Các dạng toán về góc trong hình học không gian trần đình cư

https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN C H Ủ Đ Ề 8: G Ĩ C • GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG • GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui • GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam MỤC LỤC CHỦ ĐỀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN DẠNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG DẠNG GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 10 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui DẠNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 18 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam CHỦ ĐỀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN DẠNG GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , SA = AB = a , AD = 3a Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc tạ hai mặt phẳng ( ABCD ) ( SDM ) A B C D Hướng dẫn giải mà SA ⊥ MD  ( SAH ) ⊥ MD  AH ⊥ MD Do ( ( SMD ) , ( ABCD ) ) = ( SH , AH ) = SHA =  3a a 13 Ta lại có: S AMD = 3a.a = , MD = CD + CM = 2  AH = 2S AMD 6a 13 7a 13 =  SH = DM 13 13  cos  = AH = Vậy cosin góc hai mặt phẳng ( SMD ) ( ABCD ) SH Vậy chọn đáp án B Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, có AB = 2a góc BAD = 120 Hình chiếu vng a góc S xuống mặt phẳng đáy ( ABCD ) trùng với giao điểm I hai đường chéo SI = Tính góc tạo mặt phẳng ( SAB ) mặt phẳng ( ABCD ) A 30° B 45° C 60° D 90° Hướng dẫn giải Ta có BAD = 120  BAI = 60 BI  sin 60 = AB  BI = a  Suy ra:   AI = a cos 60 = AI  AB Gọi  góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD ) Gọi H hình chiếu AB ⊥ ( SHI )  AB ⊥ SH vng góc I AB Ta có: Do đó:  = ( SH , IH ) = SHI https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Kẻ SH ⊥ MD, H  MD , https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Xét tam giác vuông AIB có: tan SHI = 1 = +  IH = a IH IA IB SI =  SHI = 30 hay  = 30 HI Vậy chọn đáp án A Câu 3* Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, SA = SB ACB = 30 , SA ⊥ SB Biết khoảng cách hai đường thẳng SA BC 3a Tính cosin góc hai mặt phẳng A 33 B 13 C 65 13 D 11 Hướng dẫn giải Gọi D trung điểm BC, suy tam giác ABD cạnh a Gọi I, E trung điểm BD AB, H giao AI DE Khi dễ thấy H trọng tâm tam giác ABD Ta có AI ⊥ BC , DE ⊥ AB Vì SA = SB  SE ⊥ AB , suy AB ⊥ ( SDE )  AB ⊥ SH Khi ta có SH ⊥ ( ABC ) Gọi K hình chiếu vng góc I lên SA, IK đoạn vng góc chung SA BC Do IK = d ( SA; BC ) = 3a a a a2 , AH =  SA = + h2 Đặt SH = h, AI = 3 Lại có AI SH = IK SA = 2S SAI  a 3a a h= + h2  h = a Gọi M hình chiếu A lên SI, AM ⊥ ( SBC ) Gọi N hình chiếu M lên SC, SC ⊥ ( AMN )  ( ( SAC ) , ( SBC ) ) = ANM =  Ta có: HI = a a 39 AI SH 3a ; SI =  AM = = 6 SI 13 Mặt khác IM = AI − AM = a 39 5a a 30  SI  SM = SI − IM = ; SC = 26 39 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui ( SAC ) ( SBC ) https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Ta lại có SMN ~ SCI   tan  = MN SM SM CI 3a 130 =  MN = = CI SC SC 52 AM 10 65 hay cos  = = MN 13 Vậy góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SAC )  với cos  = 65 13 Vậy chọn đáp án C a 10 , BAC = 120 Hình chiếu vng góc C ' lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh BC Tính số đo góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( ACC ' A ') A 75° B 30° C 45° D 15° Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm BC Từ giả thiết suy C ' H ⊥ ( ABC ) Trong ABC ta có: BC = AC + AB − AC AB.cos120 = 7a a a  C ' H = C ' C − CH =  BC = a  CH = Hạ HK ⊥ AC Vì C ' H ⊥ ( ABC )  đường xiên C ' K ⊥ AC  ( ( ABC ) , ( ACC ' A ') ) = C ' KH (1) ( C ' HK vuông H nên C ' KH  90 ) Trong HAC ta có HK =  tan C ' KH = 2S HAC S ABC a = = AC AC C'H =  C ' KH = 45 HK Từ (1) (2) suy (2) ( ( ABC ) , ( ACC ' A ') ) = 45 Vậy chọn đáp án C Câu Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a, A ' A = A ' B = A ' C = a hai mặt phẳng ( ABB ' A ') ( ABC ) A 75° B 30° C 45° D 60° https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Tính góc 12 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Câu Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AB = 2a, AC = a, AA ' = https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu A ( ABC ) Vì A ' A = A ' B = A ' C nên HA = HB = HC , suy H tâm tam giác ABC Gọi I, J trung điểm BC, AB 7a a a A ' J = AA ' − AJ = − = 12 2  A ' H = A ' J − HJ = a  A ' J ⊥ AB Vì   ( A ' JC ) ⊥ AB  A ' JC góc hai mặt phẳng CJ ⊥ AB ( ABB ' A ') ( ABC ) a A' H Khi tan A ' JC = = =  A ' JC = 60 JH a Vậy chọn đáp án D Câu Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng cân B có AB = BC = Gọi H trung điểm AB, SH ⊥ ( ABC ) Mặt phẳng ( SBC ) tạo với đáy góc 60° Cosin góc mặt phẳng ( SAC ) ( ABC ) là: A 5 B C 10 D Hướng dẫn giải Kẻ HP ⊥ AC  ( ( SAC ) , ( ABC ) ) = SPH  cos ( ( SAC ) , ( ABC ) ) = cos SPH = Ta có (( SBC ) , ( ABC ) ) = SBH  SBH = 60  tan 60 = SH =  SH = HB = HB APH vuông cân P  HP = HP SP AH = = 2 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui 1 a a HJ = CJ = = 3 https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam  SP = SH + HP = 12 + = 14  SP = 14  cos ( ( SAC ) , ( ABC ) ) = HP = = SP 14 Vậy chọn đáp án D Câu Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a Biết SO ⊥ ( ABCD ) , AC = a thể tích khối a3 Cosin góc mặt phẳng ( SAB ) ( ABC ) là: A B C D Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui chóp Hướng dẫn giải Kẻ OP ⊥ AB  ( ( SAB ) , ( ABC ) ) = SPO  cos ( ( SAB ) , ( ABC ) ) = cos SPO = OP SP Cạnh AB = BC = a AC = a  AB = BC = CA = a  ABC  sin 60 = OP 3 a a =  OP = OA = = OA 2 2 1 Ta có: VS ABCD = SO.S ABCD = SO.2S ABC 3 1 a a3 = SO.2 .a.a.sin 60 = SO =  SO = 3a  SP = SO + OP = 9a + 3a 147a = 16 16 a 7a OP  SP =  cos ( ( SAB ) , ( ABC ) ) = = = SP 7a Vậy chọn đáp án C Câu Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O SA ⊥ ( ABCD ) Để góc ( SBC ) ( SCD ) 60° độ dài SA B a A a C a D 2a Hướng dẫn giải  BD ⊥ AC  BD ⊥ ( SAC )  BD ⊥ SC Ta có   BD ⊥ SA https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam  SC ⊥ SI Kẻ BI ⊥ SC ta có   SC ⊥ ( BID )  SC ⊥ BD (( SBC ) , ( SCD ) ) = ( BI , ID ) = 60 Trường hợp 1: BID = 60  BIO = 30 Ta có tan BIO = BO a a (vô lý)  OI =  OC = IO 2 Ta có tan BIO = BO a  OI = IO Ta có sin ICO = OI =  tan ICO =  SA = AC.tan ICO = a OC Vậy chọn đáp án A Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = ( SAB ) vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Cosin góc đường thẳng SM DN là: A − B C − D Hướng dẫn giải Kẻ ME song song với DN với E  AD suy AE = a Đặt  góc hai đường thẳng SM , DN nên ( SM , ME ) =  Gọi H hình chiếu S lên AB Ta có SH ⊥ ( ABCD ) Suy SH ⊥ AD  AD ⊥ ( SAB )  AD ⊥ SA Do SE = SA2 + AE = 5a a a  SE = ME = 2 Tam giác SME cân E, có cos  = cos SME = 5 Vậy chọn đáp án D Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB = 2a, SA = a vng góc với mặt phẳng ABCD Cosin góc hai mặt phẳng ( SAD ) ( SBC ) là: A 2 B C D https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Trường hợp 2: BID = 120  BIO = 60 https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Hướng dẫn giải Gọi I giao điểm AD BC  BD ⊥ AD Ta có   BD ⊥ ( SAD )  BD ⊥ SI  BD ⊥ SA  SI ⊥ BD Kẻ DE ⊥ SI ta có   SI ⊥ ( BDE )  SI ⊥ DE Ta có sin AIS = SA DE = mà sin AIS = SI DI  DE = DI sin AIS =  tan DEB = a BD =  cos DEB = ED Vậy chọn đáp án C https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui  ( ( SAD ) , ( SBC ) ) = ( DE , BE ) https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, có AB = 2a, AD = DC = a , SA = a SA ⊥ ( ABCD ) Tan góc mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD ) là: A B C D Hướng dẫn giải Ta có (( SBC ) , ( ABCD ) ) = ACS  tan ACS = SA = AC Vậy chọn đáp án D Câu 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) , SA = a Cosin góc mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) là: A −2 B C −1 D Hướng dẫn giải Gọi M trung điểm AB CM ⊥ AB Ta có   CM ⊥ ( SAB )  CM ⊥ SB CM ⊥ SA  SB ⊥ MN Kẻ MN ⊥ SB ta có   SB ⊥ ( CMN )  SB ⊥ CM  ( ( SAB ) , ( SBC ) ) = ( MN , NC ) = MNC Ta có tan SBA = SA =  SBA = 60 AB Ta có sin SBA = MN a  MN =  cos MNC = MB Vậy chọn đáp án D DẠNG GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Câu Cho tứ diện ABCD có mặt ( ABC ) ( ABD ) tam giác cạnh a, mặt ( ACD ) ( BCD ) vng góc với Tính số đo góc hai mặt đường thẳng AD BC A 30° 10 B 60° C 90° D 45° https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Ta có AC = AD + DC = a https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Hướng dẫn giải Gọi M, N, E trung điểm cạnh CD, AB, BD  AB ⊥ BN Ta có:   AB ⊥ ( BCN )  AB ⊥ MN  AB ⊥ CN Do ACD cân A  AM ⊥ CD  AM ⊥ ( BCD )  AM ⊥ BM  AMB vuông M AB a = 2  DM = ND − NM = 3a3 a a − = 4 MNE tam giác  MEN = 60  NE / / AD Do   ( AD, BC ) = ( NE , EM ) = 60  EM / / BC Vậy chọn đáp án B Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN A 5 B 5 C 5 D 5 Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu S AB, suy SH ⊥ ( ABCD ) Do SH đường cao hình chóp S.BMDN SA2 + SB = a + 3a = AB  SAB vuông S AB a  SM = = a Kẻ ME || DN ( E  AD )  AE = 2 Ta có: Đặt  góc hai đường thẳng SM DN Ta có: ( SM , ME ) =  Theo định lý ba đường vuông góc, ta có: SA ⊥ AE Suy SE = SA2 + AE = 11 a a , ME = AM + AE = 2 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui  MN = https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam a SME cân E nên SME =  cos  = = a Vậy chọn đáp án B Câu Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A ' mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh BC A B C D Hướng dẫn giải trung điểm Gọi H AH = 1 BC = a + 3a = a 2 BC  A ' H ⊥ ( ABC ) Do đó: A ' H = A ' A2 − AH = 3a  A ' H = a Vậy VA ' ABC = a3 (đvtt) A ' H SABC = 3 Trong tam giác vuông A ' B ' H có H ' B = A ' B '2 + A ' H = 2a nên tam giác B ' BH cân B ' Đặt  góc hai đường thẳng AA ' B ' C '  = B ' BH Vậy cos  = a = 2.2a Vậy chọn đáp án B Câu Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân AB = AC = a, BAC = 120 AB ' vng góc với đáy ( A ' B ' C ') Gọi M, N trung điểm cạnh CC ' A ' B ' , mặt phẳng ( AA ' C ') tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 30° Tính cosin góc hai đường thẳng AM C ' N A 19 B 39 C 29 D 29 Hướng dẫn giải Ta có: BC = AB2 + AC − AB.AC cos A = 3a  BC = a Gọi K hình chiếu B ' lên A ' C ' , suy A ' C ' ⊥ ( AB ' K ) 12 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Tính cosin góc hai đường thẳng AA ', B ' C ' https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Do đó: AKB ' = ( ( A ' B ' C ') , ( AA ' C ' ) ) = 30 Trong tam giác A ' KB ' có KA ' B ' = 60, A ' B ' = a nên B ' K = A ' B 'sin 60 = a Suy AB ' = B ' K tan 30 = a Gọi E trung điểm AB ' , suy ME || C ' N nên ( C ' N , AM ) = ( EM , AM ) ( C ' B '2 + C ' A ' ) − A ' B ' a a 2 AE = AB ' = ; EM = C ' N =  EM = 4 AM = AE + EM = Vậy cos AME = 29a a 29  AM = 16 ME =2 MA 29 Vậy chọn đáp án D Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a 2, AC = 2a Mặt bên SAC tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Cạnh bên SA hợp với mặt đáy góc α thỏa mãn cos  = 21 Góc hai đường thẳng AC SB A 30° B 45° C 60° D 90° Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AC SH ⊥ AC Mặt khác ( SAC ) ⊥ ( ABC )  SH ⊥ ( ABC ) Mặt khác BC = AC − AB = a = AB nên tam giác ABC vng cân B BH ⊥ AC Lại có SH ⊥ AC  AC ⊥ ( SBH ) SB ⊥ AC Vậy chọn đáp án D Câu Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy 2a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( BGC ') a Góc hai đường thẳng chéo B ' G BC gần A 61,28° B 64,28° C 68,24° D 52,28° Hướng dẫn giải 13 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Vì AB ' ⊥ C ' N  AE ⊥ EM  ( C ' N , AM ) = AME https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Gọi M trung điểm AC ta có: BM ⊥ AC Dựng CE ⊥ CC '  CE ⊥ ( C ' MB ) Do d ( C , ( BC ' M ) ) = d ( C , ( BC ' G ) ) = GE = 1 = +  CC ' = a 2 CE CM CC '2 Lại có BM = a  BG = Tương tự ta có C ' G = Do cos C ' B ' G = 2a a 39  B ' G = BG + BB '2 = 3 a 39 C ' B '2 + GB '2 − GC '2 =  C ' B ' G  61, 29 2C ' B '.GB ' 39 Mặt khác B ' C '/ / BC  ( BC , B ' G ) = ( B ' C ', B ' G ) = C ' B ' G  61, 29 Vậy chọn đáp án A Câu Cho hình chóp S.ABCD có SA, SB, SC đơi vng góc với SA = SB = SC = a Tính góc hai đường thẳng SM BC với M trung điểm AB A 30° B 60° C 90° D 120° Hướng dẫn giải Qua B kẻ đường thẳng d song song với SM Và cắt đường thẳng SA N Do ( SM , BC ) = ( BN , BC ) = NBC Ta có SM || BN M trung điểm AB Nên SN = SA = SC = a  NC = a NV = SM = a Mà BC = SB + SC = a  NBC tam giác Vậy NBC = 60  ( SM , BC ) = 60 Vậy chọn đáp án B Câu Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính góc hai đường thẳng CI AC, với I trung điểm AB A 10° B 30° C 150° D 170° Hướng dẫn giải Ta có I trung điểm AB nên ( CI , CA) = ICA 14 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Khi a https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Xét tam giác AIC vng I, có AI = Suy sin ICA = AB AC AI =  = 2 AC IA =  ICA = 30  ( CI , CA ) = 30 CA Vậy chọn đáp án B Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Các tam giác SAB, SAD, SAC tam giác A B C 130 D 130 Hướng dẫn giải Ta có tam giác SAB, SAD, SAC tam giác vuông A Nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AD  SA ⊥ ( ABCD ) Gọi O = AC  BD Và M trung điểm SA Do OM || SC Hay SC || ( MBD ) nên ( SC , BD ) = ( OM , BD ) = MOB Có BM = AM + AB = BO = SA2 a SC a 13 + AB = , MO = = 2 BD a 10 Áp dụng định lý cosin tam giác MOB = 2 Ta BM = OM + OB − 2OM OB.cos MOB  cos MOB = OM + OB − BM = 2OM OB 130 Vậy chọn đáp án D Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính cosin góc hai đường thẳng SD BC biết AD = DC = a, AB = 2a , SA = A 42 B 42 C 42 D 2a 3 42 Hướng dẫn giải Gọi M trung điểm AB Ta có AM = AD = DC = a Mà AB song song với CD nên AMCD hình vng cạnh A Do DM song song với BC Suy ( SD, BC ) = ( SD, DM ) = SDM 15 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui vng A Tính cosin góc hai đường thẳng SC BD biết SA = 3, AB = a, AD = 3a https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Lại có SM = SA2 + AM = a 21 Và DM = a 2, SD = SA2 + AD = a 21 Áp dụng định lý cosin tam giác SDM, ta cos SDM = SD + DM − SM = 2SD.SM 42 Câu 11 Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính cosin góc hai đường thẳng AB CI với I trung điểm AD A 3 B C D Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm BD Ta có IH || AB  AB || ( HIC ) a a Nên ( AB, CI ) = ( IH , IC ) = HIC Mà IH = , CH = CI = 2 Áp dụng định lý cosin tam giác HIC, ta a   2 HI + CI − HC 3 cos HIC = =   =  cos ( AB, CI ) = HI CI 6 a a 2 Vậy chọn đáp án C Câu 12 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tất cạnh đáy a Biết góc tạo cạnh bên mặt đáy 60° H hình chiếu đỉnh A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') , H trùng với trung điểm cạnh B ' C ' Góc BC AC ' α Giá trị tan  là: B −3 A C D −1 Hướng dẫn giải Ta có A ' H hình chiếu AA ' lên mặt phẳng đáy Do ( AA ', ( ABC ) ) = ( AA ', A ' H ) = AA ' H = 60 Lại có A ' H = Và AA ' = 16 a a a a  AH tan 60 = = B ' H nên AB ' = 2 2 A' H = a  AC ' = a cos 60 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Vậy chọn đáp án C https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Mặt khác ( BC , AC ') = ( AC ', B ' C ') = AC ' B ' =  Do cos  = Suy tan  = AC '2 + B ' C '2 − AB '2 = AC '.B ' C ' −1 = cos  Vậy chọn đáp án A Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng AD, với AB = 3a, AD = 2a, DC = a Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng ( ABCD ) H thuộc AB với AH = 2HB Biết SH = 2a , cosin A 2 B C D −1 Hướng dẫn giải Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC cắt CH K Ta có ( SB, AC ) = ( SB, BK ) = SBK =  Xét hai tam giác đồng dạng ACH BKH có CH AH = =2 HK BH  SB = SH + HB = a CH a  = = BK   Nên HK = a 21 2  SK = SH + HK =  Do cos SBK = cos  = SB + BK − SK = 2.SB.BK Vậy chọn đáp án C Câu 14 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, SA vng góc với đáy Biết SA = a ; AB = a ; BC = a Gọi I trung điểm BC Cosin góc đường thẳng AI SC là: A B − C D Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm SB  IH song song với SC Do SC || ( AHI )  ( AI , SC ) = ( AI , HI ) = AIH Ta có AI = AB + BI = AH = SC SA2 + AC a = =a IH = 2 AB + AS BS a − = 17 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui góc SB AC là: https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Áp dụng định lý cosin tam giác AHI, có AI + HI − AH cos AIH = = = AI AH 3 Vậy chọn đáp án A DẠNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Câu Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân A, BC = a, AA ' = a Tính góc đường thẳng A ' B mặt phẳng ( AA ' C ' C ) A 30° B 45° C 60° D 90° Hướng dẫn giải Đặt AB = x A ' B = A ' C = x + 2a Áp dụng định lý hàm số cosin A ' BC , ta có: A ' B + A ' C − BC 2 x + 4a − a cos BA ' C =  = x=a A ' B A ' C ( x + 2a ) Kẻ BH ⊥ AC , BH ⊥ ( AA ' C ' C ) Suy góc đường thẳng A ' B mặt phẳng ( AA ' C ' C ) góc BA ' H Trong tam giác vuông A ' BH có a BH sin BA ' H = = =  BA ' H = 30 A' B a Vậy chọn đáp án A Câu Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng cân B Biết AB = 3cm, BC ' = 2cm Tính góc hợp đường thẳng BC ' mặt phẳng ( ACC ' A ') A 90° B 60° C 45° D 30° Hướng dẫn giải Tính góc hợp đường thẳng BC, mặt phẳng ( ACC ' A ') Gọi H trung điểm cạnh AC, suy HC ' hình chiếu BC ' lên mặt phẳng ( ACC ' A ') Do ( BC ', ( ACC ' A ') ) = ( BC ', HC ' ) Ta có tam giác BHC ' vng H, cạnh BH = 18 cm https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui cos BA ' C = https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Ta có sin HC ' B = BH =  HC ' B = 30 Vậy ( BC ', ( ACC ' A ') ) = 30 BC ' Vậy góc hai mặt phẳng ( ABB ' A ') ( ABC ) 60° Vậy chọn đáp án B Câu Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc A = 60° Chân đường vng góc hạ từ B ' xuống mặt phẳng ( ABCD ) trùng với giao điểm hai đường chéo đáy ABCD Cho BB ' = a Tính góc cạnh bên đáy A 30° B 45° C 60° D 90° Tính góc cạnh bên mặt phẳng đáy Gọi O = AC  BD Theo giả thiết ta có B ' O ⊥ ( ABCD )  B ' B  ( ABCD ) =  B   B ' O ⊥ ( ABCD ) , O  ( ABCD )  Hình chiếu B ' B ( ABCD ) OB  ( B ' B, ( ABCD ) ) = ( B ' B, BO ) = B ' BO Tam giác ABD có AB = AD = a, BAD = 60  ABD tam giác  OB = a a OB = =  B ' OB = 60 Trong tam giác vuông B ' OB : cos B ' OB = BB ' a Vậy chọn đáp án C Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh 4a Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) 8a Cơsin góc tạo đường thẳng SD vng góc với đáy Tam giác SAB có diện tích mặt phẳng ( SBC ) bằng: A 19 B C 25 D 19 25 Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu vng góc D mặt phẳng ( SBC )  ( SD, ( SBC ) ) = HSD  cos ( SD, ( SBC ) ) = cos HSD = S ABC = SH SD 1 8a 4a SA AB = SA.4a =  SA = 2 3 19 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Hướng dẫn giải https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam VD.SBC = DH S SBC 1 4a 32a3 VD.SBC = VS BCD = SA.S BCD = 4a.4a = 3 32a 32a  DH S SBC =  DH = 3S SBC  BC ⊥ AB 1 Từ   BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ SB  S SBC = BC.SB = 4a.SB = 2a.SB 2  BC ⊥ SA 2 Thế vào (1)  DH = 32a 4a 10 = 80 3.2a  4a  80a 80 SD = SA + AD =  + 16 a =  SD = a  3   2 2 80a  4a 10  304a  SH = SD − HD = −   = 15   2 304 304 SH 15 = 19  SA = a  cos ( SD, ( SBC ) ) = = 15 SD 80 a a Chọn A Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, CD = 2a, AD = AB = a Hình chiếu vng góc S mặt đáy trung điểm H đoạn AB Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( SCD ) A a Tan góc đường thẳng BC mặt phẳng ( SCD ) bằng: B C 2 D 2 Hướng dẫn giải Gọi P hình chiếu vng góc B mặt phẳng ( SCD )  ( BC , ( SCD ) ) = BCP  tan ( BC , ( SCD ) ) = tan BCP = 20 BP PC https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui  4a  80a 80 80 SB = SA + AB =  + 16 a =  SB = a  S SBC = 2a  3   https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam AB / /CD  AB / / ( SCD )  d ( H , ( SCD ) ) = d ( B, ( SCD ) ) = BP  BP = a Ta có BC = AD + ( CD − AB ) = a + ( 2a − a ) = 2a 2 2  a  16a  PC = BC − BP = 2a −   =   2 2 Vậy chọn đáp án B Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD có AB = 2a; AD = 2a SA ⊥ ( ABCD ) Gọi M trung điểm CD, biết SC tạo với đáy góc 45° Cosin góc tạo đường thẳng SM mặt phẳng ( ABCD ) là: A 13 B 13 29 C 377 29 D 277 29 Hướng dẫn giải Từ SA ⊥ ( ABCD )  ( SM , ( ABCD ) ) = SMA  cos ( SM , ( ABCD ) ) = cos SMA = AM SM Từ SA ⊥ ( ABCD )  ( SC , ( ABCD ) ) = SCA  SCA = 45  SAC vuông cân A  SA = AC = AB + BC = 4a + 12a = 4a  SM = SA2 + AM = 16a2 + 13a2 = 29a2  SM = a 29  cos ( SM , ( ABCD ) ) = AM a 13 377 = = Vậy chọn đáp án C SM a 29 29 Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B có AB = BC = a; SA ⊥ ( ABC ) Biết mặt phẳng ( SBC ) tạo với đáy góc 60° Cosin góc tạo đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) 21 là: https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui a 4a BP  PC =  tan ( BC , ( SCD ) ) = = = 4a PC https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam A 10 15 B 10 10 C 10 20 D 10 Hướng dẫn giải Từ SA ⊥ ( ABC )  ( SC , ( ABC ) ) = SCA  cos ( SC , ( ABC ) ) = cos SCA = AC SC ABC vuông cân B  AC = AB = a + Ta có  SA = a  SC = SA2 + AC = 3a + 2a = 5a  SC = a  cos ( SC , ( ABC ) ) = AC a a 10 = = SC a 5 Vậy chọn đáp án D Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác vng B có AB = a 3, BC = a Biết A ' C = 3a Cosin góc tạo đường thẳng A ' B mặt đáy ( ABC ) là: A 10 B 10 C D 15 Hướng dẫn giải Lăng trụ đứng A ' B ' C ' ABC  A ' A ⊥ ( ABC )  ( A ' B, ( ABC ) ) = A ' BA  cos ( A ' B, ( ABC ) ) = cos A ' BA = AB A' B ABC vuông B  AC = AB + BC = 3a + a = 4a  AC = 2a  A ' A2 = A ' C − AC = 9a − 4a = 5a  A ' B = A ' A2 + AB + 5a + 3a = 8a  A ' B = 2a  cos ( A ' B, ( ABC ) ) = cos A ' BA = AB a = = Vậy chọn đáp án C A ' B 2a Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác SC = a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD Cosin góc SC mặt phẳng ( SHD ) A B C D Hướng dẫn giải 22 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui SA = ( SB, ( ABC ) ) = SBA  SBA = 60  tan 60 = AB https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Ta có SB + BC = SC = 2a  SB ⊥ BC mà BC ⊥ AB  BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ SH mà SH ⊥ AB  SH ⊥ ( ABCD ) Kẻ CE ⊥ HD  CE ⊥ ( SHD )  ( SC , ( SHD ) ) = ( SC , SE ) = CSE Ta có 1 2a CE.HD = S ABCD  CE = 2  SE = SC − CE = a 30 SE  cos CSE = = SC Câu 10 Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác cân A có AB = AC = 4a , góc BAC = 120 Gọi M trung điểm BC, N trung điểm AB, SAM tam giác cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SA = a Góc SN mặt phẳng ( ABC ) là: A 30° B 45° C 60° D 90° Hướng dẫn giải Ta có ( SN , ( ABC ) ) = ( SN , NH ) = SNH Ta có MAC = 60  AM = 2a, MC = 2a  AH = AM = a  SH = SA2 − AH = a Ta có NH = BM = a  tan SNH = SH =  SNH = 30  ( SN , ( ABC ) ) = 30 NH Vậy chọn đáp án A Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, hình chiếu vng góc S lên ( ABCD ) trọng tâm G ABD Biết SG = 2a , cosin góc SD ( ABCD ) là: A 21 B − 21 C 41 D − 41 Hướng dẫn giải Ta có ( SD, ( ABCD ) ) = ( SD, GD ) = SDG Ta có DG = 23 2 a DM = AM + AD = 3 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Vậy chọn đáp án A https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam SG = GD 5  cos SDG =  cos ( SD, ( ABCD ) ) = 41 41  tan SDG = Vậy chọn đáp án C Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB = 4a, AD = a Điểm H nằm cạnh AB thỏa mãn AH = HB Hai mặt phẳng ( SHC ) ( SHD ) vng góc với mặt phẳng đáy Biết A 12 B 13 C 13 D Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui SA = a Cosin góc SD ( SBC ) là: Hướng dẫn giải Kẻ HE ⊥ SB  HK ⊥ ( SBC ) Gọi E = DH  BC , kẻ DF / / HK ( F  EK )  DF ⊥ ( SBC )  ( SD, ( SBC ) ) = ( SD, SF ) = DSF Ta có SH = SA2 − AH = 2a Xét SHB có Ta có 1 13 6a = + =  HK = 2 2 HK SH HB 36a 13 EH HB HK EH 8a = =  = =  DF = Ta có SD = SH + DH = 2a ED CD CF ED 13  SF = SD − DF = 2a 10 SF  cos DSF = = SD 13 13 Vậy chọn đáp án B Câu 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SC tạo với đáy góc 60° , gọi M trung điểm BC Cosin góc tạo với SM mặt đáy là: A cos  = 24 B cos  = 10 C cos  = 3 D cos  = 10 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AB SH ⊥ AB Mặt khác ( SAB ) ⊥ ( ABC ) suy SH ⊥ ( ABC ) Khi CH = a 3a  SH = CH tan 60 = 2 Do M trung điểm BC nên HM = HM HM + SH 2 = 10 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui cos SMH = BC a = 2 Vậy chọn đáp án B 25 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 ... ĐỀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN DẠNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG DẠNG GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 10 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui DẠNG GÓC GIỮA... Tài Liệu luyện thi số Việt Nam CHỦ ĐỀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN DẠNG GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , SA = AB = a... cos  = AH = Vậy cosin góc hai mặt phẳng ( SMD ) ( ABCD ) SH Vậy chọn đáp án B Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, có AB = 2a góc BAD = 120 Hình chiếu vng a góc S xuống mặt phẳng