Ứng dụng lấy mẫu nén (compressive sensing) trong hệ thống thông tin di động

Compressive sensing (lấy mẫu nén) là một công nghệ đang nổi lên và mang tính đột phá dựa vào sự thưa thớt của tín hiệu. Trong Compressive sensing ,tín hiệu được lấy mẫu nén thưa bằng cách lấy một lượng nhỏ phép chiếu ngẫu nhiên của tín hiệu mà chứa hầu hết các thông tin quan trọng.Gần đây,Compressive sensing được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như :thông tin di động,xử lý ảnh,hệ thống radar và hệ thống sonar.Lý thuyết về lấy mẫu nén đã có những bước đi tuy chưa thể nói là hoàn toàn thành công và ứng dụng thực tiễn được trong cuộc sống,nhưng cũng đã ghi nhận những cố gắng của những người tham gia nghiên cứu.Thực tập tốt nghiệp là giai đoạn quan trọng cho sinh viên hiểu biết thêm về thực tế, gắn kết thực tế với lý thuyết chuyên ngành, là tiền đề cho việc thực hiện Đồ án tốt nghiệp.

Mục lục

Mục lục 1

Danh sách hình vẽ 2

Lời nói đầu 3

A.Tóm tắt đề tài 4

B.Nội dung 5

1.Giới thiệu về Compressive sensing 5

2 Lý thuyết cơ bản về Compressive sensing 7

2.1.Tính thưa và biểu diễn tín hiệu 7

2.2 Ma trận đo( Measurement matrix) 9

2.3.Điều kiện khôi phục lại tín hiệu trong Compressive sensing 11

2.4.Phương pháp khôi phục tín hiệu 12

2.5.Applications of Compressive sensing 17

3.Ứng dụng lấy mẫu nén cho tín hiệu tiếng nói trong hệ thống thông tin di động 19

3.1.Giới thiệu tổng quan hệ thống 19

3.2.Triển khai thực hiện 19

C.Kết quả đạt được và công việc tiếp theo 24

TLTK 24

Danh sách hình vẽ

Hình 2.1 : Sơ đồ khối cơ bản Compressive sensing

Hình 2.2 :Lấy mẫu sử dụng Compressive sensing

Hình 2.3 Phương pháp đo Compressive sensing

Hình 2.4 : Khôi phục lại tín hiệu thưa bằng phương pháp lặp lại l1 trọng số hóa.Hình 3.1 :Sơ đồ khối hệ thống sử dụng lấy mẫu nén trong hệ thống thông tin di động.Hình 3.2 :Tín hiệu tiếng nói đầu vào

Hình 3.3 : Phổ năng lượng của tín hiệu tiếng nói đầu vào

Hình 3.4 :Phổ FFT sau khi qua cửa sổ ngưỡng

Hình 3.5 :Khôi phục phổ FFT bằng l1-minimization

Hình 3.6 :So sánh lỗi giữa phổ khôi phục và thực tế

Lời nói đầu.

“Compressive sensing (lấy mẫu nén) là một công nghệ đang nổi lên và mang tính độtphá dựa vào sự thưa thớt của tín hiệu Trong Compressive sensing ,tín hiệu được lấy mẫu nén thưa bằng cách lấy một lượng nhỏ phép chiếu ngẫu nhiên của tín hiệu mà chứa hầu hết các thông tin quan trọng.Gần đây,Compressive sensing được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như :thông tin di động,xử lý ảnh,hệ thống radar và hệ thống sonar.Lý thuyết về lấy mẫu nén đã có những bước đi tuy chưa thể nói là hoàn toàn thành công và ứng dụng thực tiễn được trong cuộc sống,nhưng cũng đã ghi nhận những cố gắng của những người tham gia nghiên cứu.Thực tập tốt nghiệp là giai đoạn quan trọng cho sinh viên hiểu biết thêm về thực tế, gắn kết thực tế với lý thuyết chuyên ngành, là tiền đề cho việc thực hiện

Đồ án tốt nghiệp.Trong đợt thực tập tốt nghiệp lần này , em sẽ tập trung nghiên cứu về

khả năng triển khai “Ứng dụng lấy mẫu nén (compressive sensing) trong hệ thống

thông tin di động”và ảnh hưởng của nó tới tốc độ dữ liệu.

Khi thực hiện đề tài này, em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong bộ môn Kỹ thuật thông tin ,Viện Điện tử-Viễn thông, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội,đặc biệt là

thầy Nguyễn Hữu Trung đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình xác định,tìm hiểu và thực đề tài Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới cô Nguyễn Minh Hiền đã cung cấp thêm cho

em kiến thức và giúp em giải đáp những thắc mắc,đưa ra lời khuyên góp ý cho đề tài của em

Sinh viên thực hiện:Nguyễn Đức Nam.Lớp:Kỹ sư tài năng-Điện tử Viễn Thông –K54

A.Tóm tắt đề tài

Trong một hệ thống thông tin di động thông thường, các tín hiệu quan tâm được lấy mẫu theo tần số Nyquist Định lý lấy mẫu của Shannon/Nyquist nói rằng để đảm bảo không bị mất thông tin và có thể khôi phục lại hoàn toàn tín hiệu thì phải lấy mẫu tín hiệuvới tần số lấy mẫu cao hơn ít nhất 2 lần băng tần của tín hiệu.Tuy nhiên,đây không phải

là phương pháp hiệu quả nhất để nén tín hiệu, vì nó đặt nhiều gánh nặng lên tín hiệu gốc trong khi chỉ một tỷ lệ nhỏ hệ số biến đổi là cần thiết để biểu diễn tín hiệu.Kết quả gần đây trong lấy mẫu nén cung cấp một phương pháp mới để tái tạo tín hiệu ban đầu với mộtlượng rất nhỏ các hệ số Trong Compressive sensing ,các thông tin quan trọng về tín hiệu/ảnh được thu nhận trực tiếp, hơn là thu nhận các thông tin quan trọng khác rồi cuối cùng sẽ bỏ đi

.Mục đích của đề tài lần này là đề xuất một hệ thống thông tin di động mới sử dụng Compressive sensing để nén tín hiệu tiếng nói ở bên phát và giải nén ở bên thu Kết quả mong đợi từ hệ thống đề xuất sẽ làm tăng tốc độ truyền dữ liệu của các hệ thống này Để

mô phỏng Compressive sensing được áp dụng thế nào,một tín hiệu tiếng nói có dung lượng nhỏ sẽ được ghi trong Matlab Trong trường hợp này,tín hiệu ở đầu ra sẽ được nhân với ma trận đo gồm các thành phần là các số được tạo ra ngẫu nhiên Ma trận đo được chọn bằng một cách mà các tín hiệu thưa sẽ được khôi phục một cách chính xác ở bên thu bằng cách sử dụng một thuật toán tối ưu có sẵn khác nhau.Một khi tín hiệu đã trảiqua quá trình lấy mẫu nén ,nó đã sẵn sàng để truyền đi thông qua hệ thống di động.Tín hiệu được truyền đi sau đó được khôi phục bởi bộ thu từ một số lượng nhỏ các mẫu quan trọng bằng cách sử dựng bất kỳ kĩ thuật nhân tối ưu hóa đã có sẵn.Thuật toán sẽ được môphỏng trong MATLAB.Kết quả chỉ ra rằng nếu một cửa sổ ngưỡng được áp dụng cho tín hiệu tiếng nói được truyền và độ dài tín hiệu được giữ nguyên thì tốc độ nén của tín hiệu tiếng nói sẽ được tăng lên

B.Nội dung

1.Giới thiệu về Compressive sensing

Thông tin di động là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng nhất trong lĩnh vực truyền thông Người ta dự đoán rằng trong một vài thập kỉ nữa,một số lượng dữ liệu đáng kế các kết nối giọng nói và dữ liệu sẽ một phần hay hoàn toàn truyền bằng không dây.Một trong những các thách thức đề ra cho hệ thống không dây là cung cấp tốc

độ dữ liệu cao hơn trong môi trường di động.Để đạt được mục tiêu này ,một kĩ thuật lấy mẫu mới gọi là “Compressive Sampling” có thể được sử dụng để thay thế kĩ thuật lấy mẫu truyền thống.Compressive sensing (CS) có thể được triển khai trong hệ thống di động bởi hầu hết tín hiệu trên thế giới hiện nay có một sự biểu diễn dạng thưa dưới cách biến đổi miền nhất định.Trong một hệ thống thông tin liên lạc điển hình,tín hiệu được lấy mẫu ít nhất bằng hai lần tần số cao nhất chứa trong tín hiệu Tuy nhiên,điều này giới hạn các cách hiệu quả để nén tín hiệu ,vì nó đặt một gánh nặng lớn trong việc lấy mẫu tín hiệu gốc trong khi chỉ có một lượng nhỏ các hệ số biến đổi là cần thiết cho biểu diễn tín hiệu [1]

Mặt khác,lấy mẫu nén cung cấp một phương pháp mới để khôi phục lại tín hiệu gốc

từ một số lượng nhỏ các hệ số biến đổi CS là một mô hình lấy mẫu cho phép chúng ta đi

xa hơn giới hạn Shannon bằng cách khai thác cấu trúc thưa của tín hiệu Nó cho phép chúng ta thu thập và biểu diễn các tín hiệu nén ở một tốc độ nhỏ hơn tốc độ Nyquist một cách đáng kể.Với CS,bước lấy mẫu là khá nhanh vì nó sử dụng phép chiếu tuyến tính không thích nghi để có thể giữ được cấu trúc của tín hiệu Sau đó,tín hiệu được khôi phụclại từ các phép chiếu này bằng cách sử dụng các kĩ thuật tối ưu khác nhau Trong quá trình lấy mẫu nén chỉ các thông tin quan trọng về tín hiệu mới được thu thập, thay vì thu thập các thông tin khác của tín hiệu sẽ bị loại bỏ ở phía thu.Bằng cách triển khai nguyên

lý này,một hệ thống thông tin di động mới đã được đề xuất,trong đó lấy mẫu nén được sửdụng để nén và giải nén tín hiệu tiếng nói ở bên phát và bên thu để làm tăng tốc độ dữ liệu

Trong những năm gần đây,nhiều kịch bản lấy tín hiệu khác nhau được phát triển trên thế giới.Vetterli và các đồng nghiêp [2] trình bày một phương pháp để thống nhất lấy mẫu tín hiệu liên tục một cách đồng đều, ví dụ như “non-uniform splines “ hay “ stream

of Dirac” Tuy nhiên,phương pháp lấy mẫu như vậy rất khó để triển khai vì cần phải có đầy đủ thông tin về bộ phận lõi khôi phục tín hiệu trước khi lấy mẫu nó.Trong khoảng thời gian đó,lý thuyết về CS nổi lên [1,3] chỉ ra rằng một tín hiệu rời rạc lấy mẫu không đều có thể khôi phục lại một cách hoàn toàn với tỉ lệ thành công cao bằng cách sử dụng các kĩ thuật tối ưu khác nhau và bằng cách xem xét một cách ít hơn các phép chiếu ngẫu nhiên và phép đo so với chuẩn Nyquist.Các yêu tố chính cần được giải quyết trước khi sửdụng Compress sensing là : làm thế nào để tím miền biến đổi trong đó tín hiệu có dạng biểu diễn thưa, và làm thế nào để lấy mẫu tín hiệu một cách thưa có hiệu quả trong miền thời gian và cuối cùng,làm thế nào để khôi phục tín hiệu gốc từ các mẫu bằng cách sử dụng cách kĩ thuật tối ưu

Tóm lại,số lượng lớn dữ liệu cần được lấy mẫu ở tần số Nyquist,đặc biệt là tín hiệu tiếng nói,ảnh và video thúc đẩy việc nghiên cứu Compressive sensing như một giải pháp khả thi cho hệ thống thông tin di động tương lai.Tín hiệu thưa được định nghĩa là tín hiệu

có thể biểu diễn bằng một số các điểm dữ liệu giới hạn trong miền biến đổi.Nhiều tín hiệuthực có thể được phân vào loại trường hợp này bằng cách sử dụng một miền chuyển đổi

thích hợp.Ví dụ như,nếu tín hiệu x là một hình sin ,rõ ràng nó không thưa,nhưng miến

biến đổi Fourier của nó vô cùng thưa Việc thu thập một lượng lớn dữ liệu,cộng thêm chi phí nén có thể cải thiện bằng cách sử dụng Compressive sensing Kết quả là sẽ có rất nhiều tiềm năng trong việc tiết kiệm năng lượng,bộ nhớ và quá trình xử lý

Trong cách tiếp cận đã đề xuất, một tín hiệu tiếng nói được ghi lại và lấy mẫu nén sử dụng ma trận đo Đầu ra của thuật toán CS là một vector quan sát được truyền đến bên thu Ở bên thu, phần tín hiệu được khôi phục lại từ một lượng nhỏ các mẫu quan trọng bằng cách sử dụng các kĩ thuật tối ưu khác nhau như l1-norm hoặc convex optimization

Mô phỏng MATLAB được thực hiển để nén tín hiệu tiếng nói với tần số nhỏ hơn Nyquist

và khôi phục lại nó sử dụng một trong cách kĩ thuật tối ưu khác nhau có sẵn mà không làm mất bất kỳ thông tin quan trong nào.

2 Lý thuyết cơ bản về Compressive sensing

Lý thuyết về compressive sensing được phát triển bởi Candes cùng các đồng nghiệp [3] và Donoho [1] vào năm 2004 Nó bao gồm việc lấy các phép chiếu ngẫu nhiên tín hiệu và khôi phục lại từ một số lượng nhỏ các phép đo sử dụng thuật toán tối ưu.Trong định lý lấy mẫu truyền thống, tín hiệu được lấy mẫu sử dụng tần số Nyquist,trong khi đó với sự hỗ trở của Compressive sensing tín hiệu được lấy mẫu ở tần số thấp hơn tần số Nyquist Điều này là có thể bởi tín hiệu được biến đổi sang miền mà nó có dạng biểu diễnthưa.Sau đó tín hiệ được khôi phục lại từ các mẫu sử dụng một trong các kĩ thuật tối ưu khác nhau có sẵn Sơ đồ khối cơ bản của hệ thống sử dụng CS được thể hiện trong hình 1

Hình 4.1 : Sơ đồ khối cơ bảnCompressive Sensing

2.1.Tính thưa và biểu diễn tín hiệu

Biểu diễn tín hiệu và tính thưa đóng một vai trò quan trọng trong Compressive sensing Cho x ∈ RL biểu diễn một tín hiệu thực ,giả sử rằng tín hiệu x là thưa trong cơ sởtrực giao ψ ={ ,ψ ψ ψ ψ1 2, , 3 N}với N là số chiều của tín hiệu ,thì x có thể được biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính của K ( K << N ) hàm cơ sở :

i i

K

n n i=1

Với ψn i∈ψ, n i∈{1,2,3, , }N Cho [ , , , ,1 2 3 ]T

N

θ = θ θ θ θ là vector hệ số của tín hiệu x trong ψ.Phép đo ngẫu nhiên tín hiệu x có thể được biểu diễn như sau :

y=φ θ , φ : M x N , K < M << N (2.2)Với φ là ma trận đo ngẫu nhiên đều , y là vector đo của tín hiệu x, θ là vector các hệ

số của tín hiệu x và M =cK biểu thị số phép đo cần thiết cho việc khôi phục lại hoàn hảo Nếu tất cả các đầu vào của φ được từ một phân phối Gaussian , tín hiệu có thể được khôi phục một cách chính xác với khả năng thành công cao khi hằng số “c” trong khoảng

3 và 5 [5].Các thủ tục sử dụng để đảm bảo tính thưa của tín hiệu được gọi là mã hóa biến đổi,được thực hiện bởi 4 bước sau[6] :

i.Thu được đầy đủ N-điểm tín hiệu x sử dụng tần số Nyquist

ii.Tính toán đầy đủ các bộ hệ số biến đổi ( ví dụ DFT)

iii Xác định K hệ số lớn nhất và loại bỏ các hệ số nhỏ nhất

iv.Nhân tín hiệu với ma trận đo để thu được vector quan sát có chiều dài M

Hình 2 cho thấy một ví dụ về cách mà CS có thể được dùng để nén một tín hiệu thấp hơn tần số Nyquist [7] Trong ví dụ này,tín hiệu lấy mẫu gốc bao gồm 300 mẫu Mục tiêu là khôi phục lại tín hiệu sử dụng chỉ 30 mẫu Hình 2.2(a) cho thấy biểu diễn miền thời gian của tín hiệu lấy mẫu Từ hình này,rõ ràng bằng cách lựa chọn 30 mẫu ( chấm đỏ) từ 300 mẫu ,ta không thể khôi phục lại tín hiệu gốc một cách hoàn toàn.Mặt

khác,bằng cách áp dụng Compressive sensing tới biểu diễn tần số của tín hiệu,ta có thể khôi phục hoàn toàn nó từ một số lượng nhỏ các mẫu quan trọng Để đạt được mục tiêu này,cần phải triển khai một kĩ thuật tối ưu Tuy nhiên,không phải kĩ thuật tối ưu nào cũng

có thể dùng cho mục tiêu này Ví dụ ,hình 2.2(c) biểu diễn phổ khôi phục sử dụng l2minimization Rõ ràng, có những khác nhau đáng kể giữa tín hiệu trong hình 2.2(b) và tínhiệu trong hình 2.2(c)

Hình 2.2 :Lấy mẫu sử dụng Compressive sensing

(a) Biểu diễn trong miền thời gian của tín hiệu gồm 300 mẫu

(b) Phổ Fourier của tín hiệu được mã hóa

(c) Khôi phục lại phổ Fourier dùng l2 minimization

(d) Khôi phục lại phổ Fourier dùng l1 minimization

Ngược lại,nếu khôi phục dùng l1 minimization cho kết quả gần như là hoàn hảo Ta

có thể thấy rõ bằng việc so sánh hình 2 (b) với hình 2(d) Tóm lại, kĩ thuật tối ưu dựa trên

l1 minimization sẽ được sử dụng để khôi phục lại tín hiệu trong Compressive sensing

2.2 Ma trận đo( Measurement matrix)

Phần này sẽ đưa ra điểm nhấn quan trọng để biểu diễn tín hiệu với cơ sở rời rạc Quá trình đo tuyến tính được miêu tả trong hình 3 tính toán M < N tích trong giữa x và tập hợp vec-tơ { }M1

Với φ là ma trận đo MxN ,mỗi hàng là một vec-tơ đo φT j và α là hệ số vec-tơ với Kthành phần khác 0.Một số ma trận đo có thể được dùng trong bất kỳ hoàn cảnh nào, chỉ cần chúng độc lập với cơ sở cố định ψ như Gabor,sin hay wavelets.Quá trình đo

Compressive sensing với vec-tơ x thưa K (K-sparse) được miêu tả trong hình 3:

Hình 2.3 Phương pháp đo Compressive sensing [4]

Ma trận đo đóng vai trò quan trọng trong quá trình khôi phục lại tín hiệu gốc Điều này đặt ra một vấn đề thú vị : Làm sao để thiết kế một ma trận đo về cơ bản là tập hợp của N vec-tơ K chiều ?” Trong Compressive sensing,chúng ta có hai loại ma trận đo có thể sử dụng: ma trận đo Random và ma trận đo đã xác định trước Nếu một tín hiệu x gồm N mẫu là thưa thì tín hiệu đó có thể khôi phục lại bằng việc dùng

( log( / ))

M =O K N K phép chiếu tuyến tính của x lên một cơ sở khác Hơn nữa, x có thể

khôi phục hoàn toàn sử dụng các kĩ thuật tối ưu khác nhau Nếu φ là một ma trận cấu trúcngẫu nhiên, thì các hàng của ma trận ngẫu nhiên độc lập vì chúng được ngẫu nhiên tạo ra

từ cùng một vec-tơ con ngẫu nhiên Ma trận ngẫu nhiên được chuyển vị và trực giao hóa Điều này sẽ có tác dụng tạo ra một ma trận biểu diễn một cơ sở trực giao.Nếu ma trận đo

là ma trận xác định trước, ma trận có thể được tạo ra bởi các hàm như hàm Dirac và hàm Sin Trong trường hợp này, tín hiệu được nhận với một vài hàm Dirac tại các điểm khác nhau để thu được vec-tơ quan sát.Sau đó tín hiệu tiếng nói có thể được khôi phục bằng phương pháp l1 normalization sử dụng vec-tơ quan sát và ma trận đo xác định trước.Lập trình tuyến tính là một thủ tục khác đóng vai trò quan trọng trong việc khôi phụclại tín hiệu gốc.Đó là một cách tiếp cận toán học được thiết kế để có được kết quả tốt nhấttrong một mô hình toán học cho trước,là trường hợp đặc biệt của lập trình toán học Lập trình tuyến tính có thể được diễn giải theo một số nguyên tắc sau :

Cực đại cTx sao cho .A x b≤ (2.4)Với x biểu thị giá trị sẽ được xác định, c và b là vec-tơ các hệ số và A là ma trận của các hệ số.Biểu thức trên mà có thể cực đại hóa hay tối thiểu hóa được gọi là hàm mục

tiêu và phương trình A x b≤ xác định những hạn chế mà hàm mục tiêu có thể tối ưu hóa được.Cuối cùng,việc khôi phục lại tín hiệu tiếng nói phụ thuộc vào vec-tơ quan sát và matrận đo.

2.3.Điều kiện khôi phục lại tín hiệu trong Compressive sensing

2.3.1 Restricted Isometric Property (RIP)

Phát triển gần đây trong lý thuyết tín hiệu đã chỉ ra rằng tín hiệu thưa là một mô hình hữu ích trong một số lĩnh vực như : thông tin, radar và xử lý ảnh.Vì thế giả thiết rằng mỗitín hiệu có thể biểu diễn ở dạng thưa đã giúp cho việc nén tín hiệu được quan tâm.Sự khôi phục lại hoàn toàn tín hiệu x phụ thuộc vào ma trận đo φ và vec-tơ đo y Lý thuyết Compressive sensing nói rằng khi ma trận φ thỏa mãn điều kiện gần trực giao Restricted Isometric Property (RIP)[8] thì nó có thể khôi phục K hệ số quan trọng lớn nhất từ một

bộ M =O K( log( / )N K )phép đo y cùng kích cỡ Điều kiện RIP nói rằng cho vec-tơ x

bất kỳ có K hệ số khác 0, với δ >0 thì φ cần thỏa mãn điều kiện sau :

(1−δ) x ≤ φx ≤ +(1 δ) x (2.5)Kết quả là ,tín hiệu thưa có thể khôi phục lại bởi một số kĩ thuật tối ưu khác nhau như kĩ thuật tối ưu l1 norm Kĩ thuật tối thiểu hóa đầu tiên được dùng để khôi phục lại tín hiệu là l1 minimization

(P1) min x sao cho x y l1 φ = (2.6)Còn được gọi là thuật toán đuổi khớp cơ bản (P1).Mục đích của kĩ thuật này là tìm những vec-tơ có l1-norm nhỏ nhất

1

1

n i l

2.3.2.Incoherence (Điều kiện độc lập)

Trong khi điều kiện RIP cung cấp sự đảm bảo cho việc khôi phục lại tín hiệu thưa K (K-sparse), việc kiểm tra lại ma trận A có thỏa mãn hay không là một bài toán tổ hợp phứtạp,vì mỗi trường hợp cần xem xét ( )n

k ma trận con.Trong nhiều trường hợp,có thể tính toán một cách dễ dàng hơn để đảm bảo khôi phục lại tín hiệu nhờ điều kiện độc lập.Giá trị liên kết của ma trận A , ( )µ A , là giá trị tuyệt đối tích trong lớn nhất giữa hai cột bất

Thì với mỗi vec-tơ đo y R∈ mluôn tuồn tại nhiều nhất một tín hiệu x thưa K

(K-sparse) sao cho y= Ax.

2.4.Phương pháp khôi phục tín hiệu

Khôi phục lại tín hiệu đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết Compressive sensing khi tín hiệu được tái tạo hoặc phục hồi từ một số lượng tối thiểu các phép đo.Bằng cách

sử dụng những kĩ thuật tối ưu hóa ở bên thu,chúng ta có thể khôi phục lại tín hiệu mà không làm mất thông tin.Với phương pháp lấy mẫu nén,sau khi thu được tín hiệu y=φx

thì bài toán đặt ra là tìm lại tín hiệu x từ các giá trị y.Tới nay,đã có một loạt bài báo liên quan đến việc khôi phục lại tín hiệu từ thông tin không đầy đủ một cách gần chính xác nhất

2.4.1.Thuật toán khôi phục l 1 minimization

Chúng ta cần khôi phục lại x,tức là tìm lại chính xác các giá trị x[n] , n=1,2…N khi

mà chỉ có M phép đo y.Tuy nhiên do M < N tức là số phương trình thiết lập được là nhỏ