Đang tải... (xem toàn văn)
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng đối với hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian... Đổi hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian:.[r]
§ 2: TỌA ĐỘ AFIN VÀ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN I Hệ tọa độ afin mặt phẳng Mục tiêu afin mặt phẳng 1.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng, chọn điểm O hai vectơ khơng cộng tuyến i j Khi ba afin (h.11) O; i; j gọi mục tiêu afin, hay gọi hệ tọa độ i; j Cặp thứ tự hai vectơ gọi sở vectơ hệ tọa độ Ta kí hiệu mục tiêu Oxy, với Ox, Oy đường thẳng qua O có VTCP i j (h.12) O gốc tọa độ, Ox Oy trục tọa độ Ox trục hoành, Oy trục tung y j j x i O O Hình 11 Hình 12 1.2 Tọa độ vectơ Xét mặt phẳng với mục tiêu afin i O; i; j Một vectơ mặt phẳng phân tích theo hai vectơ sở i j u xi y j , tức có cặp số (x;y) cho: u x; y u Khi cặp số gọi tọa độ vec tơ mục tiêu cho viết: : u x; y : u x; y u x; y u x; y u xi y j Ta có Dễ thấy: - Hai vectơ tọa độ chúng - Nếu : u x; y - Nếu : u x; y ku kx; ky , v x '; y ' và k : v x '; y ' u v x x '; y y ' vectơ khác cộng tuyến x x' tọa độ chúng tỉ lệ: x : x ' y : y ' hay cách tương đương y 0 y' 1.3 Tọa độ điểm Trên mặt phẳng cho hệ tọa độ afin Oxy, với điểm M mặt phẳng, OM tọa độ vectơ gọi tọa độ điểm M mục tiêu cho viết: M = (x;y) M(x:y) Liên hệ tọa dộ vectơ tọa độ điểm x '; y ' MN ON OM x ' x; y ' y Nếu M=(x;y) N= Đổi tọa độ afin Cho hệ tọa độ afin O; i; j O '; i '; j ' Giả sử điểm M có tọa độ (x;y) mục tiêu với mục tiêu O; i; j , có tọa độ x '; y ' đối O '; i '; j ' Tìm liên hệ (x;y) x '; y ' Giả sử mục tiêu O; i; j điểm O’ vectơ i ', j ' có toạ độ: O ' p; q ; i ' a, b ; j ' c, d Nghĩa là: OO ' pi q j ; i ' ai b j ; j' ci d j Theo giả thiết : OM xi y j ; O ' M x ' i ' y ' j ' O ' M x ' i ' y ' j ' x '(a i b j ) y '(c i d j) Ta có: ; (ax ' cy ')i (bx ' dy ') j Mặt khác: O ' M OM OO ' ( x p )i (y q) j ax ' cy ' x p x ax ' cy ' p bx ' dy ' y q y bx ' dy ' q (*) Suy ra: tức Các hệ số a, b, c, d công thức (*) viết thành bảng sau: a c A b d Khi A gọi ma trận phép đổi mục tiêu (*) Giá trị (ad – bc) gọi định thức ma trận A kí hiệu detA hay a c A b d : a c a c ad bc ( ad bc 0) b d b d detA = det Công thức (*) gọi công thức đổi hệ tọa độ (hay công thức đổi mục tiêu afin) Nếu detA > hai hệ tọa độ cho (O; i ; j ) (O’; i ' ; j ' ) gọi hướng Nếu detA < hai hệ tọa độ gọi ngược hướng Do đó: Tập hợp hệ tọa độ afin mặt phẳng chia làm hai lớp tương đương Hai hệ tọa độ thuộc lớp chúng hướng (suy chúng thuộc hai lớp khác chúng ngược hướng) Ta quy ước gọi hệ tọa độ thuộc lớp hệ tọa độ thuận (hay hệ có hướng thuận), cịn hệ tọa độ thuộc lớp hệ tọa độ nghịch (hay hệ có hướng nghịch) Khi mặt phẳng gọi mặt định hướng Ta thường lấy làm hệ tọa độ thuận (h.13) hệ tọa độ nghịch (h.14) tương ứng hướng với hệ hình đây: Hệ tọa độ thuận Hệ tọa độ nghịch j i i j Phép tịnh tiến hệ tọa độ O '; i '; j ' i ' i , j ' j Đổi hệ tọa độ afin thành , tức v OO ' ( p; q ) Ta có: gọi phép tịnh tiến hệ tọa độ vectơ O; i; j i ' i (1; 0), j ' j (0;1) Nên biểu thức tọa độ phép tịnh tiến x x ' p y y ' q * 1 A 0 Ma trận phép biến đổi hệ tọa độ là: 0 1 Tâm tỉ cự 3.1 Định nghĩa Cho hệ n điểm A1 , A2 , , An cho n số Điểm M gọi tâm tỉ cự n điểm n) nếu: k1 , k , , k n mà k1 kn 0 Ai với n số tương ứng ki ( i = 1, 2,…, ki MAi 0 n i 1 Trong trường hợp hệ điểm k1 k2 k n 0 điểm M gọi trọng tâm Ai Khi ta có : n MA 0 i i 1 Trọng tâm hệ hai điểm trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm Trọng tâm hệ ba điểm không thẳng hang A, B, C trọng tâm tam giác ABC, theo nghĩa biết giao điểm ba đường trung tuyến A Nếu cho biết tọa độ điểm i tỉ cự M phải thỏa mãn điều kiện: xi ; yi , (i = 1,…, n) tọa độ (x; y) tâm k1 x1 x k2 x2 x kn xn x 0 k1 y1 y k2 y2 y kn yn y 0 Suy ra: k1 x1 k2 x2 kn xn x k1 k2 kn y k1 y1 k2 y2 kn yn k1 k2 kn với k1 k2 kn 0 3.2 Chia đoạn thẳng theo tỉ số k Định nghĩa: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, A B Số k gọi tỉ số đơn ba điểm thẳng hàng có thứ tự (A, B, C) CA kCB (với k 1 ) Khi ta cịn nói: điểm C chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k kí hiệu (A, B, C) = k Vì CA kCB nên CA kCB 0 , C tâm tỉ cự hai điểm A, B với hai hệ số tương ứng 1, -k Từ đó, A ( x1; y1 ); B ( x2 ; y2 ) tọa độ (x; y) điểm C là: x1 kx2 x 1 k y y1 ky2 1 k với k 1 Nếu k > ta gọi C điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k, k