Rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh thông qua các bài toán về tiếp tuyến của đường hypebol

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý lựa chọn đề tài Muốn học tốt mơn Tốn, học sinh phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh, học nghiên cứu mơn tốn cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Hàm số, tiếp tuyến vấn đề chương trình Giải tích lớp 12 Đây khái niệm quan trọng giải tích có nhiều ứng dụng giải toán Trong năm gần đây, toán tiếp tuyến đường hypebol thường xuất đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, Trung học phổ thông quốc gia thi chọn học sinh giỏi Trên thực tế, đứng trước toán tiếp tuyến đường hypebol, nhiều học sinh bối rối việc lựa chọn phương pháp phù hợp chưa nhìn thấy mối liên hệ hữu lớp toán, chưa sáng tạo phát giải vấn đề Do đó, tơi viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm: Rèn luyện tư sáng tạo học sinh thơng qua tốn tiếp tuyến đường Hypebol 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sáng kiến nhằm giúp học sinh thấy mối liên hệ hữu tốn tiếp tuyến đường hypebol, từ có nhìn tổng quát, tự tin, sáng tạo giải toán liên quan 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Trong phạm vi sáng kiến này, tiến hành nghiên cứu, tổng kết số dạng toán tiếp tuyến đường hypebol 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong trình giảng dạy nhiều năm trình theo dõi đề thi tốt nghiệp phổ thông tuyển sinh vào đại học, cao đẳng, trung học phổ thơng quốc gia, học sinh gặp nhiều tốn tiếp tuyến đường hypebol mà toán trường hợp đặc biệt hóa tốn tổng quát Muốn giải học sinh cần biết phương pháp giải tổng quát Vì lý nêu để giúp học sinh nhanh chóng nắm bắt số dạng tốn liên quan đến tiếp tuyến đường hypebol nắm phương pháp giải dạng tốn Tơi đưa tiến trình thực hiện: Chọn tốn tiếp tuyến hypebol đề thi tài liệu tham khảo Sau phân loại tốn tìm phương pháp để giải tốn Tiếp theo tơi nghiên cứu hướng đặc biệt hóa tốn tổng qt để tốn cụ thể có đặc trưng riêng biệt Khi luyện tập cho học sinh kỹ giải toán tiếp tuyến đường hypebol Tôi lại theo trình ngược lại cung cấp cho học sinh toán tổng quát, phương pháp giải hướng đặc biệt hóa tốn từ cung cấp cho học sinh lớp toán hay dạng toán tiếp tuyến có nguồn gốc từ tốn Tất nhiên có phương pháp giải chung Với cách dạng học sinh dễ tiếp thu nắm phương pháp giải nhiều toán dạng Mặt khác, thời gian đầu tư cho dạng tốn hiệu tương đối cao Tạo nên cho học sinh hứng thú tự tin trình học tập, chủ động tiếp nhận tìm tịi kiến thức NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận 2.2.1 Vị trí mơn Tốn nhà trường Mơn tốn môn học khác cung cấp tri thức khoa học, nhận thức giới xung quanh nhằm phát triển lực nhận thức, hoạt động tư bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp người Mơn tốn trường THPT môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian chương trình học học sinh Mơn tốn có tầm quan trọng to lớn Nó mơn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên người Mơn tốn có khả giáo dục lớn việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận lơgíc, thao tác tư cần thiết để người phát triển tồn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho người lao động thời đại 2.2.2 Đặc điểm tâm sinh lý học sinh THPT - Ở lứa tuổi THPT thể em thời kỳ phát triển hay nói cụ thể hệ quan gần hồn thiện, sức dẻo dai thể cao nên em hiếu động, thích hoạt động để chứng tỏ - Học sinh THPT nghe giảng dễ hiểu quên chúng không tập trung cao độ Vì người giáo viên phải tạo hứng thú học tập phải thường xuyên luyện tập - Học sinh THPT dễ xúc động thích tiếp xúc với vật, tượng xung quanh việc mà em trực tiếp thực - Hiếu động, ham hiểu biết mới, thích tự tìm tịi, sáng tạo nên dạy học giáo viên phải lọc đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh 2.3.3 Nhu cầu đổi phương pháp dạy học : Học sinh THPT có trí thơng minh nhạy bén sắc sảo, có óc tưởng tượng phong phú Đó tiền đề tốt cho việc phát triển tư tốn học dễ bị phân tán, rối trí bị áp đặt, căng thẳng, q tài Chính nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi điều xem nhẹ Đặc biệt học sinh lớp 12, lớp mà em vừa vượt qua mẻ ban đầu để trở thành người lớn, chuyển từ hoạt động vui chơi chủ đạo sang hoạt động học tập chủ đạo Lên đến lớp 10, 11 u cầu đặt thường xuyên em tất mơn học Như nói cách học, yêu cầu học học sinh THPT gặp phải thay đổi đột ngột mà đến cuối năm lớp 10 sang lớp 11, 12 em quen dần với cách học Do học trở nên nặng nề, khơng trì khả ý em người giáo viên cho em nghe làm theo có sách giáo khoa Muốn học có hiệu địi hỏi người giáo viên phải đổi phương pháp dạy học tức kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh, sở hoạt động em Kiểu dạy người giáo viên phải thật người “đạo diễn” đầy nghệ thuật, người định hướng, tổ chức tình học tập kích thích óc tị mị tư độc lập, phải biết thiết kế giảng cho hợp lý, gọn nhẹ Muốn em học trước hết giáo viên phải nắm nội dung lựa chọn, vận dụng phương pháp cho phù hợp Hiển nhiên, người giáo viên muốn dạy giỏi phải trãi qua trình tự rèn luyện, phấn đấu khơng ngừng có Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm thân người qua tiết dạy, ngày tháng miệt mài không quan trọng, vừa giúp cho có kinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho hệ giáo viên sau có sở để học tập, học tập nâng cao tay nghề, góp phần vào nghiệp giáo dục nước nhà 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua q trình giảng dạy tơi nhận thấy nhiều học sinh gặp toán tiếp tuyến đường hypebol chương trình giải tích lớp 12, em học sinh lúng túng, không phân loại dạng toán, chưa định hướng cách giải, chương trình giải tích 12 khơng nêu cách giải tổng quát cho dạng, bên cạnh thời lượng dành cho tiết luyện tập Qua việc khảo sát định kỳ nhận thấy nhiều học sinh trình bày lời giải chưa lôgic không làm tập liên quan đến tiếp tuyến củ đường hypebol 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, thực số giải pháp sau: 2.3.1 Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lí - Đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lí - So sánh khái niệm, quy tắc để học sinh thấy giống khác chúng - Chỉ sai lầm mà học sinh dễ mắc phải 2.3.2 Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải vấn đề - Phương pháp: phương pháp giải toán 2.3.3 Đổi phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế - Tạo hứng thú, đam mê, u thích mơn học cho học sinh - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho giảng sinh động hơn, bớt khô khan học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, có điều kiện sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy hình động liên quan trực tiếp tới giảng (ví dụ ứng dụng tích phân để tính diện tích hình thang cong) 2.3.4 Đổi việc kiểm tra, đánh giá - Kết hợp tự luận trắc nghiệm khách quan với mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá - Giáo viên đánh giá học sinh - Học sinh đánh giá học sinh 2.3.5 Phân dạng tập phương pháp giải - Hệ thống kiến thức - Phân dạng tập phương pháp giải - Đưa tập tương tự, tập nâng cao - Sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển toán, suy kết mới, tốn Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo 2.3.6 Minh họa I Một số kí hiệu: y (d1) y O (e) A x M0 B (T) I I B A M0 (d2) (d2) (e) (d1) + Gọi (H) đồ thị hàm số + (d1) tiệm cận đứng; (d2) tiệm cận ngang (xiên) (H) + Gọi M ( x0 , y0 ) (H) + Gọi (T) tiếp tuyến (H) M0 + Gọi: x d1 d2 A(T ) ( d1 ); B (T ) ( d2 ) + Gọi: P chu vi AIB S diện tích AIB II Hướng dẫn học sinh chứng minh số tính chất đặc trưng (H) x k điểm M cx d Bài toán 1: Cho (H): y ax b ( H ) tiếp tuyến (H) điểm M, cắt đường tiệm cận đứng xiên (H) A B Chứng minh M trung điểm A, B Ta hướng dẫn học sinh: + Lập phương trình tiếp tuyến (H) M ( x , ax k b + Tìm giao tiếp tuyến (T) với tiệm cận đứng (d1): ) cx0 d y d tiệm cận c xiên (d2): y ax b + Do A, M, B thẳng hàng mà x A x B 2x0 => M trung điểm AB => M M0 giao điểm phân giác góc tạo đường tiệm cận với (H) Đặc biệt M0 giao phân giác góc tạo (d1) (d2) AIB cân (IA = IB) Bài tốn 2: Tích khoảng cách từ điểm M (H) đến hai đường tiệm cận số không đổi k + Xét (H): y ax b y có đường tiệm cận (d1): cx d d (d2): c y ax b k + Gọi M ( x0 , ax0 b ) khoảng cách d (M; ) cx d k d => ( cx0 d ) a2 1 c k d d cx0 d khơng đổi c a21 Bài tốn 3: Nếu tiếp tuyến với (H) điểm M cắt tiệm cận A B AIB có diện tích khơng đổi (khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M) Hướng dẫn học sinh tìm tịi trình bày lời giải + + Do M ( H ) nên M ( x , ax b k ) cx0 d PT tiếp tuyến (H) M: y (a ck ( cx d ) )( x x0 ) ax0 b k cx d 0 + Giao tiếp tuyến với tiệm cận đứng là: A( d ; ( a ck )( d c ( cx d ) c x) y) 0 + Giao điểm tiệm cận là: I ( d ; b ad ) c + S AIB S IMA c IA.d ( M ; ) 2ck (1 c )(cb ad ) d không đổi Đối với Hypebol y ax b c (với c ) có tiệm cận vng góc việc cx d chứng minh tính chất đặc trưng nêu dễ dàng Từ toán nêu ta hướng dẫn học sinh rút tính chất khác Hypebol * Từ toán thứ ta đặt vấn đề để học trò giải quyết: Bài tốn 4: Tìm điểm M (H) cho tổng khoảng cách từ M đến đường tiệm cận nhỏ Gọi hình chiếu M lên đường tiệm cận M M2 theo tốn ta có: MM1; MM2 số khơng đổi để tổng MM1 + MM2 nhỏ MM1=MM2 M M0 (là giao điểm đường phân giác góc tạo tiệm cận với Hypebol) * Từ toán thứ ta hướng dẫn học sinh đến tốn sau: Bài tốn 5: Tìm điểm M (H) cho tiếp tuyến (H) M cắt đường tiệm cận điểm AB cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ * Hướng dẫn học sinh xét IAB để : AB IA IB 2 IA.IB.cos AIB 2(1 cos AIB ) IA.IB Theo kết tốn ta có S AIB IA.IB.sin AIB khơng đổi mà góc AIB khổng đổi nên tích IA.IB không đổi Vậy AB nhỏ dấu đẳng thức xảy IA IB M M0 Cũng tương tự với cách suy luận ta lại đưa toán: Bài toán 6: Xác định điểm M (H) để tiếp tuyến (H) M với đường tiệm cận IAB có chu vi nhỏ + Hướng dẫn học sinh tính chu vi tam giác: PIAIBAB2 IA.IB (1 Dấu xảy IA + Vậy P nhỏ M IB cos AIB ).IA.IB M M0 M0 Ta lại áp dụng kết toán vừa nêu để giải toán sau: Bài toán 7: Xác định điểm M (H) cho khoảng cách từ giao điểm I đường tiệm cận đến tiếp tuyến (H) M lớn + Gọi h khoảng cách từ I đến tiếp tuyến (T) + Diện tích IAB S AB.h Do S không đổi, h lớn AB nhỏ M M0 Bài toán 8: Xác định điểm M (H) cho tiếp tuyến (H) M cắt tiệm cận A, B cho đường trịn nội tiếp IAB có diện tích lớn * Hướng dẫn học sinh giải toán: + Gọi bán kính đường trịn nội tiếp tam giác r diện tích hình trịn S htr r2 Do Shtr lớn r lớn + Mặt khác S AIB p.r không đổi Vậy r lớn p nhỏ M M0 Trên tơi đưa tốn tính chất đặc trưng (H), học sinh chứng minh tính chất (H) Từ tốn ta lại hướng dẫn học sinh suy luận, tìm tịi để phát chứng minh thêm nhiều toán khác tiếp tuyến (H) Các tốn kỳ thi nhiều đề đề cập đến Để cung cấp rèn luyện thêm cho học sinh tính tư duy, sáng tạo, tơi chọn hệ thống tập để học sinh tự tìm tịi lời giải, tự bổ sung vào vốn kiến thức Hypebol thân * Xét toán tổng quát toán số 1: Bài tập 1: Nếu cát tuyến y cắt Hypebol điểm C, C D D cắt tiệm cận điểm A, B ( ) A AC=BD (hay AB CD có B trung điểm) * Nếu đặc biệt hóa: Khi O x C D M ( ) tiếp tuyến (H) M M trung điểm I E F AB Đây số Bài tập 2: Cho Hypebol (H), M M điểm (H) Từ M kẻ đường thẳng song song với tiệm cận cắt tiệm cận E F Chứng minh hình bình hành MEIF có diện tích khơng đổi (khơng phụ thuộc vào vị trí M) Xác định vị trí M (H) cho hình bình hành MEIF có chu vi nhỏ Bài tập 3: Cho Hypebol (H), M điểm (H), gọi M1, M2 hình chiếu M lên đường tiệm cận Xác định M để M1M2 nhỏ (Xét MM M có: M1M2 MM1 MM 2MM1.MM2cosM 2(1 cosM )MM1.MM không đổi Vậy M1M2 nhỏ MM1 MM2 M M0) 10 Bài tập 4: Cho Hypebôn (H), M điểm (H), gọi M1, M2 hình chiếu M lên đường tiệm cận Hãy xác định M cho có chu vi nhỏ MM1M2 (+ Gợi ý để học sinh tìm tịi lời giải + Chu vi: p MM khơng đổi MM => p nhỏ MM MM 2 MM MM M1M2 M M0 2(1 cosM ) MM MM2 ) Bài tập 5: Cho Hypebôn (H), M điểm (H), tiếp tuyến (H) M cắt đường tiệm cận A B Xác định điểm M (H) cho IAB có diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác nhỏ (+ S htr r2 R nhỏ S n2 + Xét IAB có: AB 2R mà AIB khơng đổi sin AIB Vậy R nhỏ AB nhỏ M M0 ) Bài tập 6: Cho Hypebol (H), M điểm (H), gọi M1, M2 hình chiếu M lên đường tiệm cận (H) Xác định M để hình trịn ngoại tiếp MM M có diện tích nhỏ Bài tập 7: Cho Hypebol (H), M điểm (H), gọi M1, M2 hình chiếu M đường tiệm cận Xác định M để tổng khoảng cách MM1+MM2+IM nhỏ Ta cho học sinh làm số tập cụ thể sau: Bài 1: Cho hàm số y x x Tìm đồ thị hàm số điểm M cho x tiếp tuyến đồ thị vng góc với IM (I giao điểm đường tiệm cận) Bài 2: Cho hàm số y x x có đồ thị (H) điểm M thuộc đồ thị 2x Gọi I giao điểm đường tiệm cận tiếp tuyến đồ thị M cắt đường tiệm cận A B 11 Chứng minh M trung điểm AB Chứng minh tích khoảng cách từ M đến đường tiệm cận không đổi Chứng minh IAB có diện tích khơng đổi Tìm điểm M (H) cho: a Độ dài đoạn AB ngắn b Hình trịn ngoại tiếp IAB có diện tích nhỏ c Chu vi IAB nhỏ Tìm cặp điểm M, N (H) cho tiếp tuyến (H) M N song song với Tìm điểm M (H) cho khoảng cách từ I đến tiếp tuyến (H) M lớn C Kết luận: Nội dung hệ thống tập tính chất Hypebol có liên quan đến vấn đề tiếp tuyến Hypebol xuất phát từ toán bản, toán khác suy từ tốn đó, với kiến thức học Từ tốn tơi đưa vào nội dung giảng tập nhà để thực mong muốn: - Làm cho học sinh nắm tính chất quan trọng đường Hypebol, đặc biệt tính chất có liên quan đến vấn đề tiếp tuyến Hypebol - Từ nội dung toán với tư logic tảng kiến thức, học sinh suy nghĩ tìm tịi nội dung tốn suy từ tốn Qua rèn luyện khả tư sáng tạo học sinh, gây lòng tin khả thân tạo hứng thú học tập em, sở ban đầu phát minh khoa học - Cũng thông qua việc giải tập, chứng minh tính chất Hypebol rèn luyện cho học sinh phương pháp kỹ giải tốn; phương pháp trình bày chun đề, nội dung toán học 12 - Hệ thống tập giao nhà giúp em tiếp tục tự rèn luyện, tự tìm tịi để phát thêm kiến thức củng cố kiến thức lòng tin thân Thông qua viết ngắn tơi muốn trình bày với người việc nhỏ nhân giảng dạy chuyên đề nhỏ toán học phổ thơng tính chất đường Hypebol có liên quan đến tiếp tuyến Hypebol Việc nhỏ giúp học sinh nắm vững kiến thức đường Hypebol, đồng thời rèn khả tư duy, sáng tạo học sinh, gây lòng tin hứng thú học tập học sinh 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong khuôn khổ viết tơi đưa 15 tốn tổng quát Từ 15 toán nàydưới hướng dẫn giáo học sinh tìm tịi lời giải toán Sau giải toán Tơi hướng dẫn học trị đặc biệt hóa tốn theo hướng khác nhau; để nhiều toán cụ thể Trong q trình tìm tịi học sinh phấn chấn, tự giác tiếp nhận kiến thức Sau giải tốn cụ thể để khắc sâu phương pháp giải toán tổng quát Từ 15 tốn gốc, học trị nắm 15 dạng tốn tính tích phân; dạng tốn gồm nhiều tốn khác Nắm phương pháp giải dạng tốn tính tích phân này; đồng thời rèn luyện cho học sinh kỹ giải số dạng tốn tích phân Trong lớp 12 dạy năm áp dụng kinh nghiệm lớp giảng dạy bình thường lớp Kết lớp dạy thực nghiệm kinh nghiệm giỏi đạt 70% Cịn kết lớp dạy bình thường giỏi đạt 50% KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Quá trình dạy học trình tìm tịi suy nghĩ để khơng ngừng đúc rút kinh nghiệm nâng cao hiệu dạy Kinh nghiệm trình bày cải tiến nhỏ rèn luyện kỹ giải tốn tích phân cho 13 học sinh Nhưng dù sáng kiến nêu hình thành cho học sinh phương pháp giải toán tổng hợp; rèn luyện cho học sinh phương pháp tư trừu tượng Biết từ toán cụ thể khái quát lên để toán đặc trưng cho lớp toán hay dạng toán để nắm phương pháp giải toán dạng Ngược lại rèn cho học sinh biết cách từ tốn tổng qt đặc biệt hóa theo hướng khác để thu tốn cụ thể có đặc trưng riêng biệt, làm cho nội dung toán phong phú đa dạng gây cho học sinh hứng thú tìm tịi, hứng thú học tốn Hai q trình tổng qt đặc biệt hóa tốn thiếu thầy cô giáo, dạy toán viết áp dụng trình việc rèn luyện kỹ tính tích phân cho học sinh kết thu thật ngồi mong đợi Tơi hy vọng chút kinh nghiệm thân thầy cô giáo dạy toán quan tâm chia Kiến nghị: Tác giả thiết nghĩ, phần tốn học phổ thơng đúc rút kinh nghiệm viết thành tài liệu dạng in thành tài liệu cung cấp cho giáo viên việc dạy học trường phổ thông đạt hiệu nhiều, chắn tỉ lệ học sinh khá, giỏi mơn học khơng ngừng tăng lên kiến nghị tác giả XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ: Thanh hóa, ngày 25 tháng năm 2017 14 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Lê Thị Thanh Vân 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO Stt Tên sách tham khảo Tốn nâng cao cho học sinh Giải tích 12 NXB: Đại học Quốc gia Hà Nội Tuyển chọn phân loại thi tuyển sinh mơn tốn NXB: Trẻ Tạp chí Tốn học tuổi trẻ NXB: Giáo dục đào tạo Ba thập kỷ đề thi toán vào trường Đại học Việt Nam NXB: Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Các đề thi tuyển sinh năm gần 16 17 ... chuyên đề nhỏ toán học phổ thơng tính chất đường Hypebol có liên quan đến tiếp tuyến Hypebol Việc nhỏ giúp học sinh nắm vững kiến thức đường Hypebol, đồng thời rèn khả tư duy, sáng tạo học sinh, gây... chất có liên quan đến vấn đề tiếp tuyến Hypebol - Từ nội dung toán với tư logic tảng kiến thức, học sinh suy nghĩ tìm tịi nội dung tốn suy từ tốn Qua rèn luyện khả tư sáng tạo học sinh, gây lòng... nghiệp phổ thông tuyển sinh vào đại học, cao đẳng, trung học phổ thơng quốc gia, học sinh gặp nhiều tốn tiếp tuyến đường hypebol mà toán trường hợp đặc biệt hóa tốn tổng quát Muốn giải học sinh cần