Xét tính liên tục của hàm số trên một tập Phương pháp:Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta[r]
3 HÀM SỐ LIÊN TỤC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I – HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa Cho hàm số xác định khoảng Hàm số gọi liên tục II – HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa Hàm số gọi liên tục khoảng liên tục điểm khoảng Hàm số gọi liên tục đoạn liên tục khoảng Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục khoảng đường liền khoảng Hàm số liên tục khoảng Hàm số không liên tục khoảng III – MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Định lí a) Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực b) Hàm số phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Định lí Giả sử hai hàm số liên tục điểm Khi đó: a) Các hàm số , liên tục ; b) Hàm số liên tục Định lí Nếu hàm số liên tục đoạn tồn điểm cho Định lí phát biểu theo dạng khác sau: Nếu hàm số liên tục đoạn phương trình có nghiệm nằm khoảng B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Vấn đề Xét tính liên tục hàm số điểm Phương pháp: Tìm giới hạn hàm số tính Nếu tồn ta so sánh với Chú ý Nếu hàm số liên tục trước hết hàm số phải xác định điểm Hàm số liên tục Hàm số liên tục điểm Chú ý Hàm số liên tục Hàm số liên tục ví dụ minh họa Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau x 3 x 27 x 3 f x x x 10 x 3 Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau điểm x x f x 2x x 1 x 3 x2 x x f(x) x 1 x 1 x2 x 1 f(x) x 1 x 1 2 điểm Ví dụ Tìm a để hàm số sau liên tục x 2 x4 5x2 x f x x3 x 2 ax x 1i Bài tập tự luận tự luyện Bài Xét tính liên tục hàm số y f(x) điểm x x 4 f(x) x 1 x 4 x 4 4x x 2 f x x a x 2 x 3x x f(x) x x 1 3x x x 1 x x 1 cos f x x x x 1 x Bài Chọn giá trị f(0) để hàm số sau liên tục điểm x 0 f(x) 2x x(x 1) f(x) 2x 3x 2 Bài Xét tính liên tục hàm số sau điểm x x x f(x) x 2x x x x 1 x x 0 f(x) x 2 x 0 x0 0 3 x x 1 f(x) x 1 x 1 x 1 x2 x 2x x f(x) x x 2 x 2 x x Bài Tìm a để hàm số sau liên tục điểm x 2a x f x x x x 0 x 0 4x x 0 f(x) ax2 (2a 1)x x 0 3 x 0 3x x x2 f(x) a(x2 2) x 1 x 3 x 1 Vấn đề Xét tính liên tục hàm số tập Phương pháp:Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … Nếu hàm số cho dạng nhiều cơng thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng ví dụ minh họa Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau toàn trục số: x 2 f(x) x 3x f(x) tan 2x cos x a2 x x f x x a x x 2 liên tục ¡ 1i Bài tập tự luận tự luyện Bài Xác định tính liên tục hàm số sau ¡ x2 f(x) 2 x x f(x) 3x f(x) 2 sin x tan 2x Ví dụ Xác định a để hàm số Bài Xét tính liên tục hàm số sau ¡ x2 5x x f x 2x 16 x x 2 3 x x f(x) x 3 1 x x 1 x 2 Bài Xét tính liên tục hàm số sau ¡ x 3x 2x x 1 x 0 f x x f x x x 0 a x 1 2x x 0 2x2 x x 1 f(x) (x 1)3 x f(x) x x x 3x Bài Xác định a, b để hàm số sau liên tục ¡ x3 3x2 2x x(x 2) 0 x(x 2) f(x) a x 2 sin x x f x b x 0 ax b x 2 m ¡ Bài Tìm để hàm số sau liên tục x 2x x 1 f(x) x 3m x 1 x 1 x f(x) x 2x 3m x 0 2x x 2 f(x) x 1 x x 2mx 3m Vấn đề Chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp : Để chứng minh phương trình có nghiệm D, ta chứng minh hàm số liên tục D có hai số cho Để chứng minh phương trình có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số liên tục D tồn k khoảng rời (i=1,2,…,k) nằm D cho ví dụ minh họa Ví dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm x 3x 0 x 2x 4 3 2x Ví dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm : x 3x 0 Ví dụ 2 x sin x x cos x 0 x 2x 15x 14x 3x x có nghiệm phân biệt 1i Bài tập tự luận tự luyện Bài Chứng minh phương trình sau có ba nghiệm phân biệt 3 x 3x 0 2x x 3 Bài Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị m, n 1 m m x 1 x 2x 0 cos x sin x m x a x c n x b x d 0 ( a b c d ) Bài Cho m a, b,c ba số thực thoả mãn a b c 0 m m 1 m Chứng minh phương trình ax bx c 0 ln có nghiệm Bài Chứng minh phương trình : 1;1 x x 3x x 0 có nghiệm thuộc khoảng 2; x 5x 4x 0 có năm nghiệm thuộc khoảng a x b x c b x c x a c x a x b 0 ; a, b,c có hai nghiệm phân biệt (1 m )x 3x 0 ln có nghiệm với m m (x 2) m(x 1) (x 2) 3x 0 có nghiệm với m a b c 0 m n p Bài Cho số thực dương m,n,p thỏa mãn: n m; mp n Chứng minh phương trình : f(x) ax bx c 0 có nghiệm Bài f : 0;1 0;1 c 0;1 f c c Cho hàm số liên tục.Chứng minh tồn số thực cho f(x) lim L f :[0;+) [0;+) Cho hàm số liên tục x x Chứng minh tồn số c 0 cho f(c) c Tìm tất hàm số f : ¡ ¡ liên tục x 0 thỏa: f(3x) f(x) f : 0;1 0;1 0;1 Cho hàm số liên tục thỏa f(0) f(1) f(x) f(x ) 0 0;1 n Chứng minh với số tự nhiên n phương trình ln có nghiệm thuộc đoạn Bài x ; x ; ; x n a; b Cho hàm số f liên tục đoạn [a ;b] n điểm Chứng minh tồn điểm c a; b nf(c) f(x1 ) f(x ) f(x n ) cho 2 Chứng minh tồn số cho cos tan 1 1ii Bài tập trắc nghiệm tự luyện Câu Cho hàm số Vấn đề XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ f ( x) = 3- x + Câu Hàm số x + liên tục trên: A [- 4;3] B [- 4;3) C ( - 4;3] D [- ¥ ;- 4] È [ 3;+¥ ) Câu Hàm số [- 1;1.] A f ( x) = ổ3 ỗ - ;+Ơ ỗ ỗ C ố ữ ữ ÷ ø D ¡ với x - 3x + / Tính f ( 1) x- với x = A f ( x) = xác định liên tục ¡ B Câu Cho hàm số x3 + x cos x + sin x 2sin x + liên tục trên: [1;5] B f ( x) = f ( x) C f ( x) D - xác định liên tục [- 3;3] với x + - 3- x f ( 0) x với x ¹ Tính A 3 B C D Câu Cho hàm số f ( x) = với f ( x) xác định liên tục ( - 4; +¥ ) C m Ỵ [- 1; ) x + - với x ¹ Tính f ( 0) B C lim Câu D Vấn đề HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Câu Tìm giá trị thực tham số m để hàm số ìï x - x - ï x ¹ f ( x) = ïí x - ïï x = ïïỵ m liên tục x = 2 A m = B m = C m = D m = Câu Tìm giá trị thực tham số m để hàm số ìï x3 - x2 + 2x - ï x ¹ f ( x) = ïí x- ïï x = ïïỵ 3x + m liên tục x = A m = B m = C m = D m = 11 Biết ìï x - ïï x ¹ y = f ( x) = í x - ïï x = ïïỵ k +1 liên tục x = 1 k= A B k = C k =- D k = ìï 3- x ï x ¹ f ( x) = ïí x +1- ïï x = ïïỵ m Câu Biết hàm số liên tục x = (với m tham số) Khẳng định đúng? m Ỵ ( - 3; 0) m Ỵ [ 0;5) B m Ê - D m ẻ [ 5; +Ơ ) Câu 10 Tìm giá trị thực tham số m để hàm số ìï ïï x sin x ¹ f ( x) = í x ïï m x = ïỵ liên tục x = A m Ỵ ( - 2; - 1) B m £ - x®0 sin x = x Hàm số ìï tan x ï x ¹ f ( x) = ïí x ïï x = ïỵ liên tục trờn khong no sau õy? ổ pữ ỗ ç0; ÷ ÷ ç A è 2ø ỉ pư ç ữ ỗ- Ơ ; ữ ữ ỗ 4ứ B ố ổ p pữ ỗ - ; ữ ỗ ữ ỗ C ố 4ứ D lim xđ Câu 12 Biết ( - ¥ ;+¥ ) sin x = x Tìm giá trị thực tham số m ìï sin px ï x ¹ f ( x) = ïí x - ïï x = ïỵ m để hàm số liên tục x = A m =- p B m = p Câu Tìm giá trị thực tham số k để hàm số C m Ỵ [ 7; +¥ ) x A A D Câu 13 Biết lim x® C m = - D m = sin x = x Tìm giá trị thực tham số m ìï 1+ cos x ïï x ¹ p f ( x) = ïí ( x - p) ïï ïïỵ m x = p để hàm số liên tục x = p p m= A B m =- p m= C D m =- ìï x = - ïï ï x4 + x f ( x) = ïí x ¹ - 1, x ¹ ïï x + x ïï x = ïïỵ Câu 14 Hàm số liên tục tại: A điểm trừ x = 0, x = B điểm x Ỵ ¡ C điểm trừ x =- Câu 15 Số ìï 0,5 ïï ïï x( x +1) f ( x) = ïí ïï x - ïï ïïỵ điểm D điểm trừ x = gián đoạn x = - x ¹ - 1, x ¹ x = là: hàm số A B C D Câu 21 Tìm giá trị nhỏ Vấn đề HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Câu 16 Có giá trị thực tham số m để hàm số ìï m2 x2 x £ f ( x) = ïí ïï ( 1- m) x x > ỵ liên tục ¡ ? A B C để hàm số ìï x2 - 5x + ïï x > f ( x) = ïí 4x - - x ïï ïïỵ 1- a2 x x £ liên tục x = - A 2 B C - D Câu 22 Tìm giá trị lớn D a a để hàm số ìï 3x + - ïï x > ìï x x Ỵ [ 0;4] ï x- f ( x) = ïí f ( x) = ïí ïï 1+ m x Ỵ ( 4;6] ïï ỵ Câu 17 Biết hàm số tục ïï a x + x £ ïỵ liên tục x = 0;6] [ Khẳng định sau đúng? A amax = B amax = A m< B £ m< C < m< D m³ Câu 18 Có giá trị tham số a để hàm số Câu ìï x2 - 3x + ïï x ¹ x- f ( x) = ïí ïï ïïỵ a x = liên tục ¡ A B C D A [ 0;1] (với a tham số) Khẳng định giá đoạn trị a đúng? B a số vô tỉ C a> D a< B C D C Xét tính liên tục Câu f ( x) không liên tục ¡ f ( x) ( 0;2) không liên tục f ( x) gián đoạn x = f ( x) liên tục ¡ Xét tính liên tục hàm hàm f ( x) số f ( x) liên tục x = liên tục ( - ¥ ;1) f ( x) không liên tục ¡ f ( x) gián đoạn x = 24 Tìm khoảng liên tục hàm ìï ïï cos px x £ f ( x) = í ïï x x > ï số ïỵ Mệnh đề sau sai? ìï x - ïï x < f ( x) = í 2- x - ïï x ³ ïïỵ - 2x Khẳng định đúng? A B D A a số nguyên 20 23 D amax = ìï 1- cos x x £ f ( x) = ïí ïï x +1 x > î Khẳng định sau đúng? ìï x2 - ïï x ¹ f ( x) = í x - ïï ïïỵ a x = Câu 19 Biết liên tục Câu C amax = A Hàm số liên tục x =- B Hàm số liên tục khoảng ( - ¥ ,- 1) ; ( 1;+¥ ) C Hàm số liên tục x = D Hàm số liên tục khoảng ( - 1,1) số f ( x) Câu 25 Hàm số có đồ thị hình bên khơng liên tục điểm có hồnh độ bao nhiêu? Câu 29 Tính tổng S gồm tất giá trị m để hàm số y x A x = O A S = - B x = D x = ìï x2 ïï ïï x ï f ( x) = ïí ïï ïï x ïï ïỵ Câu 26 Cho hàm số f ( x) B S = C S = D S = ìï - x cos x x < ïï ï x2 f ( x) = ïí £ x liên tục x = f ( x) x < 1, x ¹ x = x ³ Hàm liên tục tại: liên tục tại: A điểm thuộc x Î ¡ B điểm trừ x = C điểm trừ x = D điểm trừ x = 0; x = Vấn đề SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH A điểm thuộc ¡ B điểm trừ x = TRÊN MỘT KHOẢNG C điểm trừ x = Câu 31 Cho hàm số sai? D điểm trừ x = x = f ( x) = - 4x3 + 4x - Mệnh đề sau A Hàm số cho liên tục ¡ ìï x2 - ïï x < 3, x ¹ ïï x - f ( x) = ï B Phương trình khơng có nghiệm khoảng f ( x) = ïí x = ïï ( - ¥ ;1) ïï x +1 x ³ ïï ïỵ Câu 27 Cho hàm số Hàm f ( x) = ( - 2;0) C Phương trình có nghiệm khoảng f ( x) số liên tục tại: f ( x) = D Phương trình có hai nghiệm khoảng A điểm thuộc ¡ B im tr x = ổ 1ử ỗ - 3; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố x = 2ứ C điểm trừ D điểm trừ x = x = Câu 28 Số điểm gián đoạn x < ïìï 2x ïï h( x) = í x +1 £ x £ ïï ïïỵ 3x - x > là: A B C hàm số Câu 32 Cho phương trình 2x - 5x + x +1= Mệnh đề sau đúng? A Phương trình khơng có nghiệm khoảng B Phương trình khơng có nghiệm khoảng D ( - 1;1) ( - 2;0) C Phương trình có nghiệm khoảng ( - 2;1) D Phương trình có hai nghiệm khoảng ( 0;2) Câu 33 Cho hàm số phương trình A f ( x) = f ( 4) = Số nghiệm ¡ là: B Câu 34 Cho hàm số f ( - 1) = f (x) = x3 - 3x - C f ( x) D A Vơ nghiệm B Có nghiệm C Có nghiệm D Có hai nghiệm Câu 35 Có tất giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng ( - 10;10) để Có thể nói số nghiệm phương x1, x2, x3 thỏa mãn x1