Rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 trường THPT nông cống 3 thông qua bài toán về góc trong hình học không gian

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Hình học khơng gian chiếm vai trị quan trọng chương trình Tốn THPT Nội dung phần hình học khơng gian trình bày chương trình hình học 11 Qua nhiều lần thay đổi cách thức thi song hình học không gian nội dung xuất đề thi Tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ thi TN THPT Quốc gia Qua nhiều năm giảng dạy Tốn lớp 11 phần hình học khơng gian tơi phát có nhiều học sinh lúng túng việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào, khơng có kĩ trình bày bài, hay sai lầm “ngộ nhận” việc giải dẫn đến kết sai Nguyên nhân em chưa nắm vững lý thuyết, chưa phân tích kỹ đề vội vàng đưa lời giải Bài tốn “góc” hình học khơng gian nội dung trọng tâm Học tốn “góc” giúp học sinh phát triển tư logic, phát triển trí tuệ tính sáng tạo, rèn luyện kĩ tính tốn, ứng dụng thực tế Từ kinh nghiệm giảng dạy tốn góc sách giáo khoa hình học 11 toán đề thi tuyển sinh THPT quốc gia tìm hiểu cách giải số tập “góc” rút phương pháp phù hợp để giải tốn “góc” hình học khơng gian Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh cần có tài liệu trình bày có hệ thống tốn “góc” hình học khơng gian để học tập tốt Vì tơi chọn đề tài: “Rèn luyện tư cho học sinh lớp 11 trường THPT Nơng Cống thơng qua tốn góc hình học khơng gian” với mong muốn trang bị cho học sinh tảng kiến thức nâng cao từ đưa số kỹ giúp học sinh giải toán nhanh hơn, chặt chẽ kiến thức học góp phần nâng cao chất lượng dạy học, tạo tự tin cho học sinh kỳ thi Tài liệu giúp cho giáo viên bồi dưỡng chuyên môn nâng cao khả thân Do trình bày tốn, tơi theo trình tự: Ý tưởng – Lời giải – Kinh nghiệm, với mong muốn có nhìn sâu sắc cách tư kinh nghiệm giải toán 1.2 Mục đích nghiên cứu - Tạo cho học sinh say mê, hứng thú môn học; - Giúp học sinh nâng cao tư duy, kĩ tính tốn, hạn chế sai lầm làm Từ cung cấp, bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào kì thi THPT Quốc gia; - Giúp cho thân đồng nghiệp có thêm tư liệu để ơn tập cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến nghiên cứu tốn “góc” thuộc phần hình học khơng gian chương trình hình học lớp 11 áp dụng học sinh lớp 11A6, 11A7 năm học 2019 – 2020 lớp 11B2, 11B9 năm học 2020- 2021 Trong phạm vi sáng kiến, tơi đưa số ví dụ điển hình cho số tốn “góc” để phân tích, hướng tiếp cận giải toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11; - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết; - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm 2 Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Các định nghĩa *Góc hai đường thẳng khơng gian: Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a�và b�cùng qua điểm song song với a b *Góc đường thẳng mặt phẳng  Cho đường thẳng d mặt phẳng    Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng   ta nói góc  đường thẳng d mặt phẳng   90  Trường hợp đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng   góc d  hình chiếu d �của   gọi góc đường thẳng d mặt phẳng   *Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng 2.1.2 Các định lí d  a, d  b � � a, b �   � d     � � Định lí 1: �a �b � a  � � a   �  //      Định lí 2: � �      �    �    c � a     � � a �   , a  c Định lí 3: � �     �      �a    � �    �    a Định lí 4: � �    //    � � a   � a     Định lí 5: � 2.2 Thực trạng vấn đề Trong kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ thi TN THPT Quốc gia chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm tốn góc phần hình học khơng gian thường hay xuất hiện, với mục đích nhà giáo dục dành cho học sinh có học lực khá, giỏi Qua nhiều năm giảng dạy Toán lớp 11 phần “góc” khơng gian tơi phát có nhiều học sinh lúng túng việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào, khơng có kĩ trình vẽ hình, bày bài, hay sai lầm “ngộ nhận” việc giải dẫn đến kết sai Nguyên nhân em chưa nắm vững lý thuyết, chưa phân tích kỹ đề vội vàng đưa lời giải Đặc biệt thi trắc nghiệm có phương án nhiễu học sinh dễ mắc sai lầm Do đó, rèn luyện tư cho học sinh giải số toán “góc” khơng gian u cầu cần thiết 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải tốn thơng qua (hay nhiều) buổi học có hướng dẫn giáo viên - Tổ chức rèn luyện khả định hướng giải toán học sinh Trong yêu cầu khả lựa chọn lời giải ngắn gọn sở phân tích tốn “góc” khơng gian - Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh - Trong toán “góc” khơng gian u cầu học sinh thực phân tích chất đưa hướng khai thác mở rộng cho toán - Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện * Cụ thể: 2.3.1 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2.3.1.1 TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH a Phương pháp Trong không gian chọn gốc O cho qua O dựng //a �a� � b� //b �    Khi  b Các ví dụ Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a Gọi M , N trung điểm a, b  a�� ,b BC , AD MN  a Tính góc tạo hai đường thẳng AB CD Giải: Gọi I trung điểm AC , suy ra: �MI / / AB; NI / / CD � �MI  NI  a � � Khi ( AB, CD)  ( MI , NI ) Xét tam giác MIN ta có: MI  NI  MN 2a  3a � cos MIN     MI NI 2a �  1200 � MIN (� MI , NI )  600 (� AB, CD)  600 Suy Chú ý: hay � Trong ví dụ chưa thể kết luận ln MIN góc nhọn � � � nên ta không phép viết ( AB, CD)  ( MI , NI )  MIN (các bạn thấy rõ điều qua ví dụ vừa rồi) Ví dụ Cho tứ diện ABCD có cạnh đáy a , M trung điểm CD Tính góc hai đường thẳng AC BM Giải: Dựng góc Gọi N trung điểm AD � MN đường trung bình tam giác ADC � MN //AC Khi ta có  AC , BM    MN , BM  Xét tam giác BMN có : BM  BN  a a , MN  AC  2 BM  MN  BN �  73013�  � BMN BM MN �  AC , BM    MN , BM   BMN  73 13� �  cos BMN Vậy Cách 2: uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC.BM  AC BD  BC  AC.BD  AC.BC 2 Ta có: u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1  AC.BC  AC.CD  AC.BC 2 uuu r uuu r uuu r uuur �  CA.CB  CA.CD  CA.CB.cos � ACB  CA.CD.cos ACD 2    a2 a2 a2   4 uuur uuuu r AC.BM uuur uuuu r cos  AC , BM   cos AC , BM  uuur uuuu r  AC BM   a2 a a  �  AC , BM   73013� Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA  a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Tính góc đường thẳng BG với đường thẳng SA Giải: Gọi M trung điểm CD, Gọi E  BD �AM , suy � � GE //SA Suy  BG, SA   BG, GE  Vì G, E trọng tâm tam giác SCD ACD a GE  SA  3 nên Kẻ GK song song với SO cắt OM K, suy K hình chiếu G mp  ABCD  a a 10 SO  , , Ta có: a 10 2a GK  SO  BE  AO  a a 34 a 11 OK  OM OK  BK  � BG  3 , suy Vì nên 2a a a 11 BE  GE  BG  , , , Xét tam giác BEG, có BG  GE  BE 33 � cos BGE   BG.GE 11 suy Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, góc OCB 300 , góc ABO 600 AC  a Điểm M nằm cạnh AB cho AM = BM Tính góc hai đường thẳng CM OA Giải: Gọi H hình chiếu M lên mp  Vì AM  BM  nên OH  HB OBC  � � � Suy (OA, CM )  ( MH , CM )  CMH Đặt OB  x Ta có OA  x 3, OC  x OA2  OC  x  AC  6a � x  a a a 31 MH  OA  HC  OC  OH  3 , Ta có � )  HC  93 tan(CMH HM Suy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng ABCD  SA  2a góc với mặt phẳng  , Gọi F trung điểm SC, tính góc  hai đường thẳng BF AC Giải: Gọi O giao điểm AC BD OF //SA � OF   ABCD  � OF  AC AC   BDF  � AC  BF Lại có AC  BD nên � Vậy  AC , BF   90 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB  a Hai mặt phẳng  SAB   SAC  vng góc với mặt đáy, khoảng cách từ A SBC  đến mặt phẳng  a 2 Tính góc  tạo hai đường thẳng SB AC Giải:  SAB   SAC  cắt theo giao tuyến SA vng ABCD  SA   ABCD  góc với mặt phẳng  nên Dựng AK  SB Ta có : BC  AB, BC  SA � BC   SAC  � BC  AK Hai mặt phẳng AK  a 2   , từ suy Vậy Tam giác SAB vng A, đường cao AK nên ta có : AK  SBC SA2  AK  AB  a2  a2  a2 � SA  a Dựng hình bình hành ACBD hình vẽ, đó: AC //BD � � AC , SB   � BD, SB  Tính SD  a 2, SB  a 2, BD  a nên tam giác SBD � � Vậy  AC , SB   SBD  60 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , SA  a; SB  a mặt phẳng  SAB  vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC Tính cơsin góc hai đường thẳng SM , DN Giải: Gọi E trung điểm AD , F trung điểm AE Ta có MF / / BE / / ND �  SM , DN    SM , MF  2 SB  SA AB  a � SM  SA � SH  MA , với H trung điểm MA � SH   ABCD  SM  BE  AB  AE  a � MF  a ; a a BD  SH  SA2  HA2  ; a SF  SH  HF  ( SHF vuông H ) 2 � Định lí cơsin SMF : SF  SM  MF  2SM MF cos SMF HF  5a 5a a � � cos SMF �   a2   2.a cos SMF 4 5 � cos  SM , MF   Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, O giao điểm hai đường chéo AC BD , có AB  a; AD  a Hình chiếu vng góc � ABCD  đỉnh S lên  trung điểm H OD , SH  2a Tính cơsin góc  AB, SD  Ta thấy:  AB, SD    DC , SD  Giải: 2 a 17 AC  AB  BC  2a � OC  a; SD  SH  HD  OC  CD  OD  a � CH  OD a � CH  a 19 SC  SH  HC  2 2 � Định lí cơsin tam giác SDC : SC  SD  CD  2SD.CD.cos SDC 2 �  17 � cos  AB, SD   cos  DC , SD   cos SDC �  17 � cos SDC 34 34 B C có cạnh bên 2a , góc tạo Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC A��� B mặt đáy 60 Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc tạo bởi A� C AM đường thẳng A� Giải: Ta có � � B,( ABC )    A� B, AB   ABA  600  A� A� A 2a � AB  AB AB có: Trong  v A� 4a A� C  A� A2  AC  ; Mặt khác 2a AN  a (Trung tuyến tam giác đều) tan B  a a 13  3 C , ta có A� N //AM nên Gọi N trung điểm B� CN  CC �  C� N  4a  C , AM    A� C , AN   A� NC ta có: Xét tam giác A� �� cos NA C A� N  A� C  CN  A� N A� C cos  A� C , AM   cos  A� C , AN   Khi 2.3.1.2 TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH VƠ HƯỚNG a Phương ur uu rpháp Với u1 , u2 vectơ phương đường thẳng a b Khi đó: uu r uu r u1.u2 uu r uu r cos  a, b   cos u1, u2  uu r uu r u1 u2  uu r uu r u1.u2  *Lưu ý: để tính ta cần phân tích theo vectơ sở b Các ví dụ Ví dụ Cho tứ diện ABCD có cạnh đáy a , M trung điểm CD Tính góc hai đường thẳng AC BM Giải: uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC.BM  AC BD  BC  AC.BD  AC.BC 2 Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur  AC.BC  AC.CD  AC.BC 2 uuu r uuu r uuu r uuur �  CA.CB  CA.CD  CA.CB.cos � ACB  CA.CD.cos ACD 2    a2 a2 a2   4 uuur uuuu r AC.BM uuur uuuu r cos  AC , BM   cos AC , BM  uuur uuuu r  AC BM   a2  �  AC , BM   73013� a B C có cạnh bên 2a , góc tạo Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC A��� B mặt đáy 60 Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc tạo bởi A� C AM đường thẳng A� a Giải: Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy tam giác Áp dụng cơng thức: Ta có cos  A� C , AM   uuuu r uuuu r A� C AM A� C AM � � B,( ABC )    A� B, AB   ABA  600  A� AB có: Trong  v A� Lại có tan B  A� A 2a � AB  AB uuuu r uuuu r uuur uuur uuu r uuur A� C AM  AC  AA�� AB  AC u u u r u u u r uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r  AC AA�  AC AB  AA� AC  AA� AB  AC  AB AC cos600 2 =a       Mặt khác   A� C  A� A2  AC  Tam giác ABC có cạnh cos  A� C , AM   4a AB  uuuu r uuuu r A� C AM  2a nên AM  a A� C AM Vậy Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân có AC  2a, � ACB  1200 , SA   ABC  , SA  a Gọi M trung điểm AB , K hình chiếu vng góc A lên cạnh SC Tính cosin góc tạo hai đường thẳng CM AK Giải Phân tích: Nhận thấy CM AK hai đường thẳng khơng đồng phẳng viẹc dựng góc tốn khó khăn ta nghĩ đến việc tính góc hai đường thẳng phương pháp tích vơ hướng 10     sin     cos  d ,   Giả sử Khi ta có: *Cách 3:Dựa vào quan hệ song song //d Khi đó: góc đường thẳng d mặt phẳng    góc +) Giả sử d �  đường thẳng d �và mặt phẳng    //   +) Nếu     góc đường thẳng d mặt phẳng   góc  đường thẳng d mặt phẳng   b Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a , cạnh bên a Gọi M , N trung điểm SB CD Tính góc MN mặt phẳng  SAC  Giải: Gọi E , F trung điểm SO, OC SO   ABCD  Vì hình chóp SABCD đều, O tâm đáy ABCD nên Lại có ABCD hình vng nên BD  AC Ta có �BD  AC �BD  SO � �SO �AC  O � BD   SAC    � �SO, AC � SAC  � �ME / / BD � ME   SAC  � BD   SAC  � Ta có : NF   SAC  Lại có : SAC  Do : Hình chiếu MN lên mặt phẳng  EF � SAC  Nên góc MN mặt phẳng  góc MN EF góc NIF Vì ABCD hình vng cạnh a nên BD  a NF  a NF đường trung bình tam giác ODC � a EF  SC  2 Mặt khác Tứ giác MNEF hình bình hành nên hai đường chéo MN , EF cắt a � FI  EF  trung điểm I đường a �  FN   2 � NIF �  arctan 2 tan NIF a FI z NFI Tam giác vuông F nên 15 SAC  Vậy góc MN mặt phẳng  arctan 2 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a , SA   ABCD  Góc hợp SC đáy 45 Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên đường thẳng SB, SC Tính cosin góc SD mặt phẳng  AHK  Giải: Phân tích: Nhận thấy ta làm trực tiếp nhiên cách làm dài ta nghĩ đến cách làm gián tiếp cách AHK  Gọi  góc đường thẳng SD mặt phẳng  SC   AHK  Ta chứng minh cos   sin  SD, SC  Khi � ABCD  Ta có góc SC  góc SCA  45 Khi tam giác SAC vng cân A có AC  a � SC  2a Nhận thấy Khi : CD  SA � � CD  SD � CD  AD � cos   sin  SD, SC   nên tam giác SCD vuông D CD a   SC 2a Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a , SA   ABCD  SA  2a , Gọi G, K trọng tâm tam giác SAD  SAB  ACD GK Tính góc đường thẳng mặt phẳng Giải: Dễ dàng nhận thấy GK //SC ta sử dụng phương pháp gián tiếp dựa vào quan hệ song song Ta có: GK //SC góc GK mặt phẳng  SAB  góc SC mặt phẳng  SAB  SAB  Ta có : Hình chiếu SC lên mặt phẳng  SB Do góc SC � SAB  mặt phẳng  góc SC SB góc nhọn CSB Tam giác SBC vuông B : 16 �  tan CSB BC  SB BC SA2  AB  a a �  300 � SCB   30 Vậy góc GK mặt phẳng  2.3.2.2 TÍNH GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA a Phương pháp SAB r uuuu r uuur sin  AB,  MNP   r uuu r � � n  MN , MP MNP  � �thì: Tính u  AB  có vtpt rr u.n  r r u.n b Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a , cạnh bên a Gọi M , N trung điểm SB CD Tính góc MN mặt phẳng  SAC  Giải: Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ: � a � � a � �a � � a � S� 0; 0; A 0;  ; B ; 0; 0; ;0� � � � � � � � � �2 �C � � � � 2 O  0; 0;0  � � � � � � � � Ta có , , , , , B � a � �a a 2� �a a � D� 0;  ;0 M ;0; , N�  ; ;0� � � � � � �4 � � � 4 � �, � � � � uuuu v �a a a 2� MN  �  ; ; � � � 4 � � �  SAC  v v n  i   1; 0;0  Véctơ pháp tuyến là: uuuu vv MN n 2 uuuu vv sin  MN ,  SAC    cos MN , n  v � tan  MN ;  SAC    2 MN n   Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Góc đường thẳng AC mp(OBC) 60 , OB = a , OC = a Gọi M trung điểm cạnh OB.Tính góc đường thẳng OA với mặt phẳng  ACM  Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox �OB, Oy �OC , Oz �OA   �a � C (0; a 2;0), A 0;0; a , M � ;0;0 � �2 � uuur � a r � MA  �  ;0; a �  a 1;0; 2   a x, �2 � 2   Suy ra, 17 uuuu r �a r au � a MC  �  ; a 2;0 �  1; 2 2;0   y �2 � r r u r n  [ x, y ]  3;  6;  uuu r r OA  0;0; a  a  0;0;1  a 6.k       rr n.k sin   r r  n.k Gọi  góc OA với (ACM), Suy Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  Gọi H trung điểm AB Tính cơsin góc SC  SHD  Giải: Chọn hệ trục tọa độ có gốc H , trục hoành HB , trục tung HE , trục cao HS � a � �a �a � S� 0;0; � C � ; a;0 � D�  ; a;0 � � � �2 H  0;0;0  � � , � , ; �2 uuur uuur � a a � r � HS , HD �  ; ;0 �� n   2;1;0  � � � � � � � Ta có: vectơ pháp tuyến  SHD  uuu rr SC.n uuu r r � sin  SC ,  SHD    cos SC , n  uuu r r  SC n   uuu r 15 cos SC ,  SHD     5 Vậy B C có Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� AB  5a, AC  6a, BC  7a; A� A  3a Tính góc tạo đường thẳng BC �và ( ACC � A)   Giải: Ta tính BH  2a 6; AH  a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi ta có: A(0;0;0); C � (6a;0;3a); B(a; 2a 6;0) Ta có ( A� ACC � ) � Oxz  � ( A� ACC � ): y  18 uuuu r � BC  (5a; 2a 6;3a)  a(5; 6;3) Lại có : r A�  ACC �  n  (0;1;0) có VTPT Ta có : r BC �có VTCP u  (5; 6;3) rr n.u 87 sin  BC � ;( ACC � A� )  r r  n u 29 Khi Đặt    BC � ,( ACC � A� ) ADCT  cot   17 51 � cot   � tan   sin  12 17 A� ) Vậy góc BC �và ( ACC �   arctan 51 17 B C có mặt đáy tam giác cạnh Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC A��� AB  2a Hình chiếu vng góc A�lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính góc  ABC  A� C hai đường thẳng Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: H  0;0;0  ,     B  a;0;0  , A  a;0;0  , C 0; a 3;0 , A�0;0; a r k   0;0;1  ABC  : z  Mặt phẳng có vtpt C là: VTCP đường thẳng A� r uuuu r u  A� C  a 0;  3;   sin  A� C ,  ABC   Khi đó: Vậy C ,  ABC    45  A� rr u.k  r r  u.k 2.3.3 GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 2.3.3.1 TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH   a Phương pháp.Gọi góc hai mặt phẳng      *Cách 1: Dùng định nghĩa góc hai mặt phẳng � m   � �    m, n  � n � *Cách 2: Dùng cách xác định góc hai mặt phẳng dựng trực tiếp góc 19 �    �    c �    : a  c �    a, b  � �    :b  c � *Cách 3: Dùng công thức diện tích Đa giác  H  nằm mặt phẳng    có diện tích S Đa giác  H�  hình chiếu đa giác  H  lên mặt phẳng    có diện tích S�  S cos  � cos    góc       Khi ta có: Cách 4: Quy góc đường thẳng mặt phẳng   Ta có Khi cos   sin  với  góc tạo hai mặt phẳng  góc tạo     b Các ví dụ S� S S�       � Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , ABC  60 , SA  a , SA   ABCD  M trung điểm AD Tính tan góc tạo hai mặt phẳng  SCD   ABCD  Giải: Cách 1: Dựng trực tiếp góc Gọi H trung điểm CD Ta có tam giác ACD cạnh a nên AH  CD CD  SA � � CD  SH � CD  AH � �  SCD  � ABCD   CD �  SCD  : SH  CD � �  ABCD  : AH  CD Ta có: � Suy góc hai mặt phẳng góc nhọn SHA �  tan SHA  SCD   ABCD  góc hợp SH AH SA a  2 AH a 20 S� S Cách 2: Ta sử dụng công thức Nhận thấy tam giác ACD hình chiếu tam giác SCD lên mặt phẳng  ABCD  S�  S cos  � cos   Tam giác ACD cạnh a nên S ACD  a2 1 a 15 2 S SCD  SH CD  SA  AH CD  2 Tam giác SCD có S cos   ACD  S SCD với  góc tạo hai mặt phẳng  SCD  Khi  ABCD   tan   � tan   � tan   2 cos  Lại có: Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Góc đường thẳng AC mp(OBC) 60 , OB  a , OC  a Gọi M trung điểm cạnh OB Tính góc hai mặt phẳng (AMC) (ABC) Giải: Ta sử dụng phương pháp quy góc đường với mặt Ta có Góc AC mp(OBC) 60 Suy OA  OC.tan 60  a 5a 3a CM  OC  OM  AM  OA2  OM  S AC  OC  OA2  2a Suy ACM a3 VA.OCM  OA.OC.OM  6 Suy d (O,( ACM ))  a 14  3VO ACM a  d ( B,( ACM )) S ACM 14 Kẻ OI vng góc với AC I suy BI vng góc với AC d (O, AC )  OI  OA.OC a  AC 21 a a 10 , OB  a � BI  2 Tam giác OIB vuông O có d ( B,( ACM )) sin (� ACM ),( ABC )   BI 35 OI    Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SBC  SA vng góc với đáy SA  a Tính góc  hai mặt phẳng   SDC  Giải: Cách : Dựng trực tiếp góc Ta chứng minh BC   SAB  � BC  SB, CD   SAD  � CD  SD Kẻ BH  SC  1 Ta có BD   SAC  � SC  BD   Từ  1 ,   � SC   BHD  � SC  DH � SBC  ,  SDC    � BH , DH    Vậy Tam giác SBC vuông B, đường cao BH nên ta có BH  SB  BC  2a � BH  DH  a Áp dụng định lí sin vào tam giác BHD ta có BH  DH  BD 1 � cos BHD   BH DH cos � BH , DH   �   �  SBC  ,  SDC    cos �  SBC  ,  SDC    600 Vậy Cách 2: Tính góc hai mặt phẳng định nghĩa Gọi H , K hình chiếu A lên SB, SC Ta chứng minh AH   SBC  ; AK   SCD     góc hai đường thẳng Khi góc hai mặt phẳng  AH , AK Tam giác SAB SAD vng cân A có SA  a SBC � AH  AK  SCD a 2 Nên H , K trung điểm SB, SD � HK  a BD  2  SBC  Do tam giác AHK nên góc hai mặt phẳng � góc hai đường thẳng AH , AK góc HAK  60  SCD  22 Ví dụ Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA vng góc với đáy, SA  BC  a � BAC  60� Gọi H K hình chiếu vng góc A lên SB, SC Tính cơsin góc hai mặt phẳng  AHK   ABC  Giải: Phân tích: Để tính góc hai mặt phẳng có SA   ABC   AEF   ABC  ta nhận thấy ta tìm dựng đường thẳng vng góc với  Sau áp dụng định nghĩa để tính góc hai đường mặt phẳng  thẳng Gọi AD đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC AEF Ta chứng minh SD   AEF  Lại có SA   ABC  Khi góc hai mặt phẳng  AEF   ABC  góc hai đường thẳng � SD SA góc nhọn ASD BC 2a AD  R   sin 60 Ta có 2a AD tan � ASD    SA a  tan � ASD  Lại có 21 � cos � ASD  cos � ASD Vậy cosin góc hai mặt phẳng  AEF   ABC  21 B C có mặt đáy tam giác cạnh Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC A��� AB  2a Hình chiếu vng góc A�lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính góc B�  BCC �   ABC  hai mặt phẳng Giải: E   ABC  H //B� E B� Gọi E điểm đối xứng với H qua điểm B ta có: A� � B� E  A� H a K Kẻ EK  BC ; EF  B� BC   B� EK  � BC  B� K Ta có: 23 Khi đó: �� B� K , EK   B KE  ,  ABC     B�   BCC� EK  BE sin 600  a � Xét tam giác KEB vuông K KBE  60 ta có: EK vng E có: Xét tam giác B� B� E a �� tan B KE  2 EK a B�  ,  ABC    arctan   BCC� Vậy 2.3.3.2 TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA a Phương pháp  ABC   MNP  : uu r uuu r uuur � n  AB  ABC  có vecto pháp tuyến � , AC � �;  MNP  có vtpt uuuu r uuur Góc hai mặt phẳng uu r n2  � MN , MP � � � , đó: cos   ABC  ,  MNP   uu r uu r n1.n2  uu r uu r  n1 n2 A1 A2  B1B2  C1C2 A12  B12  C12 A22  B22  C22 b Các ví dụ Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Góc OBC  đường thẳng AC mp  60 , OB  a , OC  a Gọi M trung AMC  ABC  điểm cạnh OB Tính góc hai mặt phẳng   bằng: Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox �OB, Oy �OC , Oz �OA   �a � C (0; a 2;0), A 0;0; a , M � ;0;0 � , B  a;0;0  �2 � uuur � a r � MA  �  ;0; a �  a 1;0; 2   a x, �2 � 2   Suy ra, uuuu r �a r au � a MC  �  ; a 2;0 �  1; 2 2;0   y �2 � r u r r [ x, y ]  3;  6;   2.n , uuu r r BA  a;0; a  a 1;0;   a.u , uuur r BC  a; a 2;0   a 1;  2;0   a.v,             24 r r r � k� u �, v � 3;  6;    rr n.k cos   r r  � sin   35 35 n.k Gọi  góc (ABC) với (ACM), Suy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SBC  SA vng góc với đáy SA  a Tính góc  hai mặt phẳng   SDC  Giải: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ  , C  a; a;0  , D  0; a;0  , S  0;0; a  Khi uAur 0;0;0  , B  uau;0;0 u r uuu r Suy SB  a;0; a  , SC  a; a; a  , SD  0; a; a  , r uur uuu r � � a ;0; a n  SB , SC SBC   � � Mặt phẳng có VTPT : r uuu r uuu r k� SD, SC �  0; a ;  a SDC   � � Mặt phẳng có VTPT : rr n k cos �  SBC  ,  SDC    r r  � �  SBC  ,  SDC    600 n.k     Vậy B C có mặt đáy tam giác cạnh Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC A��� AB  2a Hình chiếu vng góc A�lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính góc B�  BCC �   ABC  hai mặt phẳng là: Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: H  0;0;0  ,     B  a;0;0  , A  a;0;0  , C 0; a 3;0 , A�0;0; a r ABC  : z  k   0;0;1  Mặt phẳng có vtpt r uuur uuur � a n� BC , BB� BCB�   � � Mặt phẳng có vtpt: rr n.k cos   BCC � B�  ,  ABC    r r  n.k � tan   BCC � B�  ,  ABC    Vậy   3;1; 1 B�  ,  ABC    arctan   BCC� 25 Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC cạnh a , cạnh bên 2a A ' A  A ' B  A ' C Tính giá trị tan  với  góc hai mặt phẳng  A ' BC  mặt phẳng  ABC  Giải: Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ: � a � �a a � � a a � O  0;0;0  , A � 0;  ;0 � , B� ; ;0 � , C � ; ;0 � 6 � � � � � � � a 33 � a 33 A ' O  A ' A2  AO  � A '� 0;0; � 3 � � uuuu v �a a a 33 �uuuv A' B  � ; ; ; BC    a;0;0  � � � uu v uuuu v uuuv � a 33 a � � n1  � A ' B, BC � 0; ; � � � � � A ' BC   � � Véctơ pháp tuyến là: v r n  k   0;0;1  ABC  Véctơ pháp tuyến uu vv cos   cos n1, n    là: 135 � tan   11 Ta có: 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Đối với thân, sáng kiến kinh nghiệm hội để tơi tiếp tục hồn thiện nữa, làm sở cho trình đổi phương pháp giảng dạy nhằm đem lại hiệu cao cho học sinh Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh hứng thú học tập mơn tốn, em bước đầu biết gắn học lý thuyết với thực tế, em chủ động, linh hoạt, sáng tạo khơng cịn bị động, em cởi bỏ tâm lý e ngại, lười hoạt động Từ nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Đây tiền đề để phụ huynh học sinh quyền địa phương yên tâm gửi gắm em vào nhà trường Trong năm học 2019 – 2020 phân công dạy lớp 11A6, 11A7, 11A8, áp dụng sáng kiến vào giảng dạy lớp 11A6, 11A7, năm học 2020 – 2021 ttooi phân công dạy lớp 11B2, 11B9 áp dụng vào giảng dạy nhận thấy đa số học sinh u thích dạng tốn này, tích cực tìm tịi lời giải giải tốn Khi thực tiết dạy đa số học sinh hiểu khơng cịn lúng túng việc chọn cách giải cho toán Kết kiểm tra cuối chương, cuối kỳ nâng cao Cụ thể sau: Lớp áp dụng: Lớp Kết kiểm tra 11A7 Cuối chương: 90% điểm TB 26 11A6 11B2 11B9 Cuối kỳ 2: 81% HS làm BT phần “góc” khơng gian Cuối chương: 86% điểm TB Cuối kỳ 2: 79% HS làm BT phần “góc” khơng gian Cuối chương: 91% điểm TB Cuối kỳ 2: 83% HS làm BT phần “góc” khơng gian Cuối chương: 86% điểm TB Cuối kỳ 2: 79% HS làm BT phần “góc” khơng gian Lớp 11A8 dạy khơng áp dụng: Lớp Kết kiểm tra Cuối chương: 52% điểm TB 11A8 Cuối kỳ 1: 36% HS làm BT phần “góc” khơng gian Căn kết nêu trên, bước đầu mong muốn góp phần nâng cao tỉ lệ mơn kết học tập, rèn luyện học sinh Ðiều khẳng định sáng kiến tơi có hiệu việc dạy học Trong năm học sau tiếp tục áp dụng cho số lớp khối 11, đồng thời tìm tịi, thu thập thêm ví dụ, dạng toán khác bổ sung để sáng kiến ngày hoàn thiện 27 Kết luận – Kiến nghị 3.1 Kết luận Hình học khơng gian nội dung khó nên học sinh dễ bng xi, khơng chịu đầu tư, học hỏi Qua trình giảng dạy, tơi nắm bắt số dạng tốn nội dung mà học sinh thường hay mắc thực làm tập Từ phân tích khắc sâu cho học sinh trình giảng dạy, giúp em nhanh chóng tìm phương án giải tập giao Với kết đối chiếu cho thấy kinh nghiệm nêu bước đầu có hiệu Do đó, tơi tổng hợp, trình bày lại với mong muốn đẩy mạnh phong trào thi đua học tập sôi nổi, góp phần nâng cao kết học tập môn kết học tập, rèn luyện học sinh Trong năm học tiếp tục tìm tịi, thu thập thêm ví dụ, dạng tốn khác bổ sung để sáng kiến ngày hồn thiện Thông qua sáng kiến kinh nghiệm mong muốn đóng góp phần cơng sức nhỏ bé việc hướng dẫn học sinh ứng dụng khai thác tốt tốn “góc” khơng gian Đồng thời hình thành khả tư duy, sáng tạo, kỹ giải nhanh toán trắc nghiệm, từ tạo hứng thú cho em học toán Tuy nhiên kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, trình độ thân cịn hạn chế nên tơi mong đóng góp bổ sung Hội đồng khoa học cấp bạn đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị - Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều trang thiết bị dạy học ; Tích cự tổ chức buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn - Đối với Sở giáo dục : Chúng mong muốn tham dự nhiều buổi tập huấn chuyên môn, buổi hội thảo khoa học để trao đổi kinh nghiệm ; Ngồi sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở phổ biến rộng rãi trường để chúng tơi áp dụng q trình dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 12 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Mạc Lương Thao 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Châu Văn Điệp nhóm tác giả, Cơng phá tốn 2, Nxb ĐHQG Hà Nội [2] Đồn Quỳnh, Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm học 2017-2018, Nxb Giáo dục Việt Nam [3] Kiselev, Hình học khơng gian, Nxb Quốc gia Hà Nội [4] Lê Hồnh Phò, 10 trọng điểm bồi dưỡng HSG, Nxb ĐHQG Hà Nội [5] Nguyễn Bá Tuấn, Tuyển tập đề thi phương pháp giải nhanh toán trắc nghiệm, ĐHQG Hà Nội [6] Nguyễn Duy Hiếu, Giải tốn hình học 11, Nxb ĐH sư phạm [7] Trần Phương, Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán tập 2, Nxb ĐH Quốc Gia Hà Nội 29 ... phương án nhiễu học sinh dễ mắc sai lầm Do đó, rèn luyện tư cho học sinh giải số tốn ? ?góc? ?? khơng gian u cầu cần thiết 2 .3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải... thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh - Trong tốn ? ?góc? ?? khơng gian u cầu học sinh thực phân tích chất đưa hướng khai thác mở rộng cho toán - Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn. .. trường Đây tiền đề để phụ huynh học sinh quyền địa phương yên tâm gửi gắm em vào nhà trường Trong năm học 2019 – 2020 phân công dạy lớp 11A6, 11A7, 11A8, áp dụng sáng kiến vào giảng dạy lớp 11A6,