Dang11 giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình

1 Website: tailieumontoan.com CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI XI Dạng 11: Giải tốn cách lập hệ phương trình, phương trình A Bài tốn Bài 1: Một ruộng hình chữ nhật, giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi; giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta hình vng Tính diện tích ruộng ban đầu Bài 2: Một người mang trứng chợ bán Tổng số trứng bán tính sau: Ngày thứ 1 số trứng lại Ngày thứ hai bán 16 trứng số trứng lại 8 Ngày thứ ba bán 24 trứng số trứng lại Cứ ngày cuối bán bán trứng hết trứng Biết số trứng bán ngày Hỏi tổng số trứng người bán bán hết ngày ? Bài 3: Một người từ A đến B với vận tốc thời gian dự định trước Nếu người nhanh 10km tới B sớm dự định 36 phút; người chậm 10km tới B muộn dự định 54 phút Hỏi quãng đường AB dài km? Bài 4: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên hai lần số đo diện tích ba lần số đo chu vi Bài 5: An khởi hành từ Sài Gòn Biên Hòa.Sau phút, Bình Cường khởi hành từ Biên Hòa Sài Gòn.Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm C gặp bình ở địa điểm D Tính vận tốc của người, biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD  km ; Vận tốc của An 1,5 lần vận tốc của Bình vận tốc của Cường Bài 6: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc DB , tổng cộng dài 30 km Một người từ A đến B từ B A hết tất 25 phút Tính quãng đường nằm ngang, biết vận tốc lên dốc (cả lẫn về) 10 km / h ; vận tốc xuống dốc (cả lẫn về) 20 km / h ; vận tốc đoạn đường nằm ngang 15 km / h Bài 7: An khởi hành từ Sài Gòn Biên Hòa Sau phút , Bình Cường khởi hành từ Biên Hòa Sài Gòn Trên đường , An gặp Cường ở địa điểm C gặp bình ở địa điểm D Tính vận tốc của người , biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD  km ; Vận tốc của An 1,5 lần vận tốc của Bình vận tốc của Cường Bài 8: Điểm số trung bình của vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn 8,35 điểm Kết cụ thể ghi sau, có ba bị mờ ở chữ số hàng đơn vị không đọc (tại vị trí đánh dấu *) Điểm số của lần bắn 10 Số lần bắn 2* 40 1* 1* Em tìm lại chữ số hàng đơn vị ba ô Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài 9: An khởi hành từ Sài Gòn Biên Hịa Sau phút , Bình Cường khởi hành từ Biên Hòa Sài Gòn Trên đường , An gặp Cường ở địa điểm C gặp bình ở địa điểm D Tính vận tốc của người , biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD  km ; Vận tốc của An 1,5 lần vận tốc của Bình vận tốc của Cường Bài 10: Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40 km/h Lúc đầu tơ với vận tốc đó, cịn 60 km nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h qng đường cịn lại Do tơ đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đường AB Bài 11: Cho tam giác vng có độ dài cạnh số ngun số đo chu vi hai lần số đo diện tích Tìm độ dài cạnh của tam giác Bài 12: Trường trung học phổ thơng A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đồn 26 – Biết có n đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội đấu với trận) Đội thắng điểm, đội hòa điểm đội thua không điểm Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa tổng số điểm của đội 336 Hỏi có tất đội bóng tham gia? B Lời giải Bài 1: Một ruộng hình chữ nhật, giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi; giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta hình vng Tính diện tích ruộng ban đầu Lời giải Gọi chiều rộng chiều dài của ruộng hình chữ nhật x ; y với ( x  ; y  ) Nếu giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi nên ta có pt  x  1  y    xy (1) Nếu giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta hình vng nên ta có pt x   y  � x  y  (2) Thế (2) vào (1) ta có:  y  8  y    y  y   � y  16 ; x  Vậy diện tích ruộng ban đầu là: 16.9=144 ( m ) Bài 2: Một người mang trứng chợ bán Tổng số trứng bán tính sau: Ngày thứ 1 số trứng lại Ngày thứ hai bán 16 trứng số trứng lại 8 Ngày thứ ba bán 24 trứng số trứng lại Cứ ngày cuối bán bán trứng Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com hết trứng Biết số trứng bán ngày Hỏi tổng số trứng người bán bán hết ngày ? Lời giải Gọi x số trứng bán  x �N , x   , thì: x 8 x 8� � x � 16   � Số trứng bán ngày thứ hai : � � 16  Số trứng bán ngày thứ :  Theo ta có phương trình : x 8� � x � 16   � x 8 � � 8  16  8 Giải phương trình ta được: x = 392 Vậy tổng số trứng bán 392 trứng Số trứng bán ngày  392   56 Số ngày 392 : 56 = ngày Bài 3: Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Một người từ A đến B với vận tốc thời gian dự định trước Nếu người nhanh 10km tới B sớm dự định 36 phút; người chậm 10km tới B muộn dự định 54 phút Hỏi quãng đường AB dài km? Lời giải Đổi 36 phút  0, 6h ; 54 phút  0,9h Gọi vận tốc dự định là: v (km / h)(v  0) Gọi thời gian dự định là: t (h)(t  0) Nếu người thêm đc 10km vận tốc là: (v  10)(km / h) Khi người đến B sớm dự định 36 phút nên thời gian người là: (t  0, 6)(h) Vì qng đường AB khơng đổi nên ta có phương trình là: (v  10)(t  0, 6)  v.t (1) Nếu người chậm 10km vận tốc là: (v  10)( km / h) Khi người đến B muộn dự định 54 phút nên thời gian người là: (t  0,9)(h) Vì qng đường AB khơng đổi nên ta có phương trình là: (v  10)(t  0,9)  v.t (2) (v  10)(t  0, 6)  v.t � Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: � (v  10)(t  0,9)  v.t � vt  10t  0, 6v   v.t � �� vt  10t  0,9v   v.t � �10t  0, 6v  �� 10t  0,9v  � t  3, � �� �v  50 Vậy quãng đường AB là: 50.3,  180( km) Bài 4: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số ngun hai lần số đo diện tích ba lần số đo chu vi Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Lời giải Gọi a, b, c cạnh huyền cạnh góc vng của  vng Khi đó: a, b, c  N a  5; b, c   a b  c (1) Ta có hệ phương trình:   bc 3(a  b  c) ( 2) (1): a2 = b2 + c2 = (b + c)2 – 2bc = (b + c)2 – 6(a + b + c)  a2 + 6a + = (b + c)2 – 6(b + c) +  (a + 3)2 = (b + c – 3)2  a+3=b+c–3  a=b+c–6 (2): bc = 3(b + c – + b + c) = 3(2b + 2c – 6)  (b – 6)(c – 6) = 18 Nên ta có trường hợp sau: b – = c – = 18 b = 7; c = 24 a = 25 b – = c – = b = 8; c = 15 a = 17 b – = c – = b = 9; c = 12 a = 15 Bài 5: An khởi hành từ Sài Gịn Biên Hịa.Sau phút, Bình Cường khởi hành từ Biên Hịa Sài Gòn.Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm C gặp bình ở địa điểm D Tính vận tốc của người, biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD  km ; Vận tốc của An 1,5 lần vận tốc của Bình vận tốc của Cường Lời giải x , y , z Gọi vận tốc của An, Bình, Cường Suy y  x z  x 3 Gọi S quãng đường mà An gặp cường.Kết hợp với CD  km suy quãng đường mà An gặp Bình 39   S    33  S Theo đề ta có hệ phương trình �S 39  S  �x  12 x � � Giải hệ cho ta x  48 vậy vận tốc của An 48km / h vận tốc của Bình � �S   33  S  �x 12 x � � 32km / h vận tốc của Cường 64km / h Bài 6: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc DB , tổng cộng dài 30 km Một người từ A đến B từ B A hết tất 25 phút Tính quãng đường nằm ngang, biết vận tốc lên dốc (cả lẫn về) 10 km / h ; vận tốc xuống dốc (cả lẫn về) 20 km / h ; vận tốc đoạn đường nằm ngang 15 km / h Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com s2 C D s3 s1 A B AB=30 km Gọi AC  s1 ; CD  s2 ; BD  s3 s1  0; s2  0; s3  Ta có: s1  s2  s3  30  km  Gọi vận tốc lên, vận tốc ngang, xuống v1 ; v2 ; v3 53  h Thời gian là: 4h 25� 12 s1 s2 s3 s1 s2 s3 53 Theo đề bài, ta có phương trinh:       v1 v2 v3 v3 v2 v1 12 �1 � �1 � s 53 � s1 �  � s3 �  �  �v1 v3 � �v1 v3 � v2 12 53 �1 � �1 � 2s � s1 �  � s3 �  �  10 20 � �20 10 � 15 12 � 53 �1 � s �  s1  s3  �  �  10 20 � 15 12 � 2s 53 �  30  s2   20 15 12 � s2   km  Vậy quãng đường ngang CD  km  Bài 7: An khởi hành từ Sài Gịn Biên Hịa Sau phút , Bình Cường khởi hành từ Biên Hịa Sài Gòn Trên đường , An gặp Cường ở địa điểm C gặp bình ở địa điểm D Tính vận tốc của người , biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD  km ; Vận tốc của An 1,5 lần vận tốc của Bình vận tốc của Cường Lời giải Gọi x, y, z vận tốc của An , Bình , Cường Suy y  x z  x 3 Gọi S quãng đường mà An gặp cường Kết hợp với CD  km suy quãng đường mà An gặp Bình 39   S    33  S Theo đề ta có hệ phương trình Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com �S 39  S  �x  12 x � � Giải hệ cho ta x  48 vậy vận tốc của An 48km / h vận tốc của Bình � �S   33  S  �x 12 x � � 32km / h vận tốc của Cường 64km / h Bài 8: Điểm số trung bình của vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn 8,35 điểm Kết cụ thể ghi sau, có ba bị mờ ở chữ số hàng đơn vị khơng đọc (tại vị trí đánh dấu *) Điểm số của lần bắn 10 Số lần bắn 2* 40 1* 1* Em tìm lại chữ số hàng đơn vị ba Lời giải Tổng số ô bị mờ số 100   40     44 Tổng số điểm 100 lần bắn 8, 35.100  835 Tổng số điểm vị trí khơng bị số 9.40  6.9  5.3  449 Suy tổng số điểm bắn vị trí ô bị 835  449  386 , số chẵn Suy ô điểm số lần bắn có thể số chẵn, có khả 10, 12, 14 Gọi x, y số lần bắn 10 điểm điểm ; 20  x 30;10 x 20 Điều kiện: x, y ΣN� Trường hợp 1: Ơ điểm nhận giá trị 10, theo đề ta có hệ phương trình � x  y  34 � x  y  34 �x  22 � �� �� thỏa điều kiện � 10 x  y  316 �y  12 �449  10 x  y  70  835 � Trường hợp 2: Ô điểm nhận giá trị 12, theo đề ta có hệ phương trình � x  y  32 � x  y  32 �x  23 � �� �� loại � 10 x  y  316 �y  �449  10 x  y  84  835 � Trường hợp 3: Ô điểm nhận giá trị 14, x = 20 y = 10 suy Tổng số điểm bắn là: 20.10  9.40  8.10  7.14  6.9  5.7  827 không phù hợp Vậy chữ số hàng đơn vị ô 10 điểm, điểm, điểm 2, 2, Bài 9: An khởi hành từ Sài Gòn Biên Hòa Sau phút , Bình Cường khởi hành từ Biên Hòa Sài Gòn Trên đường , An gặp Cường ở địa điểm C gặp bình ở địa điểm D Tính vận tốc của người , biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD  km ; Vận tốc của An 1,5 lần vận tốc của Bình vận tốc của Cường Lời giải Gọi x, y, z vận tốc của An , Bình , Cường Suy y  x z  x 3 Gọi S quãng đường mà An gặp cường Kết hợp với CD  km suy quãng đường mà An gặp Bình 39   S    33  S Theo đề ta có hệ phương trình Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com �S 39  S  �x  12 x � � Giải hệ cho ta x  48 vậy vận tốc của An 48km / h vận tốc của Bình � �S   33  S  �x 12 x � � 32km / h vận tốc của Cường 64km / h Bài 10: Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40 km/h Lúc đầu tơ với vận tốc đó, cịn 60 km nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h quãng đường lại Do tơ đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đường AB Lời giải Gọi x quãng đường AB (x>0) Quãng đường ô tô với vận tốc ban đầu : Quãng đường ô tô với vận tốc tăng lên Thời gian ô tô lúc ban đầu là: x  60 x  60 x  120 80 Thời gian ô tô lúc tăng vận tốc là: x  120 100 Theo đề ta có phương trình: x  120 x  120 x   1 80 100 40 Giải phương trình x = 280 (thỏa mãn điều kiện) Vậy quãng đường AB dài 280 km Bài 11: Cho tam giác vuông có độ dài cạnh số nguyên số đo chu vi hai lần số đo diện tích Tìm độ dài cạnh của tam giác Lời giải Gọi độ dài cạnh của tam giác vuông a, b, c (a độ dài cạnh huyền) Theo giả thiết định lý Pitago, ta có: � a b  c  bc  1 � �2 2 � �b  c  a  2 � b2  c2  2bc  2 a b  c  a2 �  b  c  1   a  1 �  b  c  1   a  1  2 2 � (b  c  1 a  1)(b  c  1 a  1)  � (b  c  a)(b  c  a  2)  � b c  a �� a b  c   loa� i � Thế a = b + c - vào (2) ta được: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 +bc - 2b - 2c =0 �  b-2  c  2  Website: tailieumontoan.com Vì b, c số nguyên dương nên ta có trường hợp sau: Trường hợp b - c-2 B c a Kết luận 1 Nhận 2 Nhận -1 -2 -1 Loại -2 -1 -1 Loại Vậy tam giác cần tìm có cạnh 3; 4; Bài 12: Trường trung học phổ thông A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đồn 26 – Biết có n đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội đấu với trận) Đội thắng điểm, đội hòa điểm đội thua không điểm Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa tổng số điểm của đội 336 Hỏi có tất đội bóng tham gia? Lời giải Gọi số trận hòa x ( x �N * ) � tổng số điểm của trận hịa 2x, (1 trận hịa có đội, đội điểm) Theo giả thiết số trận thắng 4x � tổng số điểm của trận thắng 12x Tổng số điểm đội 336 � 2x + 12x = 336 � x = 24 Vậy ta có tất 24 + 4.24 = 120 trận đấu diễn Từ giả thiết có n đội, đội đấu với n – đội lại nên số trận đấu diễn n(n – 1) , tính trận lượt lượt về, giả thiết đội đấu với lần nên tổng số trận n(n  1) giảm nửa, có tất trận đấu n(n  1)  120 � n(n  1)  240 � n  16, (n  15 loại) Do đó: Vậy có tất 16 đội bóng tham gia Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ... có phương trình : x 8� � x � 16   � x 8 � � 8  16  8 Giải phương trình ta được: x = 392 Vậy tổng số trứng bán 392 trứng Số trứng bán ngày  392   56 Số ngày 392 : 56 = ngày Bài 3: Giải. .. 392 trứng Số trứng bán ngày  392   56 Số ngày 392 : 56 = ngày Bài 3: Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Một người từ A đến B với vận tốc thời gian dự định trước Nếu người nhanh 10km... hệ phương trình � x  y  34 � x  y  34 �x  22 � �� �� thỏa điều kiện � 10 x  y  316 �y  12 �449  10 x  y  70  835 � Trường hợp 2: Ô điểm nhận giá trị 12, theo đề ta có hệ phương trình