TOA DO AFIN VA TOA DO TRUC CHUAN

Mục tiêu afin trong mặt phẳng Khi đó bộ ba O i j; ; r r được gọi là một mục tiêu afin, hay còn gọi là hệ tọa độ afin... Xét mặt phẳng với mục tiêu afin O i j; ;r r Một vectơ bất kì của

§ 2: TỌA ĐỘ AFIN VÀ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN

I Hệ tọa độ afin trong mặt phẳng

1 Mục tiêu afin trong mặt phẳng

Khi đó bộ ba (O i j; ; r r)

được gọi là một mục tiêu afin, hay còn gọi là hệ tọa độ

afin (h.11)

Cặp thứ tự hai vectơ (r ri j; )

gọi là cơ sở vectơ của hệ tọa độ

Ta kí hiệu mục tiêu đó là Oxy, với Ox, Oy là các đường thẳng đi qua O có VTCP

lần lượt là ri

và

j

r(h.12)

Xét mặt phẳng với mục tiêu afin (O i j; ;r r)

Một vectơ bất kì của mặt phẳng được phân tích theo hai vectơ cơ sở ri

được gọi là tọa độ của vec tơ ur

đối với mục tiêu đã

Trên mặt phẳng cho hệ tọa độ afin Oxy, với mọi điểm M bất kì của mặt phẳng,

tọa độ của vectơ OM uuuu r

được gọi là tọa độ của điểm M đối với mục tiêu đã cho và

viết: M = (x;y) hoặc M(x:y)

Liên hệ giữa tọa dộ của vectơ và tọa độ của điểm

Nếu M=(x;y) và N=( x y'; ')

thì MNuuuur =ONuuur uuuu−OMr = ( x' x; ' y− y − )

2 Đổi tọa độ afin

Cho 2 hệ tọa độ afin (O i j; ;r r)

Giả sử đối với mục tiêu (O i j; ;r r)

điểm O’ và các vectơ

', '

ir urj

có toạđộ:

a c A

b d

Khi đó A được gọi là ma trận của phép đổi mục tiêu (*)

Giá trị (ad – bc) được gọi là định thức của ma trận A và kí hiệu là detA hay

Công thức (*) gọi là công thức đổi hệ tọa độ (hay công thức đổi mục tiêu afin)

Nếu detA > 0 thì hai hệ tọa độ đã cho (O; ; ) và (O’; ; ) được gọi là cùng hướngNếu detA < 0 thì hai hệ tọa độ đó gọi là ngược hướng Do đó:

Tập hợp các hệ tọa độ afin trong mặt phẳng được chia làm hai lớp tương đương.Hai hệ tọa độ thuộc cùng lớp khi và chỉ khi chúng cùng hướng (suy ra chúng thuộchai lớp khác nhau khi và chỉ khi chúng ngược hướng) Ta quy ước gọi các hệ tọa

độ thuộc một lớp này là hệ tọa độ thuận (hay hệ có hướng thuận), còn các hệ tọa độthuộc lớp kia là hệ tọa độ nghịch (hay hệ có hướng nghịch) Khi đó mặt phẳngđược gọi là mặt định hướng Ta thường lấy làm hệ tọa độ thuận (h.13) và hệ tọa độnghịch (h.14) tương ứng cùng hướng với một hệ trong hình dưới đây:

Hệ tọa độ thuận Hệ tọa độ nghịch

( )

' p

*' q

1

0

n

i i i

Nếu cho biết tọa độ các điểm i

A

là ( x y i; i)

, (i = 1,…, n) thì tọa độ (x; y) của tâm

tỉ cự M phải thỏa mãn điều kiện:

n n n

3.2 Chia đoạn thẳng theo tỉ số k

Định nghĩa: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, A B ≠

Số k được gọi là tỉ số đơn

của bộ ba điểm thẳng hàng có thứ tự (A, B, C) nếu CA kCBuuur= uuur

(với k ≠1

) Khi

đó ta còn nói: điểm C chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k và kí hiệu (A, B, C) = k

Vì CA kCBuuur= uuur

nên CA kCB uuur − uuur r = 0

, vậy C là tâm tỉ cự của hai điểm A, B với hai

Nếu M là trung điểm của AB thì MAuuur = −MBuuur

tức là k = -1, ta có tọa độ (x; y) củatrung điểm M của đoạn thẳng AB là:

2 2

1.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong hệ tọa độ trực chuẩn

Cho trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxy, hai vectơ ur = ( x y; ) vr = ( x y'; ')

1.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn

Mục tiêu trực chuẩn cũng là mục tiêu của afin, ta có công thức đổi từ mụctiêu

Ở đây, các mục tiêu là trực chuẩn nên:

Vậy đổi mục tiêu trực chuẩn ( O i j ; ; r r )

sang mục tiêu trực chuẩn mới

( O i '; '; ' r ur j )

, ta có hai dạng công thức trên đây

*) Một số trường hợp đặc biệt:

Phép quay hệ tọa độ quanh gốc tọa độ (h.18)

Đổi mục tiêu trực chuẩn (O i j; ;r r)

sang mục tiêu trực chuẩn mới (O i'; '; ' r urj )

Đổi mục tiêu trực chuẩn (O i j; ;r r)

sang mục tiêu trực chuẩn mới (O i'; '; 'r urj )

nên mục tiêu trực chuẩn (O i j; ; r r)

và mục tiêu trực chuẩn mới (O i'; '; ' r urj )

làkhác hướng nhau

III Hệ tọa độ afin và hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian

1 Hệ tọa độ afin trong không gian

1.2 Tọa độ afin của vectơ và của điểm trong không gian

Ta có các tính chất sau đây trong hệ tọa độ afin:

1.3 Đổi hệ tọa độ afin trong không gian

Giả sử đối với hệ tọa độ

2 Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian:

đó được gọi là mục tiêu trực chuẩn hay hệ tọa độ trực chuẩn.

2.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng đối với hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian

Cho mục tiêu trực chuẩn

Suy ra nếu M = (x;y;z) và N = ( x y z'; '; ')

thì khoảng cách MN là:

2.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian:

Cho hai hệ tọa độ trực chuẩn

Biểu thức tọa độ của tích có hướng

Trong hệ trong hệ tọa độ trực chuẩn

Biểu thức tọa độ của tích hỗn hợp

Trong mục tiêu trực chuẩn