Chủ đề sự ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN của hàm số

Chủ đề: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Thời lượng dự kiến: 03 tiết I MỤC TIÊU Kiến thức - Hiểu định nghĩa đồng biến, nghịch biến hàm số mối liên hệ khái niệm với đạo hàm - Nắm qui tắc xét tính đơn điệu hàm số Kĩ - Biết vận dụng qui tắc xét tính đơn điệu hàm số dấu đạo hàm - Biết vận dụng tính đơn điệu hàm số vào giải toán thực tế 3.Về tư duy, thái độ - Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao Định hướng lực hình thành phát triển: + Năng lực tự học: Học sinh xác định đắn động thái độ học tập, tự nhận sai sót khắc phục sai sót + Năng lực giải vấn đề: Biết tiếp cận câu hỏi tập, biết đặt câu hỏi, phân tích tình học tập + Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc thân học tập sống Trưởng nhóm biết quản lí nhóm mình, biết phân cơng nhiệm vụ cho thành viên biết đôn đốc, nhắc nhở thành viên hồn thành cơng việc giao + Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thơng qua hoạt động nhóm Có thái độ, kĩ giao tiếp + Năng lực hợp tác: xác định nhiệm vụ nhóm, thân, biết hợp tác với thành viên nhóm để hồn thành nhiệm vụ học tập + Năng lực sử dụng ngơn ngữ: Biết nói viết theo ngơn ngữ Toán học II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH Giáo viên + Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, Học sinh + Đọc trước + Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng … III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Mục tiêu: Tiếp cận khái niệm đồng biến, nghịch biến Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh Trò chơi “Quan sát hình ảnh” Mỗi nhóm viết lên giấy A4 khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số tương ứng từ đồ thị sau: Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động Đội có kết đúng, nộp nhanh nhất, đội thắng Phương thức tổ chức: Theo nhóm – lớp B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC Mục tiêu: Nắm mối liên hệ dấu đạo hàm tính đơn điệu, lập bảng biến thiên hàm số Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh hoạt động I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ * Hồn thành xác phiếu học Nhắc lại định nghĩa tập số 1, từ rút nhận xét mối Nhắc lại định nghĩa: Kí hiệu K khoảng, liên hệ tính đơn điệu dấu y  f  x  đạo hàm cấp hàm số đoạn khoảng Giả sử hàm số khoảng đơn điệu xác định K y  f  x đồng biến K � x1 , x2 �K : x1  x2 � f  x1   f  x2  y  f  x nghịch biến K � x1 , x2 �K : x1  x2 � f  x1   f  x2  *Nếu hàm số đồng biến K đồ thị lên từ trái sang phải, hàm số nghịch biến K đồ thị xuống từ trái sang phải Ví dụ Hồn thành phiếu học tập số Phương thức tổ chức: Theo nhóm – lớp Tính đơn điệu dấu đạo hàm Định lí: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm K KQ1 a) y�  0, x �� Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh  Nếu K f�  x   0, x �K y  f  x Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động đồng biến     nghịch biến  Nếu K b) y� 2 x  VD2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a) y  x  f �x  0, x �K b) y   x  x Chú ý: Giả sử hàm số y f x y  f  x có đạo hàm K f �x �0 f � x �0 f �x  Nếu   (   ) , x �K   số hữu hạn điểm hàm số đồng biến (nghịch biến) K VD3: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: y  x II QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Quy tắc f�  x y�  3x x � y' + 0 � + � y � Phương thức tổ chức: Cá nhân – lớp Tìm tập xác định Tính KQ2 *Đọc hiểu quy tắc xét tính đơn điệu hàm số     Tìm điểm khơng xác định Sắp xếp điểm theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Phương thức tổ chức: Cá nhân – lớp Áp dụng VD4: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số f �x  a) y  x  3x  x 1 y x 1 b) c) y  x  x  Phương thức tổ chức: Cá nhân – lớp f �x *Thực vào tập, bạn thực nhanh xác lên bảng thực câu  �; 1  1; � Hàm số NB  1;1  �; 1 b) Hàm số ĐB  1; �  �; 1 c) Hàm số NB  0;1 Hàm số ĐB  1;0  a) Hàm số ĐB Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh  1; � �� 0; � � �bằng cách xét � x  sin x VD5 Chứng minh f  x   x  sin x khoảng đơn điệu hàm số Phương thức tổ chức: Cá nhân – lớp *Hàm số nên hàm số f�  x    cos x �0 f  x đồng biến �� 0; � � nửa khoảng � � Do f  x   x  sin x  C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Mục tiêu:Thực dạng tập SGK Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động tập học sinh Tìm khoảng đồng biến, nghịch D  � biến hàm số y  x  3x  Phương thức tổ chức: Cá nhân – lớp  y� 3x  x x0� y 2 � �� Cho y� � 3x  x �x  � y  2  Bảng biến thiên:  Kết luận: + Hàm số đồng biến khoảng  �;0   2; � + Hàm số nghịch biến khoảng  �;0  Tìm khoảng đồng biến, nghịch y x  x  x2 biến hàm số Phương thức tổ chức: Cá nhân – lớp Các nhóm thảo luận, trình bày kết nhóm lên giấy A0, giáo viên đánh giá kết theo gợi ý:  D  �\  2 y�   x2  4x   x  2  Cho y� �  x  x   x  1 � y  � �� x  � y  9 �  Bảng biến thiên:  Kết luận: + Hàm số đồng biến khoảng  1;   2;5 + Hàm số nghịch biến khoảng Chứng minh hàm số y   x  x  đồng biến khoảng  2;1 , nghịch biến khoảng  1;  Phương thức tổ chức: Cá nhân – lớp  �; 1  5; � D   2; 4  y�  x 1 x  2x   Cho y� �  x   � x   Bảng biến thiên:  Kết luận: + Hàm số đồng biến khoảng  2;1 hàm số nghịch biến 1; khoảng   Chứng minh sin x  cos x  x  1, x � 0; � Phương thức tổ chức: Cá nhân – lớp Các nhóm thảo luận, trình bày kết nhóm lên giấy A0, giáo viên đánh giá kết theo gợi ý:  Ta có: sin x  cos x  x  � � � sin �x  � x  � 4�  Xét � � f  x   sin �x  � x, x � 0; � � 4� � f�  x   cos � �x  � � 4� � �  � cos �x  �� � 4� Do � � f�  x   cos � �x  � �0 � 4� � Hàm số nghịch biến  0; � � f  x  �f    Vậy : D,E sin x  cos x  x  1, x � 0; � HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TỊI MỞ RỘNG Mục tiêu: Làm số tập tìm giá trị tham số m Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động tập học sinh Tập hợp tất giá trị tham TXĐ: D  � m số để hàm số y�  x  2mx   2m  3 Ta có y  x3  mx   2m  3 x  Để hàm số đồng biến khoảng �thì đồng biến y� �0 , x �� � � x  2mx  2m  �0, x �� Phương thức tổ chức: Cá nhân - nhà � � �0 � m  2m  �0 � 1 �m �3 Vậy 1 �m �3 giá trị cần tìm TXĐ: D  � Tập hợp tất giá trị tham số m 2 để hàm số y   x  mx  m x  đồng biến khoảng   Phương thức tổ chức: Cá nhân - nhà 0; 2 � Ta có y  3x  2mx  m xm � � � m � x 2 � y  � 3 x  2mx  m  � 0; Để hàm số đồng biến khoảng   �m  �0 � �� m  �0  �m � m �4 ۳ m � Vậy m �4 giá trị cần tìm Hỏi có số nguyên m để TH1: m  Ta có: y   x  phương trình đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm hàm số y   m2  1 x3   m  1 x  x  �; � nghịch biến khoảng  Phương thức tổ chức: Cá nhân - nhà số ln nghịch biến � Do nhận m  TH2: m  1 Ta có: y  2 x  x  phương trình đường Parabol nên hàm số khơng thể nghịch biến � Do loại m  1 TH3: m ��1 Khi hàm số nghịch biến �; � �0 x �� khoảng  y� �  m  1 x   m  1 x  �0 x �� , � m2   �a  � � � ��  m  1   m  1 �0 �0 � �� 1  m  � � � m   � ��1 ��  �m �1  m  1  4m   �0 � � �2 �  �m  Vì m �� nên m  Vậy có giá trị m nguyên cần tìm m = m = IV CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC NHẬN BIẾT Câu Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau: Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng  2;0  B Hàm số đồng biến khoảng  �;0  C Hàm số nghịch biến khoảng  0;  D Hàm số nghịch biến khoảng  �; 2  Câu Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A  0;1 B  �;0  Câu Hàm số sau đồng biến R ? A y x 1 x3 Câu Cho hàm số f  x B y  x  x C  1; � C y x 1 x2 D  1;  D y   x  x có bảng biến thiên sau: Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? 2;0  A  0; C   Câu Cho hàm số 2;  � B  0;  � D  y  x  x  Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng  �; � B Hàm số nghịch biến khoảng  0; � C Hàm số nghịch biến khoảng (�; �) D Hàm số nghịch biến khoảng  �;0  ( x)  x  1, x �R Mệnh đề Câu Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f � đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng  �;0  B Hàm số nghịch biến khoảng  1; � C Hàm số nghịch biến khoảng  1;1 D Hàm số đồng biến khoảng  �; � THÔNG HIỂU Câu Cho hàm số y  x  x Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng  0;  B Hàm số nghịch biến khoảng  2; � C Hàm số đồng biến khoảng  0;  D Hàm số nghịch biến khoảng  �;0  y Câu Khoảng đồng biến hàm số A  �;  1 B (-1; 3) 2x 1 x 1 A 2x 1 y x 1 C x 1 2x 1 B x2 y x 1 D x  x2  3x là: C  ;  � D  �;  1  ;  � Câu Trong hàm số sau, hàm số đồng biến khoảng xác định nó? y Câu 10 Hàm số x  nghịch biến khoảng đây?  1;1 y A  0; � y C  �; � B D  �;0  Câu 11 Cho hàm số y  x  Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng  1;1 B Hàm số đồng biến khoảng  0; � C Hàm số đồng biến khoảng  �;  D Hàm số nghịch biến khoảng  0; � Câu 12 Hàm số y  x  x nghịch biến khoảng A  1; �  �;0  � 1� 0; � � 2� � B �1 � � ;1� C �2 � D VẬN DỤNG Câu 13 Tất giá trị m để hàm số tập xác định A �m �3 B m �3 y x3   m  1 x   m  1 x  đồng biến C m �1 Câu 14 Có giá trị nguyên tham số nghịch biến khoảng  10; � A B Vô số m C D  m  để hàm số D y x6 x  5m Câu 15 Cho hàm số y   x  mx   4m   x  với m tham số Có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến  �; � A B C D Câu 16 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x3  3mx   m  1 x  2 �m � A C   m   đồng biến � 2 m B D  �m �  Câu 17 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y x2 x  5m đồng biến khoảng  �;  10  ? A B C D Câu 18 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  mx  sin x đồng biến � A m �0 B m  C m �1 D m  VẬN DỤNG CAO y mx  4m x  m với m tham số Gọi S tập hợp tất y mx  2m  xm với m tham số Gọi S tập hợp tất Câu Cho hàm số giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng xác định Tìm số phần tử S A B C Vô số D Câu Cho hàm số giá trị nguyên m để hàm số đồng biến khoảng xác định Tìm số phần tử S A B C Vơ số D Câu Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y  x   m  1 x   m  2m  x  3 nghịch biến khoảng  0;1 A 1 �m �0 B m �0 C m �1 D 1  m  Câu Có giá trị nguyên âm tham số y  x3  mx  A m để x5 đồng biến khoảng  0;  � B C Câu Tìm tất giá trị thực tham số � � 0; � � 4� � đồng biến khoảng m cho hàm số hàm số D y tan x  tan x  m Mục đích dạng củng cố khắc sâu kiến thức bản, cách đọc bảng biến thiên cách đọc đồ thị hàm số Đây kỹ quan trọng giải tốn tính đơn điệu Để đạt mục đích đóchúng tơi cho em làm ví dụ sau: Ví dụ (Đề thi THPT Quốc Gia 2017 – Mã đề 101) Cho hàm số y  x  3x  Mệnh đề đúng?  �;0  nghịch biến khoảng  0;  � Hàm số nghịch biến khoảng  �; � A Hàm số đồng biến khoảng B C Hàm số nghịch biến khoảng  �;0  đồng biến khoảng  0;  � �; �  4 D Hàm số đồng biến khoảng  Hướng dẫn giải: Tính đạo hàm, vào dấu đạo hàm để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến – Lưu ý cơng thức tính đạo hàm khắc sâu mối quan hệ dấu đạo hàm tính đơn điệu hàm số Chọn đáp án D Ví dụ (Đề thi THPT Quốc Gia 2018 – Mã đề 101) y  f  x Cho hàm số có bảng biến thiên sau Hàm số cho nghịch biến khoảng đây?  1;0   4 0;1 �;0  1;  � A   B  C  D Hướng dẫn giải: Căn vào bảng biến thiên hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến – Khắc sâu cách đọc bảng biến thiên Chọn đáp án A Ví dụ (Chuyên Vinh Lần - 2018) y  f  x Cho hàm số có đồ thị hình vẽ bên (Hình 1) Mệnh đề sau đúng? 1;0  A Hàm số đồng biến khoảng  0;3 B Hàm số nghịch biến khoảng  C Hàm số đồng biến khoảng  0;2  D Hàm số nghịch biến khoảng  3;0   3 (Hình 1) Hướng dẫn giải: Căn vào hướng đồ thị để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến – Khắc sâu cách đọc đồ thị hàm số Chọn đáp án A / y  f  x Ví dụ Cho hàm số Hàm số y  f  x  có đồ thị hình bên y  f  x (Hình 2) Hàm số đồng biến khoảng? 2;3 1;3 A  B   0;1 �; 1 C   D  y  f  x f �x  Hướng dẫn giải: Để hàm đồng biến   f �x  y  f�  x  nằm trục hoành Mà   đồ thị hàm � Căn vào đồ thị hàm y  f  x  chọn đáp án C (Hình 2) NX: Qua tốn lần rèn luyện kỹ đọc đồ thị, đặc biệt kỹ y  f�  x  - kỹ quan trọng Bài toán đọc đồ thị hàm hay phong phú ta lồng ghép thêm vài phép biến đổi đồ y  f�  x  Ví dụ sau nói lên điều thị cho hàm y  f  x g x  f '  x  1  Ví dụ Cho hàm số Đồ thị hàm số   hình vẽ y  f  x bên (Hình 3) Hàm số nghịch biến khoảng khoảng sau? �1 � �; � 1;1  2 � � A B �;2  2;�  3 C  D  Hướng dẫn giải: / - Ta tịnh tiến đồ thị y  f  x  sang phải đơn vị lên y  g x  đơn vị ta đồ thị hàm (Hình 3) (Hình 3) / y  f  x - Từ đồ thị hàm , ta chọn đáp án A Tổng quát: Từ cách làm phát triển nhiều toán khác tương tự Để làm dược điều em phải nắm phép biến đổi đồ thị Dạng 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến Mục đích dạng củng cố khắc sâu phép biến đổi đồ thị hàm số, đồng thời tiếp tục củng cố kỹ đọc đồ thị Đây kỹ quan trọng cần hình thành để giải toán phức tạp khác Để đạt mục đích chúng tơi cho em làm ví dụ sau: y  f  x Ví dụ Cho hàm có đồ thị hình vẽ bên (Hình 4) Mệnh đề sau sai? y  f  x  0;1 Hàm số đồng biến khoảng   A B Hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng y  f  x  đồng biến khoảng  �; 1  2; � y  f  x  1;0  D Hàm số nghịch biến khoảng  C.Hàm số Hướng dẫn giải: (Hình 4) y  f  x có tịnh tiến đồ thị hàm số lên y  f  x  đơn vị Do tính đơn điệu hàm số tương tự tính đơn y  f  x điệu hàm số Chọn đáp án D / � f x  �  f /  x   � � - Ta giải thích theo hướng nên tính đơn điệu y  f  x  y  f  x hàm số tương tự tính đơn điệu hàm số y  af  x   b Tổng quát: Tính đơn điệu hàm số (trong a  ) tương tự y  f  x tính đơn điệu hàm số Yêu cầu học sinh phát biểu cho trường hợp a  lấy ví dụ minh hoạ NX: Qua ví dụ hình thành kỹ khắc sâu phép tịnh tiến lên xuống đồ thị biết đồ thị bảng biến thiên hàm số Ví dụ Cho hàm y  f  x  có bảng biến thiên sau - Đồ thị hàm số Hàm số A y  f  x  y  f  x  2 Đồng biến khoảng  2;4  B Nghịch biến khoảng  2; � 0;2  3;5   3 C Đồng biến khoảng  D Nghịch biến khoảng  Hướng dẫn giải: y  f  x  2 y  f  x Đồ thị hàm số có tịnh tiến đồ thị hàm số sang phải đơn vị Chọn đáp án A Tổng quát: Nếu biết tính đồng biến, nghịch biến hàm y  f  x  ta tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số yêu cầu học sinh tự đề giải y  f  x  a Từ đó, NX: Từ ví dụ hình thành kỹ khắc sâu phép tịnh tiến sang trái sang phải đồ thị biết đồ thị bảng biến thiên hàm số y  f  x Ví dụ Cho hàm số có đồ thị vẽ (Hình 5) Mệnh đề sau đúng? y  f  x 2;3 Hàm số đồng biến khoảng  A y  f  x Hàm số nghịch biến khoảng  0;2  B C.Hàm số y  f  x D Hàm số y  �;0  f  x 3; 2  nghịch biến khoảng  Hướng dẫn giải: - Từ đồ thị hàm số đồng biến khoảng y  f  x - Từ đồ thị hàm suy đồ thị hàm số y  f  x y  f  x (Hình 5) ta chọn đáp án D y  f  x Tổng quát:Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm ta phải có bảng biến thiên đồ thị hàm y  f  x  Ta mở rộng tốn cách đồng thời kết hợp phép biến đổi đồ thị thông qua ví dụ sau y  f  x f 4 Ví dụ Cho hàm số có đồ thị hình vẽ (Hình 6)   y  f  x  1  Hàm số đồng biến khoảng? 2;3 �;0  A  B  0;2  2;3  1 C  D  GV: Tìm mối liên hệ đồ thị hàm số y  f  x  1  y  f  x đồ thị hàm số ? Hướng dẫn giải: (Hình 6) y  f  x  1  y  f  x - Đồ thị hàm số có ta tịnh tiến đồ thị hàm số sang phải đơn vị xuống đơn vị y  f  x  1  - Khi đồ thị hàm có dạng (Hình 7) y  f  x  1  - Từ suy đồ thị hàm số - KL: Đáp án C Tổng quát: Như vậy, từ toán phép biến đổi đồ thị ta có tốn phong phú đa dạng Đó cách để em có dịp phát triển (Hình 7) lực tư duy, dịp để em củng cố phép biến đổi đồ thị để phát triển toán NX: Qua ta thấy mức độ tốn phụ thuộc vào số lần biến đổi đồ thị Chính từ tốn trên, ta phát triển lên mức độ qua ví dụ sau y  f  x f 4 Ví dụ Cho hàm số có đồ thị hình vẽ (Hình 8)   y  f  x 1   (Hình 14) Hàm số nghịch biến khoảng? 2;0  0;2  A  B  C  3; 2  Hướng dẫn giải: - Từ đồ thị hàm số y  f  x   C1  D  3;�  2 y  f  x  C  , suy đồ thị hàm số (Hình 8) y f x C - Tịnh tiến đồ thị   hàm số sang phải đơn vị ta đồ thị y  f  x 1  C  hàm số y  f  x 1   - Tịnh tiến đồ thị  C  hàm số xuống đơn vị ta y  f  x 1   C  đồ thị hàm số y  f  x 1   - Từ đồ thị  C  hàm số ta suy đồ thị hàm số y  f  x 1   C  C - Từ đồ thị   cho ta đáp án C NX: Tương tự cách làm trên, thầy cho em tự sáng tạo tốn để em có dịp trải nghiệm nhằm củng cố lại kiến thức nâng cao kỹ lực giải toán tương tự Qua hai dạng tốn trên, hình thành cho em kỹ / giải toán tìm khoảng đơn điệu hàm số như: Tính f  x  xét / dấu f  x  , đọc đồ thị hàm số, đọc bảng biến thiên, phép biến đổi đồ thị Từ kỹ tiền đề để em giải toán mức độ cao   y f � u x � � � Dạng 3: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm hợp Đây dạng toán thường gặp đề thi thử, đề minh họa đề thi THPT Quốc Gia năm qua Đây dạng tốn địi hỏi lực tư cao, kỹ xử lý khéo léo học trò Để giải tốn dạng em phải nắm cơng thức đạo hàm hàm hợp, kỹ xét dấu đạo hàm, kỹ đọc đồ thị biến đổi đồ thị Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm chúng tơi lựa chọn ví dụ đặc trưng cho kiểu câu hỏi, loại tập điển hình Để từ em phát triển, mở rộng áp dụng vào tốn khác y  f  x Ví dụ (SGD Bắc Giang 2019) Cho hàm số có đạo hàm / 2 f  x  x  x  x  g x   f x  x Hỏi hàm số nghịch biến khoảng đây? �; 1 0;2  1;1  3  1; � B  C  D  A Hướng dẫn giải: f /  x    x  1  x  1  x   - Ta có:         x � g/  x   f / x  x2   2x   x2  x  2     x  x2  x    2x  - KL: Đáp án A / NX: Đây toán đặc trưng cho lớp toán dạng: Cho biểu thức f  x  g x f� u x � � � yêu cầu tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số   Qua ví dụ lần lưu ý, nhấn mạnh công thức đạo hàm hàm hợp cách áp dụng công thức / y  f  x Ví dụ (Đề minh họa 2018) Cho hàm số Hàm số y  f  x  có đồ thị hình bên (Hình 9) Hàm số y  f   x đồng biến khoảng? 1;3 2; � 2;1 A   B  C  D  �; 2   4 Hướng dẫn giải: / y/  � f  x �   f /   x   � � - Ta có: (Hình 9)  x  1 x3 � � f /   x  � � �� 1 x  2  x  � � - Để hàm đồng biến - KL: Chọn C NX: Đây toán đặc trưng cho lớp toán dạng: Cho đồ thị hàm y  f /  x yêu cầu tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số g x   f � u x � � � Đây lớp toán quan trọng, kết hợp hài hồ kỹ đọc đồ thị số tính chất hàm hợp Sự đa dạng phong phú thể qua ví dụ Ví dụ Cho hàm số y  f  x g x   f  / Hàm số y  f  x  có đồ thị hình bên x2  2x   x2  2x  (Hình 10) Hàm số đồng biến khoảng? � 1� �; � � �; 1  � � A B �1 � � ; �� 1; �  1 � C � D   (Hình 10) Hướng dẫn giải: - Ta có:   � � 1 2 g�   x   x  1 � �f � x  2x   x  2x  x  2x  � � x  2x  Mà: x  2x   x  2x  2 0  u  x2  2x   x2  2x   với x ��  1  x  1   2  x  1 1 � 1 1 f � x2  2x   x2  2x   0, x ��   - Do đó: 1 2 g/  x   � x   � x  1   - Từ suy ra: Chọn đáp án A y  f  x y  f�  x có đồ thị hình bên Ví dụ Cho hàm số Hàm số f  3 x  g x    (Hình 11) Hàm số nghịch biến khoảng? 1� � �;  � � � � A 0;2  C  Hướng dẫn giải: �1 �  ;1� � � � B �;1  2 D  (Hình 11) - Ta có: g/  x   � 2 � f 3 2x  / � f  32x ln 2.f /   2x   2   2ln 2.2 f  32x f /   2x  � 1 x  � 1   2x  � � g  x   � f   2x   � � � �   2x x � � Chọn đáp án - Để VíA.dụ (SGD Nghệ An Liên Trường Lần - 2019) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm liên tục � có đồ / thị hàm số y  f (x) hình vẽ bên (Hình 12).Để hàm số / / y  f (2x3  6x  3) đồng biến khoảng  m;� b m �a sin * c , a, b,c �� , ước chung lớn b c Khi tổng S  2a  3b  c A 9 B C D 2   Hướng dẫn giải: / / � � f (2 x  x  3) � � f (2x  6x  3) 6x  - Ta có  (Hình 12)  / � f (2x3  6x  3) � � - Để hàm số y  f (2x  6x  3) đồng biến � / � �f (2x  6x  3)  xm / � f (2x  6x  3) 6x   ���� � �6x   / � � 2x3  6x   7 �f (2x  6x  3)  � �� � �2 � x  2sin 18 x 1 �6x   � Suy ra: a  2,b  7,c  18 nên S  - KL: Chọn B       NX: Ví dụ hướng phát triển toán dạng Độ phức tạp / y  f (x) mà cịn tốn không dừng lại hàm hợp, đọc đồ thị hàm phương pháp lượng giác hoá để giải bất phương trình 2x  6x   Một hướng phát triển khác thể ví dụ y  f  x y  f�  x  có Ví dụ (SGD Thanh Hóa 2019) Cho hàm số Hàm số f 2  đồ thị hình bên (Hình 13)   (Hình 13) g x � f  x � � nghịch biến khoảng? Hàm số   � 2; � 1;2 2;5  5;�  3 A  B   C  D  Hướng dẫn giải: y  f�  x  , suy bảng biến thiên hàm số f  x sau - Từ đồ thị hàm số 2 � f  x  dx  � f /  x  dx � f 2   / - Quan sát hình vẽ (Hình 11), ta có: f x �0, x �� Do từ bảng biến thiên suy   / � � - Ta có g  x   2 f   x  f   x  � g  x   2  2 �f �   x  �2  x  � f�   x  f   x   � � �� � x  �f   x   � - KL: Chọn C NX:Qua ví dụ ví dụ cho thấy đa dạng việc mở rộng phát triển toán tính đơn điệu hàm số Đặc biệt hàm hợp kết hợp hàm hợp tính chất tốn học khác hướng phát triển quan trọng thời gian tới Dạng 4: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm y f � u x � v x  � � � g � � � Đây dạng tốn khó, thơng thường mức vận dụng vận dụng cao đề thi thử, đề minh họa đề thi THPT Quốc Gia hai năm qua Đây dạng tốn địi hỏi lực tư tổng hợp, đặc biệt khả xử lý hàm hợp mối tương quan đồ thị hàm… Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số ta thực theo y/  f / � u x � u/  x   g/ � v x  � v/  x  � � � � bước sau: - Tính đạo hàm: / / / / f � u x� u x g� vx � v x - Xét mối quan hệ �  �   �  �   Từ suy biến thiên hàm ban đầu y  f  x Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm liên tục � Đồ thị hàm số y  f /  x hình bên (Hình 14) Đặt g x   f  x  x, khẳng định sau đúng? g  g 1  g 1 g 1  g 1  g  A   B g 1  g 1  g  g 1  g 1  g   1 C   D Hướng dẫn giải: - Ta có g�  x  f �  x   � g�  x  � f �  x   (Hình 14) g�x  - Số nghiệm phương trình   số giao điểm y  f�  x  đường thẳng d : y  (như đồ thị hàm số x  1 � hình vẽ bên dưới) � g�  x   � �x  � x2 � - Dựa vào đồ thị, suy ra: Bảng biến thiên Do g   g 1  g 1 - KL: Chọn C NX: Bản chất toán nắm mối tương quan đồ thị hàm / số y  f  x  đường thẳng d : y  Mức độ toán phụ thuộc lớn vào mối tương quan Các ví dụ sau minh hoạ cho nhận định y  f  x C Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm liên tục � Đồ thị   / hàm số y  f  x  hình vẽ bên (Hình 15) x3 g x   f  x    x2  x  Hàm số đồng biến khoảng? �;0   0; � A  B 1;1  2;3  2 C  D Hướng dẫn giải: x3 h x    x2  x  � h/  x   x2  2x   P  - Đặt: / / / - Khi đó: g x   f  x   h  x  � g  x   f  x   h  x  (Hình 15) Từ mối tương quan đồ thị hai hàm số f /  x / h  x  cho ta bảng biến thiên sau: Từ ta chọn đáp án D / y  g x  NX: Để khảo sát biến thiên hàm ta phải xét dấu g  x  Trong / / / dấu g  x  phụ thuộc vào tương quan f  x  (đã cho) h  x  (cần phải xác định) Mức độ toán phụ thuộc vào mối quan hệ / f /  x h  x  Các ví dụ sau hướng phát triển ví dụ y  f  x Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm liên tục � đồ thị hàm số y  f� x   hình bên (Hình 17).Hàm số x2 g x   f   x   x nghịch biến khoảng? 3;1 2;0  A  B  � 3� 1; � � 1;3 � � C D     Hướng dẫn giải: g�x   � f�   x    x � � � - Ta có:   (Hình 17) y  f ' x - Từ tương quan hai đồ thị hàm số đường thẳng y/  x (Hình 18) cho ta: / g  x  � f   x  �    x � � �  x  3 x4 � � �� ��   x    x  � � - KL: Chọn B NX:Để giải ví dụ em phải nắm hàm hợp tương quan đạo hàm (Hình 18) Ví dụ (Đề thi THPT Quốc Gia 2018) Cho hai hàm y  f  x  y  g x  y  f�  x  số , Hai hàm số y  g�  x có đồ thị hình vẽ bên (Hình 19), y  g�  x đường cong đậm đồ thị hàm số 3� � h x   f  x    g� 2x  � � đồng biến � Hàm số khoảng đây? � 31 � �9 � 5; � � ; � (Hình 19) � � � � � A .B �31 � � 25 � ��giải: 6; � Hướng � ;  dẫn � � � � C .D / �  3� � / h  x   f  x    2.g/ � 2x  � � � - Ta có: � 31 � � 25 �   �� 5; � ,6   �� 6; �   � � � �  - Ta chọn số cho: , đó: � 1� f /  x    f /  10     8,  �� 0; � , x    � � Mặt khác: 3� � � 1� g/ � 2x  � g/  10,5  2   4,  �� 0; � , x    2� � � 5� 3� � � 1� h/  x   f /  x    2.g/ � 2x  � 0, x    , �� 0; � 2� � � � Suy ra: Do đáp án A D sai �31 � 1 x    �� ; ��   �5 � , đó: - Ta chọn số  cho: �1 � f /  x    f /  10     8,  �� ; � �5 � Mặt khác: 3� � �1 � g/ � 2x  � g/  10,5  2   4,  �� ; � 2� � �5 � 3� � �1 � h/  x   f /  x    2.g/ � 2x  � 0, x    , �� ; � 2� � �5 � Suy ra: Do đáp án C sai - Kết luận: Chọn đáp án B Nhận xét: Về chất toán học, toán hay sâu sắc Để giải toán dạng em phải có kiến thức tổng hợp, lực tư sáng tạo, khả vận dụng kiến thức vào thực tiễn Qua thực tiễn giảng dạy, mà em tiếp cận kiến thức cách đầy đủ có tơi thấy em tự tin nhiều gặp toán tương tự ĐỀ KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HỌC SINH Thời gian: 25 phút - 10 câu y  f  x Câu Cho hàm số xác định có đạo hàm khoảng D Khẳng định sau sai? y  f  x f ' x �0, x �D A Nếu hàm số đồng biến khoảng D   f ' x  0, x �D f x B Nếu   hàm số   đồng biến D f ' x �0,x �D f x C Nếu   hàm số   đồng biến D f ' x �0,x �D f' x 0 D Nếu     số hữu hạn điểm hàm số đồng biến D   y  f  x Câu Cho hàm số có bảng biến thiên sau y  f  x Hàm số đồng biến khoảng đây? 3;4  �;  1 2; � A  B  C  y  f  x Câu 3.Cho hàm số có đồ thị hình vẽ y  2 f  x  bên (Hình 20) Hàm số đồng biến khoảng? 1;2  2;3 A  B  1;0  1;1  3 C  D  D  1;2  (Hình 20) y  f  x y  f�  x Câu Cho hàm số Đồ thị hàm số hình bên (Hình 21) Khẳng định sau sai?  2;1 f x 1;� B Hàm số   đồng biến  f x C Hàm số   nghịch biến đoạn có độ dài f x �; 2   2 D Hàm số   nghịch biến  A Hàm số f  x đồng biến (Hình 21) y  f  x 1;2  Câu Nếu hàm số hàm đồng biến khoảng  hàm số y  f  x  2 đồng biến khoảng khoảng sau đây? 1;2  1;4 3;0  2;4  A  B   C  D  y  f  x Câu Cho hàm số có đồ thị hình vẽ (Hình 22) Mệnh đề sau đúng? B y f x đồng biến khoảng  �; 2  y f x 2;0  Hàm số đồng biến khoảng  A Hàm số Hàm số y f x nghịch biến khoảng D Hàm số y f x đồng biến khoảng C  2; �  0;2  (Hình y  f  x 22) f�  x   x  x  1  x   Câu Cho hàm số có đạo hàm � 5x � g x   f � � �x  �đồng biến khoảng đây? Hàm số A  �; 2  B  2;1 C  0;2  D  2;4   3 Câu Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số , x �� y  f�  x hình bên (Hình 23) Hàm số g x   f   2x  đồng biến khoảng khoảng sau? 1;0  �;0  A  B  0;1 1;�  3 C   D  (Hình 23) Câu Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f�  x   x  x  1  3x   mx3    g x   f x x �� Có số nguyên âm m để hàm số 0;� khoảng  ? A B C D   y  f  x Câu 10 Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm sau với đồng biến Hàm số y  3f  x    x  3x đồng biến khoảng ? 1;� �; 1 1;0  0;2   4 A  B  C  D  Đáp án: Câu 10 Đáp án C D A C C B D D B C ... �R Mệnh đề Câu Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f � đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng  �;0  B Hàm số nghịch biến khoảng  1; � C Hàm số nghịch biến khoảng  1;1 D Hàm số đồng biến khoảng... Cho hàm số 2;  � B  0;  � D  y  x  x  Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng  �; � B Hàm số nghịch biến khoảng  0; � C Hàm số nghịch biến khoảng (�; �) D Hàm số nghịch biến. .. THÔNG HIỂU Câu Cho hàm số y  x  x Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng  0;  B Hàm số nghịch biến khoảng  2; � C Hàm số đồng biến khoảng  0;  D Hàm số nghịch biến khoảng  �;0