NW359 360 DẠNG 21 DẠNG TOÁN TÍNH THỂ TÍCH BIẾT CHIỀU CAO và DIỆN TÍCH đáy GV

DẠNG TỐN 21: TÍNH V BIẾT CHIỀU CAO VÀ DIỆN TÍCH ĐÁY I KIẾN THỨC CẦN NHỚ a3 � V chóp = � Sd�y chiê`u cao VTu dien deu = � 12 Thể tích khối chóp Đặc biệt: Xác định diện tích đáy 1 a +b +c g SD ABC = aha = absinC = p(p - a)(p - b)(b - c), p= : 2 với nửa chu vi g Stam giác vng = �(tích hai canh góc vng) (c� nh huy� n)2 g Stam gi�c vu�ng c�n = � g SH�nh ch�nh�t = d� i �r� ng (c� nh)2 � � (� � y l� n+ � � y b� )�chi� u cao g SH�nh thang = � g SH�nh vu�ng = (c� nh)2 g Stam gi�c ��u = Xác định chiều cao g Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa mặt bên vng góc với đáy g Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vng góc với mặt phẳng đáy g Hình chóp có cạnh bên nhau: Chân đường cao của hình chóp là tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy Khối chóp g Đáy là đa giác đều và mặt bên là tam giác cân g Chân đường cao trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy g Góc cạnh bên và mặt đáy nhau, góc mặt bên và mặt đáy Thể tích khối lăng trụ - Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c Trong a,b,c là ba kích thước Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: V  a - Thể tích khối lăng trụ: V  B.h Trong a là độ dài cạnh của khối lập phương Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tính thể tích chóp, lăng trụ biết chiều cao, diện tích đáy  Tính thể tích chóp, lăng trụ biết chiều cao, độ dài cạnh đáy  Tính thể tích chóp, lăng trụ biết số ́u tố cạnh, góc, khoảng cách … BÀI TẬP MẪU Câu 21 (ĐỀ THAM KHẢO-BDG NĂM 2021) Một khối chóp có diện tích đáy và chiều cao Thể tích của khối chóp A 10 B 30 C 90 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tính thể tích khối chóp biết h, B D 15 HƯỚNG GIẢI: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 1 V  B.h B1: Áp dụng công thức Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn A �5 V  10 V = B h 3 Thể tích khối chóp là với B là diện tích đáy, h là chiều cao nên Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và có chiều cao h là Bh Bh Bh A B C D 3Bh Lời giải Chọn A Câu Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và có chiều cao h là: V  B.h Cho khối lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao 4a Thể tích của khối lăng trụ cho 16 a a 3 A 16a B 4a C D Lời giải Chọn B V  B.h  a 4a  4a Câu Câu Cho khối lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao 2a Thể tích của khối lăng trụ cho a a 3 A B C 2a D 4a Lời giải Chọn C V  B.h  a 2a  2a Ta có: langtru Cho khối lăng trụ có diện tích đáy a , khoảng cách hai đáy của lăng trụ a Tính thể tích V của khối lăng trụ A V  3a B V  a V C Lời giải a3 D V 3a Chọn A Câu Thể tích khối lăng trụ là V  B.h  a 3.a  3a Thể tích của khối lập phương cạnh 2a 3 A 8a B 2a C a Lời giải Chọn A D 6a V   2a   8a Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng: Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cạnh a Câu TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang A V a3 12 Chọn C ha � � � a2 �S  � B V a3 V C Lời giải a3 D V a3 a3 � V  h.S  Câu Thể tích của khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy B là 1 V  Bh V  Bh V  Bh A B C V  Bh D Lời giải: Chọn D V  Bh Thể tích của khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy B là: Câu Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao 4a Thể tích khối chóp cho 16 a a 3 A 16a B C 4a D Lời giải Chọn D 1 V  B.h  a 4a  a 3 3 Thể tích khối chóp: Câu Khối chóp có nửa diện tích đáy là S , chiều cao là 2h thì tích là V  S h V  S h V  S h 3 A V  S h B C D Lời giải Chọn C Ta có: V 1 B.h  2S 2h  S h 3 Câu 10 Cho khối chóp có đáy là hình vng cạnh 2a và chiều cao 3a Thể tích khối chóp cho 16 a a 3 A 16a B C 4a D Lời giải Chọn C 1 V  B.h   2a  3a  4a 3 Thể tích khối chóp:  Mức độ Câu B C có đáy là tam giác đều cạnh a và AA '  2a (minh họa Cho khối lăng trụ đứng ABC A��� hình vẽ bên dưới) Thể tích của khối lăng trụ cho TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang A 6a B 6a C Lời giải 6a 6a D 12 Chọn B Ta có: SABC a2  a2 a3 a  4 Vậy thể tích của khối lăng trụ cho là:  2a (minh họa B C có đáy là tam giác đều cạnh a và AA� Cho khối lăng trụ đứng ABC A��� hình vẽ bên) � VABC A��� B C  S ABC AA  Câu Thể tích của khối lăng trụ cho A 3a B 3a C 3a Lời giải D 3a 3 Chọn A SD ABC = a2 Tam giác ABC đều cạnh a nên  2a B C là lăng trụ đứng nên đường cao của lăng trụ là AA� Do khối lăng trụ ABC A��� TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Thể tích khối lăng trụ là Câu V = AA� SD ABC = 2a a2 3a = Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh 2a và AA '  3a (minh họa hình vẽ bên) Thể tích của khối lăng trụ cho A 3a B 3a C 3a Lời giải D 3a Chọn B (2a )2 Khối lăng trụ cho có đáy là tam giác đều có diện tích là và chiều cao là AA '  3a (2a )2 3a  3a (do là lăng trụ đứng) nên tích là Câu Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a và AA '  3a (minh họa hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ cho a3 A a3 B 3a C Lời giải 3a D Chọn C Ta có S ABC  a2 ; AA '  a TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 3a3  4 Từ suy Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao 2a Thể tích của khối chóp cho a a 3 A 4a B C 2a D Lời giải Chọn B S  a2 Khối chóp có đáy là hình vng cạnh a nên có diện tích đáy: đáy Chiều cao h  2a 1 V  Sđáy h  a 2a  a 3 3 Vậy thể tích khối chóp cho là V  a 3.a Câu Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA  a Tính thể tích V của khối chóp S ABCD A V 2a B V 2a C V  2a Lời giải D V 2a 3 Chọn D Ta có Câu SA   ABCD  � SA là đường cao của hình chóp 1 a3 V  SA.S ABCD  a 2.a  3 Thể tích khối chóp S ABCD : Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, SA  , AB  , BC  10 và CA  Tính thể tích V của khối chóp S.ABC A V  32 B V  192 C V  40 Lời giải D V  24 Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang V  SABC SA  32 S  24 Ta có BC  AB  AC suy ABC vng A , ABC , Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc Câu 2 với mặt phẳng đáy và SA  2a Tính thể tích khối chóp S ABCD A 2a B 2a C 2a Lời giải D 2a 3 Chọn D Ta có Câu S ABCD  a VS ABCD ; 2a  SA.S ABCD  3 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA  a vng góc với đáy Tính thể tích của khối chóp a3 A a3 B a3 C Lời giải D 3a Chọn C Ta có SA là đường cao hình chóp Tam giác ABC đều cạnh a nên SABC a2  a2 a3 VS ABC  a  4 Vậy thể tích cần tìm là: Câu 10 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Cạnh bên SC vng góc với mặt phẳng  ABC  , SC  a Thể tích khối chóp S ABC a3 A a3 B 12 a3 C a3 D 12 Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Chọn D S ABC  a2 a a3 � VS ABC  a  4 12  Mức độ Câu B C có BB�  a , đáy ABC là tam giác vuông cân B và Cho khối lăng trụ đứng ABC A��� AC  a Tính thể tích V của khối lăng trụ cho A V a3 B V a3 C V  a D V a3 Lời giải Chọn B � AB  BC  Tam giác ABC vuông cân B a3 � VABC A���  S BB  a a  BC ABC 2 Khi đó: Câu AC a S ABC  a 2 Suy ra: a B C D , biết AC � Tính thể tích V của khối lập phương ABCD A���� A V  a B V 6a 3 C V  3a Lời giải V  a3 D Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang x;  x   Giả sử khối lập phương có cạnh A2  A�� C  A� A2  A�� B  B�� C  x � 3a  x � x  a Ta có AC � A� B C D là V  a Thể tích của khối lập phương ABCD A���� Câu B C có đáy là tam giác vng cân B , AB = a và Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� A� B = a Thể tích khối lăng trụ ABC A��� B C là a3 A a3 B a3 C a3 D Lời giải Chọn D = A� B - AB = a , Ta có AA� S ABC = a2 AB = 2 a3 = Câu V = AA� S ABC Thể tích khối lăng trụ là B C có tất cạnh a , cạnh bên tạo với đáy góc 60� Cho hình lăng trụ ABC A��� B C Tính thể tích khối lăng trụ ABC A��� a3 A 24 3a B a3 C a3 D Lời giải Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Kẻ Xét AH �   ABC  �  A� A,  ABC    � A� AH  60� AHA� : sin 60� Thể tích khối lăng trụ Câu A� H a � A� H  AA� sin 60� AA� ABC A��� B C : V  S ABC A� H a a 3a  B C có đáy ABC là tam giác vuông cân A, AC  2 , biết góc Cho hình lăng trụ ABC A��� ABC   Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC A��� BC AC �và  60 và AC � 16 V V V 3 A B C D V  Lời giải Chọn D ABC  H là đường cao Gọi H là hình chiếu của C �lên mặt phẳng  , C � �� �� AC � ,  ABC   C AH  600 H  C� A.sin 600  H ta có C � Xét tam giác vuông AC � � VABC A��  S C H  2  BC d Khi  Câu  B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , Cho hình lăng trụ ABC A��� AA�  3a Biết hình chiếu vng góc của A�lên  ABC  là trung điểm BC Tính thể tích V của khối lăng trụ A V  a B V 2a 3 C V 3a D V a3 Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 Gọi H là trung điểm BC H là đường cao hình lăng trụ và Theo giả thiết, A� V  S ΔABC A� H Câu A� H  AA�  AH  a a a 3a  Vậy thể tích khối lăng trụ là Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng  SAB  góc 30� Tính thể tích V của khối chóp S ABCD A V  3a B V 6a 3a V C Lời giải D V 6a 18 Chọn C �  30�  SAB  là DSA Góc SD và mp AD SA  a tan 300 Ta có a3 V  a a  3 Câu AB  a, AC  2a, SA   ABC  Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông B , và SA  a Thể tích của khối chóp cho a3 A a3 B a3 C 2a D Lời giải Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 11 2 2 Ta có BC  AC  AB  3a � BC  a Vậy Câu VS ABC 1 1 a3  S ABC SA  AB.BC SA  a.a 3.a  3 6 Cho khối chóp tứ giác đều có tất cạnh 2a Thể tích của khối chóp cho 8a B 2a A 2a 3 C 2a 3 D Lời giải Chọn D Gọi hình chóp tứ giác đều có tất cạnh 2a là S ABCD và I tâm của đáy ta có: SA  SC  BA  BC  DA  DC � SAC  BAC  DBC � SAC ; BAC ; DAC vuông S , B, D I là trung điểm của AC suy SI  1 AC  2a  a 2 1 2a VS ABCD  S ABCD SI   2a  a  3 Câu 10 Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V của khối chóp cho A V 2a3 B V 14a3 2a3 V C Lời giải D V 14a3 Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 12 �a � a 14 SI  SA  AI  4a  � �  �2 � � � Chiều cao của khối chóp: 2 1 a 14 14a3 V  SI SABCD  a  3 Thể tích khối chóp:  Mức độ Câu B C có đáy ABC là tam giác cân với AB  AC  a , Cho khối lăng trụ đứng ABC A��� �  120� C ) tạo với đáy góc 60� Tính thể tích V của khối lăng trụ BAC Mặt phẳng ( AB�� cho 3a 9a a3 3a V V V V A B C D Lời giải Chọn A �  60� C C , góc mp  AB�� Gọi H là trung điểm của B�� và đáy là góc AHA� Ta có SABC  a2 AC AB.sin120� B�� C  BC  AB  AC  AB AC.cos120� a  a  2.a.a � A� H Vậy 1 a 2SABC a a  � AA�  A� H tan 60� B�� C 2 V  SACB AA�  3a3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 13 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng  SAB góc 30 Tính thể tích khối chóp S ABCD 2a3 A B 2a3 C 6a3 D 2a3 Lời giải Chọn B S  a2 Do ABCD là hình vuông cạnh a nên: ABCD Chứng minh BC   SAB � � góc SC và (SAB) là CSB  30 2 Đặt SA  x � SB  x  a Tam giác SBC vuông B nên �  tan300  tan CSA  BC SB 2 Ta được: SB  BC � x  a  a � x  a Câu 1 2a3 VSABCD  SA.SABCD  a 2.a  3 (đvtt) Vậy Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy và khoảng cách a  SBC  Tính thể tích của khối chóp cho từ A đến mặt phẳng a3 A B a C 3a3 a3 D Lời giải Chọn A AH  SB � AH   SBC  Ta có BC  AB, BC  SA � BC  AH Kẻ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 14 Suy   d A ;  SBC   AH  a 2 1   � SA  a 2 SA AB2 Tam giác SAB vuông A có: AH a VSABCD  SA.SABCD  3 Vậy Câu Cho khối lăng trụ đều ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy a Khoảng cách từ điểm A ' đến mặt 2a  AB ' C ' 19 Thể tích của khối lăng trụ cho là phẳng a3 A a3 B 3a D a3 C Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm của B ' C ' �AA '  B ' C ' � � B ' C '   AA ' M  �  AB ' C '    AA ' M  Ta có �A ' M  B ' C ' theo giao tuyến AM  AA ' M  , suy � A ' H   AB ' C ' Kẻ A ' H  AM mặt phẳng A' H  2a 19  AB ' C ' là Vậy khoảng cách từ A ' đến mặt phẳng 1 1 1   �    2 2 2 A' A A' M A' A A' H A'M 4a � A ' A  a Ta có A ' H a a3  2a  Câu V  AA '.S A ' B 'C ' Vậy thể tích khối lăng trụ là Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông B , đường cao BH Biết A ' H   ABC  21 A 12 và AB  1, AC  2, AA '  Thể tích của khối lăng trụ cho B C 21 D Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 15 Tam giác ABC vng B có AB  1; AC  nên BC    AB AB.BC AH   BH   AC Suy AC Độ dài của đường cao BH : A ' H  AA '2  AH   Khi độ dài đường cao A ' H của hình lăng trụ : 1 21 V  AB.BC A ' H   2 Thể tích khối lăng trụ cho : Câu  Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , góc cạnh bên và mặt  ABC  là trung điểm I của BC Tính thể tích khối lăng đáy 30 Hình chiếu của A ' lên trụ a3 A a 13 B 12 a3 C a3 D Lời giải Chọn C Ta có A ' I   ABC  � AI là hình chiếu vng góc của AA ',  ABC     � AA ', AI   � A ' AI  30 � Ta có Vậy Câu AI  AA ' lên  ABC  nên a a a2 � A ' I  AI tan 300  , S ABC  2 VABC A' B ' C '  a2 a a3  Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  a , SA vng góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng chóp S ABCD A V  3a B V TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA  SBC  3a 3 o tạo với đáy góc 60 Tính thể tích V của khối C V  a D V a3 Trang 16 Lời giải Chọn C Ta có S ABCD  3a �  SBC  � ABCD   BC � � � � SB; AB   SBA  SBC  ,  ABCD    � �BC  SB � SBC  � BC  AB � ABCD  Vì � o � Vậy SBA  60 SA tan 60o  � SA  AB.tan 60 o  a AB Xét tam giác vng SAB có: Câu 1 VS ABCD  S ABCD SA  a 3.a  a 3 Vậy B C có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vng góc của điểm A’ Cho lăng trụ ABC A��� lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường a thẳng AA’ và BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ cho a3 A a3 B 24 a3 C a3 D 12 Lời giải Chọn D BC  AM � �� BC  AA ' BC  A 'G � Ta có Kẻ MH  AA ' H , suy MH là đoạn vng góc chung của hai đường thẳng AA’ và BC TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 17 AH  AM  MH  a Tam giác MHA vng H có A ' G GA MH GA a  � A 'G   HA Tam giác A ' GA đồng dạng tam giác MHA nên MH HA Thể tích khối lăng trụ là Câu V  S ABC A ' G  a3 12 � = 60� B C có AA� = 2a , tam giác ABC vuông C và BAC Cho hình lăng trụ ABC A��� , ( ABC ) 60� Hình chiếu vng góc của B �lên mặt góc cạnh bên BB �và mặt đáy ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Thể tích của khối tứ diện A� ABC theo phẳng a 9a 3a 9a 27 a3 A 208 B 26 C 26 D 208 Lời giải Chọn C Ta có B� G = BB � sin 60�= 2a =a 3 3a BG = BB � cos 60�= 2a = a � BI = BG = 2 AC = x ( x > 0) � CI = x; BC = AC.tan 60�= x Đặt Khi ( x2 + x ) 2 � � 3a � 3a 13 1 3a 13 3a 13 9a =� � x = � S = AC BC = .2 = � � D ABC � �2 � � 26 2 26 26 26 9a 9a VA� ABC = a = 26 26 Vậy B C , tam giác A� BC có diện tích và khoảng cách từ A đến Câu 10 Cho khối lăng trụ ABC A��� mặt phẳng A BC   A� Thể tích khối lăng trụ cho B C Lời giải D Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 18 A' C' B' A C H B ABC  Gọi H là hình chiếu vng góc của A' mp  suy A'H là chiều cao của lăng trụ h  d  A, A' BC    B  S A' BC  Xét khối chóp A.A' BC có diện tích đáy , chiều cao suy 1 VA.A' BC  Bh  1.2  3 thể tích của khối chóp A.A' BC là � VA.A' BC  VA' ABC  S ABC A'H  � 3 � VABC A' B' C'  3VA.A' BC   � � VABC A' B' C'  S ABC A'H � Mặt khác * Cách khác Ta thấy lăng trụ ABC.A' B' C' chia thành ba khối chóp thích là A' ABC, A' BCB', A' B' C' C 1 2 VA' ABC  VA.A' BC  Bh  1.2  VABC A' B' C'  3VA.A' BC   3 suy Mà TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 19 ... Câu Thể tích của khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy B là 1 V  Bh V  Bh V  Bh A B C V  Bh D Lời giải: Chọn D V  Bh Thể tích của khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy. .. cụ thể sau: Lời giải Chọn A �5 V  10 V = B h 3 Thể tích khối chóp là với B là diện tích đáy, h là chiều cao nên Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Thể tích khối lăng trụ có diện tích. .. và chiều cao 2a Thể tích của khối chóp cho a a 3 A 4a B C 2a D Lời giải Chọn B S  a2 Khối chóp có đáy là hình vng cạnh a nên có diện tích đáy: đáy Chiều cao h  2a 1 V  Sđáy h  a