Tính tuần hoàn và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  Nguyễn Thị Loan TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  Nguyễn Thị Loan TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Vũ Thị Ngọc Hà TS Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2021 L˝I CAM OAN Tæi xin cam oan c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu Lu“n ¡n T‰nh tuƒn ho n v Œn ành cıa nghi»m c¡c ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa trung t‰nh l cỉng tr…nh nghi¶n cøu ca riảng tổi Lun Ăn ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn khoa hồc ca th TS Vơ Thà Ngåc H v TS L¶ Huy Ti„n C¡c k‚t qu£ Lu“n ¡n ho n to n trung thüc v ch÷a tłng ÷ỉc t¡c gi£ kh¡c cỉng bŁ bĐt ký mt cổng trnh nghiản cứu n o Tp th hữợng dÔn TS Vụ Th Ngồc H TS Lả Huy Tin LIC MèN Lun Ăn ữổc thỹc hiằn ti trữớng i hồc BĂch khoa H Ni, dữợi sỹ hữợng dÔn ca th TS Vụ Th Ngồc H (Tr÷íng ⁄i håc B¡ch khoa H Nºi) v TS Lả Huy Tin (Trữớng HKHTN- HQG H Ni) Tổi xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc n hai giĂo viản hữợng dÔn ca mnh, nhng ngữới  tn tnh giúp ù tổi trản ữớng khoa hồc c bi»t l TS Vô Thà Ngåc H , nhœng sü ng viản, khch lằ ca cổ  giúp tổi vữổt qua nhiãu tr ngi vng tƠm hồc Trong quĂ trnh hồc tp, nghiản cứu ti Trữớng i hồc B¡ch khoa H Nºi v tham gia seminar D¡ng i»u tiằm cn nghiằm ca phữỡng trnh vi phƠn v ứng dửng PGS.TSKH.Nguyn Thiằu Huy iãu h nh, tổi  ÷æc Thƒy ch¿ b£o t“n t…nh, Thƒy luæn t⁄o nhng thò thĂch giúp tổi tỹ hồc họi, tm tặi, s¡ng t⁄o Tỉi xin b y tä lỈng bi‚t ìn v vổ knh trồng n Thy ỗng thới, tổi cụng xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh n c¡c thƒy cỉ v nhœng th nh vi¶n nhâm seminar ¢ câ nhœng âng gâp, chia s· gióp tỉi thun lổi nghiản cứu Tổi xin trƠn trồng gòi lới c£m ìn ‚n Ban Gi¡m hi»u, PhỈng o t⁄o, ban l ¢nh ⁄o cịng c¡c thƒy cỉ Vi»n To¡n øng dưng v Tin håc, c¡c thƒy cỉ bº mỉn To¡n cì b£n ⁄i håc B¡ch khoa H Nºi  luổn giúp ù, ng viản, to iãu kiằn qu¡ tr…nh nghi¶n cøu cıa tỉi Tỉi cơng xin b y tọ sỹ cÊm ỡn chƠn th nh tợi Ban Gi¡m hi»u, Khoa Khoa håc cì b£n Tr÷íng ⁄i håc Sữ phm K thut Hững Yản, nỡi tổi ang cổng tĂc,  to iãu kiằn thun lổi cho tổi hồc t“p v nghi¶n cøu Sau cịng, tỉi xin d nh líi c£m ìn cho gia …nh, b⁄n b–, nhœng ng÷íi ¢ ln khuy‚n kh‰ch, ºng vi¶n chia s· nhœng khâ khôn cuc sng tổi yản tƠm hồc v ho n th nh lu“n ¡n MÖC LÖC LI CAM OAN LIC MèN MáT Să K HI U DềNG TRONG LU N N M U Lỵ chån • t i Mưc ‰ch, Łi t÷ỉng v phm vi nghiản Phữỡng phĂp nghiản cứu K‚t qu£ cıa lu“n ¡n C§u tróc lu“n ¡n Ch÷ìng KI N THÙC CHU N BÀ 1.1 Nòa nhõm liản tửc mnh v toĂn tò sinh 1.2 T‰nh Œn ành mơ v nhà ph¥n mơ cıa n 1.3 Khỉng gian h m Banach ch§p nh“n ÷ỉc 1.4 Khỉng gian gi£m nhỵ 1.5 Nhà ph¥n mơ cıa hå ti‚n hâa 1.6 Nghi»m tun ho n ca phữỡng trnh tin h 1.7 BĐt flng thøc nân Ch÷ìng SÜ T˙N T I V T NH ˚N ÀNH C´ I U KI N CÕA NGHI M TU N HO N ăI VI PHìèNG TR NH TI N H´A TRUNG T NH 2.1 Nghi»m tuƒn ho n cıa ph÷ìng tr…nh ti‚n hâ 2.2 Nghi»m tuƒn ho n cıa ph÷ìng tr…nh ti‚n hâ t‰nh 2.3 Nghi»m tuƒn ho n tr÷íng hỉp hå ti‚n Ch÷ìng NGHI M TU N HO N CÕA PH×ÌNG TR NH TI N H´A TRUNG T NH C´ TR HÚU H N TRONG KH˘NG GIAN H M CH P NH N ×ĐC 3.1 Nghi»m tuƒn ho n cıa ph÷ìng tr…nh ti‚n hœu h⁄n khổng gian h m chĐp nh 3.2 Trữớng hổp hồ tin hõa cõ nh phƠn mụ Chữỡng NGHI M TU N HO N CÕA PH×ÌNG TR NH TI N H´A TRUNG T NH C´ TR V˘ H N TRONG KH˘NG GIAN H M CH P NH N ×ĐC 4.1 Nghi»m tuƒn ho n cıa ph÷ìng tr…nh ti‚n vỉ h⁄n khỉng gian h m ch§p nh“n 4.2 Nghi»m tuƒn ho n tr÷íng hỉp hå 4.3 a t⁄p Œn ành àa ph÷ìng xung quanh n K TLU NV KI NNGH Nhng kt quÊ Â t ữổc ã xuĐt mt s hữợng nghiản cứu tip theo DANH MệC C C CNG TR NHCNG Bă CếA LU N N T ILI UTHAMKH O CH MÖC MáT Să K HI U DềNG TRONG LU N R R+ Lp(R):= N : T“p c¡c sŁ thüc : T“p c¡c sŁ thüc khỉng ¥m R : T“p c¡c sŁ thüc khỉng d÷ìng C : T“p c¡c sŁ phøc L1;loc(R+) := fu : R ! R+ j u L1(!) vợi mồi o ữổc ! R+g õ ! R+ ngh¾a l bao âng ! l t“p compact R+ X : Khæng gian Banach E : Khæng gian h m Banach chĐp nhn ữổc C := C([ nh“n gi¡ trà X ÷ỉc trang bà chu'n kukC = C : v Khæng gian c¡ Cb(I; X) : Khỉng gian c¡c h m li¶n tưc, bà ch°n, nh“n giĂ tr trongX; xĂc nh trản I ữổc trang b chu'n kuk1 = sup ku(t)k; t2I vỵi I câ th” l R; R+; R ; [ M(R+) := vỵi chu'n kfk M M := t := ff : R+ ! X j kf( )k Mg vỵi chu'n kfkM := kkf( )kkM: M— U TŒng quan v• hữợng nghiản cứu v lỵ chồn ã t i Phữỡng trnh vi phƠn l mt cổng cử quan trồng mổ tÊ cĂc hiằn tữổng tỹ nhiản v k thut nhữ quĂ trnh truyãn nhiằt, quĂ trnh phÊn øngkhu‚ch t¡n, c¡c mæ h…nh c⁄nh tranh, : : : Trong õ lợp phữỡng trnh vi phƠn mổ tÊ sỹ phö thuºc v o c£ h» tr⁄ng th¡i qu¡ khứ lÔn hằ trng thĂi tữỡng lai, tức l phữỡng trnh vi phƠn va cõ tr ( delay ) va cõ sợm ( advanced ), ữổc gồi l phữỡng tr…nh vi ph¥n trung t‰nh ( neutral ) (xem [1, 2]) Vợi cĂc phữỡng trnh vi phƠn trung tnh, viằc nghiản cứu sỹ tỗn ti v n nh nghiằm ca chóng kh¡ phøc t⁄p Khi â, b‹ng c¡ch chån khỉng gian v toĂn tò thch hổp, lợp phữỡng trnh n y cõ th ữổc vit li dữợi dng phữỡng trnh trung t‰nh trłu t÷ỉng khỉng gian Banach th÷íng ÷ỉc gåi l ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa trung t‰nh Trong lu“n Ăn n y chúng tổi s xt cĂc lợp phữỡng tr…nh ti‚n hâa trung t‰nh câ d⁄ng dF ut dt = A(t)F ut + g(t; ut); vỵi câ th” thuºc khỉng gian h m C ho°c khỉng gian gi£m nhỵ C ; to¡n tß tuy‚n t‰nh t 7!A(t) câ th” khỉng bà ch°n tr¶n khỉng gian Banach X v T tun ho n theo bin t; toĂn tò sai phƠn F : C ! X tuy‚n t‰nh bà ch°n, to¡n tß tr„ phi tuy‚n g : R+ C ! X l T -tuƒn ho n v li¶n tưc Lipschitz ho°c ’-Lipschitz H m ut gåi l h m làch sß ("history function") ữổc nh nghắa bi ut( ) := u(t + ) vỵi [ r; 0] ho°c ( ; 0] Ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa trung t‰nh ph¡t sinh t nhiãu ứng dửng nhữ hằ sinh thĂi qun th, hằ khuch tĂn, hằ xò lỵ tn hiằu, Ta cõ th” tham kh£o Wu [3], Wu & Xia [4], vợi nhiãu v dử v ứng dửng ca dng phữỡng trnh n y cho mng lữợi ữớng dƠy truyãn tÊi Chflng hn, tĂc giÊ Â xt mt mng lữợi v ch mổ hnh ca nõ tữỡng ứng vợi phữỡng tr…nh @ @t F ut = a â h m u thuºc C := C([ r; 0]; X) vỵi r > v khæng gian Banach X cıa c¡c 1 1 h m trản ữớng trặn ỡn S ; tøc l X = H (S ) ho°c X = C(S ); h m làch sß ut ÷æc x¡c inh bði ut( ) := u(t + ) vợi [ r; 0] v t toĂn tò tuyn t‰nh F v v 0: C¡c bà ch°n tł C([ r; 0]; X) ! X gåi l to¡n tß sai phƠn toĂn tò tr Lỵ thuyt vã phữỡng trnh tin hõa trung tnh sau õ  ữổc phĂt trin bi nhi•u t¡c gi£ kh¡c (xem Adimy & Ezzinbi [5], Wu and H Xia [6], Adimy, Ezzinbi & Laklach [7], Adimy, Bouzahir & Ezzinbi [8] v c¡c t i li»u tham khÊo õ) Trong Hale [9, 10]  nghiản cứu tnh chĐt nh tnh ca nghiằm lợp phữỡng trnh tin hâa trung t‰nh æ-tæ-næm, mang l⁄i c¡c k‚t qu£ quan trång v• t‰nh Œn ành, t‰nh hót v sü r‡ nh¡nh cıa nghi»m xung quanh mºt tr⁄ng th¡i dłng ” nghiản cứu dĂng iằu tiằm cn nghiằm ca phữỡng trnh ti‚n hâa trung t ‰nh (1), khỉng th” khỉng nghi¶n cứu n sỹ tỗn ti, tnh nhĐt nghiằm tun ho n cıa ph÷ìng tr…nh cơng nh÷ chøng minh t‰nh Œn ành (câ i•u ki»n) cıa nghi»m tuƒn ho n õ trữớng hổp toĂn tò A(t); h m phi tuy‚n g(t; ) l T -tuƒn ho n theo t: im qua li lch sò vã b i toĂn nghiằm tun ho n ca phữỡng trnh vi phƠn Nôm 1950 Massera (xem [11])  nghiản cứu chứng minh ữổc mi li¶n h» giœa nghi»m bà ch°n v nghi»m tuƒn ho n ca phữỡng trnh vi phƠn thữớng Sau õ ữổc Zubelevich m rng v o nôm 2006 (xem [12]) Vợi phữỡng trnh vi phƠn h m, nhn chung cõ mt s phữỡng phĂp thữớng ữổc sò dửng, nhữ phữỡng phĂp Massera (xem [13, 14]), phữỡng phĂp im bĐt ng, chflng h⁄n nh÷ Hale & Lopes [15], Chow & Hale [16], Benkhalti, Bouzahir & Ezzinbi [17] ho°c Benkhalti, Elazzouzi & Ezzinbi [18] CĂch tip cn ph bin nhĐt ữổc sò dửng theo hữợng n y l tnh b chn cıa c¡c nghi»m v t‰nh compact cıa ¡nh x⁄ Poincar† thỉng qua mºt sŁ ph†p nhóng compact (xem Serrin [19], Yoshizawa [20], Pruss [21, 22], Burton [23], Liu, N’Guerekata & Minh [24]) Tuy nhi¶n, mºt sŁ t…nh huŁng thüc t‚, chflng h⁄n nh÷ tr÷íng hỉp ph÷ìng tr…nh vi phƠn o h m riảng vợi miãn khổng b chn (theo tĐt cÊ cĂc hữợng) hoc phữỡng trnh cõ nghiằm khỉng bà ch°n th… ph†p nhóng compact khỉng ¡p dưng ÷ỉc v vi»c lüa chån v†c tì ban ƒu th‰ch hỉp (ho°c câ i•u ki»n) ” £m b£o t‰nh bà ch°n cıa nghi»m xu§t ph¡t tł v†c tì â l khổng d d ng vữổt qua nhng khõ khôn n y, chúng tổi sò dửng nh lỵ dng Massera, tức l nh lỵ chứng minh nu phữỡng trnh vi ph¥n câ nghi»m bà ch°n th… s‡ câ mºt nghi»m V“y, kg(t; ut(x; )) g(t; vt(x; ))k K (t) kut vtk ; vỵi måi ut; vt B : iãu n y suy ra, g thọa mÂn giÊ thit ca nh lỵ 4.3 v nh lỵ 4.4 vợi L0 = + K , ’(t) = K (t); ’~(t) = 2K (t): Vy, theo nh lỵ 4.3 v nh lỵ 4.4 ta câ: N‚u c ı lỵn (suy ra, k kM nhọ), th phữỡng trnh (4.38) cõ nhĐt nghi»m ı tŁt u^ B (0) l 1-tuƒn ho n v nghi»m u^ n y Œn ành câ i•u kiằn theo Nhn xt 4.2 Hỡn na, theo nh lỵ 4.5, tỗn ti mt a n nh a phữỡng S cıa nghi»m ı tŁt cıa ph÷ìng tr…nh (4.38) xung quanh nghi»m tuƒn ho n u^ K‚t lu“n Ch÷ìng Chữỡng n y chúng tổi  nghiản cứu lợp phữỡng tr…nh ti‚n hâa trung t‰nh câ tr„ væ h⁄n d⁄ng (4.1), nõ l sỹ m rng ca Chữỡng 3, ỗng thíi cơng l mð rºng b i to¡n cıa Huy & Dang (xem [28]) Cử th, t Chữỡng vợi phữỡng trnh tin hõa trung tnh nòa tuyn tnh cõ tr„ hœu h⁄n, phƒn phi tuy‚n g(t; v) l ’Lipschitz vỵi mØi v thuºc khỉng gian h m C; chuy”n sang b i to¡n Ch÷ìng 4, câ tr„ vỉ h⁄n, v thuºc khỉng gian gi£m nhỵ C : °c bi»t, n‚u Fut = u(t) v = ; b i toĂn ca Chữỡng s tr vã b i toĂn cıa Huy & Dang [28] C¡c k‚t qu£ thu ÷ỉc l : Chứng minh sỹ tỗn ti, tnh nhĐt nghi»m ı tŁt tuƒn ho n cıa ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa trung t‰nh (4.1) khỉng gian gi£m nhỵ C ; ph÷ìng tr…nh câ tr„ vỉ h⁄n Ch¿ t‰nh Œn ành câ i•u ki»n nghi»m ı tŁt tuƒn ho n cıa ph÷ìng tr…nh â Chøng minh tỗn ti mt a n nh a phữỡng xung quanh nghi»m ı tŁt tuƒn ho n thu ÷ỉc 96 K TLU NV Nhœng k‚t qu£ ¢ ⁄t KI NNGHÀ ÷ỉc Lu“n ¡n T‰nh tuƒn ho n v Œn ành cıa nghi»m c¡c ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa trung t nh vợi viằc sò dửng cĂc cổng cử nhữ phữỡng phĂp Massera, phữỡng trnh Lyapunov-Perron, nguyản lỵ im bĐt ng, chuØi Neumann, b§t flng thøc nân, ” chøng minh sỹ tỗn ti, nhĐt, tnh n nh cõ iãu ki»n v a t⁄p Œn ành àa ph÷ìng xung quanh nghiằm tun ho n ca cĂc lợp phữỡng trnh tin hâa trung t‰nh câ tr„ hœu h⁄n ho°c væ h⁄n Nhœng k‚t qu£ n y gâp phƒn mang l⁄i bøc tranh h…nh håc v• d¡ng i»u ti»m c“n nghi»m cıa phữỡng trnh tin hõa trung tnh vợi nhiu phi tuyn xung quanh nghi»m tuƒn ho n Xuy¶n suŁt lu“n ¡n, chúng tổi xt lợp phữỡng trnh tin hõa trung tnh câ d⁄ng dF ut dt = A(t)F ut + g(t; ut); t [0; +1); â, H câ th” l khæng gian h m C ho°c khæng gian gi£m nhợ C : CĂc kt quÊ chúng tổi  t ÷ỉc l : (i) Thi‚t l“p i•u ki»n ı cho sỹ tỗn ti nhĐt nghiằm tun ho n ca lợp phữỡng trnh tin hõa trung tnh tuyn tnh khổng thun nhĐt ( nh lỵ 2.1) Thit lp iãu kiằn cho sỹ tỗn ti nhĐt nghiằm tun ho n ca lợp phữỡng trnh tin hõa trung tnh nòa tuyn tnh (4.42) vợi phn phi tuyn g(t; v) liản tửc Lipschitz ( nh lỵ 2.2) hoc -Lipschitz, vợi phư thuºc (ii) thíi gian t v thuºc v o mt khổng gian h m chĐp nhn ữổc, v thuc khổng gian h m C ( nh lỵ 3.2) hoc v thuc khổng gian giÊm nhợ C ( nh lỵ 4.2) Thit lp iãu kiằn cho sỹ tỗn ti, tnh nhĐt nghiằm tun ho n ca lợp phữỡng tr…nh (4.42) phƒn tuy‚n t‰nh sinh hå ti‚n hâa câ nhà ph¥n mơ v phƒn phi tuy‚n g(t; v) liản tửc Lipschitz ( nh lỵ 2.3) hoc (iii) 97 ’-Lipschitz, vỵi v thuºc khỉng gian h m C ( nh lỵ 3.3) hoc v thuc khổng gian giÊm nhợ C ( nh lỵ 4.3) (iv) Thit lp ữổc i•u ki»n ı cho t‰nh Œn ành câ i•u ki»n nghiằm tun ho n ca lợp phữỡng trnh (4.42) phƒn tuy‚n t‰nh sinh hå ti‚n hâa câ nhà phƠn mụ (tữỡng ứng ln lữổt vợi ba trữớng hổp tr¶n cıa h m tr„ phi tuy‚n g l c¡c nh lỵ: nh lỵ 2.4, nh lỵ 3.4, nh lỵ 4.4) (v) Chứng minh sỹ tỗn ti mt a Œn ành àa ph÷ìng xung quanh nghi»m tuƒn ho n thu ÷ỉc phƒn tuy‚n t‰nh sinh hå ti‚n hâa câ nhà ph¥n mơ, phƒn phi tuy‚n g(t; v) l ’-Lipschitz, v thuºc khæng gian h m C ( nh lỵ 3.5) hoc v thuc khổng gian giÊm nhợ C ( nh lỵ 4.5) ã xuĐt mt s hữợng nghiản cứu tip theo Sau nhng kt quÊ Â t ữổc lun Ăn, mt s vĐn ã sau Ơy cõ th ữổc tip tửc nghiản cứu: Nghiản cứu sỹ tỗn ti, tnh n nh nghiằm tun ho n, a n nh a phữỡng ca mt s lợp phữỡng trnh tin hõa trung tnh chứa nhiãu s hng phi tuyn vợi cĂc iãu kiằn Lipschitz khĂc nhau, cÊ tr÷íng hỉp tr„ hœu h⁄n ho°c vỉ h⁄n Kh£o sĂt sỹ tỗn ti, tnh hu tun ho n v a t⁄p b§t bi‚n xung quanh nghi»m hƒu tuƒn ho n cıa ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa trung t‰nh 98 DANH MệC C C CNG TR NH KHOA HC CNG Bă CÕA LU N N [CT1] Nguyen Thieu Huy, Nguyen Thi Loan, Vu Thi Ngoc Ha (2019), Periodic solutions and their conditional stability for partial neutral functional differential equations, Journal of Evolution Equations 19, 1091-1110 (SCIE/Scopus-Q1) [CT2] Thi Ngoc Ha Vu, Thieu Huy Nguyen, Thi Loan Nguyen, Periodic solutions to partial neutral functional differential equations in admissible spaces on a half-line, Vietnam Journal of Mathematics (ESCI/Scopus) DOI: 10.1007/s10013-020-00405-3 Published online 07 April 2020 [CT3] Thieu Huy Nguyen, Thi Loan Nguyen, Thi Ngoc Ha Vu (2020), Periodicity and stability of solutions to neutral differential equations with ’Lipschitz and infinite delays, Annales Polonici Mathematici 125(2), 155-181 (SCIE-Q2) 99 T ILI UTHAMKH O [1] N.T.Huy (2002), Functional Partial Differential Equations and Evolution Semigroups, PhD Dissertation, University of Tubingen, Germany [2] Ph⁄m V«n B‹ng (2016), Mt s tnh chĐt ca nghiằm phữỡng tr nh vi phƠn khổng gian Banach , Lun Ăn Tin sắ To¡n håc, Tr÷íng HBK H Nºi, H Nºi [3] J Wu (1996), Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations , Springer-Verlag, NewYork-Berlin-Heidelberg [4] J Wu, H Xia (1996), Self-sustained oscillations in a ring array of lossless transmission lines , J Diff Equ., 124, 247-278 [5] M Adimy, K Ezzinbi (1998), Strict solutions of nonlinear hyperbolic neu-tral differential equations , Dyn Syst Appl, 7, 389-404 [6] J Wu, H Xia (1999), Rotating waves in neutral partial functional differ-ential equations , J Dyn Diff Eq., Vol 11, no 2, 209-238 [7] M Adimy, K Ezzinbi, M Laklach (2002), Local existence and global con-tinuation for a class of partial neutral functional differential equations , C R Acad Sci Paris, t 330, Serie I, 952-962 [8] M Adimy, H Bouzahir, K Ezzinbi (2004), Existence and stability for some partial neutral functional differential equations with infinite delay , J Math Anal, Appl., Vol 294, no 2, 438-461 [9] J K Hale (1994), Partial neutral functional differential equations , Rev Roumaine Math Pure Appl., Vol 39, no 4, 339-344 [10] J K Hale (1994), Coupled oscillators on a circle, Dynamical phase tran-sitions (Sao Paulo), Resenhas, Vol 1, no 4, 441-457 100 [11] J.L Massera (1950), The existence of periodic solutions of systems of dif-ferential equations , Duke Math J., 17, pp 457-475 [12] O Zubelevich (2006), A note on theorem of Massera , Regul Chao Dyn 11, pp 475-481 [13] N.T.Huy, N.Q.Dang (2016), Existence, uniqueness and conditional stability of periodic solutions to evolution equations , J Math Anal Appl., 433 , 1190-1203 [14] N.T.Huy, N.Q.Dang (2016), Periodic solutions to evolution equations: exis-tence, conditional stability and admissibility of function spaces , Ann Polon Math 116, 173-195 [15] J K Hale, O Lopes (1966), Fixed point theorems and dissipative pro-cesses , J Diff Equ., Vol 13, 391-402 [16] S N Chow, J K Hale (1974), Strongly limit-compact maps , Funkcioj Ekvacioj, Vol 17, 31-38 [17] R Benkhalti, H Bouzahir, K Ezzinbi (2001), Existence of a periodic so-lution for some partial functional differential equations with infinite delay , J Math Anal Appl., 256, 257-280 [18] R Benkhalti, A Elazzouzi, K Ezzinbi ( 2006), Periodic solutions for some partial neutral functional differential equations , Elec J Diff Equ., Vol 2006, No 56, pp 1-14 [19] J Serrin (1959), A note on the existence of periodic solutions of the Navier-Stokes equations , Arch Rational Mech Anal., , pp 120122 [20] T.Yoshizawa (1975), Stability theory and the existence of periodic solutions and almost periodic solutions , Appl Math Scie., 14 SpringerVerlag, New York-Heidelberg [21] J Pruss (1979), Periodic solutions of semilinear evolution equations , Non-linear Anal., 3, 601-612 101 [22] J Pruss (1986), Periodic solutions of the thermostat problem Differential equations in Banach spaces (Book’s Chapter), 216-226, Lecture Notes in Math., 1223, Springer, Berlin [23] T Burton (1985), Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Func-tional Differential Equations , Academic Press, Orlando, Florida [24] J.H Liu, G.M N’Guerekata, Nguyen Van Minh (2008), Topics on Stability and Periodicity in Abstract Differential Equations , Series on Concrete and Applicable Mathematics - Vol 6, World Scientific Publishing, Singapore [25] N.T.Huy (2014), Periodic motions of Stokes and Navier Stokes flows around a rotating obstacle , Arch Ration Mech Anal 213 , 689703 [26] M Geissert, M Hieber, N.T.Huy (2016), A general approach to time peri-odic incompressible viscous fluid flow problems , Arch Ration Mech Anal 220, 1095 1118 [27] N.T.Huy, N.Q.Dang ( 2017), Dichotomy and perriodic solution to partial functional differential equations , Disc Cont Dyn Sys series B, 22, 3127-3144 [28] N.T.Huy, N.Q.Dang ( 2018), Solutions to partial functional differential equations with infinite delays: Periodicity and admissibility , Act Math Vie., 43, 415-432 [29] J Hadamard (1901), Sur l’int†ration et les solutions asymptotiques des equations diff†rentielles , Bulletin de la Soci†t† Math†matique de France, 29, pp 224-228 [30] O Perron (1929), Uber stabilitat und asymptotisches verhalten der integrale von differentialgleichungssystemen , Math Zeit., 29, pp 129-160 [31] O Perron (1930), Die stabilitatsfrage bei differentialgleichungen , Mathe-matische Zeitschrift, 32, pp 703-728 [32] N Bogoliubov, Yu Mitropolsky (1961), Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations , Translated from the second revised Russianedi-tion, International Monographs on Advanced Mathematics and Physics, Gordon and Breach Science Publishers, New York 102 [33] N Bogoliubov, Yu Mitropolsky (1963), The method of integral manifolds in nonlinear mechanics , Contr Diff Equ., 2, pp.123-196 [34] N.T Huy (2009), Stable manifolds for semi-linear evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line , J Math Anal Appl 354, pp 372-386 [35] N.T Huy (2009), Invariant manifolds of admissible classes for semi-linear evolution equations , J Diff Equ., 246, pp 1820-1844 [36] N.T Huy, T.V Duoc (2014), Integral manifolds for partial functional dif-ferential equations in admissibility spaces on a half-line , J Math Anal Appl., 411, pp 816-828 [37] N.T.Huy, P.V.Bang (2012), Hyperbolicity of solution semigroups for linear neutral differential equations , Semigroup Forum, 84, 216-228 [38] N.T.Huy, P.V.Bang ( 2014), Dichotomy and positivity of neutral equations with nonautonomous past Appl Anal Disc Math., 8, 224 - 242 [39] N.T.Huy, P.V.Bang ( 2015), Invariant Stable Manifolds for Partial Neu-tral Functional Differential Equations in Admissible Spaces on a Half-line , Disc Cont Dyn Syst series B, 20, 2993 3011 [40] N.T.Huy, P.V.Bang ( 2017), Unstable manifolds for partial neutral differ-ential equations and admissibility of function spaces , Act Math Vie., 42, 187 207 [41] Trnh Vit Dữổc (2014), a tch phƠn v d¡ng i»u ti»m c“n nghi»m cıa mºt sŁ lỵp phữỡng tnh tin hõa , Lun Ăn Tin sắ ToĂn håc, Tr÷íng HKHTN- HQG H Nºi, H Nºi [42] Trành XuƠn Yn (2021), Tnh chĐt nh tnh ca nghiằm mt s lợp cĂc phữỡng trnh cõ tr v trung tnh , Lun Ăn Tin sắ ToĂn hồc, Trữớng H BĂch khoa H Nºi, H Nºi [43] K.J Engel, R Nagel (2000), One-parameter Semigroups for Linear Evo-lution Equations , Graduate Text Math., 194, SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg 103 [44] K.J Engel (1999), Spectral theory and generator property of onesided cou-pled operator matrices" Semigroup Forum, 58, pp 267 - 295 [45] J van Neerven (1996), The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operator Operator Theory, Advances and Applications , 88, Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin [46] N.T.Huy (2006), Exponential dichotomy of evolution equations and admis-sibility of function spaces on a half-line , J Func Anal., 235, 330354 [47] J.J Massera, J.J Schaffer (1966), Linear Differential Equations and Func-tion Spaces , Academic Press, New York [48] F Rabiger, R Schnaubelt (1996), The spectral mapping theorem for evo-lution semigroups on spaces of vector-valued functions , Semigroup Forum, 48, 225 - 239 [49] Triebel H (1978), Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Op-erators , North-Holland [50] Y Hino, S Murakami, T Naito (1991), Functional Differential Equations with Infinite Delay , Lect Notes Math., 1473, Springer, Berlin [51] J Hale, J Kato (1978) Phase space for retarded equations with infinite delay, Funkcial Ekvac, 21, pp 11-41 [52] J.H Liu (2000), Periodic Solutions of Infinite Delay Evolution Equations , J Math Anal Appl., 247, pp 627-644 [53] O Perron (1930), Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen Math Z., 32, 703-728 [54] J.L Massera, J.J Schaffer (1958), Linear differential equations and func-tional analysis, I , Ann of Math., 67, pp 517-573 [55] J.L Massera, J.J Schaffer (1959), Linear differential equations and func-tional analysis, II , Ann of Math., 69, 88-104 [56] Ju L Daleckii, M G Krein (1974), Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces" Transl Amer Math Soc Provindence RI 104 [57] B.M Levitan, V.V Zhikov (1978), Almost Periodic Functions and Differ-ential Equations , Moscow Univ Publ House [58] A Pazy (1983), Semigroup of Linear Operators and Application to Partial Differential Equations" Springer-Verlag, Berlin [59] R Nagel, G Nickel (2002), Well-posedness for non-autonomous abtract Cauchy problems , Prog Nonl Diff Eq Appl., 50, 279-293 [60] N.V Minh, F Rabiger, R Schnaubelt (1998), Exponential stability, expo-nential expansiveness and exponential dichotomy of evolution equations on the half line , Integr Eq and Oper Theory, 32, 332-353 [61] Boutet de Monvel L., Chueshov I.D., and Rezounenko A.V (1998), Inertial manifolds for retarded semilinear parabolic equations , Nonlinear Analysis 34(6), pp 907-925 [62] Ngổ Quỵ «ng (2017), Nghi»m tuƒn ho n v d¡ng i»u ti»m cn nghiằm ca mt s lợp phữỡng trnh vi phƠn , Lun Ăn Tin sắ ToĂn hồc, Trữớng HBK H Nºi, H Nºi [63] N.V Minh, J Wu (2004), Invariant manifolds of partial functional differential equations , J Diff Eq., 198, 381-421 Thø tü t i li»u tham kh£o ÷ỉc vi‚t theo quy ành cıa tr÷íng 105 ⁄i håc B¡ch khoa H Nºi CH MƯC B§t flng thøc nân (Cone Inequality), 27 c“n phŒ (spectral bound), 18 c“n t«ng tr÷ðng (growth bound), 18 ành l‰ nh x⁄ phŒ (Spectral Map-ping Theorem-SMT), 18 gi¡ trà ch‰nh quy, 16 hå ti‚n hâa, 24 câ nhà ph¥n mơ, 25 Œn ành mơ, 25 khổng gian h m Banach chĐp nhn ữổc, 20 gi£m nhỵ (Fading memory space), 22 h m Banach, 19 h m chĐp nhn ữổc, 20 nghiằm tt(mild solution), 27, 30 nân, 28 nßa nhâm C0-nßa nhâm, 15 hyperbolic, 17 li¶n tưc m⁄nh, 15 sinh bði A, 16 n nh mụ ãu, 17 toĂn tò -Lipschitz a phữỡng khỉng gian gi£m nhỵ C , 73 khỉng gian h m C, 50 to¡n tß sinh, 16 a n nh a phữỡng trản khổng gian giÊm nhợ C , 90 tr¶n khỉng gian h m C, 67 °t ch¿nh (well-posed), 24 106 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  Nguyễn Thị Loan TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN... mºt Lu“n ¡n vła ÷ỉc cổng b mợi Ơy trản cng thổng tin o to cıa tr÷íng ⁄i håc B¡ch khoa H Nºi (xem [42])  chứng minh sỹ tỗn ti a n nh, khổng n nh, a tƠm ca phữỡng trnh tin hâa trung t‰nh xung quanh... Chóng tỉi luổn gồi M l khổng gian Banach tữỡng ứng vợi khổng gian h m Banach chĐp nhn ữổc M Ngo i ra, lu“n ¡n n y, ” chøng minh sỹ tỗn ti v nhĐt nghiằm tun ho n ca phữỡng trnh tin hõa trung tnh