Thí sinh làm bài cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận ra tờ giấy thi.. Cho biểu thức.[r]
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày 21-12-2017 (Đề thi có 03 trang) Thí sinh làm (cả phần trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Câu Biểu thức x x x x có nghĩa nào? 1 x x x 2 hoặc x D A B x C Q x 2 Câu Cho biểu thức Tìm giá trị nhỏ nhất của Q biết x 0 B A Câu Cho A x 2 A C D x 6 x Tìm số các giá trị hữu tỉ của x để biểu thức A nguyên B c D 10 Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y m x Gọi h là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng (d) Tìm giá trị lớn nhất của h A B C D Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A 2; ; B 2; ; C 5;1 Tính diện tích tam giác ABC A 20,5 B 21,5 C 22 D 18 d : x y 6 Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng ; d : y x ; d3 : 2m 3 x 3my 0 Tìm m để ba đường thẳng đã cho đồng quy 1 2 A B C D x ( m 1) y 2 Câu Cho hệ phương trình ( m 1) x y m Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nhất (x,y) thỏa mãn điều kiện (x> y) m 1 A m B.0 < m < C m 1 D m >1 (2m 1) x y 2m m x y m 3m Câu Cho hệ phương trình : m z , m Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nguyên 3; 4;0; m 4; 2;0; A m B C m 4; 3; 2; D m 1; 0;1; Câu Hệ phương trình sau vơ nghiệm ? x y 5 x y 5 1 x y 3 x y 3 A B C x y 5 x y x y 5 x y 3 D Câu 10: Một tam giác vng có tỉ số hai cạnh góc vng , tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh góc vng cạnh huyền là: A 16 B 81 C 9 D Câu 11: Cho tam giác ABC vuông A có AC = 21cm, cosC = Khi tanB = 21 35 A B C 35 D 21 Câu 12: Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cạnh a là: a A a B a C a D Câu 13: Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD song song với nhau, biết AB = 3cm; CD = 4cm, khoảng cách hai dây là 3,5cm Bán kính đường tròn (O) là: A 1,5cm B 2cm C 2,5cm D 3cm Câu 14 Tam giác cân A, đường cao AD, trực tâm H Biết AH = 14cm, HB= HC= 30cm, Độ dài AD là A.32cm và 11cm B.30cm và 12cm C.35cm và 14cm D.32cm và10cm Câu 15 Tam giác ABC có chu vi 80cm ngoại tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến của đường tròn (O) song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự M,N, Biết MN= 9,6cm độ dài BC là A 28cm và 12cm B 26cm và 15cm C 25cm và 15cm D 24cm và 16cm Câu 16 Một ngày đầu năm 2002, Huy viết thư hỏi ngày sinh của Long và nhận thư trả lời : Mình sinh ngày a, tháng b, năm 1900 + c và đến d tuổi Biết a.b.c.d = 59007 Huy đã tính ngày sinh của Long và kịp viết thư chúc mừng sinh nhật bạn Hỏi Long sinh ngày tháng năm nào A 17-3-1989 B, 17- – 1990 C 20-3-1989 D 18-2- 1990 B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3,0 điểm) a b.2017 a) Tìm các số nguyên dương b, c thỏa mãn b c.2017 là số hữu tỉ và b2 +c2 + bc là số nguyên tố (a là số nguyên ) 2017 2017 2018 2018 2019 2019 b) Cho a b a b a b Tính a + b Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình x 3 x 1 2 x xy y 3x 0 b) Giải hệ phương trình xy y y 0 Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, điểm K nằm ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm ) Kẻ đường kính AOC Tiếp tuyến của đường tròn (O) C cắt AB E Chứng minh a) Các tam giác KBC và OBE đồng dạng b) CK vng góc với OE Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a Ba đường cao tướng ứng là h a, hb,,hc (a b c) 4 2 Chứng minh hb hc Câu (1,5 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc + a +c = b Tìm giá trị lớn nhất 2 P 2 a b c2 của biểu thức sau .HẾT Họ tên thí sinh: SBD: Cán coi thi khơng giải thích thêm KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Hướng dẫn chấm có 06 trang I Một số ý chấm bài - Đáp án chấm thi dưới dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án - Điểm bài thi là tổng điểm các câu khơng làm trịn số II Đáp án – thang điểm Phần trắc nghiệm khách quan Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án D B A D C C A B A B A D C A D A Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Phần tự luận Nội dung Điểm Câu (3,0 điểm) a) a b.2017 Tìm các số nguyên dương b, c thỏa mãn b c.2017 là số hữu tỷ và b2 +c2 + bc là số nguyên tố (a là số nguyên) Ta có a b.2017 m b c.2017 n (trong ( m, n) Z , m 0) 0,25 an n b.2017 mb m c.2017 an mb m c.2017 n b.2017 0,25 Vì (an-mb) là số hữu tỉ Suyra: m c.2017 n b.2017 Q Tacó (m c.2017 n b.2017) m2 c.2017 n2b.2017 b.c.2017 Q bc x ( x N * ) 0,25 0,25 Nội dung Ta có b +c +bc = (b + c ) – x =(b +c – x)(b + c +x) là số nguyên tố 2 Suy ra: b + c - x = Điểm 0,25 b c x bc x Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có b c 2 bc x 2 x x vi x N* x 1 b c 1 0,25 2017 2017 2018 2018 2019 2019 b) Cho a b a b a b Tính a + b Nếu a = b = thì a + b = 0,25 Nếu a + b a 2019 b 2019 (a 2018 b 2018 )(a b) ab( a 2017 b2017 ) (a b) ab (a b) ab 0 (a 1)(b 1) 0 a 0 b 0 b 0 a 0 a 1 b 1 a 0 b 0 b 1 a 1 Nếu Vay : a b 0;1; 0,25 0.25 0,25 a b 1 b a 2 a b 1 b a 2 0,25 0,25 Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình : x x 1 Điều kiện : x 4 Ta có x 3 0,25 x 1 x x 1 0,25 0,25 0,25 0,25 x x 1 x 3 x x x 13 0,25 Vậy x = 13 b) Giải hệ phương trình x xy y x 0 xy y y 0 Nội dung x xy y x 0 x xy y 3x 0 2 xy y y 0 2 xy y y 0 2 x xy y 3x xy y y 0 2 xy y y 0 ( x y ) 3( x y ) 0 ( x y 1)( x y 2) 0 2 2 xy y y 0 2 xy y y 0 2 Điểm 0,25 x y 0 2 xy y y 0 x y 0 2 xy y y 0 0,25 x 2 y 1 x 2 y 1 x y 1 x y 1 0,25 Hệ phương trình đã cho có nghiệm 0,25 ( x; y ) ( 2;1 2);( 2;1 0.25 0,25 0,25 2);( 5; 1 );( 5; 1 ) 0,25 Câu Cho đường tròn tâm (O), điểm K nằm ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm ) Kẻ đường kính AOC Tiếp tuyến của đường tròn (O) C cắt AB E Chứng minh c) Các tam giác KBC và OBE đờng dạng Nội dung Điểm d) CK vng góc với OE 0,25 a) Ta có AK//CE (cùng vng góc AC) BEC BAK BCE AKO BE OB KB OB tan BEC tan OKB BC KB BC BE Ta có KBA OBC (cùng phụ với ABO ) 0,5 0,5 KBC OBE suy tam giác KBC đồng dạng tam giác OBE (c.gc) b) Từ a) suy BCK BEO gọi J là giao điểm của BC và OE, I là giao điểm của CK 0,25 và OE 0,5 Ta có BJE CJO (đối đỉnh ) Suy OE vng góc CK Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a Ba đường cao tướng ứng là ( a b c) 4 2 ha, hb,,hc chứng minh hb hc Nội dung Điểm 0,25 025 Kẻ AM vng góc BC Kẻ Ax vng góc AM Kẻ By vng góc BC Ax cắt By N tia đối của NB lấy E cho NE =NB Ta có AM = NB = NE=ha 0.25 0,25 Áp dụng định lý py ta go vào tam giác EBC BE BC EC tam giác EAC thì EA AC EC 0,25 2 EB BC ( EA AC )2 4ha a (b c) dấu "=" xảy tam giác ABC cân A 0,25 Chứng minh tương tự ta có 4hb2 b (a c) và 4hc2 c (a b) Suy 4(ha2 hb2 hc2 ) a b c (a b) (b c ) (c a ) 4(ha2 hb2 hc2 ) (a b c) (a b c)2 4 ha2 hb2 hc2 Dấu "=" xảy tam giác ABC 0,25 0,25 Nội dung Điểm Câu 4.Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc + a +c = b Tìm giá trị lớn nhất của 2 P 2 a b c2 biểu thức sau 0,25 Ta có abc + a +c = b b a c 0 ab 2 P 2 a b c2 2 3(1 ab) a b (1 ab) (b a) 0,25 0,25 2(b a ) 3(1 ab) (1 a )(1 b ) (1 ab) (b a) 2 025 2(b a ) 3(b a ) 3 2 (1 a )(1 b ) (1 a )(1 b ) (b a )(5a b) (3b 3a )(5a b) 3 apdungbatdangthuc AM GMva cauchyswarz 2 (1 a )(1 b ) 3(1 a )(1 b ) 0,25 (3b 3a 5a b) (a b)2 10 3 2 12(1 a )(1 b ) 3(a b) 3b 3a 5a b a 10 P b a.b.c a c b Vậy Max a b c 2 0,25 ... năm 190 0 + c và đến d tuổi Biết a.b.c.d = 590 07 Huy đã tính ngày sinh của Long và kịp viết thư chúc mừng sinh nhật bạn Hỏi Long sinh ngày tháng năm nào A 17-3- 198 9 B, 17- – 199 0 C... x 1 b c 1 0,25 2017 2017 2018 2018 20 19 20 19 b) Cho a b a b a b Tính a + b Nếu a = b = thi? ? a + b = 0,25 Nếu a + b a 20 19 b 20 19 (a 2018 b 2018 )(a b) ab( a 2017 ... mừng sinh nhật bạn Hỏi Long sinh ngày tháng năm nào A 17-3- 198 9 B, 17- – 199 0 C 20-3- 198 9 D 18-2- 199 0 B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3,0 điểm) a b.2017 a) Tìm các số nguyên dương b, c thỏa