Chuyen de toan 11

CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Cách 1: Chứng minh trong mặt Cách 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc phẳng thứ nhất chứa hai đường với một đường thẳng thì song song với nhau.. [r]

CÁC CHUN ĐỀ TỐN 11 LÊ ĐÌNH HUY ĐT: 0937519957 Trang CÁC CHUN ĐỀ TỐN 11 LÊ ĐÌNH HUY – ĐT: 0937519957 A B HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Hàm số y=sin x TXĐ: D=R −1≤ sin x ≤ 1, ∀ x ∈ R Hàm số lẻ hàm số tuần hồn chu kì π Hàm số y=cos x TXĐ: D=R −1≤ cos x ≤1 , ∀ x ∈ R Hàm số chẵn hàm số tuần hồn chu kì 2π Hàm số Hàm số y=tan x ¿ π TXĐ: D=R { +kπ , k ∈ Z ¿ ¿ Hàm số lẻ hàm số tuần hoàn chu kì π VD: Tập xác định TXĐ: D=R VD: Tập xác định ĐK: x ≥ TXĐ: D=[ ;+ ∞ ) y=sin x ¿ TXĐ: D=R {kπ , k ∈ Z ¿ ¿ Hàm số lẻ hàm số tuần hồn chu kì π π VD: Tậ pxáđcị nhcủy= a cos x−1 π π x− ≠ kπ x ≠ + kπ ĐK: ⇔ 4 cos x−1 ≠ x≠k 2π ¿ π TXĐ: D=R { +kπ , k π , k ∈ Z ¿ ¿ VD: Tìm GTLN GTNN y=1+ cos x Có ≤ cos2 x ≤1 ⇔ 0≤ cos2 x ≤ ⇔1 ≤1+ cos x ≤ max y=5 cos x=1 ⇔ cos x=± ⇔ x=kπ ( k ∈ Z ) y=1 cos2 x=0 ⇔cos x=0 π ⇔ x= +k π ( k ∈ Z ) ( cot x− y=cos √ x VD: Tìm GTLN GTNN Có y=cot x { y=2+3 cos x −1≤ cos x ≤1 ⇔−3 ≤3 cos x ≤ ⇔−1≤ 2+3 cos x ≤ max y=5 cos x=1 ⇔ x=k π ( k ∈ Z ) y=−1 cos x=−1 ⇔ x=π + k π ( k ∈ Z ) { ) Trang Nhắc lại: CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 VD: Xét tính chẵn lẻ y=x cos x Kí hiệu f ( x )=x cos x TXĐ: D=R LÊ ĐÌNH HUY – ĐT: 0937519957 x ∈ D⇒−x ∈ D f ( x ) hàm số chẵn ⇔ f (−x )=f (x) x ∈ D⇒−x ∈ D f ( x ) hàm số lẻ ⇔ f (−x )=−f ( x) { x ∈ D ⇒−x ∈ D f (−x )= (−x ) cos (−3 x )=−x cos x=−f ( x ) { Do hàm số lẻ CƠ BẢN ¿ sin ¿ x +cos x=1 sin x cos x ¿ tan x= ¿ cot x = ¿ tan x cot x=1 cos x sin x 1 6¿ =1+ tan x ¿ =1+ cot x cos x sin x ¿ sin ( x+ k π )=sin x ¿ cos ( x+ k π ) =cos x 10 ¿ tan ( x+ k π )=tan x 11 ¿ cot ( x +k π )=cot x 1¿−1 ≤sin x ; cos x ≤ CUNG LIÊN KẾT ĐỐI BÙ PHỤ sin (−α )=−sin α cos (−α )=cos α tan (−α )=−tan α cot (−α )=−cot α sin ( π −α )=sin α cos ( π−α ) =−cos α tan ( π−α ) =−tan α cot ( π−α )=−cot α ( π2 −α )=cos α cos( π2 −α )=sin α π π tan ( −α )=cot α cot ( −α )=tan α 2 (cos đối) (sin bù) (phụ chéo) sin π π π sin + α =cos α cos +α =−sin α 2 HƠN KÉM HƠN KÉM π ( ) ( ) π π tan ( +α )=−cot α cot ( +α )=−tan α 2 sin ( π + α )=−sin α cos ( π + α ) =−cos α tan ( π +α )=tan α cot ( π +α )=cot α (tan cot π ) (sin lớn cos nhỏ) CỘNG sin ( a ± b )=sin a cos b ± cos a sin b cos ( a ± b ) =cos a cos b ±sin a sin b (sin sin cos cos sin) tan ⁡( a ± b)= (cos cos cos sin sin dấu trừ) NHÂN ĐÔI tan a ± tan b 1−tan a tan b NHÂN BA (sin3a sin trừ sỉn) sin a=3sin a−4 sin a (cos3a cổ trừ cô) cos a=4 cos a−3 cos a tan a−tan a tan a= 1−3 tan a sin a=2 sin a cos a cos a=cos2 a−sin a=2 cos a−1=1−2 sin2 a tan a tan a= 1−tan a CÔNG THỨC HẠ BẬC 1−cos a sin a= 1+ cos a cos a= 2 sin a−sin a sin a= 3cos a+cos a cos3 a= sin4 x +cos x=¿ 1− sin2 x sin x+ cos6 x=1− sin 2 x TÍNH THEO t=tan TÍCH – TỔNG cos a cos b= [ cos ( a+b )+ cos ( a−b ) ] (cocsộ ngcộ ngcortsừ ) sin a= a 2t 1−t cos a= 1+t 1+t Trang CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 sin a sin b= [ cos ( a−b ) −cos ( a+ b ) ] (corstừ sin a cos b= [ sin ( a+b ) +sin ( a−b ) ] (snicộ rtừ LÊ ĐÌNH HUY – ĐT: 0937519957 coscn ộg) tan a= ngcộ ngsnirtừ) 2t 1−t TỔNG – TÍCH a+b a−b cos a+ cos b=2 cos cos 2 sin a+sin b=2 sin (cos cộng cos cos cos) (sin cộng sin sin cos) a+b a−b cos a−cos b=−2 sin sin 2 a+ b a−b sin 2 sin a−sin b=2cos (cos trừ cos trừ sin sin) tan a ± tanb= a+b a−b cos 2 (sin trừ sin cos sin) ( π4 ) π sin a−cos a=√ 2sin (α − ) sin ( a ± b ) cos a cos b sin a+cos a= √ sin α + (tình cộng với tình ta, sinh đứa ta) NHỚ 1± sin a= ( sin a ±cos a ) sin a cos a= sin a 2 1+cos a=2cos a 1−cos a=2 sin a PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN cos u=cos v ⇔ u=v +k π (k ∈ Z) u=−v +k π tan u=tan v ⇔u=v+ kπ (k ∈ Z ) [ (cos đối) sin u=sin v ⇔ [ u=πu=v+−vk+2kπ2 π (k ∈ Z ) (sin bù) cot u=cot v ⇔ u=v +kπ (k ∈ Z) ĐẶC BIỆT sin u=0 ⇔u=kπ π sin u=1 ⇔u= +k π −π sin u=−1 ⇔u= +k2 π π sin u=± ⇔ u= + kπ −cos ( … ) → cos ( π ±… ) −sin ( … ) →sin ( π +… ) sin (−… ) −tan ( … ) → tan (−… ) −cot ( … ) → cot (−… ) π VD: sin x= √ ⇔ sin x=sin π π x= + k π x= + k π 3 ⇔ ⇔ (k ∈ Z) π 2π x=π − +k π x= +k2 π 3 VD: cos ( x−2 )= x −2=arccos +k π ⇔ x−2=−arccos + k π [ [ [ π cos u=0 ⇔ u= +kπ cos u=1⇔ u=k π cos u=−1 ⇔u=π + k π cos u=±1 ⇔u=kπ ( π2 −…) π cos ( … ) → sin ( −… ) ( π2 −…) π cot ( … ) → tan ( −… ) sin ( … ) →cos tan ( … ) → cot VD: cos x−sin x=0 ⇔cos x=sin x π ⇔cos x=cos −2 x ( ) π x= −2 x +k π ⇔ −π x= +2 x +k π [ [ π k 2π + 10 (k ∈ Z ) ⇔ −π x= +k π x= Trang CÁC CHUN ĐỀ TỐN 11 LÊ ĐÌNH HUY – ĐT: 0937519957 ⇔ x=2 ± arccos +k π ( k ∈ Z ) PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIÊN asinu+bcosu=c Cách giải: Chia vế phương trình cho √ a2 +b2 , sau áp dụng cơng thức cộng VD: √ sin x +cos x=2 Chia vế pt cho √ ( √3 )2+ 12=2 π π π pt ⇔ √ sin x+ cos x=1⇔ cos sin x+sin cos x=1 ⇔sin + x =1 2 6 π π π ⇔ + x= + k π ⇔ x= +k π (k ∈ Z) ( ) PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Dạng asi n2 u+ bsinu cosu +c cos u=d Cách giải π Xét cos u=0 ⇔u= +kπ Thay cos u=0 vào pt (nhớ sin u=1 ) π Xét cos u ≠ ⇔u= + kπ Chia vế pt cho cos u , giải pt theo tan u Ghi  Có thể giải cách dùng công thức hạ bậc đưa dạng a sin 2u +b cos u=c VD: cos2 x+3 sin x cos x−sin x=3 π Xét cos x=0 ⇔ x= +k π pt ⇔−sin x=3 (vô lý) π Xét cos x ≠ ⇔ x ≠ + k π pt ⇔ 4+3 tan x−tan x = cos x ⇔ 4+3 tan x−tan x=3 ( 1+tan x ) ⇔−4 tan x+ tan x+1=0 tan x=1 ⇔ −1 tan x= [ π x= +kπ ⇔ (k ∈ Z) −1 x=arctan + kπ [ ( ) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA sinu ± cosu VÀ s inu cosu Cách giải ( π4 ) Đặt t=sin u± cos u=√ 2sin u ± với t ∈ [− √2 ; √ ] t 2−1 p t ⇒ t=… ⇒ x=… ⇒ sin u cos u=± VD: sin x+ cos x+ sin x cos x +1=0 ( π4 ) Đặt t=sin x +cos x =√2 sin x+ với t ∈ [− √2 ; √ ] t 2−1 ⇒ sin x cos x= 2 t −1 pt ⇔ t + +1=0 ⇔2 t+ t −1+ 2=0 ⇔ t 2+ 2t +1=0 ⇔ t=−1 ( N ) π π −1 ⇔ √ sin x + =−1 ⇔sin x+ = 4 √2 π −π ⇔ sin x+ =sin 4 π −π x+ = +k π 4 ⇔ π −π x + =π − +k2 π 4 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) −π ⇔ x = +k π ( k ∈ Z ) x=π +k π [ ĐIỀU KIỆN Phương trình chứa tan u Phương trình chứa cot u Phương trình chứa tan u ; cot u Trang CÁC CHUN ĐỀ TỐN 11 π cos u ≠ ⇔u ≠ + kπ QUI TẮC NHÂN Sự vật có m cách Ứng với cách chọn ta có n cách chọn vật Khi đó, tất số cách chọn liên tiếp vật mn CHỈNH HỢP n vật, lấy k vật xếp thứ tự, số cách xếp là: Pn=n ! A kn= : tận ; 2; ; ; : tận ; 10 : tận 100 tận 00 ; 25 ; 50; 75 n Cn =C n=1 u ≠0 ⇔ u≠ kπ {cos sin u≠ sin u ≠0 ⇔ u≠ kπ C PHÉP ĐẾM QUI TẮC CỘNG Công việc chia làm trường hợp: - Trường hợp 1: có m cách - Trường hợp 2: có n cách Khi đó, tổng số cách thực m+ n HOÁN VỊ n vật xếp vào n chổ, số cách xếp là: NHỚ Số chia hết cho Số chia hết cho Số chia hết cho Số chia hết cho LÊ ĐÌNH HUY – ĐT: 0937519957 n −1 Cn =Cn =n VD: Trong lớp có 18 bạn nam, 12 bạn nữ Có cách chọn a Một bạn phụ trách quỹ lớp b Hai bạn, có nam nữ Giải: 18+12=30 a Có cách chọn b Chọn nam: 18 cách Chọn nữ: 12 cách Do có 18.12=216 cách VD: Có cách xếp bốn bạn A; B; C; D vào bốn ghế thành hàng ngang? Giải: P =4 !=24 Số cách xếp cách VD: Cho đường thẳng song song với đường thẳng khác song song với đồng thời cắt đường thẳng cho Hỏi có hình bình hành tạo nên 14 đường thẳng cho? Giải: Một hình bình hành tạo nên từ đường thẳng đường thẳng ban đầu đường thẳng n! ( n−k ) ! GIAI THỪA n !=1.2.3 … ( n−1 ) n Qui ước: !=1 Lưu ý: n !=( n−1 ) ! n ¿ ( n−2 ) ! ( n−1 ) n=… TỔ HỢP n vật, lấy k vật không xếp thứ tự, số cách xếp là: Cnk = n! k ! ( n−k ) ! Số chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho Số chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho Khi gặp tập số tự nhiên mà có liên quan số nên chia trường hợp k n−k Cn =C n k−1 k k Cn +C n=C n+1 VD: Có bơng hồng, bơng cúc, bơng lan Tìm số cách a Chọn từ b Chọn bơng hoa có đầy đủ loại c Chọn bơng có phải có cúc Giải: a Chọn từ 15 bơng, số cách C515=3003 b Có cách chọn bơng hồng Có cách chọn bơng cúc Có cách chọn bơng lan Do có 5.7 3=105 cách chọn bơng hoa có đầy đủ loại c TH1: bơng cúc Có C27 cách chọn bơng cúc từ bơng cúc Có C18 cách chọn bơng cịn lại từ bơng Trang LÊ ĐÌNH HUY – ĐT: 0937519957 đường thẳng lại Do có C7 C8 =168 cách Chọn đường từ đường ban đầu có C6 cách TH2: cúc Chọn đường từ đường cịn lại có C8 cách Có C37 =35 cách chọn bơng cúc Do đó, số hình bình hành C26 C28 =420 Vậy có tất 168+35=203 cách chọn bơng có bơng cúc CÁC CHUN ĐỀ TỐN 11 VD: Từ số 0; 1; 2; 3; 4; lập số tự nhiên có chữ số a Khác b Là số lẻ c Là số chẵn d Là số chia hết cho Giải: ´ Gọi abcd số tự nhiên thỏa đề ( a ≠ ) a Chọn a : cách Chọn b ; c ; d : A 35 cách Do có A 35=300 số b Chọn d : cách Chọn a : cách Chọn c ; d : A24 cách Do có 3.4 A 24 =144 số c TH1: d Chọn d : cách Chọn a : cách Chọn b ; c : A 24 cách Do có 1.5 A 24=60 số TH2: d 2; Chọn d : cách Chọn a : cách Chọn b ; c : A 24 cách Do có 2.4 A 24 =96 số Vậy có 60+96=156 số d TH1: d Chọn d : cách Chọn a : cách Chọn b ; c : A 24 cách Do có 1.5 A 24=60 số TH2: d Chọn d : cách Chọn a : cách Chọn b ; c : A 24 cách Do có 1.4 A 24 =48 số Vậy có 60+ 48=108 số VD: Tìm x biết C x +C x +C x = x Giải: x ∈N x ≥1 x∈N Điều kiện: x ≥2 ⇔ x ≥ x ≥3 x! x! x! ⇔ + + = x 1! ( x−1 ) ! 2! ( x−2 ) ! ! ( x−3 ) ! x ( x−1 ) x ( x −1 )( x−2 ) ⇔ x+ + = x 2 x−1 x −3 x+ ⇔1+ + = 2 ( ) ⇔ 6+ x−1 + x −3 x +2=21 ⇔ x −16=0 ⇔ x=4( N ) x =−4 ( L) Vậy x=4 VD: Tìm x biết A 2x +50= A 22 x { { [ Giải: x ∈N x∈N x ≥2 ⇔ Điều kiện: x ≥2 2x≥2 x! x! pt ⇔2 +50= ( x−2 ) ! ( x−2 ) ! ⇔2 x ( x−1 ) +50=2 x ( x −1 ) 2 ⇔2 x −2 x +50=4 x −2 x ⇔−2 x2 +50=0 ⇔ x=5 ( N ) x=−5( L) Vậy x=5 { { [ Trang CÁC CHUN ĐỀ TỐN 11 LÊ ĐÌNH HUY – ĐT: 0937519957 D NHỊ THỨC NEWTON NHỊ THỨC NEWTON n n ( a+b ) =∑ C kn an−k bk =C0n a n+C 1n an−1 b+C 2n a n−2 b 2+ …+C nn b n NHỚ ( 1+ x )n=C 0n+C 1n x+C 2n x2 +…+ Cnn x n n n n n n n n n n Cn +C n +C n+ …+C n=2 n ( 1−x ) =C −C x +C x −…+ (−1 ) C x VD: Khai triển ( x−a )5 ( x−a )5 =[ x+ (−a ) ] =C 05 x5 +C 15 x (−a ) +C25 x (−a )2+ C35 x (−a )3+ C45 x (−a )4 + C55 (−a )5 2 ¿ x −5 x a+10 x a −10 x a +5 x a −a 12 VD: Tm ìsố hạ ngkhơncghứax ortngkhirtaiể nca ủ x− x ( ) Giải: 12 ) k 12 12 12−k 12−k k k 12−k k x k 12−k k 12−3 k x− =∑ C12 ( x ) = C =∑ C12 x ∑ 12 2k x x x k =0 k=0 k=0 Ycbt ⇒12−3 k =0 ⇔ k=4 Số hạng không chứa x C124 12−4 24 =51963120 VD: Chứng minh C0n +5 C 1n +52 C 2n +…+5 n C nn=6 n ( 12 ( ) Giải: n n n n n n n n n n Ta có: ( 1+ x ) =C +C x+C x +…+ C x Thay x=5 ⇒ C 0n+ 5C 1n +52 C +…+5 n C =6 n E XÁC SUẤT XÁC SUẤT P ( A )= n(A) n (Ω) Lưu ý: ≤ P ( A ) ≤ P ( A )=1−P ( A´ ) VD: Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp chứa 20 thẻ đánh số từ đến 20 Tính xác suất để thẻ lấy ghi số a Chẵn b Chia hết cho c Lẻ chia hết cho Giải: Không gian mẫu Ω= {1 ; ; … ; 20 } ⇒ n ( Ω )=20 Kí hiệu A ; B ; C biến cố câu a; b; c n ( A ) 10 = = n ( Ω) 20 n (B ) b B={ ; ; ; 12; 15 ; 18 } ⇒n ( B )=6 ⇒ P ( B )= = = n ( Ω ) 20 10 n (C ) c C= {3 ; ; 15 } ⇒n ( C )=3 ⇒ P ( C )= = n ( Ω) 20 a A= {2 ; ; ; … ; 20 } ⇒ n ( A )=10 ⇒ P ( A ) = Trang CÁC CHUN ĐỀ TỐN 11 LÊ ĐÌNH HUY – ĐT: 0937519957 F PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC Có nhiều cách để chứng minh biểu thức P(n) Một cách qui nạp tốn học: Kiểm tra với n=1: P(1) hay không Giả sử với n=k :P (k ) Với n=k +1 , ta chứng minh P(k +1) VD: Chứng minh 1.2+2.5+3.8+… n ( n−1 )=n2 ( n+1 ) với n ∈ N ¿ với Giải: Với n=1 : VT=1.2=2 ;VP=1 ( 1+1 )=2⇒ VT =VP Với n=k : Đặt VT=S k Giả sử S k =1.2+2.5+ 3.8+ … k ( k−1 )=k ( k +1 ) Với n=k +1 : Ta chứng minh S k+ 1=( k +1 )2 ( k +2 ) Thật vậy, S k+ 1=S k + ( k +1 ) [ ( k +1 )−1 ]=k ( k +1 ) + ( k +1 )( k +2 ) ¿ ( k +1 ) ( k +3 k +2 )=( k +1 ) (k +2) Vậy hệ thức với n ∈ N ¿ G DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN DÃY SỐ Dãy số ( un ) hàm số từ N ¿ đến R Có cách xác định dãy số: cho số hạng tổng quát; mô tả; cho hệ thức truy hồi DÃY SỐ TĂNG – DÃY SỐ GIẢM ( un ) dãy số tăng ⇔ u n+1−un > , ∀ n ∈ N ¿ ( un ) dãy số tăng ⇔ u n+1−un < , ∀ n ∈ N ¿ Khi u n> , ta dùng VD:X níăhtnégtiả, u n+1 >1 , ∀ n∈ N ¿ un mcủ daãysố Khi u n> , ta dùng chobiởun= u n+1 ¿ 0 ( −1 ) ( 2n +1 ) ( 2n +1−1 ) ( 2n +1 ) n+1 n un+ 1−un= ⇒ un +1> un Vậy ( un ) dãy số tăng DÃY SỐ BỊ CHẶN  ( un ) bị chặn ⇔ ∃ M :un m , ∀ n ∈ N ¿  ( un ) bị chặn CÁC CHUN ĐỀ TỐN 11 0937519957 Trang 10 LÊ ĐÌNH HUY – ĐT: ¿ ( un ) bị chặn ⇔ (un ) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn ⇔ ∃ M :|un|< M , ∀ n∈ N  VD:Chứ ngmnihdãysố chobởiun= bị n −6 n+ 11 chn ặ Giải: n2−6 n+11= ( n−3 )2 +2 ≥ 2⇒ 0< 1 ≤ ⇒ 00 −¿ x−1 x → ( x−3 )=0 x → 3−¿ =−∞ x −3 ¿ (do ) −¿ ⇒x