Tài liệu Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 6 docx

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 _____________________________________________________ __________ Câu I. Cho hàm số y= x+mx-1 2 x 1 . 1) Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng (-Ơ ; 1), (1; +Ơ). 2) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đơn vị diện tích). 3)Tìmmđểđỷờng thẳngy=mcắtđồthịhàmsốtại2điểm A, B với OA OB. 4) Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ỷỏngvớim=1. Câu II. 1) Chỷỏng minh rằng nếu 0 < x Ê y Ê z, thì ta có : y( 1 x + 1 z )+ 1 y (x + z) Ê ( 1 x + 1 z )(x + z) . 2) Chỷỏng minh rằng với a, b là 2 số không âm, ta luôn luôn có 379 33 2 ab ab+ . Câu III. Chỷỏng minh rằng với mọi tam giác có 3 cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện ab c 222 + , ta luôn có 0,4 < r h < 0,5, trong đó r là bán kính đỷờng tròn nội tiếp, h là độ dài đỷờng cao hạ xuống cạnh c. Câu I.1)Tacóy= x-2x-m+1 (x - 1) 2 2 (x ạ 1). Ta phải tìm m sao cho y 0 trong cả 2 khoảng (- Ơ ;1)và (1; +Ơ) x 2 -2x-m+1 0 =mÊ 0 vì hệ số của x 2 bằng 1. 2) Phỷơng trình tiệm cận xiên lày=x+m+1.GọiPvàQlàgiao điểm của đỷờng tiệm cận xiên với trục hoành và trục tung. Ta có: y p =0 x p =-m-1; x Q =0 y Q =m+1. S= 1 2 |OP| . |OQ| = 8 OPQ |-m-1|.|m+1|=16 (m+1) 2 =16 m 1 =3hoặc m 2 = -5. 3) Để đỷờng thẳngy=mcắtđồthịhàmsốtại2điểm phân biệt A và B thì phỷơng trình: x+mx-1 x-1 2 =mphải có 2 nghiệm phân biệt ạ 1 x 2 =1-mcó 2 nghiệm phân biệt ạ 1 0 ạ m<1.(1) Khi đó x 1,2 = 1- m . OA OB tích hệ số góc của 2 đ ờng thẳng OA và OB bằng -1 m x . m x 12 =-1 m m-1 2 =-1 m 1,2 = -1 5 2 . Cả 2 nghiệm đều thỏa mãn (1). 4) Bạn hãy tự giải nhé! Câu II.1)ĐặtA= y 1 x + 1 z + 1 y (x + z) - 1 x + 1 z (x + z). Ta phải chứng minh A Ê 0. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Ta có A=(x+z) y xz + 1 y - 1 x - 1 z =(x+z) y + xz - yz - xy xyz 2 = (x + z)(x - y)(z - y) xyz Ê 0 vì 0<xÊ y Ê z. 2) Biến đổi vế phải bất đẳng thức cần chứng minh và áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số 0 ta có: 3a 3 +7b 3 =3a 3 +3b 3 +4b 3 3 3a . 3b . 4b 3 333 = 3ab 3 3 . 4 9ab 22 2 . Câu III. Gọi S là diện tích tam giác, ta có S= 1 2 (a + b + c)r = 1 2 ch ị r h = c a+b+c . Vìa+b>cnên r h < c c+c = 0,5. Ta luôn có a 2 +b 2 2ab ị 2c 2 2a 2 +2b 2 a 2 +b 2 + 2ab=(a+b) 2 ị c 2 a+bị r h c c2+c = 1 2+1 =2-1 > 0,4. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________ Câu IVa. 1) Ta có 33 2 3 3x 1 A B A B(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) +++ =+ = +++ + 3x + 1 = Bx + A + B B3 AB1 = += A2 B3 = = 2) Tìm nguyên hàm của 3 3x 1 y (x 1) + = + : 332 3x 1 2dx 3dx dx (x 1) (x 1) (x 1) + =+= +++ 32 2(x 1) dx 3(x 1) dx = + + + = 31 21 11 2. (x 1) 3. (x 1) C 31 21 + + = + + + + + + = 21 (x 1) 3(x 1) C +++ . Vậy nguyên hàm của 3 3x 1 y (x 1) + = + là 2 13 F(x) C x1 (x 1) =+ + + Câu Va. 1) Gọi 1 BB là đờng cao có phơng trình : 9x 3y 4 = 0 1 CC là đờng cao có phơng trình : x + y 2 = 0 Lập phơng trình đờng thẳng AC : đó là đờng thẳng qua A và vuông góc với 1 BB ; vì hệ số góc của đờng thẳng 1 BB là k = 3 hệ số góc của đờng thẳng AC là k = 1 3 Phơng trình cạnh AC là y 2 = 1 (x 2) 3 tức là 3y + x 8 = 0. Lập phơng trình đờng thẳng AB : đó là đờng thẳng qua A và vuông góc với 1 CC ; hệ số góc của đờng thẳng 1 CC là 1 hệ số góc của đờng thẳng AB là 1 Phơng trình cạnh AB là y 2 = x 2 y = x. Lập phơng trình cạnh BC : Giải hệ x3y80 xy20 += += ta đợc tọa độ điểm C (1, 3) ; Giải hệ yx0 9x 3y 4 0 = = ta đợc tọa độ điểm 22 B, 33 Phơng trình cạnh BC là www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________ 22 yx 33 22 31 33 = 7x + 5y 8 = 0 2) Giả sử hệ số góc của đờng thẳng cần tìm là 1 k , hệ số góc của đờng thẳng AC là AC 2 1 kk 3 = = , Vì góc giữa các đờng thẳng này là /4 nên 1 12 1 12 1 k kk 3 tg 1 k 41kk 1 3 + === + Vậy 1 1 1 k 3 1 k 1 3 + = và 1 1 1 k 3 1 k 1 3 + = . Giải ra ta đợc : 1 k = 1 2 và 1 k = 2. Vậy một trong những đờng thẳng cần tìm có dạng y 2 = 1 (x 2) 2 2y x 2 = 0 , còn đờng thẳng kia là y 2 = 2(x 2) 2x + y 6 = 0. Câu IVb. 1) Từ AM = AN = AP suy ra SM = SN = SP, vậy SMP và SNP là hai tam giác cân có cùng cạnh bên. Diện tích của chúng bằng nhau, vậyMP = NP. Từ kết quả này suy ra các tam giác AMP và ANP bằng nhau, do đó AP là phân giác góc A, mà ABC là tam giác cân, vậy AP cũng là đờng cao và trung tuyến của tam giác đó, thành thử P là trung điểm của BC. 2) ABP là tam giác vuông, vậy AM = AP = AB cos acos 22 = , dt(AMPN) = 2 dt(AMP) 22 AM.APsin a cos sin 222 == , thành thử 22 SAMPN 1 Vhacossin 322 = . 3) (SAP) là mặt phẳng đối xứng của hình chóp S.AMPN, vậy nếu I là một điểm thuộc (SAP) thì khoảng cách từ I đến (SAM) và (SAN) là bằng nhau, khoảng cách từ I đến (SMP) và (SNP) là bằng nhau. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________ Xét giao tuyến của các mặt phẳng phân giác các góc nhị diện (A, SM, P) và (S, AM, P). Hiển nhiên không song song với (SAP), do đó cắt (SAP) tại I. Điểm I cách đều các mặt phẳng (SAM), (SPM) và (AMP), vậy cách đều tất cả các mặt của hình chóp S.AMPN, tức là I là tâm hình cầu nội tiếp hình chóp ấy. Bán kính r hình cầu này có thể tính đợc theo công thức 1 VSr 3 = , trong đó V, S lần lợt là thể tích và diện tích toàn phần hình chóp S.AMPN. Ta có dt(SAM) = 1 2 AM . SA = 1 ha cos 22 . Để tính diện tích tam giác cân SMP, gọi H là trung điểm của MP. Vì MP là đáy của tam giác cân AMP, nên MH AMsin asin cos 442 == , AH AM.cos acos cos 442 == , 222222 SH SA AH h a cos cos 42 =+=+ Vậy dt (SMP) = MH . SH = 222 2 asin cos h a cos cos 42 4 2 =+ , và ta đợc S = 2dt(SAM) + 2dt(SMP) + 2dt(AMP) 222 2 2asin cos h a cos cos 42 4 2 =+ + + 22 ahcos a cos sin 222 + . Câu IVa. 1) Xác định các hằng số A, B sao cho 3x + 1 (x + 1 ) = A (x + 1 ) + B (x + 1 ) 332 . 2) Dỷồa vào kết quả trên, tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x + 1 (x + 1) 3 . Câu Va. Cho tam giác ABC đỉnh A(2, 2). 1) Lập phỷơng trình các cạnh của tam giác, biết rằng 9x - 3y-4=0,x+y-2=0lầnlỷỳồt là phỷơng trình các đỷờng cao kẻ từ B và C. 2) Lập phỷơng trình đỷờng thẳng đi qua A và lập với đỷờng thẳng AC một góc bằng 4 . Câu IVb. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, và BAC = a. Biết rằng cạnh SA = h của hình chóp vuông góc với đáy, và biết rằng tồn tại ba điểm M, N, P theo thỷỏ tỷồ thuộc các cạnh AB, AC, BC sao cho AM = AN = AP, và các tam giác SMP, SNP có diện tích bằng nhau. 1) Chỷỏng tỏ rằng P là trung điểm cạnh BC. 2) Tính thể tích hình chóp S.AMPN. 3) Chỷỏng tỏ rằng tồn tại một hình cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.AMPN và xác định bán kính r của hình cầu ấy. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 _______________________________________________________________ . 3dx dx (x 1) (x 1) (x 1) + =+= +++ 32 2(x 1) dx 3(x 1) dx = + + + = 31 21 11 2. (x 1) 3. (x 1) C 31 21 + + = + + + + + + = 21 (x 1) 3(x 1) C +++ nhị diện (A, SM, P) và (S, AM, P). Hiển nhiên không song song với (SAP), do đó cắt (SAP) tại I. Điểm I cách đều các mặt phẳng (SAM), (SPM) và (AMP), vậy