Bài toán quy hoạch lồi suy rộng

1 Tr-ờng đại học vinh Khoa toán toán quy hoạch lồi suy rộng khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán Giáo viên h-ớng dẫn: pgs.ts trần xuân sinh Sinh viên thực hiện: Đàm Xuân Hải Sinh viên lớp 42E1 Khoa Toán Vinh - 2006 lời nói đầu Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu lý luận toán học nói chung, toán cực trị, tìm ph-ơng án tối -u toán quy hoạch nói riêng Hàm lồi kiến thức giải tích lồi Việc nghiên cứu, tìm hiểu hàm lồi quan trọng cần thiết giải tích lồi Bài toán quy hoạch lồi đà đ-ợc nghiên cứu gần nh- hoàn chỉnh Tuy nhiên số mở rộng theo hướng khác hạn chế, Bi toán quy hoạch lồi suy rộng l hướng nghiên cứu Vì đà chọn đề ti Bi toán quy hoạch lồi suy rộng Mục đích đề tài nêu lên số nội dung hàm lồi định lý quan trọng hàm lồi, toán quy hoạch lồi tính chất toán quy hoạch lồi quan hệ thứ tự suy rộng Khoá luận tốt nghiệp gồm hai ch-ơng: Ch-ơng 1: Trình bày kiến thức vấn đề liên quan đến hàm lồi, toán quy hoạch lồi Ch-ơng 2: Trình bày số định lý quan trọng toán quy hoạch lồi quan hệ thứ tự suy rộng Khoá luận đ-ợc trình bày hoàn thành khoa Toán tr-ờng Đại Học Vinh với giúp đỡ, h-ớng dẫn nhiệt tình chu đáo thầy giáo PGS TS Trần Xuân Sinh, ý kiến đóng góp thầy cô giáo khác bạn Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành đến thầy h-ớng dẫn thầy khoa Toán, bạn đà giúp đỡ trình học tập hoàn thành khoá luận Vinh, ngày 10 tháng năm 2006 Tác giả Ch-ơng quy hoạch lồi 1.1 định nghĩa tập affine a) Đ-ờng thẳng Cho x, y Rn, tập hỵp xy = z  Rn : z = x  (1  )y,   R (1.1) gäi lµ ®-êng th¼ng nèi x, y NÕu biĨu thøc xy nêu trên, 0, ta có khái niệm đoạn thẳng nối x, y b) Tập M Rn gọi tập affine chứa đ-ờng thẳng qua hai điểm Nghĩa víi mäi x, y  M, x  y, z = x  (1  )y,   R th× z M 1.2 ánh xạ affine 1.2.1 Định nghĩa ¸nh x¹ affine ¸nh x¹ T : Rn  Rm đ-ợc gọi ánh xạ affine với x, y  Rn,   R ta cã T(x  (1  )y) = T(x)  (1  )T(y) 1.2.2 Định lý ánh xạ T : Rn Rm ánh xạ affine T(x) = T1(x) a, T1 ánh xạ tuyến tính, a Rn Chứng minh Nếu T ánh xạ affine, ta đặt a = T(0) T1(x) = T(x)  a, víi mäi x  Rn Ta cã T1 ánh xạ affine T1(0) = 0, T1 ánh xạ tuyến tính Ng-ợc lại, T(x) = T1(x) a, T1 ánh xạ tuyÕn tÝnh, a  Rn, th× T(x  (1  )y) = T1(x  (1  )y)  a = T1(x)  (1  )T1(y)  a = T1(x)  a  (1  )T1(y)  (1 )a = T(x) (1 )T(y) Vậy T ánh xạ affine 1.2.3 Định lý Tập H siêu phẳng chØ nã cã d¹ng H = x : c, x = , c  Rn,   R Chứng minh Giả sử H siêu phẳng, tức dimH = n Khi với x0 H tập L = H x0 không gian (n 1) chiều Theo đại số L tập nghiệm hệ ph-ơng trình n Èn cã d¹ng c, x = VËy H cã d¹ng H = x : c, x  x0 = 0 Hay lµ H = x : c, x = c, x0 = , R Ng-ợc lại, gi¶ sư H = x : c, x = ,   R Khi ®ã víi x0  H ta cã c, x0 =  vµ H = x0  L, không gian có dạng L = H  x0, tøc L cã d¹ng L = x  x0 : x  H = x  x0 : c, x =  = c, x0 = z = x  x0 : c, z = 0  TËp H = x : c, x  , c  Rn,   R  vµ H = x : c, x  , c  Rn,  R đ-ợc gọi nửa không gian đóng giới hạn siêu phẳng H 1.3 Tập lồi 1.3.1 Định nghĩa a) Tập M Rn đ-ợc gọi tập lồi đoạn thẳng nối hai điểm thuộc tập hợp nằm trọn M, nghĩa với x, y  M,   0, 1, z = x  (1  )y th× z  M b) §iÓm x = x  (1  )y,  1, x y, đ-ợc gọi điểm đoạn thẳng nối x y c) Điểm x M đ-ợc gọi điểm cực biên M không tồn x, y M cho x = x  (1  )y,  1, nghĩa x điểm đoan thẳng thuộc M d) Cho hữu hạn điểm x(1), x(2), , x(k) Điểm x cã d¹ng k  i 1 ix(i), i  0, i = 1, 2, , k, k  i 1 i = 1, đ-ợc gọi tổ hợp lồi hệ điểm đà cho e) Cho tập lồi M siêu phẳng S = x Rn : c, x = , c  Rn,   R, nÕu tồn x M mà c, x = c, x , x M ta nói S siêu (0) (0) phẳng tựa đối víi M Cho tËp hỵp M = x  Rn : aj, x  bi, i = 1, 2, , m, aj = (aij)  Rn (1.3.1) DƠ dµng kiĨm tra thấy tập hợp M đà cho tập lồi đ-ợc gọi tập lồi đa diện Trong (1.3.1), nÕu tån t¹i chØ sè k  i = 1, 2, , m mµ ak, x = bk ta nói x thỏa mÃn chặt ràng buộc thứ k Nh- vậy, tập lồi đa diện giao nửa không gian Khi chứng minh đ-ợc rằng: Điểm x M tập lồi đa diện cực biên M x giao điểm n siêu phẳng giới hạn nửa không gian t-ơng ứng M Từ ®ã suy ra: §iĨm x  M tËp låi ®a diện cực biên M x thỏa mÃn chặt n ràng buộc (1.3.1) 1.3.2 Tính chất tập lồi 1.3.2.1 Định lý Tập M lồi chứa tổ hợp lồi phần tử Chứng minh Giả sử M tập lồi, theo định nghĩa tập lồi ta cã víi x, y  M,   0, 1, z = x  (1  )y th× z  M, z tổ hợp lồi Ng-ợc lại, với x(i)  M, i = 1, 2, , k k z=  i 1 ix , i  0, i = 1, 2, , k, (i) k  i 1 i= 1, th× z  M ThËt vËy, ta chøng minh quy nạp theo k Rõ ràng k = 2, theo định nghĩa (1.3.2) Giả sử (1.3.2) víi k ta chøng minh ®óng víi (k  1) LÊy x(i)  M, i = 1, 2, , k  xÐt k 1 z=  i 1 ix(i), i  0, i = 1, 2, , k  1, k 1  i 1 i = 1, kh«ng tính tổng quát ta giả sử k  0, ®ã: k 1 z=  i 1 §Ỉt i = k ix(i) = k + 1x(k + 1)  (1  k + 1)  i , i = 1, 2, , k, râ rµng i  vµ   k 1 i 1 k i x(i)  i 1  i = Do vËy i 1 (1.3.2) k y =  i 1 i x(i)  M,  i 1 tõ ®ã suy z = k  1x(k1)  (1  k  1)y, th× z  M (v× x(k1)  M, y  M vµ k  1 0, 1) 1.3.2.2 Định lý Giao tập lồi tập lồi Nếu tập A, B tập lồi tập A B, A B, A B (ở (), (), () đ-ợc hiểu theo tổng, hiệu véctơ () tích đề các) tập lồi Chứng minh Giao tập lồi tập lồi Giả sử A, B lµ tËp låi, ta chøng minh A  B lµ tËp låi ThËt vËy, víi x, y  A  B suy x, y  A vµ x, y  B, víi   0, 1 ta cã z = x  (1  )y th× z  A vµ z  B suy z  A  B VËy A  B lµ tËp låi  (Các tr-ờng hợp khác hoàn toàn t-ơng tự) Cho tập M Rn, giao tất tập lồi chøa M gäi lµ bao låi cđa M, ký hiƯu lµ convM Ta thÊy convM lµ tËp låi bÐ nhÊt chứa M 1.3.2.3 Định lý Cho T : Rn Rm ánh xạ tuyến tính A Rn, B Rm tập lồi, T(A) T1(B) tập lồi Chứng minh T(A) tËp låi ThËt vËy, víi mäi x, y  A,   0, 1, z = x  (1  )y z M (theo định nghĩa tập lồi) Mặt khác T ánh xạ affine nên T(z) = T(x  (1  )y) = T(x)  (1  )T(y) suy T(z)  T(A) VËy T(A) lµ tËp låi  (Chøng minh T1(B) lµ tËp låi hoµn toµn t-ơng tự) 1.3.2.4 Định lý Bao lồi M, convM gồm tổ hợp lồi điểm thuộc M Chứng minh Giả sử C tập tất tổ hợp lồi điểm M Rõ ràng C convM (Định lý1.3.2.1) Ng-ợc lại ta cần chứng tỏ C lµ tËp låi ThËy vËy, lÊy x, y  C, tøc lµ x , y  M th× (i) x=  iI ix(i), i  0, i  I,  iI (j ) i = 1, y =  jy(j ), j  0, j  J,  j = jJ jJ Khi ®ã z = x  (1  )y =  iI ix(i)   (1  )jy(j ) ,   0, 1 jJ Râ rµng cã (1  )j  0, j J, i 0, i I đồng thêi  iI i   jJ (1  )j = Do vËy, z biĨu diƯn tỉ hỵp låi điểm thuộc M, nên z M Vậy C lồi 1.3.2.5 Định lý (Định lý Carathéodary) Cho E lµ tËp chøa mét tËp affine k-chiỊu Khi ®ã bÊt kú x  convE cã thĨ biĨu diƠn d-ới dạng tổ hợp lồi không (k 1) điểm E Chứng minh Theo Định lý 1.3.2.4, với x convE, tồn tập hữu hạn phần tử E, chẳng hạn x(1), x(2), , x(k)  E, cho k z=  i 1 ix(i ), i  0, i = 1, 2, , k, k  i 1 i = (*) NÕu  = ( 1 , , k) lµ nghiƯm sở hệ (*) (theo định nghĩa đại số tuyến tính) theo biến 1, 2, , k có nhiều (k 1) thành phần d-ơng Chẳng hạn i = 0, với i > h, h k 1, nghĩa ta có biểu diện x d-ới dạng tổ hợp lồi không (k 1) điểm x(i), i = 1, 2, , h, h  k   1.3.2.6 Định lý (Định lý biểu diện đa diện lồi) Cho M đa diện lồi Khi M có hữu hạn điểm cực biên x M biểu diện đ-ợc d-ới dạng tổ hợp lồi hữu hạn điểm cực biên M, nghĩa x M tồn hữu hạn điểm cực biªn x(1), x(2), , x(k) cho k x=  i 1 ix(i), i  0, i = 1, 2, , k, k  i 1 i = ViÖc chứng minh định lý xem [5] Định lý 1.3.2.6 phát biểu tổng quát hơn: Mọi tập lồi M khác rỗng, compact trùng với bao lồi điểm cực biên nó, nghĩa với x M tồn điểm cực biên x(1), x(2), , x(k) cho k x=  i 1 ix(i), i  0, i = 1, 2, , k, k  i 1 i = 1.3.2.7 Định lý (Định lý biểu diện tập lồi đa diện) Cho M tập lồi đa diện, có điểm cực biên Khi với x M biểu diễn đ-ợc d-ới dạng k x=  i 1 ix(i)  q  j 1 jd(j) , i  0, i = 1, 2, , k, k  i 1 i = 1, j  , j = 1, 2, , q, x(i) điểm cực biên M, d (j) ph-ơng cạnh vô hạn M Việc chứng minh định lý xem [5] 1.4 Nón lồi 1.4.1 Định nghĩa a) Tập K Rn đ-ợc gọi nón x K, x K Điểm gốc O thuộc không thuộc K b) K đ-ợc gọi nón có đỉnh (mũi) a nÕu a  K vµ K  a cịng lµ nón Nón K không chứa đ-ờng thẳng gọi nón nhọn Nón a K nhọn ta nói a K nón nhọn có mũi a Nếu K nón nhọn chứa O, O đỉnh (nón nhọn có mũi O) Nếu nón K tập lồi ta nói K lµ nãn låi c) Cho A lµ tËp låi thuéc Rn, ®ã nãn låi nhá nhÊt chøa A đ-ợc gọi nón lồi sinh A, ký hiệu: KA Chúng ta chứng minh đ-ợc KA = x : x  A,   0 d) Cho M tập lồi thuộc Rn, véc tơ z đ-ợc gọi h-ớng lùi xa M nÕu víi mäi x  M vµ mäi   0, ta cã x  z  M Tõ ®Þnh nghÜa, cã thĨ kiĨm tra thÊy r»ng: TËp K tất h-ớng lùi xa tập hợp lồi M nón lồi Nón K đ-ợc xác định nh- vËy gäi lµ nãn lïi xa cđa M vµ ký hiệu recM 1.4.2 Định lý Nếu x(0) điểm cực biên tập lồi đa diện M, th× M n»m trän h×nh nãn sinh bëi tËp hợp cạnh M, kề x(0) Chứng minh Cho KM nón sinh tập cạnh M kề x(0), đ-ợc nêu định lý, K hình nón tạo thành tất nửa đ-ờng thẳng xuất phát từ x(0) qua điểm x  M (x  x(0)) Khi ®ã ta cã K = z  Rn : z = x(0)  (x  x(0)), x  M,   0 Râ rµng M  K Do vËy nÕu ta chøng minh đ-ợc K KM định lý chứng minh xong ThËt vËy, xÐt mét c¹nh bÊt kú d K Vì d qua điểm x  M (x  x(0)), nªn d  = d M đọan thẳng hay nửa đ-ờng thẳng thuộc M Rõ ràng có đoạn thẳng u, v M chứa điểm y d làm ®iĨm Khi ®ã u, v lµ mét ®iĨm cđa M nªn u, v  K, tøc u, v  d (vì d cạnh K) Vậy u, v d Điều chứng tỏ d cạnh M Nh- cạnh K đ-ợc sinh cạnh M Vậy K KM 1.4.3 Định lý Tập K thuộc Rn nón có đỉnh gốc O vµ chØ víi mäi x, y  K mµ mäi sè   ta cã x  K vµ x  y  K Chøng minh NÕu K nón lồi với x K, ta có x K (theo định nghĩa nón) Hơn K tập lồi nên với x, y K (x y) K Khi chän 2  = th× x  y = 2( (x  y ))  K Ngù¬c lại, lấy x, y K, theo điều kiện đà nêu 1, ta có x  K vµ (1  )y  K vµ x  (1  )y  K Tøc K lµ nãn lồi 1.5 Hàm lồi 1.5.1 Định nghĩa 1.5.1.1 Cho M  Rn vµ hµm f : M  R Trên đồ thị (epirgatph) hàm f, ký hiệu epi f, đ-ợc xác định nh- sau: epi f = (x, r)  MR : f(x)  r (1.5.1) 1.5.1.2 Hàm f đ-ợc gọi hàm lồi M (convex on M) nÕu epi f lµ tËp låi MR Nếu f hàm lồi g = f đ-ợc gäi lµ hµm lâm 1.5.1.3 TËp domf = x  M : f(x) đ-ợc gọi miền hữu hạn hàm f Hàm f đ-ợc gọi hàm chÝnh th-êng nÕu domf   vµ f(x)  , x M Chúng ta dễ dàng kiểm tra đ-ợc f hàm lồi domf tập lồi 1.5.2 Định nghĩa t-ơng đ-ơng hàm lồi 1.5.2.1 Hàm f(x) xác định tập lồi M đ-ợc gọi lµ hµm låi, nÕu víi mäi x, y  M 0, có bất đẳng thức f(x  (1  )y)  f(x)  (1  ) f(y) Ta gọi bất đẳng thức (1.5.2) bất đẳng thøc låi (1.5.2) 10 Ta sÏ chøng minh vÒ sù t-ơng đ-ơng Định nghĩa 1.5.2.1 Định nghĩa 1.5.1.2 M tập lồi Giả sử f hàm lồi xác định tập lồi M Từ Định nghĩa 1.5.1.2 ta cần chứng minh f thỏa mÃn (1.5.2) Không tính tổng quát, ta giả sử (0, 1) Tr-íc hÕt ta cã nhËn xÐt r»ng v× f hàm lồi nên domf lồi, x, y  domf th× x  (1  )y  domf, nghÜa lµ víi f(x)   vµ f(y)   mµ f(x  (1  )y)  , (tøc xẩy tr-ờng hợp f(x) f(y) f(x (1 )y)  ) NÕu x, y  domf th× f(x) = f(y) = Với f(x) = (0, 1) nên f(x) = (t-ơng tự f(y) = ) Khi bất đẳng thức (1.5.2) Rõ ràng f hàm lồi, tức epi f låi, víi mäi (x, f(x)), (y, f(y)) thuéc epi f vµ mäi   0, 1, ta cã (x, f(x))  (1  )(y, f(y)) = x  (1  )y, f(x)  (1  )f(y)  epi f Từ suy đẳng thức (1.5.2) f(x (1  )y)  f(x)  (1  )f(y) Ng-ỵc lại, giả sử cho f hàm lồi theo Định nghÜa 1.5.2.1, tøc lµ f tháa m·n (1.5.2), ta chøng minh epi f låi ThËt vËy, lÊy (x, r), (y, s)  epi f, tøc lµ ta cã f(x)  r vµ f(y)  s Tõ (1.5.2) suy f(x  (1  )y)  f(x)  (1  )f(y)  r  (1  )s, tøc lµ (x  (1  )y, r  (1  )s)  epi f Đó điều phải chứng minh Hàm f(x) xác định tập lồi M, đ-ợc gọi hàm låi m¹nh nÕu tån t¹i h»ng sè   cho víi mäi x, y  M vµ   0, 1 ta cã f(x  (1  )y)  f(x)  (1  )f(y)  K, víi K = (1   ) x  y 2 Ta nhận xét hàm f(x) lồi mạnh xác định tập lồi M, f(x) lồi 1.5.2.2 Định nghĩa hàm tùa låi vµ hµm tùa läm NÕu f : M [, ] hàm lồi với  R tËp møc x  M: f(x)   tập lồi Tuy nhiên ng-ợc lại không Một hµm f mµ tËp møc lµ tËp låi gäi lµ hàm tựa lồi Ng-ợc lại f hàm lọm có định nghĩa hàm tựa lọm 29 Vậy m (  Ki) = i 1 m  Ki i Ki chứa gốc O 2.2.3.2 Bổ đề 2.1 Nếu K nón lồi đóng y K ( K) , y  Chøng minh Theo tÝnh chÊt (iv) ë trªn K = (K) VËy y  K y (K), vµ chØ cã mét   K cho , y   K K H×nh 2.1 Nãn liên hợp 2.2.4 Hàm K-lồi 2.2.4.1 Định nghĩa hàm K-lồi Cho mét nãn låi K  Rm c¶m sinh thø tự K Rm ánh xạ g : Rn Rm gäi lµ K-låi nÕu víi mäi x(1), x(2)  Rn vµ    g(x(1)  (1  )x(2)) ≼K g(x(1))  (1  )g(x(2)) (2.4.1) Ch¼ng hạn ánh xạ g : Rn Rm Rm -lồi (hay lồi theo thành phần) gi(x), i = 1, 2, , m hàm lồi 2.2.4.2 Bỉ ®Ị 2.2 NÕu g : Rn  Rm ánh xạ K-lồi với K hµm , g(x) = m  i 1 lµ hµm lồi theo nghĩa thông th-ờng tập x Rn g(x) ≼K 0 lµ tËp låi Chøng minh Víi mäi x(1), x(2)  Rn vµ    ta cã g(x(1)  (1  )x(2)) ≼K g(x(1))  (1  )g(x(2)), igi(x) 30 tøc lµ g(x(1))  (1  )g(x(2))  g(x(1)  (1  )x(2))  K Mà K nên suy , g(x(1)) (1  )g(x(2))  g(x(1)  (1  )x(2))  0, tøc lµ , g(x(1))  (1), g(x(2))  , g(x(1)  (1  )x(2), chøng tá m , g(x) = igi(x) i hàm lồi Mặt khác, (2.4.1) nªn nÕu g(x(1)) ≼K 0, g(x(2)) ≼K th× g(x(1)  (1  )x(2)) ≼K g(x(1))  (1  )g(x(2)) ≼K 0, chøng tá tËp x  Rn g(x) K tập lồi 2.3 Bài toán quy hoạch lồi suy rộng 2.3.1 Định nghĩa Một toán quy hoạch lồi suy rộng toán có d¹ng minf(x) gi(x) ≼K i (i = 1, 2, , m), h(x) = 0, x   (2.4.2) ®ã f : Rn R lµ hµm låi, gi : Rn Rsi , i = 1, 2, , m, lµ Ki-lồi, hữu hạn toàn Rn, h : Rn Rp ánh xạ affine Rn tập lồi đóng 2.3.2 Tính chất toán quy hoạch lồi suy rộng Theo Bổ đề 2.2 miền ràng buộc toán (2.4.2) tập lồi, tr-ờng hợp riêng toán (1.6.1)(1.6.2)(1.6.3) Ta ghép bất đẳng thức suy rộng gi(x) K i (i = 1, 2, , m) mét nh©n tư Lagrange i Ki đẳng thức h(x) = nhân tử Lagrange Rp Lagrange toán (2.4.2) đ-ợc định nghĩa m L(x, , ) = f(x)   i, gi(x)  , h(x) i 1 ®ã i  Ki, i = 1, 2, , m Rp Hàm đối ngẫu Lagrange m (, ) = inf L(x, , ) = inf f(x)   i, gi(x)  , h(x) x x i 31 Vì (, ) bao d-ới họ hàm affine theo (, ) nên (, ) mét hµm lâm Ký hiƯu K = K1 K2  Km,  = (1, 2, , m) dÔ thÊy r»ng nÕu gi(x) ≼K i 0, i = 1, 2, , m, h(x) = 0;  f ( x) sup L( x,  ,  )   K * , R P trái lại Thật vậy, gi(x) ≼K i (i = 1, 2, , m), h(x) = supremum đạt = = 0, f(x) Mặt khác, h(x)  th× cã   Rp cho , g0(x)  vµ lÊy  = ta thÊy sup K * ,R p L( x,  ,  )  sup f ( x)   , h( x)    0 Cßn nÕu cã mét i = 1, 2, , m víi gi(x) ⋠K i theo Bổ đề 2.1 có i Ki cho i, gi(x) > 0, ®ã lÊy  = 0, j = j  i suy supremum Êy b»ng sup f(x)  i, gi(x) = Thành thử toán (2.4.2) viÕt inf sup x K * , R p L( x, , ) Do toán đối ngÉu cđa nã lµ sup inf L( x,  ,  )  K , R * p x sup  (,  ) K * , R P (2.4.3) (Vì (, ) hàm lõm) Vì toán đối ngẫu toán quy hoạch lồi 2.3.2.1 Định lý Trị tối -u toán đối ngẫu (2.4.3) không v-ợt trị tối -u toán gốc (2.4.2) (đối ngẫu yếu) Nếu có điều kiện Slater chặt: ( x int) h( x ) = gi( x )  K i 0, i = 1, 2, , m th× hai trị tối -u (đối ngẫu mạnh) Chứng minh Theo Bỉ ®Ị 2.2 víi i  Ki, i = 1, 2, , m hµm i, gi(x) lµ hµm lồi (theo nghĩa thông th-ờng), hữu hạn Rn nên liên tục Vậy L(x, , ) hàm lồi liên tục theo x với (, ) K1 K2 KmRp cố định affine theo (, ) với x cố định Ta có đối ngẫu mạnh sup inf L( x,  ,  )  inf K * , R p x sup x K * , R P L( x,  ,  ) XÐt tËp låi ®ãng D = K1 K2  KmRp , vµ hµm (2.4.4) 32 m L(x, , ) = f(x)   i, gi(x)  , h(x) i 1 Hµm L(x, , ) lµ hµm låi theo x   cố định (, ) D affine theo (, ) Rpq cố định x Cho h: Rn Rp ánh xạ affine mà h(x) = (h1(x), h2(x), , hp(x)) E = h() Vì h( x ) = x int nên  inth(), ®ã víi   ®đ nhá ta cã yj  h(), -yj  h(), j = 1, 2, , k NÕu ký hiÖu yj  Rq véc tơ thành phần thứ j , thành phần khác Gọi xj điểm thỏa mÃn h(xj) = yj M = x , xj, xj, j = 1, 2, , k   Víi mäi (, )  D mµ  = th× gi( x ) ≼K i 0, i =1, 2, , m nªn m  i 1 i, gi( x )  , h( x ) < Mặt khác, với (, ) D mà ta phải có mét j  1, 2, , p cho  = (1, 2, , p)  0; nÕu   th× , h(x)  0; nÕu  < , h(x) đẳng thức có mét x  M tháa m·n m  i 1 i, gi(x)  , h(x)  Do ®ã m inf L(x, , ) = inf f(x)   i, gi(x)   , h(x) xM xM i 1 m  inf f(x)  inf   i, gi(x)  xM xM i 1 p  j, hj(x) j 1   Khi (, )  D mµ    , tøc lµ   K,   Rp Do theo Định lý 1.6.2.8 (Định lý Minimax) Hệ 6.2 ch-ơng 1, phải có (2.4.4) 2.3.2.2 Quy hoạch nón Cho nón lồi đóng K Rm cã intK  , mét vÐc t¬ C  Rn, ánh xạ affine Ax b, với b Rm, A Rnm Bài toán tối -u sau 33 minc, x Ax K b (2.4.5) đ-ợc gọi quy hoạch nón Vì A(x(1) (1  )x(2))  Ax(1)  (1  )Ax(2) =  K, tøc lµ A(x(1)  (1  )x(2)) ≽K Ax(1)  (1  )Ax(2), víi mäi x(1), x(2)  Rn, 1, nên ánh xạ x b Ax K-lồi Vậy toán quy hoạch nón chẳng qua tr-ờng hợp riêng toán (2.4.2) đà xét i = 1, K1 = K, f(x) = c, x, g1(x) = b  Ax, h  0,  = Rn Hµm Lagrange toán (2.4.5) L(x, y) = c, x  y, b  Ax = C  ATy, x  b, y, (y ≽K 0) Nh-ng dÔ thÊy b, y infn L( x, y )   xR ATy = x trái lại Vậy đối ngẫu quy hoạch nón (2.4.6) toán maxb, y ATy = c, y ≽K 0 (2.4.6) 2.3.3 Hàm lồi ma trận bất đẳng thức ma trận tuyến tính suy rộng 2.3.3.1 Hàm lồi ma trận Không gian c¸c ma trËn Sn VÕt cđa mét ma trËn nn đối xứng A = aij tổng phần tử đ-ờng chéo chính: n Tr(A):= i aii Từ định nghĩa có ngay: a) Tr(A B) = Tr(A)  Tr(B), Tr(AB) = Tr(BA) b) Tr(A) = 1  2   n, ®ã i (i = 1, 2, , n) giá trị riêng A Thật vậy, a) Theo định nghĩa vết cđa ma trËn th× Tr(A  B) = n  i 1 n aii  n  bjj j 1 =   aii   i 1 n  j 1 bjj 34 = Tr(A)   Tr(B), n n Tr(AB) =  i 1 aii  j 1 n bjj = n  bjj j 1  i 1 aii = Tr(BA) ®ã A = aij, B = bjj ma trận nn đối xứng b) Đa thức đặc tr-ng A a11 a21 det (A  In) =  an1 a12 a22    an  a1n  a2 n  ann (2.4.7) Giải (2.4.7) ta đ-ợc giá trị riêng 1, 2, , n Vì A ma trận đối xứng nên suy Tr(A) = n Dựa vào khái niệm vết có đ-a vào không gian Sn ma trận thực nn đối xứng nội tích nh- sau (chú ý A vết đối xứng nên A = AT): A, B = Tr(AB) =  aij bij = vec(A)Tvec(B) i, j (vec(A) vec tơ cột nn chiều mà thành phần thành phần ma trËn A theo thø tù : a11, a12, , a1n, a21, ,a2n, , an1, , ann) chuÈn øng víi nội tích chuẩn Frobenius A2 = A, A = Tr(ATA) =  a2ij i, j TËp c¸c X Sn nửa xác định d-ơng làm thành nón låi S n gäi lµ nãn SDP (semdefinite positive cone) §èi víi hai ma trËn A, B  Sn ta viết A B (hiểu ngầm S n ) để nói B A nửa xác định d-ơng Nói riêng A có nghĩa A ma trận nửa xác định d-ơng 2.3.3.2 Bổ đề 2.3 Nón S n lồi, đóng, nhọn, có điểm tự liên hợp, nghĩa S n = ( S n ) Chøng minh ChØ cÇn chøng minh tÝnh tù liên lợp Theo định nghĩa 35 ( S ) = Y  S  Tr(YX )  0), X  S n   n  n  Cho Y  S n , víi mäi X  S n ta cã 1 1 Tr(YX) = Tr(Y X X ) = Tr( X Y X )  2 v× ma trận X Y X nửa xác định d-ơng vết không âm Vậy S n ( S n ) Ng-ợc lại, cho Y ( S n )* LÊy mét u  Rn ta cã Tr(YuuT) = n  i 1 y1iuiu1   n n  i 1 yniuiun =  i , j 1 yijuiuj = uTYu Mµ ma trËn uTu ma trận nửa xác định d-ơng, vết YuuT không âm theo giả thiết tích uTYu không âm Vì với u điều có nghÜa lµ Y  S n VËy  S n (Sn) Định nghĩa Một ánh xạ F: Rn Sm gọi lồi (hay rõ lồi theo nghĩa bất đẳng thức ma trận) lµ S m -låi, tøc lµ víi mäi X, Y  Sn vµ  t  F( tX  (1  t)Y) ≼ tF(X )  (1  t)F(Y) Chẳng hạn, ánh xạ X X lồi u Rm hàm uTX 2u = Xu2 hàm toàn ph-ơng lồi thành phần X , cho nªn uT[X  (1  )X]2u  uTX 2u (1 )uTX 2u điều nµy kÐo theo [X  (1  )X]2 ≼ X (1 )X Vì lẽ t-ơng tự hàm X XX T lồi 2.3.3.3 Bất đẳng thức tuyến tính suy rộng Một bất đẳng thức ma trËn tuyÕn tÝnh, hay nãi gän, mét LMI (Linear Matrix Inequality), bất đẳng thức suy rộng A0 x1A1   xnAn ≼ 36 ®ã x  Rn lµ biÕn vµ Ai  Sp, i = 1, 2, , n cho tr-ớc Dấu bất đẳng thức hiểu ngầm theo nón S p : Ký hiƯu P ≼ cã nghÜa lµ ma trận P nửa xác định âm Dĩ nhiên A(x) := A0  n  k 1 xkAk  Sp vµ phần tử ma trận hàm affine theo x: n A(x) = aij(x), aij(x) =  ij0   ijk xk k 1 VËy còng cã thĨ nãi mét (LMI) cã d¹ng A(x) ≼ A(x) ma trận vuông đối xứng mà phần tử hàm affine biến x Theo định nghĩa A(x) y, A(x)y  0,  y  Rp, cho nªn C := x  Rn A(x) ≼ 0 =  x  Rn y, A(x)y  0 yR p Víi y cố định tập x Rn y, A(x)y nửa không gian, tập x Rn nghiệm LMI tập lồi đóng Nói cách khác, LMI loại bất đẳng thức lồi, t-ơng đ-ơng với hệ vô hạn bất đẳng thức tuyến tính Đ-ơng nhiên A(x) LMI xác định ràng buộc lồi x Chú ý: Một hƯ nhiỊu LMI: A(1)(x) ≼ 0, , A(m)(x) ≼ cã thĨ viÕt d-íi d¹ng mét LMI nhÊt: Diag(A(1)(x), , A(m)(x)) ≼ 2.3.4 Quy ho¹ch tuyÕn tÝnh suy réng 2.3.4.1 Quy ho¹ch SDP 37 Mét quy ho¹ch nưa xác định d-ơng (Semi Definite Program) hay nói gọn, quy hoạch SDP, toán tìm cực tiểu mét hµm tun tÝnh víi mét rµng bc LMI: minc, x A0  x1A1   xnAn ≼ 0 (SDP) Hiển nhiên SDP tr-ờng hợp riêng toán quy hoạch lồi dạng chuẩn suy rộng Cụ thĨ nã cã thĨ viÕt l¹i d-íi d¹ng (2.4.2), víi m = 1, f(x) = c, x, g1(x) = A0  x1A1   xnAn, K1 = S p Để viết đối ngẫu ta ghép với ràng buộc LMI biến đối ngẫu Y ( S n ) = S p (xem Bỉ ®Ị 2.3) VËy Lagrange cđa nã lµ L(x, Y) = cTx  Tr(Y(A0 x1A1 xnAn)) Hàm đối ngẫu cđa nã lµ (Y) = infL(x, Y) x  Rn Vì L(x, Y) affine theo x nên không bị chặn d-ới, trừ đồng 0, tøc lµ ci  Tr(YAi) = 0, i = 1, 2, , n L(x, Y) = Tr(A0Y) Thành thö Tr ( A0Y )  (Y )     nÕu Tr(AiY)  ci = 0, i = 1, 2, , n trái lại Vậy đối ngẫu toán SDP maxTr(A0Y) : Tr(AiY) ci = 0, i = 1, 2, , n, Y = Y T ≽ 0 (SDD) ViÕt l¹i d-íi d¹ng maxA0, Y Ai, Y = ci, i = 1, 2, , n, Y ≽ 0 (2.4.8) Ta thÊy sù t-¬ng tù (SDD) với quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn Theo Định lý 2.3.2.1 ta có đối ngẫu mạnh cã ®iỊu kiƯn Slater  x  int : A0  A1 x1   An x n ≺ 0, (trong ®ã   Rn) (2.4.9) 38 kÕt luËn Khoá luận thu đ-ợc số kết sau: Ch-ơng 1: Trình bày kiến thức hàm lồi toán quy hoạch lồi cách đầy đủ, hệ thống dễ hiểu Ch-ơng 2: Trình bày số định lý quan trọng toán quy hoạch lồi quan hệ thứ tự suy rộng chứng minh định lý Nêu thêm số tính chất nón liên hợp Chứng minh tính chất thứ tự phận, bất đẳng thức suy rộng nón liên hợp 39 Tài liệu tham khảo Trần Xuân Sinh, Quy hoạch tuyến tính, NXB Đại học s- phạm Hà Nội, 2003 (Tái 2004) Trần Xuân Sinh, Bài giảng Giải tích lồi, Đại học Vinh, 2005 Trần Vũ Thiệu, Giáo trình tối -u tuyến tính, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2004 Hoàng Tụy, Lý thuyết tối -u, Viện toán học Việt Nam, 2003 [5] Hoàng Tuỵ, Quy hoạch tuyến tÝnh, NXB Khoa häc, Hµ Néi, 1968 40 Mơc lục Trang Lời nói đầu Ch-¬ng 1: Quy ho¹ch låi 1.1 Định nghĩa tập affine 1.2 ánh xạ affine 1.2.1 Định nghĩa ánh xạ afine 1.2.2 Định lý 1.2.3 Định lý 1.3 TËp låi 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 TÝnh chÊt cña tËp låi 1.4 Nãn låi 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Định lý 1.4.3 §Þnh lý 1.5 Hµm låi 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Định nghĩa t-ơng đ-ơng hàm lồi 1.5.3 Các tính chất liên quan cđa hµm låi 10 1.6 Quy ho¹ch låi 14 1.6.1 Bài toán quy ho¹ch låi 14 1.6.2 TÝnh chÊt 15 Ch-ơng 2: Bài toán quy hoạch lồi suy rộng 20 2.1 Ràng buộc bất đẳng thức 20 2.1.1 NhËn xÐt 20 2.1.2 Định lý đối ngÉu yÕu 21 2.1.3 Định lý đối ngẫu mạnh 21 2.2 Bất đẳng thức suy rộng 21 41 2.2.1 Nãn vµ thứ tự cảm sinh nón 21 2.2.2 TÝnh chÊt thø tù bé phận bất đẳng thức suy rộng 22 2.2.3 Nón liên hợp 24 2.2.4 Hµm K-låi 28 2.3 Bài toán quy hoạch lồi suy réng 29 2.3.1 Định nghĩa toán quy hoạch lồi suy rộng 29 2.3.2 TÝnh chÊt bµi toán quy hoạch lồi suy rộng 29 2.3.3 Hàm lồi ma trận bất đẳng thøc ma trËn tuyÕn tÝnh 32 2.3.4 Quy ho¹ch tuyÕn tÝnh suy réng 36 KÕt luËn 37 Tài liệu tham khảo 38 42 Tr-ờng đại học vinh Khoa toán đàm xuân hải toán quy hoạch lồi suy rộng khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán Vinh 2006 43 ... chọn đề ti Bi toán quy hoạch lồi suy rộng Mục đích đề tài nêu lên số nội dung hàm lồi định lý quan trọng hàm lồi, toán quy hoạch lồi tính chất toán quy hoạch lồi quan hệ thứ tự suy rộng Khoá luận... hiểu hàm lồi quan trọng cần thiết giải tích lồi Bài toán quy hoạch lồi đà đ-ợc nghiên cứu gần nh- hoàn chỉnh Tuy nhiên số mở rộng theo hướng khác hạn chế, Bi toán quy hoạch lồi suy rộng l hướng... ≼K 0, chøng tá tËp x  Rn g(x) ≼K 0 lµ tËp låi 2.3 Bài toán quy hoạch lồi suy rộng 2.3.1 Định nghĩa Một toán quy hoạch lồi suy rộng toán có dạng minf(x) gi(x) K i (i = 1, 2, , m), h(x) =