Hướng dẫn tự học môn lý thuyết xác suất và thống kê kinh tế quốc dân

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN & XÁC SUẤT▪ Giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất: phép thử, biến cố, kết cục ▪ Khái niệm về xác suất và một số cách tính xác suất theo cách cổ điển,

Thông tin học phần

▪ Tiếng Anh: Probability and Mathematical Statistics

▪ Số tín chỉ: 3 Thời lượng: 45 tiết

▪ Đánh giá:

• Điểm do giảng viên đánh giá: 10%

• Điểm kiểm tra giữa kỳ / bài tập lớn: 20%

• Điểm kiểm tra cuối kỳ (90 phút): 70%

▪ Không tham gia quá 20% số tiết không được thi

▪ Thông tin chi tiết về Giảng dạy và học tập học phần:

▪ www.mfe.edu.vn  Văn bản quan trọng  “Hướng

dẫn giảng dạy học tập học phần Lý thuyết xác suất

Thông tin giảng viên

▪ Học vị Họ tên giảng viên

▪ Giảng viên Bộ môn Toán kinh tế - Khoa Toán kinh tế

- ĐH Kinh tế quốc dân

▪ Email: (giangvien)@neu.edu.vn

▪ Trang web: www.mfe.edu.vn/(họ tên GV)

▪ [1] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Ngô Văn Thứ

(2015), Giáo trình Lý thuyết xác suất và Thống kê

toán, NXB ĐHKTQD.

▪ [2] Bùi Dương Hải (2016), Tài liệu hướng dẫn thực

hành Excel, Lưu hành hội bộ.

▪ [3] Paul Newbold, William L Carlson, Betty Thorne

(2010), Statistics for Business and Economics, 7th

edition, Pearson

▪ Website: www.mfe.edu.vn

Các nhà khoa học

▪ Thế kỉ 16: Galilei O Galile (Italia)

▪ Thế kỉ 17: Blaise Pascal, Piere de Fermat (Pháp),

Christian Huygens (Hà Lan), Jakob Bernoulli (Thụy Sĩ)

Bayes (Anh), Pierre Simon Laplace (Pháp)

Poisson (Pháp), Pafuni Chebyshev (Nga), Francis

Galton, Karl Pearson (Anh)

(Anh), Andrei Kolmogorov (Nga)

Phần 1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

▪ Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

▪ Chương 2 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

▪ Chương 3 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

▪ Chương 4 Biến ngẫu nhiên hai chiều

▪ Chương 5 Các định lý giới hạn

Phần 2 THỐNG KÊ TOÁN

▪ Chương 6 Cơ sở lý thuyết mẫu

▪ Chương 7 Ước lượng các tham số của biến ngẫu nhiên

Phần 1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

▪ Là môn toán học xác lập những quy luật tất nhiên sau

những hiện tượng mang tính ngẫu nhiên; từ đó cho phép

dự báo các hiện tượng ngẫu nhiên sẽ xảy ra thế nào

Gồm 5 chương:

▪ Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

▪ Chương 2 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

▪ Chương 3 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

▪ Chương 4 Biến ngẫu nhiên hai chiều

▪ Chương 5 Các định lý giới hạn

Chương 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN & XÁC SUẤT

▪ Giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác

suất: phép thử, biến cố, kết cục

▪ Khái niệm về xác suất và một số cách tính xác suất

theo cách cổ điển, theo thống kê

▪ Cách phân chia các biến cố phức tạp thành các biến

cố đơn giản hơn và tổng hợp thông tin để tính xác

suất biến cố phức tạp

▪ Một số định lý, công thức và áp dụng trong các bài

toán

NỘI DUNG CHƯƠNG 1

▪ 1.1 Phép thử và các loại biến cố

▪ 1.2 Xác suất của biến cố

▪ 1.3 Định nghĩa cổ điển về xác suất

▪ 1.4 Định nghĩa thống kê về xác suất

1.1 PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ

cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có thể xảy

ra hay không gọi là một phép thử (experiment)

▪ Hiện tượng có thể xảy ra  biến cố (event)

• Biến cố chắc chắn (certain): kí hiệu U hay 

• Biến cố không thể có (impossible): kí hiệu V hay 

• Biến cố ngẫu nhiên (random): kí hiệu A, B,… hay

1.2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách

quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện một phép

1.3 ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT

▪ Ví dụ: Gieo con xúc sắc đối xứng đồng chất, quan

tâm biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn

một phép thử là tỷ số giữa số kết cục thuận lợi cho A

và tổng số các kết cục duy nhất đồng khả năng có

thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó

( )A m

P

n

Tính chất của xác suất

▪ Xác suất của biến cố bất kỳ nằm trong đoạn [0, 1]

0  P(Biến cố)  1

▪ Xác suất của biến cố chắc chắn: P(U) = 1

▪ Xác suất của biến cố không thể có: P(V) = 0

▪ Xác suất của biến cố ngẫu nhiên A: 0 < P(A) < 1

▪ Còn ký hiệu biến cố chắc chắn là , biến cố không

thể có là 

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.3 Định nghĩa cổ điển về xác suất

Các ví dụ

▪ Ví dụ 1.1: Lớp có 40 sinh viên nữ, 20 sinh viên nam

Chọn ngẫu nhiên một người, tính xác suất được nữ

▪ Ví dụ 1.2: Giả sử xác suất sinh con gái và trai là như

nhau Tìm xác suất gia đình có 3 con thì

• (a) có đúng 2 con gái

• (b) có đúng 2 con gái nếu con đầu lòng là gái

• (c) có đúng 2 con gái nếu con đầu lòng là trai

Các ví dụ

học đại học về kinh tế, 20 người học về kỹ thuật, 10 người học cả hai, còn lại không ai học đại học

▪ Tìm xác suất chọn ngẫu nhiên 1 người thì người đó

• (a) Chỉ học ĐH đúng 1 ngành

• (b) Học ĐH ít nhất 1 ngành

• (c) Học 2 ngành nếu người đó có học đại học

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.3 Định nghĩa cổ điển về xác suất

Các ví dụ

chính phẩm và 4 phế phẩm

▪ (a) Tính m và n và xác suất để lấy 2 sản phẩm thì

được 2 chính phẩm, theo 3 cách sau:

• Lần lượt có hoàn lại

• Lần lượt không hoàn lại

• Cùng một lúc

▪ (b) Nếu lấy cùng lúc 3 sản phẩm, tính xác suất được

Ưu nhược điểm của định nghĩa cổ điển

▪ Ưu điểm:

• Không cần tiến hành phép thử

• Cho phép tính chính xác giá trị của xác suất

▪ Nhược điểm:

• Số cục duy nhất đồng khả năng có thể vô hạn

• Kết quả phép thử không phải các kết cục duy

nhất đồng khả năng

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.3 Định nghĩa cổ điển về xác suất

1.4 ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT

▪ (Statistical definition)

hiện biến cố trong n phép thử là tỷ số giữa số phép

thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thửđược thực hiện

( )A k

f

n

Định nghĩa

một phép thử là một số p không đổi mà tần suất f

xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ dao động

rất ít xung quanh nó khi số phép thử tăng lên vô hạn

• Số liệu của 10000 công nhân công nghiệp thấy có

1200 người có bệnh về phổi Tần suất là 0,12 vàxác suất được coi là xấp xỉ 0,12

 ( )A  ( )A

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.4 Định nghĩa thống kê

Ưu nhược điểm của định nghĩa thống kê

▪ Ưu điểm:

• Không đòi hỏi những điều kiện như ĐN cổ điển

• Dựa trên các quan sát thực tế

1.5 NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT LỚN VÀ NHỎ

▪ “Nguyên lý thực tế chắc chắn xảy ra của các biến cố

có xác suất lớn”: Nếu biến cố ngẫu nhiên có xác suất

gần bằng 1 thì thực tế có thể biến cố đó sẽ xảy ra

trong một phép thử

▪ “Nguyên lý thực tế không thể có của các biến cố có

xác suất nhỏ”: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ

thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến

cố đó sẽ không xảy ra

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.5

1.6 ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT

▪ Định nghĩa 1.6 Biến cố C là tích (intersection) của

hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi cả haibiến cố A và B cùng đồng thời xảy ra

• A = “lần 1 được CF”

• B = “lần 2 được CF”

Xác suất có điều kiện

điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A, hay xác suất của A trong điều kiện B

• Ký hiệu: P(A | B)

lượt 2 sản phẩm A, B là lần 1, 2 được chính phẩm

▪ Xác định P(B | A) khi:

• Lấy lần lượt có hoàn lại

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6 Định lý nhân xác suất

Tính độc lập

lập (independent) với nhau nếu việc xảy ra hay

không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xácsuất xảy ra của biến cố kia và ngược lại

▪ Hai biến cố không độc lập với nhau còn gọi là phụ

thuộc (dependent).

▪ Nếu A và B độc lập thì

P(A | B) = P(A)

và P(B | A) = P(B)

Định lý nhân xác suất

▪ Định lý: Xác suất của tích hai biến cố A và B bằng

tích xác suất của một trong hai biến cố đó với xác

suất có điều kiện của biến cố còn lại

Hệ quả

▪ Hệ quả: Nếu P(B) > 0 thì xác suất của biến cố A với

điều kiện biến cố B đã xảy ra bằng:

Ví dụ 1.8

▪ Hộp 6 chính phẩm 4 phế phẩm, lấy lần lượt 2 sản

phẩm từ hộp

▪ Tính xác suất “được hai chính phẩm” và xác suất

“lần 1 là chính phẩm trong điều kiện lần 2 là chínhphẩm” khi:

• (a) Lấy lần lượt không hoàn lại

• (b) Lấy lần lượt có hoàn lại

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6 Định lý nhân xác suất

Biến cố xung khắc

(mutually exclusive) với nhau nếu chúng không thể

đồng thời xảy ra trong một phép thử

▪ Ngược lại, hai biến cố gọi là không xung khắc

▪ Nếu A, B xung khắc thì: P(A.B) = 0

Mở rộng

biến cố A1, A2,…, An nếu A xảy ra khi và chỉ khi cả n

biến cố đó cùng đồng thời xảy ra

Mở rộng

▪ Định nghĩa 1.11 Các biến cố A1, A2,…, An gọi là độc

lập từng đôi với nhau nếu mỗi cặp hai trong n biến

cố đó độc lập nhau

▪ Định nghĩa 1.12 Các biến cố A1, A2,…, An gọi là độc

lập toàn phần nếu mỗi biến cố độc lập với mọi tổ

hợp bất kỳ của các biến cố còn lại

Mở rộng

▪ Hệ quả: Xác suất của tích n biến cố độc lập toàn

phần bằng tích các xác suất biến cố thành phần

P(A1.A2…An) = P(A1).P(A2 | A1)…P(A n | A1A2…An–1)

Mở rộng

▪ Định nghĩa 1.13 Nhóm n biến cố A1, A2,…, An được

gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố

nào trong nhóm này cũng xung khắc với nhau

▪ Ví dụ 1.10: Tổ có 3 sinh viên, chỉ ra nhóm biến cố

xung khắc từng đôi trong số sau:

A1 = “có đúng 1 nam”, A2 = “có đúng 2 nam”

A3 = “tất cả là nam”, A4 = “có ít nhất 1 nam”

1.7 ĐỊNH LÝ CỘNG XÁC SUẤT

của hai biến cố A và B, nếu C chỉ xảy ra khi có ít nhấtmột trong hai biến cố A và B xảy ra

▪ Ký hiệu C = A + B

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7

Định ly cộng xác suất

▪ Định lý: Xác suất của tổng hai biến cố bằng tổng xác

suất hai biến cố trừ đi xác suất của tích hai biến cố

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

bằng tổng xác suất của các biến cố đó

P(A + B) = P(A) + P(B)

Mở rộng

biến cố A1, A2,…, An nếu A xảy ra khi có ít nhất một

trong n biến cố ấy xảy ra.

• Ký hiệu:

từng đôi A1, A2,…, An bằng tổng xác suất của các biến

Ví dụ 1.11

▪ Một dự án cần qua hai vòng thẩm định độc lập nhau,

xác suất dự án bị trượt ở hai vòng lần lượt là 0,3 và0,4 Dự án bị loại nếu có vòng đánh trượt

▪ (a) Tính xác suất dự án bị loại

▪ (b) Xác suất dự án được thông qua bằng bao nhiêu?

Nhóm đầy đủ

▪ Định nghĩa 1.16 Các biến cố A1, A2,…, An được gọi

là một nhóm đầy đủ (universal set, partitions) các

biến cố nếu trong kết quả phép thử sẽ xảy ra một vàchỉ một trong các biến cố đó

▪ Hệ quả: Nếu các biến cố A1, A2,…, An tạo nên một

nhóm đầy đủ các biến cố thì tổng xác suất của chúngbằng 1

Biến cố đối lập

▪ Định nghĩa 1.17 Hai biến cố A và Ā gọi là đối lập

(complement) nếu chúng tạo nên một nhóm đầy đủ

các biến cố

bằng 1:

P(A) + P(Ā) = 1

Ví dụ 1.12

▪ Một người đi bán hàng ở hai nơi độc lập nhau Xác

suất bán được hàng lần lượt là 0,6 và 0,8

▪ Đặt A1 và A2 tương ứng với biến cố bán được hàng ở

nơi 1 và 2

▪ Viết biến cố và tính xác suất người đó

• (a) Bán được hàng ở cả hai nơi

Ví dụ 1.13

▪ Một người đấu thầu hai dự án Xác suất trúng thầu

dự án thứ nhất và thứ hai lần lượt là 0,5 và 0,4; xácsuất trúng thầu cả hai là 0,1

▪ Viết biến cố, lập bảng, và tính xác suất:

• (a) Trúng thầu ở ít nhất một dự án

• (b) Trúng thầu ở đúng một dự án

• (c) Trúng thầu dự án thứ hai, biết rằng trúng

thầu dự án thứ nhất

• (d) Trúng thầu dự án thứ hai, biết rằng không

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7 Định lý cộng xác suất

Ví dụ 1.14

▪ Một người làm hai bài tập kế tiếp Xác suất làm đúng

bài thứ nhất là 0,6 Nếu làm đúng bài thứ nhất thì

khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,9 nhưng nếu làmsai bài thứ nhất thì khả năng đúng bài thứ hai còn

1.8 CÔNG THỨC BERNOULLI

xác suất bán được ở mỗi nơi đều bằng 0,8 Tính xácsuất người đó:

▪ (a) Bán được ở đúng 1 nơi

▪ (b) Bán được ở đúng 2 nơi

▪ (c) Bán được ở ít nhất 1 nơi

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.8

Công thức Bernoulli

▪ Thực hiện n phép thử độc lập; trong mỗi phép thử

biến cố A hoặc Ā xảy ra với xác suất tương ứng là p

và 1 – p, được lược đồ (trial) Bernoulli

1.9 CÔNG THỨC XS ĐẦY ĐỦ - BAYES

▪ Ví dụ 1.16: Có hai hộp giống nhau: Hộp loại I chứa 6

chính phẩm và 4 phế phẩm; hộp loại II chứa 8 chínhphẩm và 2 phế phẩm

▪ (a) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó chọn 1 sản

phẩm Tính xác suất để đó là chính phẩm

▪ (b) Nếu chọn được chính phẩm, xác suất để hộp

được chọn là hộp I bằng bao nhiêu?

▪ (c) Nếu có 5 hộp, 2 hộp loại I và 3 hộp loại II, thì các

câu (a), (b) kết quả bao nhiêu?

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.9

Công thức XS đầy đủ - công thức Bayes

▪ Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong các

Công thức XS đầy đủ - công thức Bayes

▪ Giải ví dụ 1.16 bằng lập bảng

▪ Tiếp ví dụ 1.16: Nếu có hai hộp loại I (6 Chính

phẩm 4 phế phẩm), ba hộp loại II (8 chính phẩm 2 phế phẩm) và năm hộp loại III (5 chính phẩm 5 phế

TÓM TẮT CHƯƠNG 1

▪ Phép thử, biến cố ngẫu nhiên, xác suất P(A)

▪ Định nghĩa cổ điển: phương pháp liệt kê, sơ đồ, đại

số tổ hợp

▪ Định nghĩa thống kê

▪ Nguyên lý xác suất lớn và nhỏ

▪ Các quan hệ: tổng, tích, xung khắc, độc lập, nhóm

đầy đủ, đối lập, có điều kiện

▪ Các định lý: xác suất tổng, tích, đối lập, có điều kiện

▪ Công thức Bernoulli, xác suất đầy đủ, Bayes

Bài tập cơ bản trong Giáo trình

QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

▪ Biến ngẫu nhiên là khái niệm trung tâm của lý

thuyết xác suất

▪ Hiểu được khái niệm và cách phản ánh quy luật của

biến ngẫu nhiên, thông qua quy luật phân phối xácsuất

▪ Khái niệm về các tham số đặc trưng cho đại lượng

ngẫu nhiên trong kinh tế - kinh doanh

NỘI DUNG CHƯƠNG 2

▪ 2.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên

▪ 2.2 Quy luật phân phối xác suất

• Bảng phân phối xác suất

• Hàm phân phối xác suất

• Hàm mật độ xác suất

▪ 2.3 Tham số đặc trưng

• Kỳ vọng

• Phương sai, độ lệch chuẩn

Chương 2 Biến ngẫu nhiên – Quy luật…

2.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN NGẪU NHIÊN

(random variable) nếu trong kết quả của phép thử

nó sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể cócủa nó tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố

Phân loại biến ngẫu nhiên

▪ Biến ngẫu nhiên là rời rạc (discrete) nếu các giá trị

có thể có của nó lập thành một tập hợp hữu hạn

hoặc đếm được

• Ví dụ: Điểm số, Số người vào cửa hàng

• X = {x1, x2,…, x n }; n có thể = 

▪ Biến ngẫu nhiên là liên tục (continuous) nếu các giá

trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số

• Ví dụ: Thời gian, Khoảng cách, Năng suất

Chương 2 Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên

2.2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

▪ Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là

sự tương ứng giữa các giá trị có thể có của nó và cácxác suất tương ứng với các giá trị đó

▪ Ba cách thể hiện thông thường:

• Bảng phân phối xác suất (chỉ cho BNN rời rạc)

• Hàm phân phối xác suất (hàm phân phối tích lũy)

• Hàm mật độ xác suất (chỉ cho BNN liên tục)

Bảng phân phối xác suất

▪ Hay hàm khối lượng xác suất (mass probability)

Hàm phân bố xác suất F(x)

▪ Còn gọi là hàm tích lũy xác suất (cumulative

probability function)

hiệu là F(x), x ℝ, được tính bởi công thức:

1 2 3

0,8

0,3 1

0,3

0,5

0,2 Chương 2 Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.2 Quy luật phân phối xác suất

Tính chất của F(x)

▪ F(x) thuộc đoạn [0, 1]

▪ F(x) là hàm không giảm: x1 < x2 thì F(x1)  F(x2)

• Hệ quả: P(a  X < b) = F(b) – F(a)

• Hệ quả: Nếu X liên tục: P(X = x) = 0

• Hệ quả: Nếu X liên tục: P(a  X  b) = P(a  X < b)

= P(a < X  b) = P(a < X < b)

▪ F(–) = 0 và F(+) = 1

• Hệ quả: Nếu X chỉ nhận giá trị trong [a, b] thì F(x)

= 0 với x  a và F(x) = 1 với x > b

Chương 2 Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.2 Quy luật phân phối xác suất

Ví dụ 2.2

▪ Minh họa ví dụ

▪ Hàm F(x) có dạng

x f(x)

2.3 CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

▪ Các tham số đặc trưng xu thế trung tâm: Kỳ vọng

toán, trung vị, mốt

▪ Các tham số đặc trưng độ phân tán: Phương sai, độ

lệch chuẩn, hệ số biến thiên

▪ Các tham số đặc trưng khác: Giá trị tới hạn, Hệ số

nhọn, hệ số bất đối xứng

▪ Tại đây tập trung: Kỳ vọng, Phương sai, Độ lệch

chuẩn, Giá trị tới hạn

Chương 2 Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.3

Kỳ vọng toán

BNN X, ký hiệu là E(X), được tính :