Lấy mẫu nén (Compressed Sampling)

Lấy mẫu nén (Compressed Sampling)

Lời Nói Đầu

Trong cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật diễn ra mạnh mẽ như ngày nay, các phát minh,các nghiên cứu mới đã và đang làm cho cuộc sống của con người trở nên tiến bộ hơn, khoahọc không ngừng phát triển, các lý thuyết cũ được thay thế bằng những lý thuyết mới hơn, vànhững lý thuyết mới hơn nữa sẽ dần thay thế nó.

Lấy mẫu nén (Compressed Sampling) là một trong những lý thuyết mới nhất trong lĩnh vựcxử lý tín hiệu hiện nay, được công bố năm 2006 là một bước ngoặt quan trọng trong lĩnh vựcnày, dựa trên lý thuyết này, trong nhiều trường hợp, chúng ta có thể thực hiện được việc lấymẫu tín hiệu với tốc độ thấp hơn tốc độ lấy mẫu Nyquist - một trong những tiêu chuẩn đượccoi là chuẩn mực trong xử lý tín hiệu - mà vẫn đảm bảo được việc khôi phục lại tín hiệu banđầu.

Qua 2 năm phát triển, lý thuyết này đã được nhiều tác giả quan tâm và hoàn thiện hơn.Hiện nay lấy mẫu nén đang được tiếp tục nghiên cứu và phát triển về cả lý thuyết cũng nhưứng dụng tại nhiều trường đại học trên thế giới.

Với mục đích tiếp cận nhanh chóng lĩnh vực mới mẻ này, trong khóa luận tốt nghiệp củamình tôi tập trung nghiên cứu phương pháp lấy mẫu nén trên hai mảng lớn:

• Nghiên cứu lý thuyết lấy mẫu nén và những thành tựu đã đạt được cho đếnthời điểm hiện tại.

• Nghiên cứu phát triển lý thuyết này với một ý tưởng mới về phương pháp lấymẫu nén dựa trên bộ lọc hỗn loạn (Chaos filter) để đóng góp vào những kếtquả đã đạt được.

Những nghiên cứu lý thuyết về lấy mẫu nén và những thành tựu đã đạt được cho đến thời điểmhiện tại được trích dẫn và tham khảo từ nhiều bài báo được công bố bởi nhiều tác giả trên thếgiới như: Candès, Romberg, Baraniuk

Tôi xin cam đoan việc nghiên cứu phát triển mới (Chaos filter) là kết quả nghiên cứu củatôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Nguyễn Linh Trung Không có các nghiên cứu đã đượcxuất bản từ trước hay viết bởi người khác.

Xin cảm ơn sự hướng dẫn khoa học của TS Nguyễn Linh Trung, sự góp ý hướng dẫn củaGS Huỳnh Hữu Tuệ, TS Lê Vũ Hà và sự giúp đỡ của các thành viên Bộ môn Xử Lý ThôngTin giúp tôi hoàn thành khóa luận này.

Hà Nội, Ngày 22 tháng 5 năm 2008

Mục lục

1.1 Các Phương pháp nén cổ điển và nhược điểm của chúng 4

1.1.1 Tín hiệu thưa và có thể nén 4

1.1.2 Các phương pháp nén cổ điển và nhược điểm 5

1.2 Phương pháp lấy mẫu nén 5

1.3 Hai vấn đề chính trong lấy mẫu nén 6

IKỹ Thuật Lấy Mẫu Nén72 Lý thuyết về lấy mẫu nén 72.1 Phương pháp lấy mẫu 7

2.2 Điều kiện để khôi phục được tín hiệu 9

2.3 Phương pháp khôi phục tín hiệu 9

2.3.1 Thuật toán khôi phục L1-minimization 10

2.3.2 Thuật toán khôi phục OMP 12

3 Ứng dụng của lý thuyết lấy mẫu nén 153.1 Trong nén dữ liệu 15

3.2 Trong truyền Thông 17

4 Mô phỏng lấy mẫu nén 194.1 Nén tín hiệu thưa trong miền thời gian 19

4.2 Nén ảnh sử dụng CS 19

4.3 Nén tín hiệu thưa trong miền tần số 21

IIPhát triển lý thuyết lấy mẫu nén trên cơ sở bộ lọc hỗn độn(Chaos filter)235 Giả ngẫu nhiên và hỗn độn 235.1 Giới thiệu ngắn gọn về lý thuyết hỗn độn 23

6.1.1 Phương pháp lấy mẫu 28

6.1.2 Phương pháp khôi phục tín hiệu 30

6.2 Thiết kế bộ lọc hỗn độn và khôi phục tín hiệu dùng OMP 31

7 Mô phỏng 347.1 Mô phỏng kỹ thuật lấy mẫu nén sử dụng bộ lọc ngẫu nhiên 357.2 Mô phỏng sử dụng bộ lọc hỗn độn với phương pháp khôi phục L1 minimization 357.3 Mô phỏng sử dụng bộ lọc hôn độn với phương pháp khôi phục OMP 36

1Giới Thiệu

Định lý lấy mẫu của Shannon/Nyquist nói rằng để không mất thông tin và có thể khôi phụclại hoàn toàn tín hiệu thì phải lấy mẫu tín hiệu với tần số lấy mẫu cao hơn ít nhất 2 lần băngtần của tín hiệu Trong nhiều ứng dụng như trong ảnh số và camera số, tốc độ lấy mẫu Nyquistlà cao và thu quá nhiều mẫu cần thiết, do đó việc nén tín hiệu là cần thiết cho việc lưu trữhoặc truyền đi xa Hay trong các ứng dụng khác như: hệ thống ảnh số với tốc độ cao, kỹ thuậtsiêu cao tần, thu thập dữ liệu từ rada Đòi hỏi lấy mẫu ở tần số rất cao nếu tuân theo địnhluật Nyquist, điều đó dẫn đến việc đòi hỏi các bộ chuyển đổi ADC tốc độ cao gây ra nhiều khókhăn trong chế tạo, và giá thành trở nên rất đắt.

Nghiên cứu này trình bày một phương pháp mới để thu các tín hiệu với tốc độ lấy mẫu nhỏhơn tốc độ Nyquist Phương pháp này gọi là lấy mẫu nén (compressed sampling), sử dụng cácánh xạ (projections) tuyến tính không thích nghi lưu trữ cấu trúc của tín hiệu, tín hiệu sauđó được tái tạo lại sử dụng các phương pháp của lý thuyết tối ưu như L1-minimization hoặcOMP.

1.1.1 Tín hiệu thưa và có thể nén

Cho một tín hiệu rời rạc x chiều dài hữu hạn, x có thể được biểu diễn như một vectơ cộtN × 1 trong RN với các thành phần x[n], n = 1, 2, N Bất kỳ tín hiệu trong RN nào đều cóthể biểu diễn thông qua một hệ các vectơ cơ sở trực chuẩn N × 1 : {ψi}N

i=1 Sử dụng ma trậncơ sở N × N : Ψ = [ψ1ψ2 ψN] với các vectơ {ψi} là các vectơ cột, thì một tín hiệu x có thểbiểu diễn như sau:

Tín hiệu x chiều dài N được gọi là thưa K (K-sparse) nếu x là một sự kết hợp tuyến tínhcủa duy nhất K vectơ cơ sở, do đó chỉ có duy nhất K trọng số si là khác không và (N-K) trọngsố là bằng không Trong trường hợp mà K  N thì tín hiệu x gọi là thưa và có thể nén tức lànó có thể được biểu diễn chỉ với K trọng số lớn và nhiều trọng số nhỏ.

1.1.2 Các phương pháp nén cổ điển và nhược điểm

Các kỹ thuật nén cổ điển (điển hình như DCT rời rạc, hay wavelet) sử dụng 1 phép biến đổithuận nghịch (transform coding) để xấp xỉ tín hiệu có thể nén bằng K trọng số lớn.Cho mộttín hiệu x dài N mẫu và là tín hiệu thưa K, sử dụng phép biến đổi thông qua :

s = ΨTx

ΨT ở đây đại diện cho một phép chuyển đổi nào đó (DCT rời rạc hoặc wavelet) chúng ta sẽthu được một tập hợp các trọng số si trong đó K trọng số lớn nhất sẽ được lấy và mã hóa, cònlại (N-K) trọng số nhỏ sẽ được loại bỏ.

Tuy nhiên chính cách làm này xuất hiện những nhược điểm của phương pháp:

• Số lượng N các mẫu thu là lớn trong khi K lại là nhỏ K  N

• Tất cả N mẫu đều phải được tính toán trong khi chúng ta chỉ giữ lại K giá trị còn lại(N-K) giá trị bị loại bỏ.

• Việc mã hóa K giá trị sau khi giữ lại (với mục đích lưu trữ hoặc truyền đi) chúng ta lạiphải thêm vào các bit tiêu đề, các bít sửa lỗi

Tất cả các nhược điểm đó làm chậm tốc độ xử lý dữ liệu Và điều này càng thể hiện rõ hơntrong trường hợp tín hiệu x với băng tần cao lại đòi hỏi tốc độ lấy mẫu phải rất lớn mới đảmbảo khôi phục lại dữ liệu (theo tiêu chuẩn Nyquist).

Được đề xướng như một lý thuyết lẫy mẫu mới vào năm 2006 bởi Emmanuel Candès, JustinRomberg, và Terence Tao, phương pháp lấy mẫu nén cho phép thu trực tiếp tín hiệu dưới dạngnén mà không thông qua việc thu N mẫu tín hiệu rồi mới sử dụng các phương pháp nén nhưphương pháp thông thường.

Với tín hiệu x chiều dài N, phương pháp lấy mẫu nén sử dụng M quá trình đo tuyến tính(M  N ) được biểu diễn bởi phép nhân giữa x và một tập hợp các vectơ {φj}M

j=1:yj =< x, φj >

Tập hợp các phép đo yj được sắp xếp trong một vectơ Y chiều dài M × 1 và các vectơ φTj đượcsắp xếp như một hàng trong ma trận Φ kích thước M × N và do đó có thể được viết như sau:

Y = ΦX = ΦΨs = Θs

Quá trình đo ở đây là không thích nghi, tức là Φ là cố định và không phụ thuộc vào tín hiệu x.

1.3Hai vấn đề chính trong lấy mẫu nén

Mục tiêu của phương pháp lấy mẫu nén bây giờ là việc thiết kế và xây dựng:

• Ma trận đo Φ ổn định có thể thu và lưu trữ các thông tin về tín hiệu ( tín hiệu thưa Khay tín hiệu có thể nén ) trong M phép đo (M  N ) mà vẫn đảm bảo khôi phục lại tínhiệu.

• Thuật toán khôi phục tín hiệu có thể tái tạo tín hiệu x từ M phép đo y

Phần I

Kỹ Thuật Lấy Mẫu Nén

Phương pháp lấy mẫu truyền thống thường được biểu diễn bởi sơ đồ sau

Hình 1: Phương pháp lẫy mẫu truyền thống

Tín hiệu đầu vào x là một tín hiêu chiều dài N và thưa K (tín hiệu có thể nén) có thể đượcbiểu diễn qua một tập hợp các vectơ cơ sở ψi:

Tuy nhiên do những nhược điểm như đã trình bày của nó, mà lý thuyết lấy mẫu nén được pháttriển.

Hình 2: Phương pháp lẫy mẫu nén

Phương pháp này sử dụng M các phép đo tuyến tính không thích nghi:

Y = ΦX = ΦΨs = Θs

Hình 3: Quá trình thu tín hiệu Y bằng M phép đo tuyến tính không thích nghi

Trong đó Φ là ma trận kích thước M × N Từ "không thích nghi" ở đây có nghĩa là matrận Φ là cố định và không phụ thuộc tín hiệu đầu vào x.

2.2Điều kiện để khôi phục được tín hiệu

Vấn đề là chọn ma trận đo Φ thế nào để cho phép tái tạo lại tín hiệu x từ M phép đo (M<N)- tức là khôi phục x từ vectơ y Do M<N cho nên bài toán sẽ không thể có duy nhất nghiệm.Tuy nhiên nếu x là tín hiệu thưa K và vị trí của K hệ số khác 0 này được biết trước thì bàitoán trở thành giải hệ phương trình K ẩn với M phương trình (M ≥ K) và bài toán sẽ có duynhất nghiệm Một điều kiện cần và đủ cho vấn đề này là, cho vectơ v bất kỳ có K hệ số khác0, với  > 0 thì Θ cần thỏa mãn điều kiện sau đây:

1 −  ≤ kΘvk2

kvk2 ≤ 1 + 

Điều kiện này được gọi là điều kiện RIP (Restricted isometry property).

Một điều kiện khác yêu cầu các hàng của ma trận Φ không được xuất hiện thưa thớt trongcác cột của ma trận Ψ Điều kiện này gọi là điều kiện tách biệt (Incoherence).

Trong nghiên cứu của Emmanuel Candès, Justin Romberg, và Terence Tao đã chứng minhrằng:

Với việc sử dụng ma trận Φ là ma trận ngẫu nhiên, phân bố Gaussian, thì cả điềukiện RIP và điều kiện tách biệt (incoherence) đều được thỏa mãn Và với việc sửdụng số các phép đo tiến hành M ≥ cKlog(N/K) với c là một hằng số nhỏ thì hoàntoàn có thể tái tạo được tín hiệu x thưa K và có chiều dài N ban đầu

Hình 4: Sử dụng ma trận ngẫu nhiên trong việc thu tín hiệu

Với phương pháp lấy mẫu nén chúng ta đã thu được tín hiệu:Y = ΦX

Bài toán ngược đặt ra là tìm lại tín hiệu X từ các giá trị Y Dưới đây là 2 phương pháp phổbiến được dùng cho việc khôi phục tín hiệu cho lấy mẫu nén

2.3.1 Thuật toán khôi phục L1-minimization

Chúng ta cần khôi phục lại X, tức là tìm lại chính xác các giá trị x[n], n = 1, 2 N , khi màchúng ta có M phép đo Y Tuy nhiên do M < N tức là số phương trình thiết lập được là nhỏhơn số ẩn cần tìm, do đó sẽ có vô số các nghiệm thỏa mãn, và hiển nhiên nếu không cho thêmbất kỳ thông tin gì về nghiêm cần tìm chúng ta không thể biết nghiệm nào là đúng.

Tuy nhiên trong trường hợp này, tín hiệu mà chúng ta cần khôi phục là đã biết về mặt cấutrúc tức nó là tín hiệu thưa K hay tín hiệu có thể nén.

Về mặt toán học, dưới giả thiết tín hiệu X là thưa, chúng ta có thể khôi phục lại tín hiệu Xbằng các phương pháp minimization.

• Sử dụng L0:

x = min

x∈RNkxkl0Với điều kiện:

Y = ΦX

Ở đây kxkl0 = |{i : xi 6= 0}| Phương pháp này có thể cho phép khôi phục chính xác dữliệu bằng cách kiểm tra từng dữ liệu để thỏa mãn 2 phương trình trên, tuy nhiên tốc độtính toán của phương pháp là chậm Nên thuật toán này ít được sử dụng trong thực tếvà không sử dụng trong lấy mẫu nén.

Nghiên cứu mới đây (tháng 9 năm 2007) của Emmanuel J.candès, Michael B.Walkin vàStephen P.Boyd đã cải tiến phương pháp này cho phép khôi phục tín hiệu chính xác hơn gọi là

phương pháp L1 minimization được trọng số hóa (Reweighted l1 minimization) Phương phápnày khôi phục tín hiệu bằng phương trình sau:

Y = Φx

• 3 Cập nhật các giá trị trọng số: với i=1, ,n :

w(l+1)i = 1|x(l)i | + 

• 4 Kết thúc thuật toán nếu w hội tụ hoặc khi l đạt tới một số cực đại, ngược lại tăng llên 1 đơn vị và quay trở lại bước 2.

Phương pháp này khôi phục tín hiệu chính xác hơn, để minh họa điều này ta xét ví dụ sau,cho x = 0 1 0 T (sơ đồ 1(a) thể hiện tín hiệu gốc x) và :

Φ = 2 1 11 1 2

Ta có tín hiệu thu được:

Y = Φx = 1 1 T

Nhìn vào sơ đồ bên dưới, với phương pháp L1 minimization, l1 biểu thị như một quả bóng giaovới đường biểu diễn Y = Φx tại vị trí bx = 13 0 13 T 6= x giá trị này cho chúng ta kết quảkhông chính xác Sơ đồ 1(b)

Bây giờ nếu chúng ta đưa vào ma trận trọng số W = diag( 3 1 3 T) sơ đồ 1(c)thể hiện quảbóng "weighted l1 " hội tụ tới điểm tín hiệu nguồn một cách chính xác.

Hình 5: So sánh phương pháp sử dụng l1 minimization và weighted l1 minimization

2.3.2 Thuật toán khôi phục OMP

a) Thuật toán đuổi khớp (Matching pursuit)

Nhiều phương pháp phân tích tín hiệu tìm cách biểu diễn 1 tín hiệu không biết x bằng một tổhợp tuyến tính của các hàm số gn nào đó:

Các hệ số an được tính bởi:

an=< x, gn>

Chúng ta phải biểu diễn tín hiệu không biết x một cách chính xác nhất có thể bằng cáchchọn các hàm gn một cách tối ưu từ một thư viện dư thừa các hàm D Trong thực tế chúng tachỉ có thể biểu diễn tín hiệu x một cách gần đúng:

Để tìm được một sự kết hợp tuyến tính có thể của N hàm gn sao cho sai số là nhỏ nhất,chúng ta sử dụng thuật toán đuổi khớp (matching pursuit).

R0x = x

Rnx =< Rnx, gγn > gγn + Rn+1xgγn = argmaxgγn∈D| < Rnx, gγx > |

Bước đầu tiên thuật toán sẽ chọn gγ0 lớn nhất được cho bởi phép nhân trong (inner product)với tín hiệu x, trong mỗi bước gγn được khớp với tín hiệu Rnx Cứ như vậy N hàm gn sẽ đượctìm kiếm bằng thuật toán trên.

b)Phương pháp khôi phục tín hiệu OMP trong lấy mẫu nén

OMP là chữ viết tắt của phương pháp orthogonal matching pursuit, hay phương pháp "đuổikhớp trực giao".

Nhắc lại rằng, chúng ta có tín hiệu X thưa K có chiều dài N , và M phép đo yi, i = 1, 2 Mtrong vectơ cột Y:

Y = ΦX

Với Φ là ma trận đo kích thước M × N

Do tín hiệu X là thưa K, tức là chỉ có K thành phần khác 0, các thành phần còn lại bằng 0.Như vậy, mỗi thành phần yi là sự kết hợp tuyến tính của K thành phần từ K cột của ma trậnΦ Do đó để khôi phục tín hiệu X dài N từ M thành phần của vectơ Y chúng ta cần tìm rađược 1 tổ hợp K cột trong ma trận Φ(có số cột là N) (N>M>K) để thỏa mãn:

Y = ΦX

Bài toán lại trở về giống như tìm các từ trong 1 quyển từ điển để ghép thành câu có nghĩa nàođó Và chúng ta sử dụng thuật toán OMP (Orthogonal matching pursuit) để thực hiện điềunày:

θik là các trọng số được ước lượng của tín hiệu X.

4 Nếu t<N tăng t lên 1 đơn vị và lặp lại bước 2, ngược lại kết thúc thuật toán.ĐẦU RA:

• Tín hiệu khôi phục bX

3Ứng dụng của lý thuyết lấy mẫu nén

Thành tựu điển hình của lấy mẫu nén là việc thu các bức ảnh số với tốc độ lấy mẫu nhỏtrong một camera có duy nhất 1 sensor thu được gọi là CAMERA 1 ĐIỂM ẢNH (single pixelcamera).

Sơ đồ khối của Camera được cho như trong hình bên:

Ở đây việc tạo ra một ma trận DMD bao gồm N mảnh gương rất nhỏ với hệ số phản xạ trên

Hình 6: Camera số 1 điểm ảnh

mỗi gương là ngẫu nhiên được điều khiển bởi bộ phát số ngẫu nhiên RNG (Random numbergenerator) thay thế cho việc tạo ra ma trận Φ trong lý thuyết lấy mẫu nén mà Candès, Rombergvà Tao đã đề cập.

Toàn bộ bức ảnh đi qua một thấu kính thứ nhất và rơi vào ma trận gương DMD với hệ sốphản xạ ngẫu nhiên, sau đó được hội tụ tại một điểm khi đi qua thấu kính thứ hai, tại điểmđó một photodiode được đặt thu nhận và lấy mẫu, do đó chỉ cần một photodiode và thực hiệnM phép đo cần thiết chúng ta có thể khôi phục lại bức ảnh.

Hình 7: Thực hiện M phép đo

Sơ đồ bố trí của Camera như trong hình:

Hình 8: Sơ đồ bố trí Camera

Và kết quả của nó:

Hình 9: So sánh kết quả giữa ảnh nguồn và ảnh gốc

3.2Trong truyền Thông

Trong các ứng dụng truyền thông không dây ngày nay, việc tiết kiệm băng tần là một vấn đềrất quan trọng, đem lại hiệu quả về mặt kinh tế Các hệ thống cảm nhận thông minh hiện naycho phép cảm nhận môi trường phổ tần vô tuyến để phát hiện các khoảng phổ trống (Việc làmnày dựa trên các mô hình ước lượng và nhận biết phổ), từ đó có thể nhanh chóng điều chỉnhcác thông số truyền và nhận để có thể gửi tín hiệu vào trong các khoảng phổ trống đó Cáchlàm này cho phép các nhà cung cấp dịch vụ tận dụng tối đa băng thông cho phép, phục vụhiệu quả người sử dụng mà vẫn đảm bảo tránh gây nhiễu cho những người sử dụng ưu tiên.

Đối với truyền thông băng thông rộng, thách thức lớn nhất đối với các mô hình ước lượngvà nhận biết phổ là tần số lấy mẫu là quá lớn, nếu lấy mẫu không đủ sẽ không cung cấp đầyđủ thông tin về mặt thống kê cho các thuật toán khôi phục tín hiệu tuyến tính truyền thống.

Tuy nhiên, do tính chất điển hình của các tín hiệu trong truyền thông không dây là thưavề mặt tần số Nguyên nhân của tính chất này là do trong thực tế các kênh radio được sửdụng chiếm dụng phổ rất ít Đây chính là tiền đề để có thể áp dụng kỹ thuật lấy mẫu nén(Compressed Sensing) trong mô hình nhận biết vô tuyến để có thể giảm tốc độ lấy mẫu xuốngtrong khi vẫn đảm bảo tính chính xác trong việc ước lượng các khoảng phổ trống.

Một nghiên cứu của các tác giả Z.Tian, G.B.Giannakis cho thấy kết quả tốt khi áp dụngphương pháp lấy mẫu nén cho việc nhận biết phổ vô tuyến Trong bài báo này, kỹ thuật lấymẫu nén được sử dụng để khôi phục dải phổ từ mô hình lấy mẫu ngẫu nhiên - với số mẫu íthơn so với tiêu chuẩn Nyquist - từ đó xác định vị trí của các dải tần bằng phương pháp xácđịnh biên dựa trên kỹ thuật wavelet (wavelet based edge detector) Chúng ta có thể tóm lượcphương pháp sử dụng lấy mẫu nén mà các tác giả đã trình bày trong việc ứng dụng cho nhậnbiết phổ vô tuyến như sau:

Giả sử một mạng không dây băng rộng có dải tần tổng cộng là B Hz (từ f0 đến fN) Hàmmật độ phổ công suất (PSD) trên dải tần này được thể hiện trong hình:

Hình 10: Mật độ phổ công suất trên dải tần tín hiệu

Dải phổ này được thể hiện bằng tín hiệu liên tục r(t) (đây cũng chính là tín hiệu mà bộ

cảm nhận phổ vô tuyến (CR) phải cảm nhận) Giả sử khoảng thời gian cần thiết để CR cảmnhận là t ∈ [0, M T0] Trong đó T0 là chu kỳ lấy mẫu theo Nyquist ⇒ cần tối thiểu M mẫuđể khôi phục r(t) tức là chúng ta phải có một vectơ Γt kích thước M × 1 với các thành phầnrt(n) = r(t)|t=nT0 Đặt biến đổi Fourier M điểm của Γt là Γf: Γf = FMΓt, trong đó FM là matrận biểu diễn biến đổi Fourier rời rạc M điểm Nhiệm vụ của bài toán CR là xác định đượcΓf để từ đó xác định được các khoảng phổ trống, rồi điều chỉnh thông số và gửi tín hiệu vàotrong khoảng phổ đó.

Gọi F là tập hợp các khoảng phổ làm cho r(t) khác 0 trong miền tần số (trong trường hợpkhông có nhiễu) Do r(t) là thưa trong miền tần số nên |F |  B hay một cách tương đươngkhi rời rạc hóa, vectơ Γt có trung bình khoảng Kb = d|F |M/Be hệ số khác 0 và Kb  M Kỹ thuật lấy mẫu nén cho phép khôi phục chính xác vectơ Γt từ một vectơ Υt có kích thướcK × 1(Kb ≤ K ≤ M ) : Υt = ST

cΓt, trong đó Sc là một ma trận đo có kích thước M × K(trường hợp đơn giản có thể lấy Sc là một ma trận lấy ngẫu nhiên K cột từ ma trận đơn vị).Như vậy, chúng ta có thể biểu diễn: Υt= (ScTFM)rf, và chúng ta có thể ước lượng rf dựa trêncác phương pháp l1 minimization hoặc OMP:

rt= arg min

krfk1 , ScTΓt = Υt

4Mô phỏng lấy mẫu nén

Xét tín hiệu thưa x trong miền thời gian, chiều dài N = 512 thưa K = 20 Số các phép đo sửdụng M = 100 Sử dụng phương pháp L1 minimization cho việc khôi phục tín hiệu.

Sơ đồ bên dưới trình bày kết quả mô phỏng:

Hình 11: Kết quả mô phỏng

Như chúng ta đã biết, JPEG là một trong những chuẩn nén tốt sử dụng trong nén ảnh, tuynhiên nếu bức ảnh JPEG là thưa, việc sử dụng phương pháp lấy mẫu nén vẫn có thể cho phépnén bức ảnh xuống nhiều lần.

Xét bức ảnh:

Hình 12: Ví dụ về bức ảnh JPEG thưa gồm 189280 điểm ảnh