Tính tuần hoàn và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  Nguyễn Thị Loan TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  Nguyễn Thị Loan TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Vũ Thị Ngọc Hà TS Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu Luận án Tính tuần hồn ổn định nghiệm phương trình tiến hóa trung tính cơng trình nghiên cứu riêng tơi Luận án hồn thành hướng dẫn khoa học TS Vũ Thị Ngọc Hà TS Lê Huy Tiễn Các kết Luận án hoàn toàn trung thực chưa tác giả khác cơng bố cơng trình nghiên cứu Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2021 Tập thể hướng dẫn Nghiên cứu sinh TS Vũ Thị Ngọc Hà TS Lê Huy Tiễn Nguyễn Thị Loan LỜI CẢM ƠN Luận án thực trường Đại học Bách khoa Hà Nội, hướng dẫn TS Vũ Thị Ngọc Hà (Trường Đại học Bách khoa Hà Nội) TS Lê Huy Tiễn (Trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội) Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến hai giáo viên hướng dẫn mình, người tận tình giúp đỡ tơi đường khoa học Trong trình học tập, nghiên cứu Trường Đại học Bách khoa Hà Nội tham gia seminar “Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân ứng dụng” PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy điều hành, tơi Thầy bảo tận tình, Thầy tạo thử thách giúp tự học hỏi, tìm tịi, sáng tạo Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ kính trọng đến Thầy Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô thành viên nhóm seminar đóng góp quý báu trình nghiên cứu tơi Tơi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban Lãnh đạo thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học, thầy cô môn Toán Cơ Đại học Bách khoa Hà Nội giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện trình nghiên cứu tơi Tơi xin bày tỏ cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Khoa Khoa học Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Hưng Yên, nơi công tác, tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Sau cùng, xin dành lời cảm ơn cho gia đình, bạn bè, người ln khuyến khích, động viên chia sẻ khó khăn sống để tơi n tâm học tập hồn thành luận án MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu 10 Phương pháp nghiên cứu 12 Kết luận án 12 Cấu trúc luận án 13 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử sinh 15 1.2 Tính ổn định mũ nhị phân mũ nửa nhóm 17 1.3 Không gian hàm Banach chấp nhận 19 1.4 Không gian giảm nhớ 22 1.5 Nhị phân mũ họ tiến hóa 24 1.6 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính 27 1.7 Bất đẳng thức nón 28 Chương SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CĨ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH 29 2.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính 31 2.2 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến 2.3 tính 35 Nghiệm tuần hoàn trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ 37 Chương NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH CĨ TRỄ HỮU HẠN TRONG KHƠNG GIAN HÀM CHẤP NHẬN ĐƯỢC 3.1 3.2 50 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính có trễ hữu hạn khơng gian hàm chấp nhận 52 Trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ 56 Chương NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH CĨ TRỄ VƠ HẠN TRONG KHƠNG GIAN HÀM CHẤP NHẬN ĐƯỢC 4.1 73 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính có trễ vơ hạn khơng gian hàm chấp nhận 76 4.2 Nghiệm tuần hoàn trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ 79 4.3 Đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn 90 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 98 Những kết đạt 98 Đề xuất số hướng nghiên cứu 99 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO 101 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN R : Tập số thực R+ : Tập số thực không âm R− : Tập số thực không dương C : Tập số phức     := R → R : u p =    Lp (R) 1/p |u(x)|p dx < +∞    , 1≤p 0, nhận giá trị X trang bị chuẩn u C = sup u(t) t∈[−r,0] Cγ : Không gian hàm liên tục (−∞, 0], nhận giá trị X lim θ→−∞ φ(θ) = 0, trang bị chuẩn φ e−γθ γ = sup θ≤0 φ(θ) ,γ > e−γθ Cb (I, X) : Không gian hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trongX, xác định I trang bị chuẩn u ∞ = sup u(t) , t∈I với I R, R+ , R− , [−r, ∞)   t+1   M(R+ ) := f ∈ L1, loc (R+ ) : sup |f (τ )|dτ < ∞ ,   t≥0 t t+1 với chuẩn f M |f (τ )|dτ := sup t≥0 t M := {f : R+ → X | f (·) ∈ M} với chuẩn f M := f (·) M MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Phương trình vi phân công cụ quan trọng để mô tả tượng tự nhiên kỹ thuật trình truyền nhiệt, trình phản ứngkhuếch tán, mơ hình cạnh tranh Trong lớp phương trình vi phân mơ tả phụ thuộc vào hệ trạng thái khứ lẫn hệ trạng thái tương lai gọi phương trình vi phân “trung tính” (“neutral”) (xem [1, 2]) Với lớp phương trình này, việc nghiên cứu tồn tính ổn định nghiệm chúng phức tạp Khi đó, cách chọn khơng gian tốn tử thích hợp, lớp phương trình viết lại dạng phương trình trung tính trừu tượng khơng gian Banach thường gọi phương trình tiến hóa trung tính Trong luận án này, chúng tơi xét lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng dF ut = A(t)F ut + g(t, ut ), dt t ≥ 0, u0 = φ, (1) với φ thuộc không gian hàm C không gian giảm nhớ Cγ , tốn tử tuyến tính t → A(t) không bị chặn không gian Banach X T -tuần hồn theo biến t, tốn tử sai phân F : C → X tuyến tính bị chặn, tốn tử trễ phi tuyến g : R+ × C → X T -tuần hoàn liên tục Lipschitz ϕ-Lipschitz Hàm ut gọi hàm lịch sử ("history function") định nghĩa ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] θ ∈ (−∞, 0] Lớp phương trình (1) gọi phương trình tiến hóa trung tính trễ xuất tốn tử đạo hàm Phương trình tiến hóa trung tính phát sinh từ nhiều ứng dụng hệ sinh thái quần thể, hệ khuếch tán, hệ xử lý tín hiệu Ta tham khảo Wu [3], Wu & Xia [4], với nhiều ví dụ ứng dụng dạng phương trình cho mạng lưới đường dây truyền tải Chẳng hạn, tác giả xét mạng lưới mơ hình tương ứng với phương trình ∂ ∂2 F ut = a F ut + Φut , ∂t ∂x hàm ut thuộc C := C([−r, 0], X) với r > không gian Banach X hàm đường tròn đơn vị S , tức X = H (S ) X = C(S ), hàm lịch sử ut xác đinh ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] t ≥ Các tốn tử tuyến tính F Φ bị chặn từ C([−r, 0], X) → X gọi toán tử sai phân toán tử trễ Lý thuyết phương trình tiến hóa trung tính sau phát triển nhiều tác giả khác (xem Adimy & Ezzinbi [5], Wu & H Xia [6], Adimy, Ezzinbi & Laklach [7], Adimy, Bouzahir & Ezzinbi [8] tài liệu tham khảo đó) Hale [9, 10] nghiên cứu tính chất định tính nghiệm lớp phương trình tiến hóa trung tính ơ-tơ-nơm, mang lại kết quan trọng tính ổn định, tính hút rẽ nhánh nghiệm xung quanh trạng thái dừng Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa trung tính (1), khơng thể khơng nghiên cứu đến tồn tại, tính nghiệm tuần hồn phương trình chứng minh tính ổn định (có điều kiện) nghiệm tuần hồn trường hợp toán tử A(t), toán tử phi tuyến g(t, ψ) T -tuần hoàn theo t Điểm qua lại lịch sử tốn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân Năm 1950, Massera (xem [11]) nghiên cứu chứng minh mối liên hệ nghiệm bị chặn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân thường Sau Zubelevich mở rộng vào năm 2006 (xem [12]) Với phương trình vi phân hàm, nhìn chung có số phương pháp thường sử dụng phương pháp Massera (xem [13, 14]), phương pháp điểm bất động, chẳng hạn Hale & Lopes [15], Chow & Hale [16], Benkhalti, Bouzahir & Ezzinbi [17] Benkhalti, Elazzouzi & Ezzinbi [18] Cách tiếp cận phổ biến sử dụng theo hướng tính bị chặn nghiệm tính compact ánh xạ Poincaré thông qua số phép nhúng compact (xem Serrin [19], Yoshizawa [20], Pră uss [21, 22], Burton [23], Liu, N’Guerekata & Minh [24]) Tuy nhiên, số tình thực tế, chẳng hạn trường hợp phương trình vi phân đạo hàm riêng với miền khơng bị chặn (theo tất hướng) phương trình có nghiệm khơng bị chặn phép nhúng compact khơng áp dụng việc lựa chọn vec-tơ ban đầu thích hợp (hoặc có điều kiện) để đảm bảo tính bị chặn nghiệm xuất phát từ vec-tơ khơng dễ dàng Để vượt qua khó khăn này, sử dụng định lý dạng Massera, tức định lý chứng minh phương trình vi phân có nghiệm bị chặn có nghiệm tuần hoàn Huy [25] sử dụng phương pháp Massera kết hợp với hàm tử nội suy để tồn tính nghiệm tuần hồn dòng chất lỏng xung quanh chướng ngại vật quay Ở đây, không gian nội suy sử dụng kết hợp với phương pháp ergodic Sau Geissert, Hieber & Huy [26] kết hợp hàm tử nội suy với tính trơn nửa nhóm lý thuyết tơ pơ thu nghiệm tuần hồn tốn dịng chất lỏng Gần đây, Huy & Dang [13, 14, 27, 28] sử dụng phương pháp ergodic để chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hoàn phương trình; sau kết hợp với ngun lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall bất đẳng thức nón chứng minh tồn tính ổn định (có điều kiện) nghiệm tuần hồn, đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn số lớp phương trình tiến hóa khơng ô-tô-nôm có trễ hữu hạn vô hạn Mở rộng sang phương trình tiến hóa trung tính, tốn nghiệm tuần hồn đến có nhiều hấp dẫn, góp phần làm phong phú thêm lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Mặt khác, lý thuyết định tính nghiệm phương trình vi phân, tồn đa tạp tích phân vấn đề trọng điểm cần nghiên cứu Các kết đa tạp tích phân góp phần mang lại tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình xung quanh điểm cân hay xung quanh quỹ đạo xác định Điều thu hút nhiều quan tâm nhà toán học Khởi đầu kết Hadamard [29], Perron [30, 31], Bogoliubov & Mitropolsky [32, 33], nghiên cứu tồn đa tạp bất biến phương trình vi phân Rn Năm 2009, Huy [34] tồn đa tạp bất biến phương trình tiến hóa khơng ơ-tơ-nơm nửa tuyến tính khơng gian Banach Tiếp sau đó, Huy [35] chứng minh tồn loại đa tạp bất biến mới, đa tạp ổn định bất biến thuộc lớp chấp nhận Vẫn tiếp nối mạch nghiên cứu, năm 2014 Huy & Duoc [36] tồn đa tạp ổn định bất biến đa tạp tâm ổn định cho phương trình tiến hóa có trễ Gần đây, nghiên cứu Huy & Bằng (xem [37, 38, 39, 40]), với việc sử dụng lý thuyết không gian hàm chấp nhận được, tác giả tồn đa tạp ổn định bất biến, đa tạp không ổn định, đa tạp tâm nghiệm đủ tốt (xem [41]) (“mild solution") phương trình tiến hóa trung tính trường hợp trường hợp phần tuyến tính có nhị phân mũ với điều kiện tổng quát toán tử trễ phi tuyến Tiếp không gian Cγ phân tích thành tổng trực tiếp Cγ = X0 (t) ⊕ X1 (t) Ta thấy, sup P (t) ≤ ∞ t≥0 Để chứng minh tồn đa tạp ổn định S = {(t, St )}t≥0 cho nghiệm phương trình (4.3), ta xác đinh St , với t ≥ cho công thức St := φ + Ωt (φ) : φ ∈ Bγρ ∩ X0 (t) ⊂ Cγ , 2N đây, toán tử Ωt0 xác định ∞ G(t0 − θ, τ )˜ g (τ, wτ )dτ với θ ∈ (−∞, 0], t0 ≥ 0, Ωt0 (φ)(θ) = t0 đó, w(·) nghiệm phương trình (4.34) Bργ (0) thỏa mãn Pγ (t0 )wt0 = φ Mặt khác, theo định nghĩa hàm Green G (xem (1.14)) ta thu Ωt0 (φ) ∈ KerPγ (t0 ) Hơn nữa, từ đánh giá (1.15) (4.18) ta có ∞ e−ν|t0 −θ−τ | wτ Ωt0 (φ)(θ) ≤ (1 + H)N ˜ )dτ γ ϕ(τ t0 ∞ ≤ (1 + H)N e−νθ e−ν|t0 −τ | wτ ˜ )dτ, γ ϕ(τ t0 với t0 ≥ Do đó, Ωt0 (φ) γ ≤ (1 + H)N (N1 + N2 )ρ ϕ˜ − e−ν M với t0 ≥ Xuất phát từ bất đẳng thức (1 + H)N (N1 + N2 ) γ˜ < , −ν (1 − e ) ˜ (t0 ) ta suy toán tử Ωt0 từ Bγρ ∩ X0 (t0 ) đến Bγρ ∩ X 2N Tương tự, sử dụng đánh giá hàm Green, ta chứng minh Ωt0 liên tục Lipschitz với số Lipschitz không phụ thuộc t0 Thật vậy, ta có ∞ e−ν|t0 −θ−τ | ϕ(τ ˜ ) wτ − vτ Ωt0 (φ1 )(θ) − Ωt0 (φ2 )(θ) ≤ N (1 + H) γ dτ t0 ∞ ≤ N (1 + H)e −νθ e−ν|t0 −τ | ϕ(τ ˜ ) wτ − vτ t0 92 γ dτ, với t0 ≥ 0, φ1 , φ2 ∈ Bγρ ∩ X0 (t0 ) Từ điều kết hợp với γ ≥ ν > 0, ta có 2N Ωt0 (φ1 ) − Ωt0 (φ2 ) γ ≤ N (1 + H)(N1 + N2 ) ϕ˜ − e−ν M sup t≥t0 wt − vt γ với t0 ≥ (4.35) Như vậy, đặt k1 = N (1 + H)(N1 + N2 ) γ˜ < − e−ν với w v thỏa mãn phương trình (4.34), ta có sup wt − vt t≥t0 γ ≤ N φ1 − φ2 1− Ψ γ + k1 sup wt − vt t≥t0 γ Điều suy sup wt − vt t≥t0 γ ≤ N φ1 − φ2 γ − Ψ − k1 (4.36) Kết hợp (4.35) (4.36) ta thu Ωt0 (φ1 ) − Ωt0 (φ2 ) γ ≤ k1 N φ1 − φ2 γ − Ψ − k1 Do đó, Ωt0 liên tục Lipschitz với số Lipschitz K0 = k1 N 1− Ψ −k1 không phụ thuộc t0 ρ 2N , ρ1 Mặt khác, đặt ρ0 := := ρ2 , chứng minh St0 đồng phôi với Bγρ0 (0) ∩ X0 (t0 ) Để có điều đó, chúng tơi định nghĩa phép biến đổi Υ : Bγρ0 (0) ∩ X0 (t0 ) → St0 xác định Υφ := φ + Ωt0 (φ) với φ ∈ ImP (t0 ) Vì (1 + H)N (N1 + N2 ) γ˜ < , −ν (1 − e )(1 − Ψ ) 1+N ta có số Lipschitz K0 < Do đó, áp dụng định lý hàm ẩn cho ánh xạ liên tục (xem [63, Bổ đề 2.7]) ta thu Υ đồng phôi Vậy, với nghiệm uˆ thỏa mãn thêm điều kiện 1-tuần hồn Định nghĩa 4.2 điều kiện (ii) Định nghĩa 4.2 thỏa mãn điều kiện (iii) Định nghĩa 4.2 suy từ Định lý 4.4 Các kết minh họa ví dụ sau 93 Ví dụ minh họa Xét phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vô hạn sau  ∂w(x, t) ∂w(x, t − 1) ∂ w(x, t) ∂ w(x, t − 1)    −h = a(t) −h + ηw(x, t)   ∂t ∂t ∂x2 ∂x2       +ψ(t) m(t + θ) sin wt (x, θ)dθ + k(x, t)   −∞ với ≤ x ≤ π, t ≥ 0,        w(0, t) = w(π, t) =      w(x, θ) = φ(x, θ) với t ≥ 0, với ≤ x ≤ π, θ ∈ (−∞, 0], φ ∈ Cγ (4.37) h, η số thực với |h| < 1, η > η = n2 với n ∈ N Hàm a(·) ∈ L1,loc (R+ ) 1-tuần hoàn thỏa mãn điều kiện < γ0 ≤ a(t) ≤ γ1 với γ0 , γ1 cố định t ≥ Hàm k : [0, π] × R+ → R+ liên tục 1-tuần hồn theo biến t Hàm m(t + θ)e−γθ khả tích (−∞, 0] với γ ≥ đặt K0 := m(t + θ)e−γθ dθ sup θ∈(−∞,0] −∞ Chọn không gian Hilbert X := L2 [0, π], cho A : D(A) ⊂ X → X định nghĩa Ay = y + ηy, miền D(A) = H02 [0, π] := {f ∈ W 2,2 [0, π] : f (0) = f (π) = 0} Suy A tốn tử sinh nửa nhóm giải tích T(t) t≥0 với σ(A) = −n2 + η : n = 1, 2, 3, · · · Vì η = n2 với n ∈ N ta có σ(A) ∩ iR = ∅ Áp dụng Định lý ánh xạ phổ cho nửa nhóm giải tích ta thu σ(T(t)) = etσ(A) = et(−n 94 +η) : n = 1, 2, 3, · · · (4.38) Do đó, với Γ := {λ ∈ C : |λ| = 1}, σ(T(t)) ∩ Γ = ∅ với t > Suy ra, với t0 > cố định, tập phổ toán tử T(t0 ) chia thành hai tập khác σ0 , σ1 , σ0 ⊂ {z ∈ C : |z| < 1}, σ1 ⊂ {z ∈ C : |z| > 1} Chúng chọn P = P (t0 ) phép chiếu Riesz tương ứng tập phổ σ0 Q = I − P Khi đó, P Q giao hốn với T(t) với t > Tiếp theo, ta định nghĩa TQ (t) := T(t)Q hạn chế T(t) ImQ Sử dụng Định lý nửa nhóm, nửa nhóm T(t) t>0 có nhị phân mũ hạn chế TQ (t) khả nghịch Cũng vậy, tồn số dương N, β cho T(t)|P X ≤ N e−βt , ∀t ≥ 0, (4.39) TQ (−t) = TQ (t)−1 ≤ N e−βt , ∀t ≥ Đặt A(t) := a(t)A, ta có A(t) 1-tuần hồn, họ A(t) hóa U (t, s) t≥s≥0 t≥0 sinh họ tiến 1-tuần hoàn định nghĩa   t a(τ )dτ  U (t, s) = T  s Khi đó, họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 có nhị phân mũ với tốn tử chiếu P (t) = P , với t ≥ số N, ν := βγ0 thỏa mãn đánh giá   t a(τ )dτ  |P X ≤ N e−ν(t−s) , U (t, s)|P X = T  s  U (s, t)| = (U (t, s)|ker P ) −1 t = TQ −  a(τ )dτ  ≤ N e−ν(t−s) , s với t ≥ s ≥ Toán tử sai phân F định nghĩa F : Cγ → X, F (y) := y(0) − hy(−1) Khi đó, F có dạng F = δ0 − Ψ với Ψ = hδ−1 , Ψ ≤ |h| < 1, δs hàm Dirac tập trung s Hàm g : R+ × Cγ → X xác định  g t, wt (·, θ) := ψ(t)   m(t + θ) sin wt (·, θ)dθ + k(·, t) với w ∈ Cγ , −∞ 95 đây, với số cố định c > 0, hàm thực ψ(·) xác định  t − n t ∈ 2n+1 − 1c , 2n+1 + 1c với n = 0, 1, 2, · · · 2 2 ψ(t) = 0 trường hợp khác (4.40) Khi đó, ta có 2n+1 + 2c t+1 sup |ψ(τ )|dτ ≤ sup t≥0 n∈N t (t − n)dt = 2c−1 2n+1 − 2c giá trị ψ lớn Do đó, 2c−1 phương trình (4.37) viết lại thành   d F ut (·) = A(t)F ut (·) + g t, ut (·, θ) , dt  u0 (·, θ) = φ(·, θ) ∈ Cγ , φ ∈ Bγγ Suy ψ ∈ M(R+ ) ψ M ≤ Vì k(·, t) 1-tuần hoàn nên g(t, φ) 1-tuần hoàn theo t với hàm φ ∈ Bγρ 1/2 π t∈[0,∞) ta có |k(x, t)| dx Hơn nữa, với α := sup g(t, 0) = ψ(t) k(·, t) ≤ αψ(t) Khi đó, g(t, ut (x, θ)) − g(t, vt (x, θ))   π  =  −∞  ≤ ψ(t) 1/2 π |ut (x, θ) − vt (x, θ)| dx m(t + θ)  −∞ 0 m(t + θ) ut (·, θ) − vt (·, θ) dθ = ψ(t) −∞ ≤ ψ(t) sup θ∈(∞,0] ut (θ) − vt (θ) e−γθ e−γθ m(t + θ)dθ −∞ = ψ(t) 1/2  m(t + θ) sin ut (x, θ) − sin vt (x, θ) dθ dx ψ(t)  e−γθ m(t + θ)dθ ut − vt −∞ 96 γ dθ Vậy, g(t, ut (x, θ)) − g(t, vt (x, θ)) ≤ K0 ψ(t) ut − vt γ , với ut , vt ∈ Bγρ Điều suy ra, g thỏa mãn giả thiết Định lý 4.3 Định lý 4.4 với L0 = ρ + α K0 , ϕ(t) = K0 ψ(t), ϕ(t) ˜ = 2K0 ψ(t) Vậy, theo Định lý 4.3 ta có: Nếu c đủ lớn (suy ra, ψ M đủ nhỏ) cho (M + 1)Keα (L0 + ρ)γ ∗ ≤ ρ, 1− Ψ với M = (1+H)N (N1 +N2 ) 1−e−ν phương trình (4.37) có nghiệm đủ tốt uˆ ∈ Bργ (0) 1-tuần hoàn nghiệm uˆ ổn định có điều kiện theo Nhận xét 4.2 Hơn nữa, theo Định lý 4.5, tồn đa tạp ổn định địa phương S nghiệm đủ tốt phương trình (4.37) xung quanh nghiệm tuần hồn uˆ Kết luận Chương Trong chương này, nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa trung tính có trễ vơ hạn dạng (4.1), mở rộng Chương 3, đồng thời mở rộng toán Huy & Dang (xem [28]) Cụ thể, từ Chương với phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến tính có trễ hữu hạn, phần phi tuyến g(t, v) ϕ-Lipschitz với v thuộc không gian hàm C, chuyển sang tốn Chương 4, có trễ vơ hạn, v thuộc không gian giảm nhớ Cγ Đặc biệt, F ut = u(t) γ = ν, toán Chương trở toán Huy & Dang [28] Các kết thu là: Chứng minh tồn tại, tính nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính (4.1) khơng gian giảm nhớ Cγ , phương trình có trễ vơ hạn Chỉ tính ổn định có điều kiện nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình Chứng minh tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm đủ tốt tuần hoàn thu 97 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những kết đạt Luận án Tính tuần hồn ổn định nghiệm phương trình tiến hóa trung tính với việc sử dụng cơng cụ phương pháp Massera, phương trình Lyapunov-Perron, nguyên lý điểm bất động, chuỗi Neumann, bất đẳng thức nón, để chứng minh tồn tại, nhất, tính ổn định có điều kiện đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn lớp phương trình tiến hóa trung tính có trễ hữu hạn vơ hạn Những kết góp phần mang lại tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa trung tính với nhiễu phi tuyến xung quanh nghiệm tuần hoàn Xuyên suốt luận án, chúng tơi xét lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng dF ut = A(t)F ut + g(t, ut ), dt t ∈ [0, +∞), u0 = φ ∈ H, (4.41) đó, H khơng gian hàm C không gian giảm nhớ Cγ Các kết đạt là: (i) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm tuần hồn lớp phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính khơng (Định lý 2.1) (ii) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm tuần hồn lớp phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến tính (4.41) với phần phi tuyến g(t, v) liên tục Lipschitz (Định lý 2.2) ϕ-Lipschitz, với ϕ phụ thuộc thời gian t thuộc vào không gian hàm chấp nhận được, v thuộc không gian hàm C (Định lý 3.2) v thuộc không gian giảm nhớ Cγ (Định lý 4.2) (iii) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn tại, tính nghiệm tuần hồn lớp phương trình (4.41) phần tuyến tính sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ phần phi tuyến g(t, v) liên tục Lipschitz (Định lý 2.3) 98 ϕ-Lipschitz, với v thuộc không gian hàm C (Định lý 3.3) v thuộc không gian giảm nhớ Cγ (Định lý 4.3) (iv) Thiết lập điều kiện đủ cho tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn lớp phương trình (4.41) phần tuyến tính sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ (tương ứng với ba trường hợp hàm trễ phi tuyến g định lý: Định lý 2.4, Định lý 3.4, Định lý 4.4) (v) Chứng minh tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn thu phần tuyến tính sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ, phần phi tuyến g(t, v) ϕ-Lipschitz, v thuộc không gian hàm C (Định lý 3.5) v thuộc không gian giảm nhớ Cγ (Định lý 4.5) Đề xuất số hướng nghiên cứu Sau kết đạt luận án, số vấn đề sau tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu tồn tại, tính ổn định nghiệm tuần hoàn, đa tạp ổn định địa phương số lớp phương trình tiến hóa trung tính chứa nhiều số hạng phi tuyến với điều kiện Lipschitz khác nhau, trường hợp trễ hữu hạn vơ hạn • Khảo sát tồn tại, tính hầu tuần hồn đa tạp bất biến xung quanh nghiệm hầu tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính 99 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [CT1] Nguyen Thieu Huy, Nguyen Thi Loan, Vu Thi Ngoc Ha (2019), Periodic solutions and their conditional stability for partial neutral functional differential equations, Journal of Evolution Equations 19, 10911110 (SCIE/Scopus-Q1) [CT2] Thi Ngoc Ha Vu, Thieu Huy Nguyen, Thi Loan Nguyen (2020), Periodic solutions to partial neutral functional differential equations in admissible spaces on a half-line, Vietnam Journal of Mathematics (ESCI/Scopus) DOI: 10.1007/s10013-020-00405-3 Published online 07 April 2020 [CT3] Thieu Huy Nguyen, Thi Loan Nguyen, Thi Ngoc Ha Vu (2020), Periodicity and stability of solutions to neutral differential equations with ϕLipschitz and infinite delays, Annales Polonici Mathematici 125(2), 155181 (SCIE-Q2) 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N.T.Huy (2002), “Functional Partial Differential Equations and Evolution Semigroups, PhD Dissertation, University of Tă ubingen, Germany [2] Phạm Văn Bằng (2016), “Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân khơng gian Banach”, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường ĐHBK Hà Nội, Hà Nội [3] J Wu (1996), “Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations”, Springer, NewYork [4] J Wu, H Xia (1996), “Self-sustained oscillations in a ring array of lossless transmission lines”, J Diff Equ., 124, 247-278 [5] M Adimy, K Ezzinbi (1998), “Strict solutions of nonlinear hyperbolic neutral differential equations”, Dyn Syst Appl., 7, 389-404 [6] J Wu, H Xia (1999), “Rotating waves in neutral partial functional differential equations”, J Dyn Diff Eq., Vol 11, no 2, 209-238 [7] M Adimy, K Ezzinbi, M Laklach (2002), “Local existence and global continuation for a class of partial neutral functional differential equations”, C R Acad Sci Paris, t 330, Serie I, 952-962 [8] M Adimy, H Bouzahir, K Ezzinbi (2004), “Existence and stability for some partial neutral functional differential equations with infinite delay”, J Math Anal, Appl., Vol 294, no 2, 438-461 [9] J K Hale (1994), “Partial neutral functional differential equations”, Rev Roumaine Math Pure Appl., Vol 39, no 4, 339-344 [10] J K Hale (1994), “ Coupled oscillators on a circle, Dynamical phase transitions” (Sao Paulo), Resenhas, Vol 1, no 4, 441-457 101 [11] J.L Massera (1950), “The existence of periodic solutions of systems of differential equations”, Duke Math J., 17, pp 457-475 [12] O Zubelevich (2006), “A note on theorem of Massera”, Regul Chao Dyn 11, pp 475-481 [13] N.T.Huy, N.Q.Dang (2016), “Existence, uniqueness and conditional stability of periodic solutions to evolution equations”, J Math Anal Appl., 433 , 1190-1203 [14] N.T.Huy, N.Q.Dang (2016), “Periodic solutions to evolution equations: existence, conditional stability and admissibility of function spaces”, Ann Polon Math., 116, 173-195 [15] J K Hale, O Lopes (1966), “Fixed point theorems and dissipative processes”, J Diff Equ., Vol 13, 391-402 [16] S N Chow, J K Hale (1974), “Strongly limit-compact maps”, Funkcioj Ekvacioj, Vol 17, 31-38 [17] R Benkhalti, H Bouzahir, K Ezzinbi (2001), “Existence of a periodic solution for some partial functional differential equations with infinite delay”, J Math Anal Appl., 256, 257-280 [18] R Benkhalti, A Elazzouzi, K Ezzinbi ( 2006), “Periodic solutions for some partial neutral functional differential equations”, Elec J Diff Equ., Vol 2006, No 56, pp 1-14 [19] J Serrin (1959), “A note on the existence of periodic solutions of the NavierStokes equations”, Arch Rational Mech Anal., , pp 120-122 [20] T.Yoshizawa (1975), “Stability Theory and the Existence of Periodic Solutions and Almost Periodic Solutions”, Appl Math Scie., 14 Springer, New York [21] J Pră uss (1979), Periodic solutions of semilinear evolution equations, Nonlinear Anal., 3, 601-612 102 [22] J Pră uss (1986), “Periodic solutions of the thermostat problem Differential equations in Banach spaces” (Book’s Chapter), 216-226, Lecture Notes in Math., 1223, Springer, Berlin [23] T Burton (1985), “Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations”, Academic Press, Orlando, Florida [24] J.H Liu, G.M N’Guerekata, Nguyen Van Minh (2008), “Topics on Stability and Periodicity in Abstract Differential Equations”, Series on Concrete and Applicable Mathematics - Vol 6, World Scientific Publishing, Singapore [25] N.T.Huy (2014), “Periodic motions of Stokes and Navier–Stokes flows around a rotating obstacle”, Arch Ration Mech Anal., 213 , 689-703 [26] M Geissert, M Hieber, N.T.Huy (2016), “A general approach to time periodic incompressible viscous fluid flow problems”, Arch Ration Mech Anal., 220, 1095–1118 [27] N.T.Huy, N.Q.Dang ( 2017), “Dichotomy and perriodic solution to partial functional differential equations”, Disc Cont Dyn Sys series B, 22, 31273144 [28] N.T.Huy, N.Q.Dang ( 2018), “Solutions to partial functional differential equations with infinite delays: Periodicity and admissibility”, Act Math Vie., 43, 415-432 [29] J Hadamard (1901), “Sur l’intération et les solutions asymptotiques des equations différentielles”, Bulletin de la Société Mathématique de France, 29, pp 224-228 ă [30] O Perron (1929), Uber stabilită at und asymptotisches verhalten der integrale von differentialgleichungssystemen”, Math Zeit., 29, pp 129-160 [31] O Perron (1930), Die stabilită atsfrage bei differentialgleichungen”, Mathematische Zeitschrift, 32, pp 703-728 [32] N Bogoliubov, Yu Mitropolsky (1961), “Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations”, Translated from the second revised Russianedition, International Monographs on Advanced Mathematics and Physics, Gordon and Breach Science Publishers, New York 103 [33] N Bogoliubov, Yu Mitropolsky (1963), “The method of integral manifolds in nonlinear mechanics”, Contr Diff Equ., 2, pp.123-196 [34] N.T Huy (2009), “Stable manifolds for semi-linear evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line”, J Math Anal Appl 354, pp 372-386 [35] N.T Huy (2009), “Invariant manifolds of admissible classes for semi-linear evolution equations”, J Diff Equ., 246, pp 1820-1844 [36] N.T Huy, T.V Duoc (2014), “Integral manifolds for partial functional differential equations in admissibility spaces on a half-line”, J Math Anal Appl., 411, pp 816-828 [37] N.T.Huy, P.V.Bang (2012), “Hyperbolicity of solution semigroups for linear neutral differential equations”, Semigroup Forum, 84, 216-228 [38] N.T.Huy, P.V.Bang ( 2014), “Dichotomy and positivity of neutral equations with nonautonomous past” Appl Anal Disc Math., 8, 224 - 242 [39] N.T.Huy, P.V.Bang ( 2015), “Invariant stable manifolds for partial neutral functional differential equations in admissible spaces on a half-line”, Disc Cont Dyn Syst series B, 20, 2993–3011 [40] N.T.Huy, P.V.Bang ( 2017), “Unstable manifolds for partial neutral differential equations and admissibility of function spaces”, Act Math Vie., 42, 187–207 [41] Trịnh Viết Dược (2014), “Đa tạp tích phân dáng điệu tiệm cận nghiệm số lớp phương tình tiến hóa”, Luận án Tiến sĩ Tốn học, Trường ĐHKHTN- ĐHQG Hà Nội, Hà Nội [42] Trịnh Xuân Yến (2021), “Tính chất định tính nghiệm số lớp phương trình có trễ trung tính”, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường ĐH Bách khoa Hà Nội, Hà Nội [43] K.J Engel, R Nagel (2000), “One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations”, Graduate Text Math., 194, Springer, Berlin 104 [44] K.J Engel (1999), “Spectral theory and generator property of one-sided coupled operator matrices" Semigroup Forum, 58, pp 267 - 295 [45] J van Neerven (1996), “The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operator Operator Theory, Advances and Applications”, 88, Birkhăauser, Berlin [46] N.T.Huy (2006), Exponential dichotomy of evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line”, J Func Anal., 235, 330-354 [47] J.J Massera, J.J Schăaffer (1966), “Linear Differential Equations and Function Spaces”, Academic Press, New York [48] F Răabiger, R Schnaubelt (1996), The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions”, Semigroup Forum, 48, 225 - 239 [49] Triebel H (1978), “Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators”, Publisleev, North-Holland [50] Y Hino, S Murakami, T Naito (1991), “Functional Differential Equations with Infinite Delay”, Lect Notes Math., 1473, Springer, Berlin [51] J Hale, J Kato (1978) “Phase space for retarded equations with infinite delay, Funkcial Ekvac, 21, pp 11-41 [52] J.H Liu (2000), “Periodic solutions of infinite delay evolution equations”, J Math Anal Appl., 247, pp 627-644 [53] O Perron (1930), Die stabilită atsfrage bei differentialgleichungen” Math Z., 32, 703-728 [54] J.L Massera, J.J Schăaffer (1958), Linear differential equations and functional analysis, I, Ann of Math., 67, pp 517-573 [55] J.L Massera, J.J Schăaffer (1959), “Linear differential equations and functional analysis, II”, Ann of Math., 69, 88-104 [56] Ju L Daleckii, M G Krein (1974), “Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces" Transl Amer Math Soc Provindence RI 105 [57] B.M Levitan, V.V Zhikov (1978), “Almost Periodic Functions and Differential Equations”, Moscow Univ Publ House [58] A Pazy (1983), “Semigroup of Linear Operators and Application to Partial Differential Equations" Springer, Berlin [59] R Nagel, G Nickel (2002), “Well-posedness for non-autonomous abtract Cauchy problems”, Prog Nonl Diff Eq Appl., 50, 279-293 [60] N.V Minh, F Răabiger, R Schnaubelt (1998), Exponential stability, exponential expansiveness and exponential dichotomy of evolution equations on the half line”, Integr Eq and Oper Theory, 32, 332-353 [61] Boutet de Monvel L., Chueshov I.D., and Rezounenko A.V (1998), “Inertial manifolds for retarded semilinear parabolic equations”, Nonlinear Analysis, 34(6), pp 907-925 [62] Ngơ Q Đăng (2017), “Nghiệm tuần hồn dáng điệu tiệm cận nghiệm số lớp phương trình vi phân”, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường ĐHBK Hà Nội, Hà Nội [63] N.V Minh, J Wu (2004), “Invariant manifolds of partial functional differential equations”, J Diff Eq., 198, 381-421 1 Thứ tự tài liệu tham khảo viết theo quy định trường Đại học Bách khoa Hà Nội 106 ... VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH 29 2.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính 31 2.2 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến 2.3 tính ... nghĩa đa tạp ổn định địa phương Chương Sự tồn tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính Chương chúng tơi chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hồn, tính ổn định có điều... nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính Kết luận án Luận án đạt số kết sau đây: 12 • Chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hồn, tính ổn định có điều kiện số lớp phương trình tiến hóa trung tính