BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ

BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bộ môn Đại số - Xác suất Thống kê 9-2020 trình làm việc sau: Yêu cầu chung Các tập tài liệu dành cho sinh viên ngành Cơng trình, Cơ khí, Cơng nghệ thơng tin, học mơn Xác suất thống kê với thời lượng tín 169 170 166,5 Sinh viên chuẩn bị tập sau cho buổi học tập theo yêu cầu giảng viên Việc tổ chức kiểm tra lấy điểm q trình giảng viên thơng báo với lớp 7, 7, 5, 5, 7, 9, 6, 8, 7, 7, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 6, 7, 4, 8, 6, 8, 9, 6, 7, 8, 7, 4, 8, 5, 5, 5, 3, 4, 6, 6, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 5, 7, 4, 7, 3, 3, 7, 6, 8, 8, 8, 4, 2, 7, 4, 7, 8, 8, 9, 7, 4, 2, 1, 7, 7, 8, 3, 6, 170,9 169 168 Bài 1.5 Đo đường kính (mm) loại đinh tán ta bảng số liệu sau: 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, Bài 1.1 Một mẫu quan sát điểm thi kết thúc học phần sinh viên có kết sau: 3, 8, 6, 7, 6, 4, 0, 7, 6, 7, 167 174 174 (b) Nếu coi nhiệt độ trộn biến ngẫu nhiên chuẩn với trung bình 170o C độ lệch tiêu chuẩn 3o C xác suất để nhiệt độ trộn vượt ngưỡng 177o C bao nhiêu? Thống kê mô tả phân phối mẫu 2, 3, 4, 4, 1, 7, 4, 6, 9, 4, 163 175,1 171,2 (a) Hãy tính nhiệt độ trộn trung bình độ lệch tiêu chuẩn mẫu I Phần đề tập 172 168 176 5, 6, 6, 0, 3, 6, 5, 7, 5, 6, 8, 8, 8, (a) Lập bảng phân phối tần số cách chia thành đoạn 8, với độ dài khoảng 0, (b) Vẽ biểu đồ tần số (c) Tính giá trị trung bình độ lệch tiêu chuẩn mẫu Bài 1.6 Thống kê mức tiêu thụ nhiên liệu loại ô-tô chạy thử nghiệm đoạn đường 100 km cho bảng đây: a) Hãy cho biết kích thước mẫu quan sát b) Hãy lập bảng phân bố tần số mẫu theo khoảng chia với độ dài khoảng c) Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu độ lệch tiêu chuẩn mẫu chia khoảng xi (lít) 4,4-4,6 4,6-4,8 4,8-5,0 5,0-5,2 5,2-5,4 5,4-5,6 ni 14 16 Tính giá trị trung bình độ lệch tiêu chuẩn liệu Bài 1.7 Kiểm tra ngẫu nhiên 36 điểm để đo chiều dày (cm) Bài 1.2 Cho mẫu cụ thể biến ngẫu nhiên X sau: lớp nhựa dải đường ta thu bảng số liệu sau: X 42 44 45 58 60 64 5, 5, 4, 5, 4, 5, 3, 4, 4, ni 20 10 4, 6, 5, 6, 5, 5, 5, 5, 4, a) Lập bảng phân phối tần suất 6, 5, 3, 4, 5, 5, 5, 4, 5, 2 5, 4, 6, 3, 4, 4, 3, 3, 5, b) Tính x s (a) Hãy tính giá trị trung bình độ lệch tiêu chuẩn mẫu Bài 1.3 Cho bảng số liệu sau: X − 10 10 − 20 20 − 30 30 − 50 50 − 70 70 − 100 ni 18 16 23 11 a) Lập bảng phân bố tần suất b) Hãy tìm giá trị trung bình mẫu, độ lệch tiêu chuẩn mẫu (b) Bây chia liệu thành khoảng, khoảng có độ rộng 0, 3, Lập bảng phân phối tần số liệu chia khoảng (c) Tính giá trị trung bình độ lệch tiêu chuẩn dựa liệu chia khoảng So sánh giá trị tính tốn giải thích có khác biệt Bài 1.4 Một trạm trộn bê tơng nhựa nóng sản xuất nhựa đường thơng thường Để bê tông nhựa đạt chất lượng tốt, nhiệt độ trộn hỗn hợp nhựa cốt liệu điều khiển tự Bài 1.8 Điều tra mức lương hàng tháng (triệu đồng) động xung quanh mức 177o C Nhiệt độ trộn ghi lại 100 kỹ sư công nghệ thông tin trường, ta thu Bài tập Xác suất thống kê bảng số liệu sau: xi 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-10 ni 18 24 32 14 Tính mức lương trung bình hàng tháng kỹ sư công nghệ thông tin độ lệch tiêu chuẩn Bài 1.16 Thống kê cho thấy, tỉ lệ sinh viên tốt nghiệp đại học năm 2016 từ bỏ công việc sau tháng thử việc đạt 60% Hỏi phải tiến hành thăm dò sinh viên tốt nghiệp năm 2016 để tỉ lệ sinh viên gắn bó với cơng việc nhiều tháng nằm khoảng 40 ± 5%, với xác suất nhiều 90% Bài 1.17 Một nhà máy chế tạo loại thiết bị điện tử có Bài 1.9 Chiều cao sinh viên xấp xỉ phân phối khả tự ngắt điện nhiệt độ tăng lên q cao Nghiên chuẩn với trung bình µ = 174, (cm) độ lệch tiêu chuẩn cứu trước cho thấy nhiệt độ làm cho thiết bị tự ngắt có σ = 6, (cm) phân phối chuẩn với phương sai σ Hãy xác định giá trị a (a) Kiểm tra ngẫu nhiên 25 sinh viên số sinh viên cho P(S /σ < a) = 0, Tính xác suất để chiều cao trung bình 25 sinh viên kiểm tra nằm khoảng (172,5; 175,8) S phương sai mẫu gồm thiết bị chọn ngẫu nhiên để kiểm tra (b) Nếu kiểm tra 100 mẫu, mẫu gồm 25 sinh viên Tính số mẫu trung bình có chiều cao trung bình nằm Bài 1.18 Một cánh tay rô-bốt sử dụng mắt điện tử để xác khoảng (172,5; 175,8) định vị trí vật thể khơng gian ba chiều Q trình định vị ln làm nảy sinh sai số Giả sử sai số X, Y, Z (c) Xác định cỡ mẫu n cho giá trị trung bình mẫu tương ứng theo ba chiều không gian biến ngẫu nhiên lệch so với trung bình tập khơng q cm với xác độc lập có phân phối chuẩn với trung bình mm độ suất 95% lệch tiêu chuẩn mm Hãy xác định giá trị d cho với xác Bài 1.10 Cường độ chịu nén bê tông mác 200 xem suất 0,95 điểm định vị mắt điện tử lệch khỏi vị biến ngẫu nhiên chuẩn với trung bình µ = 90 kG/cm2 trí thực tế khơng vượt d (kilogram-lực centimet vuông, 1kG = 9,81 N) độ Bài 1.19 Ký hiệu bu lông M8x80 nghĩa bu lơng có đường lệch tiêu chuẩn σ = 4, kG/cm2 Nếu kiểm tra mẫu bê kính ngồi ren mm chiều dài 80 mm Trong tơng mác 200 xác suất để cường độ chịu nén trung bình thực tế sản xuất chiều dài bu lơng M8x80 có phân phối chuẩn mẫu nằm khoảng (87,3; 92,5) bao nhiêu? với trung bình µ1 =80 mm độ lệch tiêu chuẩn σ1 =1 mm Bài 1.11 Thiếc hàn hợp kim có nhiệt độ nóng chảy a) Hỏi phải kiểm tra mẫu gồm bu lông M8x80 thấp nên sử dụng việc liên kết bề mặt kim để xác suất chiều dài trung bình mẫu lệch khơng loại khác nhau, ứng dụng nhiều kỹ thuật điện, điện tử giá trị tiêu chuẩn µ1 0,5 mm khơng 95% Nhiệt độ nóng chảy thiếc hàn coi biến chuẩn với giá trị trung bình 185 o C độ lệch tiêu chuẩn o C b) Đường kính bu lơng M8x80 có phân phối chuẩn với trung Kiểm tra 10 mẫu thiếc hàn, tính xác suất để nhiệt độ nóng bình µ2 =8mm độ lệch tiêu chuẩn σ2 = 0, 1mm chảy trung bình mẫu lớn 190 o C Một bu lông loại gọi đạt tiêu chuẩn đường kính d thỏa mãn µ2 − 0, < d < µ2 + 0, Bài 1.12 Một công ty điện lực quản lý vùng dân cư Tính tỉ lệ bu lơng đạt tiêu chuẩn có 20 nghìn hộ dân Lượng điện tiêu thụ hộ gia đình tháng xem biến ngẫu nhiên với c) Tính xác suất để lơ 1000 bu lơng loại M8x80 có trung bình 370 kWh độ lệch tiêu chuẩn 350 kWh Hãy ước 50 bu lơng khơng đạt tiêu chuẩn tính xác suất để tổng lượng điện tiêu thụ khơng vượt 7,5 d) Tính xác suất để phương sai bu lông chọn ngẫu triệu kWh nhiên lớn 0,03 mm2 Bài 1.13 Một kết cấu thép chịu tải trọng tối đa 3,5 Giả sử trọng lượng kiện hàng biến ngẫu nhiên với trung bình 59 kg độ lệch tiêu chuẩn 15 kg Hãy ước tính số lượng kiện hàng lớn đặt Ước lượng tham số lên kết cấu để xác suất kết cấu an toàn cao 99% Bài 1.14 Thời gian quét phiếu thông tin nhập vào biến chuẩn trường sở liệu hệ thống kho vận (logistic) tự động Ước lượng khoảng cho kỳ vọng hợp biết phương sai V[X] = σ biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ = 10 giây độ lệch tiêu chuẩn σ = giây Tính xác Bài 2.1 Cho mẫu suất để tổng thời gian quét lưu trữ 10 phiếu thông tin X 19 − 21 21 − 23 23 − 25 25 − 27 27 − 29 hệ thống không vượt 120 giây ni Bài 1.15 Một trường đại học hàng năm tuyển 1500 sinh viên cho tất chuyên ngành mà trường đào tạo Thống kê cho thấy số lượng sinh viên đến nhập trường 85% số lượng giấy gọi nhập học phát Trong đợt tuyển sinh năm 2016, để đảm bảo số lượng sinh viên theo học tiêu đăng ký, trường đại học dự kiến phát 1720 giấy gọi nhập học Tính xác suất để số sinh viên nhập học lớn số tiêu đăng ký Đại học Giao thông Vận tải Biết X tuân theo luật N (µ, σ ) Hãy tìm khoảng ước lượng EX, biết γ = 0, 95 σ = Bài 2.2 Cho mẫu X − 9 − 11 11 − 13 13 − 15 15 − 17 ni 8 Biết X tn theo luật N (µ, σ ) Hãy tìm khoảng ước lượng EX, với γ = 0, 99, biết σ = 2, Tháng năm 2020 Bộ môn Đại số XSTK Bài 2.3 Chiều dài chi tiết máy phân xưởng sản xuất biến chuẩn N (µ, σ ) với độ lệch bình phương trung bình σ = a) Lấy ngẫu nhiên 36 chi tiết đem đo thu độ dài trung bình x = 24, 55 Hãy tìm khoảng tin cậy µ = E(X), với độ tin cậy γ = 0, 95 b) Cần phải lấy ngẫu nhiên chi tiết để với độ tin cậy γ = 0, 99, độ dài khoảng ước lượng µ = E(X) khơng vượt q 0, 8, 20; 8, 25; 8, 23; 8, 23; 8, 19; 8, 28; 8, 24 Giả sử đường kính kim loại biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Hãy xây dựng khoảng tin cậy 95% cho đường kính trung bình kim loại Ước lượng khoảng cho kỳ vọng biến chuẩn trường hợp phương sai V[X] = σ chưa biết n > 30 Bài 2.4 Gọi X mức xăng tiêu thụ cho ô tô đoạn đường từ A đến B để ước lượng mức xăng hao phí trung bình, người ta lấy 36 cho chạy thử tính x = 28, 45 lít Biết độ lệch tiêu chuẩn σ = 3, mức xăng tiêu thụ X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Với độ tin cậy 95%, xác định khoảng ước lượng cho mức xăng hao phí trung bình Bài 2.10 Hao phí nguyên liệu cho đơn vị sản phẩm đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn Sản xuất thử 36 sản phẩm thu bảng số liệu sau: X 29 − 31 31 − 33 33 − 35 35 − 37 37 − 39 ni 12 Ước lượng khoảng cho kỳ vọng biến chuẩn trường hợp phương sai V[X] = σ chưa biết n ≤ 30 Bài 2.11 Giả sử thu nhập X hàng tháng kỹ sư sau trường năm đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N (µ, σ ) Lấy mẫu quan sát X có kích thước n = 64 ta có kết quả: Bài 2.5 Để nghiệm thu đoạn đường bên B thi công, bên A tiến hành khoan thăm dò 16 điểm ngẫu nhiên đường thu dãy số liệu (tính mm) độ dày lớp bê tông nhựa trải đường sau: 136; 139; 134; 137; 132; 133; 135; 138; Với độ tin cậy 95% tìm khoảng ước lượng mức hao phí nguyên liệu trung bình cho đơn vị sản phẩm X (triệu) − 6 − 8 − 10 10 − 12 12 − 14 ni (người) 12 24 18 Với độ tin cậy γ = 0, 99 xây dựng khoảng tin cậy cho thu nhập trung bình hàng tháng kỹ sư 137; 141; 145; 142; 143; 137; 138; 133 Bài 2.12 Người ta ghi lại giá mặt hàng A 50 cửa hàng Với độ tin cậy 95% tìm khoảng ước lượng chiều dầy trung có kết sau: X 95 99 102 98 105 bình lớp bê tơng nhựa Biết chiều dày lớp bê tơng n 15 15 10 i có phân phối chuẩn Hãy tìm khoảng ước lượng giá trung bình mặt hàng A Bài 2.6 Khảo sát mẫu 16 sinh viên cho thấy số lần họ với độ tin cậy 95% Giả thiết giá mặt hàng A tuân theo luật xem phim năm sau: chuẩn 9; 12; 15; 7; 7; 9; 12; 8; 6; 15; 13; 14; 10; 10; 8; Bài 2.13 Chiều cao X trẻ em tuân theo phân phối Hãy tìm khoảng tin cậy 99% cho số lần trung bình mà chuẩn Hãy ước lượng chiều cao trung bình trẻ em với sinh viên tới rạp chiếu phim năm Biết số lần sinh độ tin cậy 95%, đo 55 em có kết sau: Chiều cao 1, 49 1, 50 1, 51 1, 52 1, 55 1, 57 1, 58 1, 60 viên xem phim có phân phối chuẩn Số TE 9 Bài 2.7 Để kiểm tra mức xăng hao phí loại xe tơ Người ta chọn ngẫu nhiên 28 xe cho chạy Bài 2.14 Với độ tin cậy 95%, tìm khoảng ước lượng đoạn đường 300 km Kết thu sau: mức xăng hao phí trung bình cho loại mơ tơ chạy X 4, − 4, 4, − 5, 5, − 5, 5, − 5, 5, − 5, đoạn đường từ A đến B, dựa vào bảng số liệu sau ni 4 biết X (mức xăng hao phí) biến chuẩn Với độ tin cậy γ = 0, 95, tìm khoảng ước lượng lượng xăng hao phí trung bình Biết mức xăng hao phí có phân phối chuẩn X 4, − 4, 4, − 5, 5, − 5, 5, − 5, 5, − 5, ni 13 Bài 2.15 Thời gian hoàn thành sản phẩm X (phút) tuân Bài 2.8 Người ta đo cường độ chịu nén (kG/cm2 ) 12 theo phân phối chuẩn Hãy tìm khoảng ước lượng cho thời mẫu bê tông loại nhận số liệu: gian trung bình hồn thành sản phẩm, với độ tin cậy 99%, ta theo dõi nhóm cơng nhân làm việc có số liệu 2216; 2237; 2249; 2204; 2225; 2301; sau: 2281; 2263; 2318; 2255; 2275; 2295 X 42 44 45 58 60 64 n 20 10 i Giả sử cường độ chịu nén bê tơng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Hãy xây dựng khoảng tin cậy 95% cho cường độ chịu nén trung bình loại bê tông Ước lượng khoảng cho tỷ lệ Bài 2.9 Một máy sản xuất kim loại dùng hệ thống giảm xóc tơ Một mẫu gồm 15 Bài 2.16 Phỏng vấn 2500 người chọn ngẫu nhiên chọn người ta đo đường kính (mm) chúng Dữ liệu thành phố Kết cho thấy có 980 người thường xuyên sử dụng Internet thu sau: a) Với độ tin cậy 0, 98 ước lượng tỷ lệ người dân 8; 24; 8, 25; 8, 20; 8, 23; 8, 24; 8, 21; 8, 26; 8, 26; thành phố có sử dụng Internet Đại học Giao thông Vận tải Tháng năm 2020 b) Nếu dân số thành phố triệu người với độ tin cậy số dân sử dụng Internet thành phố bao nhiêu? Bài tập Xác suất thống kê a) Sức chịu lực trung bình xi măng nhà máy sản xuất b) Phương sai sức chịu lực Bài 2.17 Kiểm tra ngẫu nhiên 400 người xe máy khu vực có 500.000 người xe máy thấy có 360 người có Bài 2.26 Dung lượng (đơn vị Ampe-giờ) 10 pin lái Với độ tin cậy 0, 95 ước lượng số người xe máy có ghi lại lái khu vực 140, 136, 150, 144, 148, 152, 138, 141, 143, 151 Bài 2.18 Để điều tra số cá có Hồ Tây, quan quản lý đánh bắt 900 con, đánh dấu thả lại hồ Lần sau lại bắt a) Ước lượng giá trị phương sai tập σ 400 có 94 có dấu Hãy ước lượng số cá hồ, b) Tìm khoảng tin cậy 98% cho σ với độ tin cậy 95% Bài 2.27 Để khảo sát chất lượng đóng chai máy đóng chai tự động, người ta chọn ngẫu nhiên 16 chai dây chuyền sản xuất, đo lượng chất lỏng chai tính độ lệch tiêu chuẩn mẫu s = 0, 0875 (lít) Nếu độ lệch q lớn ảnh hưởng tới chất lượng việc đóng chai, tức có chai q q nhiều Giả sử lượng chất lỏng đóng chai biến ngẫu nhiên chuẩn Bài 2.20 Trong thăm dò ý kiến 1600 khách hàng người Hãy tìm khoảng ước lượng cho phương sai lượng chất ta thấy có 1315 người thích mặt hàng A Hãy ước lượng tỷ lỏng đóng chai với độ tin cậy 95% lệ người tiêu dùng thích mặt hàng A với độ tin cậy 90% Bài 2.19 Thăm dò ý kiến 400 người Liên hiệp đường sắt thấy có 236 người đồng ý với Nghị nâng cao chất lượng chạy tàu phục vụ hành khách Hãy ước lượng số người đồng ý với Nghị toàn Liên hợp với độ tin cậy γ = 0, 99, biết số người toàn Liên hợp 24.000 người Bài 2.21 Trong thăm dò ý kiến 400 khách hàng hãng sản xuất hàng điện tử người ta thấy có 136 khách hàng chưa hài lịng với sách hậu có hãng Tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ khách hàng chưa hài lòng với sách hậu có với độ tin cậy 90% Kiểm định giả thuyết thống kê Kiểm định giả thuyết giá trị trung bình Bài 2.22 Cơ quan cảnh sát giao thông kiểm tra hệ thống phanh 250 xe tải đường quốc lộ phát 120 có phanh chưa an tồn a) Tìm khoảng ước lượng cho tỷ lệ xe tải có phanh chưa an toàn với độ tin cậy 95% b) Tìm khoảng ước lượng cho tỷ lệ xe tải có phanh tốt với độ tin cậy 98% Bài 3.1 Hao phí nguyên liệu cho đơn vị sản phẩm đại lượng ngẫu nhiên chuẩn với độ lệch chuẩn σ = 0, 03 hao phí trung bình 29, gram Nghi ngờ máy móc trục trặc làm cho hao phí nguyên liệu cho đơn vị sản phẩm tăng lên Người ta kiểm tra 36 sản phẩm có bảng số liệu sau: xi (gram) 29, − 29, 29, − 29, 29, − 30, 30, − 30, 30, − 30, ni số SP 12 Bài 2.23 Để ước lượng tỷ lệ phế phẩm dây chuyền Hãy kết luận ý kiến nêu với mức ý nghĩa α = 0, 05 sản suất, người ta chọn ngẫu nhiên 300 sản phẩm kiểm Bài 3.2 Tuổi thọ loại bóng hình máy vơ tuyến tra thấy có 20 phế phẩm truyền hình đại lượng ngẫu nhiên X tuân theo luật phân a) Với độ tin cậy γ = 0, 99 tìm khoảng ước lượng cho phối chuẩn với EX = 3500 độ lệch tiêu chuẩn σ = 20 Nghi ngờ tuổi thọ bị thay đổi, người ta tiến hành theo tỷ lệ phế phẩm dây chuyền dõi 25 bóng thấy tuổi thọ trung bình 3422 Với mức ý b) Để sai số việc ước lượng không vượt 0,01 ta nghĩa α = 0, 05, kiểm định điều nghi ngờ phải kiểm tra tối thiểu sản phẩm với độ tin Bài 3.3 Giả sử thời gian X để hoàn thành sản phẩm cậy 95% công nhân đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật chuẩn N (µ, σ ) với σ = Định mức thời gian để hoàn Ước lượng khoảng cho phương sai biến chuẩn thành sản phẩm 25 phút Có ý kiến cho thời Bài 2.24 Kích thước chi tiết máy đại lượng gian trung bình để hồn thành sản phẩm định ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Trong mẫu khảo sát gồm mức cho Hãy kiểm định ý kiến với mức ý nghĩa 30 chi tiết, người ta tính x ¯ = 0, 47cm s = 0, 032cm α = 0, 05, biết lấy mẫu quan sát có cỡ n = 25 Hãy tìm khoảng tin cậy cho phương sai kích thước chi ta thu trung bình mẫu x = 24, 12 phút tiết máy với độ tin cậy 95% Bài 3.4 Nếu máy móc hoạt động bình thường trọng Bài 2.25 Lấy 28 mẫu xi măng nhà máy sản xuất xi lượng sản phẩm X biến chuẩn với kỳ vọng µ = 100 g, độ măng để kiểm tra sức chịu lực (kG/cm3 ), kết sau: lệch chuẩn σ = 1, Qua thời gian sản xuất người ta nghi ngờ trọng lượng sản phẩm có xu hướng tăng lên Cân thử 100 sản phẩm ta có bảng số liệu sau: 10,0 13,0 13,7 11,5 11,0 13,5 12,4 13,5 13,0 10,0 11,0 11,5 13,0 12,2 xi (gam) 96 − 98 98 − 100 100 − 102 102 − 104 104 − 106 ni số SP 10 20 45 15 10 11,5 13,7 12,0 12,2 11,5 10,5 11,5 13,0 12,2 11,5 13,0 10,5 12,4 10,0 Với mức ý nghĩa α = 0, 05, kết luận điều nghi ngờ nói Với độ tin cậy 95%, ước lượng: Đại học Giao thông Vận tải Tháng năm 2020 Bộ môn Đại số XSTK Bài 3.5 Một máy sản xuất đinh ốc có đường kính biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân bố chuẩn N (µ, σ ) với σ = 0, 12 đường kính trung bình Nghi ngờ máy hoạt động khơng bình thường làm cho đường kính đinh ốc bị thay đổi, người ta tiến hành đo thử 100 đinh ốc số liệu cho bảng đây: xi 1, 1, 2, 2, 2, ni 10 20 25 35 10 nhiên 20 mẫu vật liệu ta bảng số liệu sau tỷ lệ phần trăm titan mẫu: 8,32 8,05 8,93 8,65 8,25 8,46 8,52 8,35 8,36 8,41 8,42 8,30 8,71 8,75 8,60 8,83 8,50 8,38 8,29 8,46 Có ý kiến cho tỷ lệ phần trăm trung bình titan vật liệu thấp 8, Với mức ý nghĩa 5% đánh giá ý kiến Giả sử tỷ lệ phần trăm titan vật liệu tuân theo phân phối chuẩn Với mức ý nghĩa 0, 05, kiểm định điều nghi ngờ nói Bài 3.12 Đường kính (mm) vòng bi đo thước kẹp kết cho bảng sau: Bài 3.6 Một hãng chuyên sản xuất ô tô cho đời 2,65 2,63 2,66 2,67 2,67 2,65 2,67 2,67 dòng xe ô tô điện tuyên bố xe loại có khả 2,65 2,68 2,63 2,64 2,65 2,64 2,67 2,63 tăng tốc lên 100 km/h vòng giây Người ta Có ý kiến cho đường kính trung bình vịng vi chọn ngẫu nhiên xe để kiểm tra, tốc độ đạt tăng 2, 65 (mm) Với mức ý nghĩa 1%, đánh giá ý kiến tốc sau giây ghi lại Biết đường kính vịng bi có phân phối chuẩn 91, 93, 92, 90, 98, 91, 92, 95, 96 Bài 3.13 Thời gian (giờ) để loại sơn khô sơn tường Với mức ý nghĩa 0,01, nói tuyên bố hãng tham số quan trọng trình sản suất Có ý xe phóng đại hay khơng? Giả sử tốc độ đạt kiến cho loại sơn mà cơng ty sản suất có thời gian khô 1,5 (giờ) Kiểm tra ngẫu nhiên 36 mẫu thời gian sau giây có phân phối chuẩn khơ ta có bảng số liệu sau: Bài 3.7 Thời gian sử dụng loại bóng đèn chiếu xi 1,0-1,3 1,3-1,4 1,4-1,5 1,5-1,6 1,6-1,7 1,7-2,0 sáng công cộng đại lượng ngẫu nhiên X (tính theo tháng) ni 10 có phân phối chuẩn với trung bình 36 tháng Nghi ngờ Với mức ý nghĩa 5%, đánh giá ý kiến Biết tác động môi trường giảm thời gian sử dụng người ta thời gian khô loại sơn tuân theo luật chuẩn lấy mẫu thực nghiệm có kết X 27 − 30 30 − 33 33 − 36 36 − 39 39 − 42 Bài 3.14 Có ý kiến cho thời gian trung bình tự học ni 7 nhà sinh viên 15 tuần Kiểm tra lớp có Với mức ý nghĩa 0, 01, kiểm định điều nghi ngờ nói 64 sinh viên ta bảng số liệu sau: Bài 3.8 Định mức thời gian hoàn thành sản phẩm 14 phút Liệu có cần thay đổi định mức khơng theo dõi thời gian hoàn thành sản phẩm 25 cơng nhân ta có bảng số liệu sau: xi t.gian (phút) 10 − 12 12 − 14 14 − 16 16 − 18 18 − 20 ni số CN 7 Yêu cầu kết luận với mức ý nghĩa α = 0, 05 Biết thời gian hoàn thành sản phẩm "X" đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Bài 3.9 Mức xăng tiêu thụ loại xe ô tô chạy từ Hà Nội đến Thanh Hoá đại lượng ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn với trung bình 50 lít xăng Đoạn đường bảo dưỡng, người ta cho mức xăng hao phí trung bình giảm xuống Quan sát 30 tơ loại ta thu số liệu sau: xi 47 − 48 48 − 49 49 − 50 50 − 51 51 − 52 ni 10 10 Với mức ý nghĩa α = 0, 05 Hãy cho kết luận ý kiến nêu xi (giờ) 0-4 4-8 8-12 12-16 16-20 20-24 ni 12 15 17 10 Với mức ý nghĩa 5% đánh giá ý kiến Bài 3.15 Tiêu chuẩn nước an toàn hàm lượng asen khơng q 0,04(mg/lít) Nghi ngờ nước sinh hoạt khu vực không đạt tiêu chuẩn an toàn Lấy ngẫu nhiên 36 mẫu nước đo hàm lượng asen ta có bảng số liệu sau: xi 0,02-0,03 0,03-0,04 0,04-0,05 0,05-0,06 0,06-0,07 0,07-0,08 ni Với mức ý nghĩa 0, 05 cho biết nước sinh hoạt khu vực có an tồn khơng Kiểm định giả thuyết cho tỷ lệ Bài 3.16 Một tịa báo niên thơng báo có 35% học sinh phổ thông trung học độc giả thường xun Phỏng vấn 400 em có 136 em đọc báo thường xun Hãy kiểm định tính xác thông báo với mức ý nghĩa 0, 05 Bài 3.17 Tỷ lệ phế phẩm nhà máy sản xuất 5% Bài 3.10 Trọng lượng bao phân đạm nhà máy Kiểm tra ngẫu nhiên 640 sản phẩm thấy có 37 phế phẩm sản xuất biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân bố Có ý kiến cho máy móc xuống cấp, tỷ lệ phế phẩm chuẩn, với EX = 50 kg Khách hàng cho trọng lượng có chiều hướng tăng lên Với mức ý nghĩa α = 0, 05, cho thay đổi 50 kg Cân thử 100 bao, ta có bảng kết luận ý kiến số liệu đây: Bài 3.18 Có ý kiến cho tỷ lệ sinh viên nghiện game xi 47 − 48 48 − 49 49 − 50 50 − 51 51 − 52 online 0, 12 Có ý kiến cho tỷ lệ thực tế Chọn ni 30 40 20 5 ngẫu nhiên 1600 sinh viên, kết cho thấy có 154 sinh viên Với mức ý nghĩa α = 0, 05, cho kết luận ý kiến nghiện game online Với mức ý nghĩa α = 0, 01 kết luận ý kiến khách hàng Bài 3.11 Tỷ lệ Titan loại hợp kim thành tố quan trọng để xác định độ cứng vật liệu Kiểm tra ngẫu Đại học Giao thông Vận tải Bài 3.19 Công ty FPT cung cấp dịch vụ Internet thông báo dịch vụ họ cung cấp cho 70% hộ gia đình Tháng năm 2020 Bài tập Xác suất thống kê khu vực dân cư Kiểm tra ngẫu nhiên 200 hộ gia đình khu vực thấy có 125 hộ sử dụng dịch vụ Internet công ty FPT Với mức ý nghĩa 0, 05 kết luận thơng báo công ty thật không Ngành Số sinh viên Số sinh viên chọn giỏi Cơng trình 300 93 Kinh tế 200 71 Với mức ý nghĩa α = 0, 05 kết luận ý kiến nêu Bài 3.20 Cơ quan quản lý thị trường thông báo số mũ bảo hiểm không đạt tiêu chuẩn chất lượng không Bài 3.26 Một kỹ sư đưa quy trình sản xuất để 5% Kiểm tra 200 người có sử dụng mũ bảo hiểm thấy có 16 giảm tỷ lệ phế phẩm nhà máy Kiểm tra hai quy trình khơng đạt tiêu chuẩn Với mức ý nghĩa 0,02 cho sản xuất ta có bảng số liệu sau đánh giá ý kiến Quy trình Số sản phẩm kiểm tra Số phế phẩm Cũ n1 = 250 m1 = 18 Mới n = 350 m2 = 35 Kiểm định giả thuyết hai giá trị trung bình Với mức ý nghĩa 0,05 đánh giá ý kiến kỹ sư Bài 3.21 Một xí nghiệp sử dụng hai dây chuyền tự động khác để sản xuất Sau theo dõi người ta thu kết sau Tương quan hồi quy Số ca Số sản phẩm Độ lệch theo dõi trung bình tiêu chuẩn Bài 4.1 Một mẫu quan sát đại lượng ngẫu nhiên hai I 100 306 10 chiều (X, Y ) có giá trị sau II 150 375 25 Với mức ý nghĩa α = 0, 05, kết luận dây chuyền thứ (2, 1; 4, 12), (2, 2; 4, 34), (2, 4; 4, 56), (2, 5; 4, 63) hai có sản lượng tốt dây chuyền thứ hay không? (2, 25; 4, 38), (2, 45; 4, 75), (2, 16; 4, 4), (2, 34; 4, 62) Giả thiết sản lượng tuân theo phân phối chuẩn Dây chuyền Bài 3.22 Có ý kiến cho mức thu nhập X (tính theo triệu đồng/tháng) kỹ sư thuộc lĩnh vực xây dựng tốt mức thu nhập Y kỹ sư thuộc lĩnh vực công nghệ Người ta tiến hành lấy mẫu quan sát có kết Ngành Số kỹ sư Thu nhập Độ lệch theo dõi trung bình tiêu chuẩn Xây dựng 1500 8, 3, Công nghệ 1600 7, 1, Với mức ý nghĩa α = 0, 05 kết luận ý kiến nêu a) Hãy tính hệ số tương quan thực nghiệm mẫu b) Hãy xây dựng hàm hồi quy tuyến tính Y theo X Bài 4.2 Người ta lấy mẫu thực nghiệm đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) thu kết quả: X 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, Y 7, 7, 83 9, 62 10, 05 10, 11, 12.3 a) Hãy tính hệ số tương quan thực nghiệm mẫu b) Hãy xây dựng hàm hồi quy tuyến tính Y theo X Bài 4.3 Số liệu lượng vận chuyển công ty vận Bài 3.23 So sánh trọng lượng trung bình trẻ sơ sinh tải năm qua (tính theo triệu tấn) sau: thành thị nông thôn, người ta cân thử trọng lượng Năm 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 5000 cháu có bảng số liệu sau: Khối lượng 28 31 35, 36 37, 39 41, Khu vực Số trẻ Tăng trọng độ lệch a) Tìm hàm xu tuyến tính biểu thị lực vận chuyển trung bình tiêu chuẩn cơng ty Nơng thơn 4000 3, 1, Thành thị 1000 3, 0, b) Dự báo khối lượng vận chuyển năm 2017 tìm khoảng Với mức ý nghĩa 5% coi trọng lượng trung bình tin cậy 95% cho giá trị trẻ sơ sinh thành phố cao nông thôn hay không? Giả sử trọng lượng trung bình trẻ đại lượng ngẫu nhiên Bài 4.4 Phân tích chi phí bảo dưỡng cho xe tải năm sử dụng (tính theo triệu đồng) ta có kết quả: chuẩn Năm thứ Chi phí TB 8, 8, 10, 12 14, 17 19, Kiểm định giả thuyết hai tỷ lệ a) Tìm hàm xu tuyến tính biểu thị chi phí bảo dưỡng Bài 3.24 Có ý kiến cho tỷ lệ cận thị học sinh xe thành thị cao học sinh nông thôn Người ta tiến hành kiểm tra 1000 cháu thu kết b) Dự báo chi phí bảo dưỡng xe năm sử dụng thứ 10 tìm khoảng tin cậy 90% cho giá trị Nhóm Số học sinh Số học sinh kiểm tra bị cận thị Thành thị 400 96 Nông thôn 600 98 Với mức ý nghĩa α = 0, 05 kết luận ý kiến nêu Bài 3.25 Có ý kiến cho tỷ lệ sinh viên giỏi ngành Cơng trình ngành Kinh tế Người ta chọn ngẫu nhiên 500 sinh viên thu kết Đại học Giao thông Vận tải Bài 4.5 Số liệu dân số (tính theo nghìn người) thành phố Hồ Chí Minh năm gần thống kê sau: Năm 2011 2012 2013 2014 2015 2016 Số dân 7498, 7660, 7820, 7981, 8146, 8320, a) Tìm hàm xu tuyến tính biểu thị dân số thành phố Hồ Chí Minh Tháng năm 2020 Bộ môn Đại số XSTK b) Dự báo số dân năm 2017 thành phố tìm khoảng tin cậy 98% cho giá trị II Đáp số tập Bài 4.6 Để nghiên cứu quan hệ khối lượng bốc dỡ Thống kê mô tả phân phối mẫu X (nghìn tấn) thời gian bốc dỡ Y (giờ) người ta lấy 1.1 c) x ¯ = 6, 18; s2 = 4, 4521; s = 2, 11 mẫu thực nghiệm thu kết quả: (10; 5, 5), (12; 6, 5), (11; 6, 3), (9; 4, 5) 1.2 b) x ¯ = 50, 8; s2 = 59, 8367 (9, 5; 5, 3), (8; 4, 0), (12; 7, 0), (8, 5; 5, 0) 1.3 x ¯ = 35, 9412; s = 23, 3694 a) Hãy tính hệ số tương quan thực nghiệm mẫu b) Hãy xây dựng hàm hồi quy tuyến tính Y theo X Bài 4.7 Để nghiên cứu quan hệ khoảng cách X (km) từ nhà tới nơi làm việc thời gian lại Y (phút), người lấy mẫu thực nghiệm có kết 1.4 a) x ¯ = 170, 2467; s = 3, 5817; b) 0,01 1.5 c) x ¯ = 8, 5067; s = 0, 2318 1.6 x ¯ = 5, 0231; s = 0, 251 (10; 45), (12; 54), (11; 48), (9; 45) (7; 30), (8; 32), (7, 5; 40), (8, 5; 42) a) Hãy tính hệ số tương quan thực nghiệm mẫu b) Hãy xây dựng hàm hồi quy tuyến tính Y theo X 1.7 a) x ¯ = 4, 9083; s = 0, 9691; c) x ¯ = 4, 9028; s = 0, 9548 1.8 x ¯ = 6, 01; s = 1, 339 Bài 4.8 Người ta lấy mẫu thực nghiệm đại lượng 1.9 a) 0,7529; b) 75,29; c) n ≥ 183 ngẫu nhiên (X, Y ) X số vắng mặt lớp 1.10 0,8733 Y điểm thi sinh viên thu kết quả: (8; 6, 1), (10; 6, 0), (15; 5, 5), (20; 4, 2), 1.11 0,0008 (25; 1, 3), (24; 3, 5), (21; 2, 7) 1.12 0,9783 a) Hãy tính hệ số tương quan thực nghiệm mẫu b) Hãy xây dựng hàm hồi quy tuyến tính Y theo X 1.13 n ≤ 54 Bài 4.9 Người ta lấy mẫu thực nghiệm đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) X số tiền đầu tư 1.14 0,8962 Y doanh thu tương ứng dự án lĩnh vực cầu 1.15 0,0051 đường (tính theo nghìn tỷ đồng) thu kết quả: (2, 3; 3, 08), (4, 5; 5, 12), (3, 7; 4, 63), (7, 1; 9, 04), 1.16 ≥ 260 (12; 13, 2), (8, 5; 9, 6), (10; 11, 3) 1.17 a = 1, 945 a) Hãy tính hệ số tương quan thực nghiệm mẫu b) Hãy xây dựng hàm hồi quy tuyến tính Y theo X 1.18 d = 8, 3866 Bài 4.10 Người ta lấy mẫu thực nghiệm đại lượng ngẫu nhiên (X, Y ) X số tháng sử dụng 1.19 a) n ≥ 16; b) 0,9544; c) 0,7486; d) xấp xỉ 0,01 máy in Y số trang in (tính theo nghìn trang) máy in văn phịng thu kết quả: (8; 3, 2), (10; 4, 1), (11; 4, 6), (14; 5, 2), (18; 7, 3), (24; 8, 5), (21; 8, 7), (15; 6, 3) a) Hãy tính hệ số tương quan thực nghiệm mẫu b) Hãy xây dựng hàm hồi quy tuyến tính Y theo X Ước lượng tham số 2.1 (22, 7459; 24, 9684) 2.2 (11, 1868; 13, 591) 2.3 a) (23, 57; 25, 53) b) n ≥ 665 2.4 (27, 47; 29, 43) 2.5 (135, 4877; 139, 5123) 2.6 (8, 1062; 12, 3938) 2.7 (4, 9608; 5, 1678) Đại học Giao thông Vận tải Tháng năm 2020 Bài tập Xác suất thống kê 2.8 2237, 317 < µ < 2282, 516 3.8 Wα = (−∞; −2, 064) ∪ (2, 064; ∞), tqs = 2, 6582 Bác bỏ Ho 2.9 8, 1639 < µ < 8, 4375 3.9 Wα = (−∞; −1.699), tqs = −4, 6291 Bác bỏ Ho 2.10 (32, 9390; 34, 5055) 3.10 Wα = (−∞; −1.64), tqs = −12, 5001 Bác bỏ Ho 2.11 (7, 2174; 8, 5951) 3.11 H0 : µ = 8, H1 : µ < 8, 5; tqs = −0, 4784; chưa bác bỏ H0 2.12 (99, 144; 100, 656) 3.12 H0 : µ = 2, 65 H1 : µ = 2, 65; tqs = 0, 889; chưa bác bỏ H0 2.13 (1, 5337; 1, 5536) 2.14 (5, 0412; 5, 1922) 3.13 H0 : µ = 1, H1 : µ < 1, 5; tqs = −2, 42; bác bỏ H0 2.15 (47, 9776; 53, 6224) 3.14 H0 : µ = 15 H1 : µ = 15; tqs = −4, 5297; bác bỏ H0 2.16 a) (0, 3693; 0, 4147) b) (2.585.100; 2.902.900) 3.15 H0 : µ = 0, 04 H1 : µ > 0, 04; tqs = 4, 4478; bác bỏ H0 2.17 (435.300; 464.700) người 3.16 Wα = (−∞; −1, 96) ∪ (1, 96; ∞), tqs = −0, 4193 Chưa bác bỏ Ho 2.18 (3254, 4652) 3.17 Wα = (1, 64; ∞), tqs = 0, 9068 Chưa bác bỏ Ho 2.19 (12.637, 15.682) 2.20 83, 76% 3.18 Wα = (−∞; −2, 58) ∪ (2, 58; ∞), tqs = −2, 9234 Bác bỏ Ho 2.21 (0, 3012; 0, 3788) 3.19 H0 : p = 0, H1 : p < 0, 7; tqs = −2, 3146; bác bỏ H0 2.22 a) (0, 4181; 0, 5419) b) (0, 4064; 0, 5536) 3.20 H0 : p = 0, 05 H1 : p < 0, 05; tqs = 1, 9467; bác bỏ H0 2.23 a) (0, 0295; 0, 1038), b) n ≥ 2391 3.21 Wα = (−∞; −1, 64), tqs = −30, 356 Bác bỏ Ho 2.24 0, 00065 < σ < 0, 00185 3.22 Wα = (1, 64; ∞), tqs = 6, 8902 Bác bỏ Ho 2.25 a) 11, 5114 < µ < 12, 4029, b) 0, 7973 < σ < 2, 3633 3.23 Wα = (−∞; −1, 64), tqs = −8, 0978 Bác bỏ Ho 2.26 a) s2 = 32, 2333, b) 13, 3896 < σ < 138, 9368 3.24 Wα = (1, 64; ∞), tqs = 3, 3036 Bác bỏ Ho 2.27 b) 0, 0042 < σ < 0, 0183 3.25 Wα = (−∞; −1, 96) ∪ (1, 96; ∞), tqs = −1, 04998 Chưa bác bỏ Ho Kiểm định giả thuyết thống kê 3.26 H0 : p1 = p2 H1 : p1 < p2 ; tqs = −1, 1915; chưa bác bỏ H0 3.1 Wα = (1, 64; ∞), tqs = 6, 6667 Bác bỏ giả thuyết Ho 3.2 Wα = (−∞; −1, 96) ∪ (1, 96; ∞), tqs = −19, Bác bỏ Ho Tương quan hồi quy 4.1 a) rtn = 0, 8736, b) y = 1, 3016 x + 1, 4937 3.3 Wα = (−∞; −1, 64), tqs = −2, Bác bỏ giả thuyết Ho 4.2 a) rtn = 0, 9950, b) y = 1, 0593 x + 0, 7167 3.4 Wα = (1, 64; ∞), tqs = Bác bỏ Ho 4.3 a) y = 2, 0893 x − 4170, 2321; (40, 7446; 46, 9697) b) y(2017) = 43, 8571; 4.4 a) y = 1, 8452 x + 3, 6964; (20, 8491; 23, 4477) b) y(10) = 22, 1484; 3.5 Wα = (−∞; −1, 96) ∪ (1, 96; ∞), tqs = 0, 75 Chưa bác bỏ Ho 3.6 H0 : µ = 100 H1 : µ < 100; tqs = −7, 7499; bác bỏ H0 3.7 Wα = (−∞; −2, 467), tqs = −3, 8535 Bác bỏ Ho Đại học Giao thông Vận tải 4.5 a) y = 233, 5943 x−462113, 901; b) y(2017) = 8477, 34; (8456, 6797; 8498, 0003) Tháng năm 2020 Bộ môn Đại số XSTK 4.6 a) rtn = 0, 9619, b) y = 0, 6455 x − 0, 9420 4.7 a) rtn = 0, 9013, b) y = 4, 1170 x + 4, 4327 4.8 a) rtn = 0, 9928, b) y = 2, 7549 x − 2, 5899 b) Dự báo khối lượng vận chuyển năm 2011 tìm khoảng tin cậy 95% cho giá trị ĐỀ SỐ 4.9 a) a) rtn = 0, 9950, 4.10 a) rtn = 0, 9786, b) y = 1, 0593 x + 0, 7167 b) y = 0, 3602 x + 0, 5399 Bài Một công ty sở hữu chuỗi 10 cửa hàng địa điểm khác thành phố Doanh thu ngày cửa hàng coi biến ngẫu nhiên chuẩn với giá trị trung bình 50 (triệu đồng) độ lệch tiêu chuẩn (triệu đồng) Hãy tính xác suất để doanh thu công ty chuỗi 10 cửa hàng mang lại lớn 550 triệu đồng III Một số đề thi mẫu Bài Để điều tra số cá có hồ lớn, quan quản lý đánh bắt 1200 con, đánh dấu thả lại hồ Lần sau lại Bộ môn Đại số XSTK trân trọng giới thiệu số mẫu bắt 800 có 114 có dấu Hãy ước lượng đề thi kết thúc học phần Để có chuẩn bị tốt cho kỳ thi số lượng cá hồ, với độ tin cậy 98% sinh viên cần lưu ý điểm sau: Bài Định mức thời gian hồn thành sản phẩm 24 phút Liệu có cần thay đổi định mức không theo dõi thời Thời gian làm đề thi 70 phút gian hoàn thành sản phẩm 25 cơng nhân ta có bảng số Khơng mang tài liệu phịng thi Khơng mang liệu sau: điện thoại vào phòng thi xi t.gian (phút) 22 − 23 23 − 24 24 − 25 25 − 26 26 − 27 ni số CN 3 Mang thẻ sinh viên thi, mang máy tính Yêu cầu kết luận với mức ý nghĩa α = 0, 05 Biết thời bảng tra để sử dụng thi gian hoàn thành sản phẩm "X" đại lượng ngẫu nhiên Sinh viên không nháp vào đề thi, phải nộp lại đề có phân phối chuẩn thi làm hết làm Bài Số liệu số lượt nghe hát ca sĩ A sau hát đưa lên youtube sau: ĐỀ SỐ Ngày thứ Số lượt nghe 2112 2523 2265 2032 1983 1928 1765 Bài Một cánh tay rô-bốt sử dụng mắt điện tử để xác định vị trí vật thể khơng gian ba chiều Q trình định vị a) Tìm hàm xu tuyến tính biểu thị số lượt nghe làm nảy sinh sai số Giả sử sai số X, Y, Z tương hát theo số ngày đưa lên youtube ứng theo ba chiều không gian biến ngẫu nhiên độc lập b) Dự báo lượt nghe hát ngày thứ 10 tìm khoảng có phân phối chuẩn với trung bình mm độ lệch ước lượng cho giá trị với độ tin cậy 90% tiêu chuẩn mm Hãy tính xác suất để điểm định vị mắt điện tử lệch khỏi vị trí thực tế không vượt 14 mm ĐỀ SỐ Bài Gọi X mức hao phí nguyên liệu loại máy Bài Điểm thi môn Vật lý kỳ thi tuyển đầu vào đại xúc ca làm việc Để ước lượng mức hao phí nguyên học năm 2016 xem biến ngẫu nhiên chuẩn với kỳ liệu trung bình, người ta theo dõi 64 ca làm việc máy vọng µ = điểm độ lệch tiêu chuẩn σ = 2, điểm Chọn xúc thu kết sau ngẫu nhiên mẫu gồm n điểm thi Xác định giá trị n X 50 − 52 52 − 54 54 − 56 56 − 58 58 − 60 cho trung bình mẫu lệch so với kỳ vọng µ không điểm với xác suất lớn 95% ni 15 20 17 Cho biết X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Bài Để khảo sát chất lượng đóng chai máy đóng với σ = lít Với độ tin cậy 95%, xác định khoảng ước chai tự động, người ta chọn ngẫu nhiên 16 chai dây lượng cho mức hao phí ngun liệu trung bình chuyền sản xuất, đo lượng chất lỏng chai tính Bài Có ý kiến cho tỷ lệ cận thị học sinh thành độ lệch tiêu chuẩn mẫu s = 0, 0525 (lít) Nếu độ lệch thị cao học sinh nông thôn Người ta tiến hành kiểm lớn ảnh hưởng tới chất lượng việc đóng chai, tức có chai quá nhiều Giả sử lượng chất tra 2000 cháu thu kết lỏng đóng chai biến ngẫu nhiên chuẩn Hãy tìm Nhóm Số học sinh Số học sinh khoảng ước lượng cho phương sai lượng chất lỏng đóng kiểm tra bị cận thị chai với độ tin cậy 90% Thành thị 900 187 Bài Trọng lượng bao phân đạm nhà máy sản Nông thôn 1100 192 xuất biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân bố chuẩn, Với mức ý nghĩa α = 0, 05 kết luận ý kiến nêu với EX = 50 kg Khách hàng cho trọng lượng thay Bài Số liệu lượng vận chuyển cơng ty vận tải đổi 50 kg Cân thử 100 bao, ta có bảng số liệu năm qua (tính theo triệu tấn) sau: đây: Năm 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 xi 47 − 48 48 − 49 49 − 50 50 − 51 51 − 52 Khối lượng 42 44 45, 46 38, 50 51 ni 22 35 30 a) Tìm hàm xu tuyến tính biểu thị lực vận chuyển Với mức ý nghĩa α = 0, 05, cho kết luận ý kiến của cơng ty khách hàng Đại học Giao thông Vận tải Tháng năm 2020 10 Bài tập Xác suất thống kê Bài Để nghiên cứu quan hệ khối lượng đào đắp chuẩn σ = 2, g Qua thời gian sản xuất người ta nghi X (nghìn m2 ) thời gian thi công Y (giờ) người ta lấy ngờ trọng lượng sản phẩm có xu hướng tăng lên Cân thử mẫu thực nghiệm thu kết quả: 100 sản phẩm ta có bảng số liệu sau: xi (gam) 96 − 98 98 − 100 100 − 102 102 − 104 104 − 106 (10; 25), (12; 28), (11; 27), (9; 23) ni số SP 22 35 25 10 (9, 5; 24), (8; 20), (12; 30), (8, 5; 22) Với mức ý nghĩa α = 0, 05, kết luận điều nghi ngờ nói a) Hãy tính hệ số tương quan thực nghiệm mẫu Bài Người ta lấy mẫu thực nghiệm đại lượng b) Hãy xây dựng hàm hồi quy tuyến tính Y theo X ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) X số tiền đầu tư ĐỀ SỐ Y doanh thu tương ứng dự án lĩnh vực cầu đường (tính theo nghìn tỷ đồng) thu kết quả: Bài Một công ty lữ hành thường tổ chức tour du lịch thám hiểm đến vùng đất Để đảm bảo lợi nhuận an toàn (3, 2; 4, 5), (3, 8; 4, 8), (3, 7; 4, 63), (6, 6; 9, 8), cho du khách, tour tổ chức cho khoảng 25 (7; 10, 2), (8, 5; 11, 6), (12; 14, 3) người Tuy nhiên website công ty lại cho phép đặt trước nhiều 25 chỗ Lý có khoảng 70% khách a) Hãy tính hệ số tương quan thực nghiệm mẫu đặt chỗ thực mua tour Giả sử website công ty b) Hãy xây dựng hàm hồi quy tuyến tính Y theo X cho phép đặt chỗ lên đến 32 khách Hãy tính xác suất để có nhiều 25 khách đặt chỗ xác nhận mua tour Bài Để ước lượng suất trung bình giống lúa đặc sản huyện A canh tác theo phương thức mới, người ta chọn ngẫu nhiên 100 ruộng trồng giống lúa để thu hoạch thu bảng số liệu sau: X 40 − 41 41 − 42 42 − 43 43 − 44 44 − 45 ni 12 20 36 22 10 Giả sử đại lượng ngẫu nhiên suất X tuân theo luật chuẩn N (µ, σ ) Tìm khoảng tin cậy µ = E(X), với độ tin cậy γ = 0, 95 Bài Tỷ lệ phế phẩm máy tự động sản xuất 8% Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm thấy có 36 phế phẩm Từ có ý kiến cho tỷ lệ phế phẩm máy sản xuất có chiều hướng tăng lên Hãy kết luận ý kiến nêu với mức ý nghĩa α = 0, 05 Bài Người ta lấy mẫu thực nghiệm đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) thu kết quả: X 4, 15 4, 46 4, 65 4, 98 5, 12 5, 25 Y 18, 19, 19, 20, 22, 22, a) Hãy tính hệ số tương quan thực nghiệm mẫu b) Hãy xây dựng hàm hồi quy tuyến tính Y theo X ĐỀ SỐ Bài Một kết cấu thép dùng làm giá để hàng chịu tải trọng Nếu khối lượng kiện hàng biến ngẫu nhiên với trung bình 100 kg độ lệch tiêu chuẩn 15 kg số lượng kiện hàng tối đa xếp lên giá đỡ để kết cấu an tồn với xác suất 95% bao nhiêu? Bài Để nghiệm thu đoạn đường bên B thi công, bên A tiến hành khoan thăm dò 16 điểm ngẫu nhiên đường thu dãy số liệu (tính mm) độ dày lớp bê tông nhựa trải đường sau: 143; 137; 135; 136; 132; 143; 139; 138; 136; 141; 138; 142; 140; 140; 139; 137 Với độ tin cậy 95% tìm khoảng ước lượng chiều dầy trung bình lớp bê tơng nhựa Biết chiều dày lớp bê tơng có phân phối chuẩn Bài Nếu máy móc hoạt động bình thường trọng lượng sản phẩm X biến chuẩn với kỳ vọng µ = 100 g, độ lệch Đại học Giao thông Vận tải Tháng năm 2020 11 Bộ môn Đại số XSTK III Lời giải mẫu tập Bài Chiều cao sinh viên sinh viên trường Đại học GTVT xấp xỉ phân phối chuẩn với trung bình µ = 175 (cm) độ lệch tiêu chuẩn σ = 10 (cm) Tính xác suất để chiều cao trung bình 16 sinh viên chọn ngẫu nhiên nằm khoảng (173; 177) lượng xăng hao phí trung bình Biết mức xăng hao phí có phân phối chuẩn Lời giải Gọi X đại lượng ngẫu nhiên lượng xăng hao phí Theo giả thiết X ∼ N (µ, σ ) với µ = EX tham số cần phải ước lượng phương sai V[X] = σ chưa biết Để ước lượng µ ta xét đại lượng ngẫu nhiên Lời giải Gọi Xi chiều cao sinh viên thứ i chọn (i = 1, 2, , 16) Theo đề bài, Xi ∼ N (µ = 175; σ = 102 ) Chiều cao trung bình 16 sinh viên T = √ (X − µ) n S Ứng với n = 28 < 30, đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối student với n − bậc tự Với độ tin cậy γ cho trước ta đặt α = − γ Khi ta cần ¯ có phân phối chuẩn với kỳ vọng µ = 175 (cm) độ lệch sử dụng phân vị t(n−1,α/2) xác định ràng buộc X σ tiêu chuẩn √ = 2, P (|T | < t(n−1,α/2) ) = γ n Vậy, xác suất để chiều cao trung bình 16 sinh viên nằm Biến đổi tương đương đẳng thức trên, ta xác định công khoảng (173,177) thức ước lượng ¯ −µ 173 − 175 177 − 175 X ¯ < 177 = P √ < P 173 < X < t(n−1,α/2) S t(n−1,α/2) S 2, 2, σ/ n √ √ X− ;X + n n = P (−0, < Z < 0, 8) ¯ = X1 + X2 + · · · + X16 X 16 với Z biến ngẫu nhiên chuẩn tắc Do ¯ < 177 = Φ (Z < 0, 8) − Φ (Z < −0, 8) P 173 < X = 0, 7881 − 0, 1867 = 0, 6014 Với γ = 0, 95 n = 28 ta có α = 1−γ = 0, 05 t(n−1,α/2) = t(27;0,025) = 2, 052 Tiếp theo tính đặc trưng thực nghiệm từ mẫu ai−1 + cho Đặt xi = xác định tổng m m ni x2i = 720, 04 Bài Thời gian để vi xử lý trung tâm (CPU) giải i=1 i=1 loại công việc xem biến ngẫu nhiên chuẩn với kỳ vọng 20 (giây) độ lệch tiêu chuẩn (giây) Nếu quan sát ngẫu nhiên công việc loại tìm a Từ ta xác định đặc trưng thực nghiệm sau: để phương sai mẫu không vượt a với xác suất 0,9 m 141, x ¯= ni xi = ≈ 5, 0643; Lời giải Ta có kích thước mẫu n = phương sai tập n i=1 28 σ = 42 Gọi S phương sai mẫu ngẫu nhiên Giá m 28 720,04 n ni x2i − (¯ x)2 = 27 − (5, 0643)2 ≈ 0, 0711; s2 = n−1 trị a cần tìm thỏa mãn hệ thức n 28 i=1 √ P (S ≤ a) = 0, s = s2 = 0, 0711 ≈ 0, 2667 ni xi = 141, 8, Dựa vào phân phối phương sai mẫu, biến đổi tương đương Như thay số liệu thực nghiệm vào công thức ước hệ thức ta thu lượng ta thu khoảng ước lượng thực nghiệm (n − 1)S 8a ≤ 2 σ a = P χ8 ≤ a = − P χ8 > 0, = P Do P χ28 > 5, 0643 − 2, 052 × 0, 2667 2, 052 × 0, 2667 √ √ ; 5, 0643 + 28 28 Rút gọn thu kết (4, 9609; 5, 1677) a = − 0, = 0, Bài Năng suất lúa đơn vị diện tích tuân theo luật chuẩn Để ước lượng suất lúa trung bình a Vậy = 13, 362 (tra bảng phân vị bình phương) ta giống lúa người ta trồng thử 100 ruộng điều kiện thu bảng số liệu sau : tìm a = 26, 724 xi (tạ/ha) 40 − 42 42 − 44 44 − 46 46 − 48 48 − 50 50 − 52 ni 13 25 35 15 Bài Để kiểm tra mức xăng hao phí loại xe ô tô Người ta chọn ngẫu nhiên 28 xe cho chạy Với độ tin cậy 95% ước lượng suất lúa trung bình đoạn đường 300 km Kết thu sau: giống lúa X 4, − 4, 4, − 5, 5, − 5, 5, − 5, 5, − 5, ni 4 Lời giải Gọi X đại lượng ngẫu nhiên suất thu Với độ tin cậy γ = 0, 95, tìm khoảng ước lượng hoạch Theo giả thiết X ∼ N (µ, σ ) với µ = EX tham số Đại học Giao thông Vận tải Tháng năm 2020 12 Bài tập Xác suất thống kê cần phải ước lượng phương sai V[X] = σ chưa biết Để ước lượng µ ta xét đại lượng ngẫu nhiên Kiểm tra điều kiện kích thước n: nf = 2500 × 0, 392 = 980 > 10, √ (X − µ) n T = S n(1 − f ) = 2500(1 − 0, 392) = 1520 > 10 Như kích thước n đủ lớn Ký hiệu tần suất ngẫu nhiên Ứng với n = 100 > 30, đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối pˆ Khi ta chọn tiêu chuẩn ước lượng xác suất xấp xỉ luật chuẩn tắc N (0, 1) √ (ˆ p − p) n Với độ tin cậy γ cho trước, đặt α = − γ ta sử dụng phân T = pˆ(1 − pˆ) vị zα/2 = Φ−1 1+γ xác định đẳng thức: P (|T | < zα/2 ) = γ Biến đổi tương đương đẳng thức trên, ta xác định công thức ước lượng Do n đủ lớn nên T có phân phối xác suất xấp xỉ luật chuẩn tắc N (0, 1) Với độ tin cậy γ cho trước, đặt α = − γ ta sử dụng phân vị zα/2 = Φ−1 1+γ xác định đẳng thức: zα/2 S zα/2 S X − √ ;X + √ n n P (|T | < zα/2 ) = γ Biến đổi tương đương đẳng thức trên, ta xác định công Thay γ = 0, 95 ta thu z0,025 = Φ−1 (0, 975) = thức ước lượng 1, 959964 ≈ 1, 96 Tiếp theo tính đặc trưng ai−1 + zα/2 pˆ(1 − pˆ) zα/2 pˆ(1 − pˆ) thực nghiệm từ mẫu cho Đặt xi = xác √ √ pˆ − ; pˆ + n n định tổng m m ni x2i = 212.764 ni xi = 4606, i=1 i=1 Thay γ = 0, 98 ta thu z0,01 = Φ−1 (0, 99) = 2, 3263 Thay giá trị thực nghiệm f = 0, 392, n = 2500, z0,01 = 2, 3263 ta thu khoảng ước lượng: Từ ta xác định đặc trưng thực nghiệm sau: x ¯= s2 = n ni xi = i=1 n n−1 √ s= 0, 392 − m n 4606 ≈ 46, 06 100 ni x2i − (¯ x)2 = i=1 100 99 212764 100 2, 3263 − (46, 06)2 ≈ 6, 1782, 6, 1782 ≈ 2, 4856 Như thay số liệu thực nghiệm vào công thức ước lượng ta thu khoảng ước lượng thực nghiệm 46, 06 − 0, 392(1 − 0, 392) √ ; 2500 0, 392 + m s2 = 2, 3263 1, 96 × 2, 4856 1, 96 × 2, 4856 √ √ ; 46, 06 + 100 100 Rút gọn thu kết (45, 5728; 46, 5472) Giá trị Φ−1 (0, 975) = 1, 959964 tra từ máy fx570 fx580 0, 392(1 − 0, 392) √ 2500 Rút gọn thu kết (0, 3693; 0, 4147) b) Ký hiệu N số dân thành phố Ký hiệu M số dân thành phố sử dụng Internet Khi tỷ lệ dân sử dụng Internet M p= N Theo giả thiết ta có N = 7.106 Áp dụng kết câu a) ta có: 0, 3693 < p < 0, 4147 M < 0, 4147 ⇔ 0, 3693 < 7.106 ⇔ 2.585.100 < M < 2.902.900 Bài Phỏng vấn 2500 người chọn ngẫu nhiên thành phố Kết cho thấy có 980 người thường xuyên sử dụng Internet a) Với độ tin cậy 0, 98 ước lượng tỷ lệ người dân Vậy số dân sử dụng Internet nằm khoảng thành phố có sử dụng Internet b) Nếu dân số thành phố triệu người với độ tin (2.585.100; 2.902.900) cậy số dân sử dụng Internet thành phố bao nhiêu? Bài Lượng đường hộp sữa tươi LiF Công ty Lời giải Ta ký hiệu tỷ lệ dân cư thành phố sử dụng Cổ phần Sữa Quốc tế xem biến ngẫu nhiên có Internet p Theo giả thiết kích thước mẫu thực nghiệm phân phối chuẩn với phương sai σ Kiểm tra ngẫu nhiên 10 n = 2500 Tần suất thực nghiệm tương ứng hộp sữa loại này, người ta xác định độ lệch tiêu chuẩn mẫu lượng đường hộp s = 2, miligam Hãy 980 f= = 0, 392 tìm khoảng tin cậy 95% cho phương sai tập σ 2500 Đại học Giao thông Vận tải Tháng năm 2020 13 Bộ môn Đại số XSTK m 2346 Lời giải Gọi X biến ngẫu nhiên lượng đường tính Vì ta tính trung bình ni xi = hộp sữa LiF Ta có X ∼ N (µ, σ ) Ta phải tìm khoảng 36 i=1 ước lượng cho phương sai σ thực nghiệm: Ký hiệu S phương sai mẫu ngẫu nhiên kích thước n m chọn Ta có tiêu chuẩn ước lượng 2346 x ¯= ni xi = ≈ 65, 1667 n i=1 36 (n − 1)S T = σ2 Như ta nhận T tuân theo luật phân phối bình phương với n − bậc √ √ (¯ x − 65) n (65, 1667 − 65) 36 tự tqs = = = 0, Với độ tin cậy γ = − α, ta tìm phân vị χ2n−1,1−α/2 σ χ2n−1,α/2 thỏa mãn đẳng thức Do t = 0, ∈ W nên ta chưa có sở bác bỏ H qs α o Bài Định mức thời gian hoàn thành sản phẩm 14 phút Liệu có cần thay đổi định mức không theo dõi thời Biến đổi tương đương đẳng thức trên, ta xác định gian hoàn thành sản phẩm 25 cơng nhân ta có bảng số liệu sau: khoảng ước lượng xi t.gian (phút) 10 − 12 12 − 14 14 − 16 16 − 18 18 − 20 ni số CN 7 (n − 1)S (n − 1)S ; 2 Yêu cầu kết luận với mức ý nghĩa α = 0, 05 Biết thời χn−1,α/2 χn−1,1−α/2 gian hoàn thành sản phẩm "X" đại lượng ngẫu nhiên Với γ = 0, 95; n = 10, ta suy α = − 0, 95 = 0, 05 có phân phối chuẩn χ29;0,975 = 2, 7; χ29;0,025 = 19, 023 Thay phương sai mẫu Lời giải Gọi X đại lượng ngẫu nhiên thời gian để s2 = 2, 52 vào biểu thức ta thu khoảng ước lượng hoàn thành sản phẩm Theo giả thiết X ∼ N (µ, σ ) với µ = EX thời gian trung bình để hồn thành sản × 2, 52 × 2, 52 phẩm phương sai V[X] = σ chưa biết ; = (2, 9569; 20, 8333) 19, 023 2, Theo yêu cầu đưa có tốn kiểm định hai phía Giả thuyết Ho : µ = 14 Bài Hao phí nguyên liệu cho đơn vị sản phẩm đại Đối thuyết H1 : µ = 14 lượng ngẫu nhiên chuẩn với độ lệch chuẩn σ = hao phí trung bình 65 gram Nghi ngờ máy móc trục trặc làm cho Do chưa biết phương sai V[X] = σ nên chọn tiêu hao phí nguyên liệu cho đơn vị sản phẩm tăng lên Người chuẩn kiểm định √ (X − 14) n ta kiểm tra 36 sản phẩm có bảng số liệu sau: T = xi (gram) 60 − 62 62 − 64 64 − 66 66 − 68 68 − 70 S ni số SP 10 Trên sở giả thuyết Ho đại lượng ngẫu nhiên T Hãy kết luận ý kiến nêu với mức ý nghĩa α = 0, 05 có phân phối xác suất theo luật student với n − bậc tự Với mức ý nghĩa α đối thuyết H1 : µ = 14 ta chọn miền Lời giải Gọi X đại lượng ngẫu nhiên mức hao phí bác bỏ nguyên liệu để sản xuất sản phẩm Theo giả thiết X ∼ N (µ, σ ) với µ = EX mức hao phí trung bình phương Wα = (−∞; −t(n−1,α/2) ) ∪ (t(n−1,α/2) ; +∞) sai V[X] = σ biết Theo yêu cầu đưa có tốn kiểm định phía t(n−1,α/2) phân vị student Thay α = 0, 05 Giả thuyết Ho : µ = 65 n = 25 ta có t(n−1,α/2) = t(24;0,025) = 2, 064 (tra bảng) Vậy Đối thuyết H1 : µ > 65 ta xây dựng Do biết phương sai V[X] = σ = nên chọn Wα = (−∞; −2, 064) ∪ (2, 064; +∞) tiêu chuẩn kiểm định √ (X − 65) n Tiếp theo ta cần tính giá trị thực nghiệm tiêu chuẩn T = ai−1 + σ kiểm định T Từ mẫu thực nghiệm ta đặt xi = Trên sở giả thuyết Ho đại lượng ngẫu nhiên T tính tổng có phân phối xác suất chuẩn tắc N (0, 1) m m Với mức ý nghĩa α đối thuyết H1 : µ > 65, ta chọn miền ni xi = 381, ni x2i = 5937 bác bỏ i=1 i=1 Wα = (zα ; +∞) z = Φ−1 (1 − α) Thay α = 0, 05 ta có z = Bởi vậy, ta thu đặc trưng thực nghiệm sau: P χ2n−1,1−α/2 < T < χ2n−1,α/2 = γ α Φ−1 (0, 95) = 1, 6449 Vậy ta xây dựng 0,05 Wα = (1, 6449; +∞) Tiếp theo ta cần tính giá trị thực nghiệm tiêu chuẩn ai−1 + kiểm định T Từ mẫu thực nghiệm ta đặt xi = Đại học Giao thông Vận tải x ¯= s = s= n m ni xi = i=1 n n−1 √ n s2 = m i=1 381 = 15, 24 25 ni x2i − (¯ x)2 = 25 24 5937 25 − (15, 24)2 ≈ 5, 44, 5, 44 ≈ 2, 3324 Tháng năm 2020 14 Bài tập Xác suất thống kê Như thay số liệu thực nghiệm để tính giá trị thực có ý kiến cho tỷ lệ phế phẩm máy sản xuất có chiều hướng tăng lên Hãy kết luận ý kiến nêu với mức nghiệm tiêu chuẩn T ta nhận ý nghĩa α = 0, 05 √ √ (¯ x − 14) n (15, 24 − 15) 25 tqs = = = 2, 6582 Lời giải Gọi p tỷ lệ phế phẩm máy Đặt p0 = 0, 06 s 2, 3324 Theo u cầu có tốn kiểm định Giả thuyết Ho : p = 0, 06 Do tqs = 2, 6582 ∈ Wα nên ta bác bỏ Ho thay H1 Đối thuyết H1 : p > 0, 06 Bài Trọng lượng bao phân đạm nhà máy sản Từ số liệu cho ta có kích thước mẫu thực nghiệm xuất biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân bố chuẩn, n = 400 Kiểm tra điều kiện kích thước n với EX = 50 kg Khách hàng cho trọng lượng thay đổi 50 kg Cân thử 100 bao, ta có bảng số liệu np0 = 400 × 0, 06 = 24 > đây: n(1 − p0 ) = 400 × (1 − 0, 06) = 376 > xi 47 − 48 48 − 49 49 − 50 50 − 51 51 − 52 ni 30 40 20 5 Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định Lời giải Gọi X đại lượng ngẫu nhiên trọng lượng bao phân đạm Theo giả thiết X ∼ N (µ, σ ) với µ = EX trọng lượng trung bình phương sai V[X] = σ chưa biết Theo yêu cầu đưa có tốn kiểm định phía Giả thuyết Ho : a = 50 Đối thuyết H1 : a < 50 Do chưa biết phương sai V[X] = σ nên chọn tiêu chuẩn kiểm định √ (X − 50) n T = S √ (ˆ p − p0 ) n T = p0 (1 − p0 ) pˆ tần suất ngẫu nhiên Vì n đủ lớn nên sở giả thuyết Ho đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối xác suất xấp xỉ luật phân phối chuẩn tắc N (0, 1) Với mức ý nghĩa α đối thuyết toán H1 : p > p0 , ta chọn miền bác bỏ Wα = (zα ; +∞) Trên sở giả thuyết Ho đại lượng ngẫu nhiên T có zα = Φ−1 (1 − α) Thay α = 0, 05 ta có z0,05 = phân phối xác suất xấp xỉ luật phân phối chuẩn tắc N (0, 1) Φ−1 (0, 95) = 1, 6449 Vậy ta xây dựng Với mức ý nghĩa α đối thuyết H1 : µ < 50, ta chọn miền bác bỏ Wα = (1, 6449; +∞) Wα = (−∞; −zα ) zα = Φ−1 (1 − α) Thay α = 0, 05 ta có z0,05 = Tiếp theo ta cần tính giá trị thực nghiệm tiêu chuẩn kiểm định T Từ mẫu thực nghiệm ta có tần suất thực nghiệm Φ−1 (0, 95) = 1, 6449 Vậy ta xây dựng f= Wα = (−∞; −1, 6449) 27 m = = 0, 0675 n 400 Tiếp theo ta cần tính giá trị thực nghiệm tiêu chuẩn Thay giá trị thực nghiệm f = 0, 0675, n = 400 p0 = 0, 06 ta thu giá trị thực nghiệm tiêu chuẩn T ai−1 + kiểm định T Từ mẫu thực nghiệm ta đặt xi = sau: √ √ tính tổng (f − p0 ) n (0, 0675 − 0, 06) 400 tqs = = ≈ 0, 6316 m m p0 (1 − p0 ) 0, 06(1 − 0, 06) ni xi = 4865, ni xi = 236795 i=1 i=1 Do tqs = 0, 6316 ∈ Wα nên ta chưa có sở bác bỏ Ho Do đó, ta thu đặc trưng thực nghiệm sau: x ¯= s2 = s= n m ni xi = i=1 n n−1 √ n s2 = m i=1 4865 = 48, 65 100 ni x2i − (¯ x )2 = 100 99 Bài 11 Một mẫu quan sát đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) có giá trị sau (2, 1; 4, 12), (2, 2; 4, 34), (2, 4; 4, 56), (2, 5; 4, 63) 236795 100 − (48, 65)2 ≈ 1, 1389, (2, 25; 4, 38), (2, 45; 4, 75), (2, 16; 4, 4), (2, 34; 4, 62) 1, 1389 ≈ 1, 0672 a) Hãy tính hệ số tương quan thực nghiệm mẫu b) Hãy xây dựng hàm hồi quy tuyến tính Y theo X Như thay số liệu thực nghiệm để tính giá trị thực c) Ước lượng giá trị y = E[Y |2, 9] tìm khoảng tin cậy nghiệm tiêu chuẩn T ta nhận 90% cho giá trị √ √ (¯ x − 50) n (48, 65 − 50) 100 Lời giải Từ số liệu cho ta xác định tổng tqs = = = −12, 6501 s 1, 0672 n n n Do tqs = −12, 6501 ∈ Wα nên ta bác bỏ Ho thay H1 Bài 10 Tỷ lệ phế phẩm máy tự động sản xuất 6% Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm thấy có 27 phế phẩm Từ Đại học Giao thông Vận tải xi = 18, 4; i=1 n yi = 35, 8; i=1 n x2i = 42, 4662; i=1 xi yi = 82, 5263; i=1 yi2 = 160, 4918 i=1 Tháng năm 2020 15 Bộ mơn Đại số XSTK Tiếp theo ta tính giá trị thực nghiệm n xi x ¯= i=1 18, = 2, 3; = n α = − 0, = 0, 1, tn−2,α/2 = t6;0,05 = 1, 943 Giá trị điểm ước lượng cho phương sai s2 = n n−2 Syy − Sxy Sxx = 0, 2868 − 0, 18632 0, 1462 = 0, 0082 yi 35, = 4, 475; n n n = xi xi yi − yi n i=1 i=1 i=1 y¯ = Sxy Sxx i=1 Tính bán kính khoảng ước lượng: = n 1, 943 0, 0082 = 82, 5263 − 18, × 35, = 0, 1863; n n 1 = x2i − ( xi )2 = 42, 4662 − (18, 4)2 = 0, 1462; n i=1 i=1 ≈ 0, 2830 Khi ta có khoảng tin cậy 90% cho giá trị dự báo (5, 2397 − 0, 2830; 5, 2397 + 0, 2830) = (4, 9567; 5, 5227) n n yi2 − Syy = (2, − 2, 3)2 + 0, 1462 i=1 1 ( yi )2 = 160, 4918 − (35, 8)2 = 0, 2868 n i=1 Do đó, hệ số tương quan thực nghiệm rtn = 0, 1863 Sxy ≈ 0, 9098 =√ 0, 1462 × 0, 2868 Sxx Syy b) Giả sử hàm hồi quy tuyến tính phải tìm y = ax + b Chúng ta ước lượng hệ số a, b hàm hồi quy theo phương pháp bình phương tối thiểu Cụ thể ta phải xác định điểm (ˆ a, ˆb) mà hàm số Q(a, b) sau đạt giá trị nhỏ đó: n Q(a, b) = (yi − a ˆxi − ˆb)2 i=1 Như a ˆ, ˆb xác định hệ phương trình sau:   n n n ∂Q   ˆb =   = x a ˆ + x xi yi   i i  ∂ˆ  a i=1 i=1 i=1 ⇔ n n     ˆb =  ∂Q  x a ˆ + n yi   i =0 i=1 i=1 ∂ˆb Thay số liệu thực nghiệm vào hệ ta thu 42, 4662 a ˆ + 18, ˆb = 82, 5263 18, a ˆ + ˆb = 35, Giải hệ ta nhận kết a ˆ ≈ 1, 2743 ˆb ≈ 1, 5442 Như ta nhận hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm y = 1, 2743x + 1, 5442 c) Thay x0 = 2, vào hàm hồi quy tuyến tính tìm (b), ta nhận yˆ0 = 1, 2743 × 2, + 1, 5442 ≈ 5, 2397 điểm ước lượng y0 = E[Y |2, 9] Khoảng tin cậy cho giá trị dự báo y0 = E[Y |2, 9] yˆ0 − tn−2,α/2 (x0 − x ¯)2 + n Sxx s2 yˆ0 + tn−2,α/2 Đại học Giao thông Vận tải s2 ; (x0 − x ¯)2 + n Sxx Tháng năm 2020