XSTK tổng hợp công thức xác xuất thống kê UIT

[XSTK] - Ban học tập Khoa học Kỹ thuật Thơng tin CƠNG THỨC ƠN THI CUỐI KỲ XSTK I VECTOR NGẪU NHIÊN CHIỀU Vector ngẫu nhiên chiều rời rạc: (Xem thêm video Lý thuyết + Bài tập ứng dụng tại: STUDY FROM HOME | [XSTK] Vector ngẫu nhiên rời rạc | BHT Khoa học & Kỹ thuật Thông tin YouTube) Vector ngẫu nhiên chiều liên tục: 2.1 Hàm mật độ xác suất đồng thời hàm phân bố xác suất đồng thời: - Nếu hàm phân bố xác suất đồng thời 𝐹(𝑥, 𝑦) liên tục tuyệt đối ℝ2 hàm mật độ xác suất đồng thời xác định: 𝜕 𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑥𝜕𝑦 - Tương đương với là: 𝑥 𝑦 𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝑓(𝑢, 𝑣)𝑑𝑢𝑑𝑣 −∞ −∞ - Tính chất hàm mật độ xác suất đồng thời: 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0, ∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 { ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ℝ2 2.2 Hàm mật độ xác suất thành phần (Hàm mật độ xác suất biên): - Hàm mật độ xác suất thành phần theo BNN X: +∞ 𝑥 𝑓𝑋 (𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 ⇒ −∞ 𝑃(𝑋 < 𝑥) = ∫ 𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 −∞ [XSTK] - Ban học tập Khoa học Kỹ thuật Thông tin - Hàm mật độ xác suất thành phần theo BNN Y: 𝑦 +∞ 𝑓𝑌 (𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑃(𝑌 < 𝑦) = ∫ 𝑓𝑌 (𝑦)𝑑𝑦 ⇒ −∞ −∞ - BNN độc lập với khi: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑋 (𝑥)𝑓𝑌 (𝑦) 2.3 Hàm mật độ xác suất có điều kiện: II 𝑓𝑋 (𝑥|𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑓𝑌 (𝑦) 𝑓𝑌 (𝑦|𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑓𝑋 (𝑥) ƯỚC LƯỢNG Ước lượng trung bình: Ta có: 𝑋̅: Trung bình mẫu 𝜇: Trung bình tổng thể 𝑠 (hoặc 𝜎): Độ lệch chuẩn mẫu (hoặc Phương sai mẫu hiệu chỉnh) Cách tính s: 𝑠 = √ (𝑛−1) 𝑡𝛼 𝑛−1 ∑𝑛𝑖=1 𝑛𝑖 (𝑋𝑖 − 𝑋̅)2 : Giá trị tới hạn Student − 𝛼: Độ tin cậy Công thức: 𝑋̅ − 𝑠 √ (𝑛−1) 𝑡𝛼 𝑛 2 < 𝜇 < 𝑋̅ + 𝑠 √ (𝑛−1) 𝑡𝛼 𝑛 [XSTK] - Ban học tập Khoa học Kỹ thuật Thông tin Lưu ý: (𝑛−1) (𝑛−1) - Nếu 𝑛 ≥ 30 tra 𝑡𝛼 bảng Laplace với 𝜑 (𝑡𝛼 2 (𝑛−1) Ngược lại tra 𝑡𝛼 )= 1−𝛼 bảng Student - Thường đề cho hai gái trị 𝜎 𝑠 có hai ưu tiên dùng 𝜎 Ước lượng tỉ lệ: 𝑓: tần suất/ tỉ lệ mẫu 𝑛: kích thước mẫu 𝑡1−𝛼 : Giá trị tới hạn chuẩn hóa (có thể tra bảng Laplace thông qua 𝜑 (𝑡1−𝛼 ) = 2 Công thức: III 𝑓− √𝑓(1−𝑓) √𝑛 𝑡1−𝛼 < 𝑝 < 𝑓 + √𝑓(1−𝑓) √𝑛 𝑡1−𝛼 KIỂM ĐỊNH Lưu ý: Về chất cơng thức giống công thức train Youtube/ Fanpage, khác chút cách thể Các bạn giải cách cũ hay cách Về việc sử dụng bảng dùng bảng One Tail tức bảng nằm cuối slide Ở bảng này: - 𝜇 kiểm định giá trị trung bình - 𝑝 kiểm định tỉ lệ 1−𝛼 [XSTK] - Ban học tập Khoa học Kỹ thuật Thông tin 𝑯𝟎 - Tiêu chuẩn 𝑯𝟏 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0 𝑥̅ − 𝜇0 𝑠 √𝑛 𝑇= 𝐻0 : 𝑝 = 𝑝0 𝑍= 𝑓 − 𝑝0 √𝑝0 (1 − 𝑝0 ) 𝑛 Miền bác bỏ 𝑾𝜶 (𝑛−1) 𝜇 ≠ 𝜇0 {𝑇: |𝑇| > 𝑡𝛼 𝜇 > 𝜇0 {𝑇: 𝑇 > 𝑡𝛼 𝜇 < 𝜇0 {𝑇: 𝑇 < −𝑡𝛼 } (𝑛−1) } (𝑛−1) 𝑝 ≠ 𝑝0 {𝑍: |𝑍| > 𝑧𝛼 } 𝑝 > 𝑝0 {𝑍: 𝑍 > 𝑧𝛼 } 𝑝 < 𝑝0 {𝑍: 𝑍 < −𝑧𝛼 } } Lưu ý phần 𝒕𝜶 𝒛𝜶 : • Nếu 𝑛 < 30, tra bảng Student bình thường • Nếu 𝑛 > 30: o 𝑡𝛼 = 𝑡1−𝛼 2 ▪ Ví dụ 𝑡0,05 = 𝑡1−0,05 = 𝑡0,475 tra bảng Laplace 2 ▪ (Xem thêm phần Giải mẫu) o 𝑡𝛼 = 𝑡1−0,5−𝛼 ▪ Ví dụ 𝑡0,05 = 𝑡1−0,5−0,05 = 𝑡0,45 tra bảng Laplace ▪ (Xem thêm phần Giải mẫu) GIẢI MẪU Bài 1: Trong điều kiện chăn ni bình thường, lượng sữa trung bình bị 14kg/ngày Nghi ngờ điều kiện chăn nuôi làm cho lượng sữa giảm [XSTK] - Ban học tập Khoa học Kỹ thuật Thông tin xuống, người ta 116 điều tra ngẫu nhiên 25 tính lượng sữa trung bình ngày 12,5 độ lệch tiêu chuẩn 2,5 Với mức ý nghĩa 5% Hãy kết luận điều nghi ngờ nói Giả thiết lượng sữa bị biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Giải: Bài thuộc kiểm định giá trị trung bình Xử lý số liệu, ta được: 𝑛 = 25 (𝑛 nhỏ) 𝜇0 = 14 𝑠 = 2,5 𝛼 = 0,05 𝑥̅ = 12,5 𝐻 : 𝜇 = 𝜇0 Xét { 𝐻1 : 𝜇 < 𝜇0 Ta đặt 𝐻1 : 𝜇 < 𝜇0 kiểm tra xem điều kiện chăn ni có làm cho lượng sữa giảm hay không (phần tô đậm đề) (𝑛−1) Xét miền bác bỏ với cơng thức: Ta tìm đc: (𝑛−1) } 24 𝑡0,05 = 1,711 (bảng Student) 𝑇= Vì 𝑇 < −𝑡𝛼 {𝑇: 𝑇 < −𝑡𝛼 𝑥̅ −𝜇0 𝑠 √𝑛 = 12,5−14 2,5 √25 = −3 (−3 < 1,711) Nên bác bỏ 𝐻0 (hay nói cách khác chấp nhận 𝐻1 ) Vậy điều kiện chăn nuôi làm cho lượng sữa giảm xuống Bài 2: Đối với người nước ngoài, lượng huyết sắc tố trung bình 138.3g/l Khám cho 80 cơng nhân nhà máy có tiếp xúc hố chất, thấy huyết sắc tố trung bình 120g/l; S 15g/l Từ kết trên, kết luận lượng huyết sắc tố trung bình cơng nhân nhà máy hố chất thấp mức chung hay khơng ? Kết luận với mức ý nghĩa 5% Giải: [XSTK] - Ban học tập Khoa học Kỹ thuật Thông tin Xử lý số liệu: 𝜇0 = 138,3 𝑠 = 15 𝑛 = 80 (𝑛 lớn) 𝛼 = 0,05 𝑥̅ = 120 Ta thấy: “có thể kết luận lượng huyết sắc tố trung bình cơng nhân nhà máy hố chất thấp mức chung hay không” 𝐻 : 𝜇 = 𝜇0 Nên { 𝐻1 : 𝜇 < 𝜇0 Miền bác bỏ: (𝑛−1) {𝑇: 𝑇 < −𝑡𝛼 } 79 −𝑡0,05 = −𝑡1−0,5−0,05 = −𝑡0,45 = −1,645 (Vì 𝑛 lớn, Ta tìm được: khó hiểu xem lại phần lưu ý sau bảng cơng thức) 𝑇= (𝑛−1) Vì 𝑇 < −𝑡𝛼 𝑥̅ −𝜇0 𝑠 √𝑛 = 120−138,3 15 √80 ≈ −10,91 nên bác bỏ 𝐻0 Vậy huyết sắc tố công nhân nhà máy thấp mức chung Bài 3: Giám đốc xí nghiệp cho biết lương trung bình cơng nhân thuộc xí nghiệp 760 ngàn đ/tháng Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân thấy lương trung bình 700 ngàn đ/tháng, với độ lệch chuẩn σ = 80 Lời báo cáo giám đốc có tin cậy khơng, với mức có ý nghĩa 5% Giải: Xử lý số liệu: 𝜇0 = 760 𝑛 = 36 (𝑛 lớn) σ = 80 𝛼 = 0,05 “Lời báo cáo giám đốc có tin cậy không” Nên xét: 𝐻 : 𝜇 = 𝜇0 { 𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0 Miền bác bỏ: (𝑛−1) {𝑇: |𝑇| > 𝑡𝛼 } Ta tìm được: (𝑛−1) 𝑡𝛼 = 𝑡1−𝛼 = 𝑡0,475 = 1,96 𝑥̅ = 700 [XSTK] - Ban học tập Khoa học Kỹ thuật Thơng tin 𝑇= (𝑛−1) Vì |𝑇| > 𝑡𝛼 𝑥̅ − 𝜇0 700 − 760 = = −4,5 𝑠 80 √𝑛 √36 nên bác bỏ 𝐻0 Vậy lời báo cáo giám đốc không đáng tin cậy Bài 4: Một cửa hàng thực phẩm nhận thấy thời gian vừa qua trung bình khách hàng mua 25 ngàn đồng thực phẩm ngày Nay cửa hàng chọn ngẫu nhiên 15 khách hàng thấy trung bình khách hàng mua 24 ngàn đồng ngày phương sai mẫu hiệu chỉnh 𝑠 = (2 𝑛𝑔à𝑛 đồ𝑛𝑔)2 Với mức ý nghĩa 5%, thử xem có phải sức mua khách hàng có thay đổi khơng Giải: Xử lý số liệu: 𝑠 = (Bởi 𝑠 = (2 𝑛𝑔à𝑛 đồ𝑛𝑔)2 nên s = (ngàn đồng) (Đừng nhầm lẫn 𝑠 = √2) 𝑛 = 15 (𝑛 𝑛ℎỏ) 𝜇0 = 25 𝑥̅ = 24 “Sức mua khách hàng có thay đổi khơng” 𝐻 : 𝜇 = 𝜇0 Nên ta xét: { 𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0 Miền bác bỏ: (𝑛−1) {𝑇: |𝑇| > 𝑡𝛼 } Ta tính được: (𝑛−1) 𝑡𝛼 𝑇= (𝑛−1) Vì |𝑇| < 𝑡𝛼 (14) = 𝑡0,025 = 2,145 𝑥̅ − 𝜇0 24 − 25 = ≈ −1,9365 𝑠 √𝑛 √15 nên bác bỏ 𝐻0 Vậy sức mua khách hàng không thay đổi 𝛼 = 0,05 [XSTK] - Ban học tập Khoa học Kỹ thuật Thơng tin Bởi làm trường hợp Kiểm định giá trị trung bình (gần phủ tồn bộ) nên làm Kiểm định tỉ lệ tương tự Bài 5: Theo nguồn tin tỉ lệ hộ dân thích xem dân ca Tivi 80% Thăm dò 36 hộ dân thấy có 25 hộ thích xem dân ca Với mức có ý nghĩa 5% Kiểm định xem nguồn tin có đáng tin cậy khơng? Giải: Bài thuộc kiểm định tỉ lệ Xử lý số liệu: 𝑛 = 36 𝑓= 25 𝛼 = 0,05 36 𝑝0 = 0,8 Kiểm tra nguồn tin có đáng tin cậy? Nên ta xét: { 𝐻0 : 𝑝 = 𝑝0 𝐻1 : 𝑝 ≠ 𝑝0 Miền bác bỏ: {𝑍: |𝑍| > 𝑧𝛼 } Ta tính được: 𝑍= 𝑓−𝑝0 𝑝 (1−𝑝0 ) √ = 25 −0,8 36 0,8.0,2 36 = −1,5833 √ 𝑛 𝑧𝛼 = 𝑧0,05 = 𝑡0,475 = 1,96 2 Vì |𝑍| < 𝑧𝛼 nên khơng thể bác bỏ 𝐻0 Vậy nguồn tin đáng tin cậy [XSTK] - Ban học tập Khoa học Kỹ thuật Thông tin [XSTK] - Ban học tập Khoa học Kỹ thuật Thông tin 10 [XSTK] - Ban học tập Khoa học Kỹ thuật Thông tin TÀI LIỆU THAM KHẢO Giáo trình Xác suất thống kê, trường Đại học Công nghệ Thông Tin – ĐHQG TPHCM Bài tập Xác suất thống kê, ThS Nguyễn Trung Đông Eureka! Uni 11 ... tra bảng Laplace thông qua