh 100 ... DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Sai lầm 2: Xác suất tổng tổng xác suất, nên sử dụng công thức cộng cho. .. THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Sai lầm 2: Có ý kiến khác cho rằng, chia... KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Sinh viên làm sau: Với số liệu này, tính thống