Tài liệu Các bài toán về Idean và vành thương pdf

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS. Trần Huyên Ngày 8 tháng 4 năm 2005 Bài 10. Các Bài Toán Về Iđêan Và Vành Thương Indêan trong vành có vai trò tương tự như ước chuẩn ở trong nhóm, giúp hình thành nên cấu trúc vành thương. Cho vành X, bộ phận I = ø trong X được gọi là một idêan nếu I ⊂ v X đồng thời thỏa mãn điều kiện: ∀x ∈ X, ∀a ∈ I thì ax, xa ∈ I (*). Điều kiện sau cùng (*) có thể được gọi là điều kiện hút hai phía (tức phần tử x ∈ X dù "dính" bên trái (xa) hay "dính" bên phải (ax)) với các phần tử a ∈ I thì bị "hút" vào trong I !) Khi I là idean của X (Kí hiệu : I  X) thì tập thương XI = {x + I : x ∈ X} được trang bị cá c phép toán (xác định hợp lí ! ) sau : • Phép cộ ng : (x 1 + I) + (x 2 + I) = (x 1 + x 2 ) + I. • Phép nhân : (x 1 + I)(x 2 + I) = x 1 x 2 + I, sẽ trở thành một vành, gọi là vành thương của vành X theo idean I và kí hiệu là (XI; +, .) hay đơn giản hơn : XI. Nếu X là vành giao hoán thì XI giao hoán Nếu X là vành có đơn vị 1 thì XI có đơn vị là 1 + I. Tuy nhiên, nếu X không có ước của 0 thì XI nói chung không được thừa kế vô điều kiện tính chất nói trên của X (độc giả hãy thử suy nghĩ xem, lí do vì sao?) Các bài toán về inđêan và vành thương thường gặp trước hết là các bài toán kiểm tra một bộ phận nào đó của mộ t vành cho trước là iđêan và mô tả cấu trúc của vành thương theo iđêan đó. Để kiểm tra một iđêan ta dùng tiêu chuẩn iđêan được phát biểu như sau : Cho vành X, tập I = ø trong X là iđêan của X khi và chỉ khi :  ∀a, b ∈ I : a −b ∈ I ∀x ∈ X, ∀a ∈ I : ax, xa ∈ I 1 1. Ví dụ 1 : Cho các tập số phức sau : Z( √ −5) =  a + b √ −5 : a, b ∈ Z  I =  5a + b √ −5 : a, b ∈ Z  (a) Chứng minh rằng Z( √ −5) là vành với hai phép cộng và nhân thông thường các số phức và I  Z( √ −5). (b) Chứng minh rằng vành thương Z( √ −5)/I là trường. Giải: (a) Chúng tôi dành cho độc giả dùng tiêu chuẩn vành con để kiểm tra Z( √ −5) ⊂ v (C; +; .), và do đó Z( √ −5) là một vành. Để kiểm tra I  Z( √ −5), ta có : • ∀5a 1 + b 1 √ −5, 5a 2 + b 2 √ −5 ∈ I : (5a 1 + b 1 √ −5) −(5a 2 + b 2 √ −5) = 5(a 1 − a 2 ) + (b 1 − b 2 ) √ −5 ∈ I • ∀a + b √ −5 ∈ Z( √ −5), ∀5c + d √ −5 ∈ I : (a + b √ −5)(5c + d √ −5) = 5(ac − bd) + (5bc + ad) √ −5 ∈ I và (5c + d √ −5)(a + b √ −5) = (a + b √ −5)(5c + d √ −5) ∈ I Vậy I là iđêan của Z( √ −5). (b) Ta có vành thương : Z( √ −5)/I = {(a + b √ −5) + I : a, b ∈ Z} = {a + I : a ∈ Z} (vì b √ −5 ∈ I) = {0 + I; 1 + I; 2 + I; 3 + I; 4 + I} Dễ thấy Z( √ −5) là vành giao hoán, có đơn vị nên vành thương Z( √ −5)/I là vành giao hoán, có đơn vị. Ta còn phải chứng tỏ bất kì phần tử m + I = 0 + I trong vành thương là có nghịch đảo. Thật vậy khi đó m là số không chia hết cho 5 và do 5 là số nguyên tố nên (m, 5) = 1. Tức tồn tại các số nguyên k và t mà km + 5t = 1, và như vậy tồn tại phần tử (k + I) mà : (m + I)(k + I) = km + I = 1 −5t + I = 1 + I tức (k + I) = (m + I) −1 . Vậy Z( √ −5)/I là trường. Nhận xét : Để kiểm tra vành thương Z( √ −5)/I là trường ta đã dùng định nghĩa trường để kiểm tra. Sau này ta còn có thể khẳng định điều trên nhờ vào việc chỉ ra I là iđêan tối đại của Z( √ −5). Ta cũng có thể khẳng định điều đó nhờ việc thiết lập một toàn cấu ϕ : Z( √ −5) −→ Z 5 , với Z 5 là trường, mà ker ϕ = I. Để đưa các ví dụ tiếp theo, trước hết ta nhắc lại và định nghĩa về iđêan nguyê n tố, iđêan tối đại. Định nghĩa : Cho X là vành giao hoán có đơn vị 1. Inđêan I  X được gọi là iđêan nguyên tố nếu xy ∈ I thì hoặc x ∈ I hoặc y ∈ I. Inđêan I  X được gọi là iđêan tối đại nếu I là iđêan thật sự của X và không bị chứa 2 trong bất kì iđêan thật sự nào khác I. (Nó i cách khác nếu có J  X mà J ⊃ I thì hoặc J = X hoặc J = I). Về các iđêan nguyên tố và iđêan tối đại của một vành X giao hoán có đơn vị, chúng ta có thể cho một định nghĩa khác tương đương, thể hiện trong ví dụ sau. 2. Ví dụ 2 : Cho X là vành giao hoán có đơn vị 1. Chứng minh rằng, nếu I  X thì : (a) I là iđêan nguyên tố ⇔ vành thương X/I là miền nguyên. (b) I là iđêan tối đại ⇔ X/I là trường. Giải : (a) Bởi XI là vành giao hoán có đơn vị nên các điều kiện định ra ở trên có thể rút gọn hơn như sau : I là iđêan nguyên tố ⇔ XI không có ước của 0 Thật vậy : I là iđêan nguyên tố ⇔ xy ∈ X thì hoặc x ∈ I hoặc y ∈ I ⇔ (x + I)(y + I) = xy + I = 0 thì x + I = 0 hoặc y + I = 0 ⇔ XI không có ước của 0. (b) Tương tự nhận xét trên, do XI là vành giao hoán có đơn vị nên điều cần chứng minh có thể rút gọn như sau : I là iđêan tối đại ⇔ mọi phần tử a + I = 0 là khả nghịch. Thật vậy : I là iđêan tối đại ⇔ ∀a /∈ I thì iđêan J =< I, a >=I + aX = X ⇔ ∀a /∈ I :1 ∈ I + aX ⇔ ∀a /∈ I, ∃b ∈ X :1 ∈ ab + I ⇔ ∀a + I = 0, ∃b + I :(a + I)(b + I) = ab + I = 1 + I ⇔ ∀a + I = 0 đều khả nghịch (đpcm). Các kết quả trong ví dụ 2 cho ta các tiêu chuẩn kiểm tra một iđêan là tối đại hay nguyên tố thông qua việc xem xét vành thương theo chúng là trường hay miền nguyên. 3. Ví dụ 3 : Cho các tập các ma trận nguyên cấp hai sau : X =  m n n m  : m, n ∈ Z  và : A =  m −m −m m  : m ∈ Z  Chứng minh rằng X là vành giao hoán có đơn vị và A là iđêan nguyên tố của vành X. Giải : 3 Để kiểm tra X là vành ta dùng tiêu chuẩn vành con để kiểm tra X ⊂ v M 2 , trong đó M 2 là vành các ma trận thực cấp hai. Đơn vị của X là E =  1 0 0 1  ∈ X. Tính giao hoán của phép nhân trong X có thể kiểm tra trực tiếp. Mọi tính toán chi tiết phần nói trên xin dành cho độc giả. Ta kiểm tra A  X : • ∀  m −m −m m  ,  n −n −n n  ∈ A :  m −m −m m  −  n −n −n n  =  (m − n) −(m − n) −(m − n) (m − n)  ∈ A • ∀  m n n m  ∈ X, ∀  k −k −k k  ∈ A  m n n m  k −k −k k  =  k −k −k k  m n n m  =  k(m − n) −k(m − n) −k(m − n) k(m − n)  ∈ A Vậy A là iđêan. Việc kiểm tra A là iđêan nguyên tố, ta có thể tiến hành theo định nghĩa hoặc theo tiêu chuẩn có được từ ví dụ 2. Nếu theo định nghĩa ta có : • Cách 1 : Nếu  m n n m  k l l k  =  mk + nl ml + nk ml + nk mk + nl  ∈ A thì mk + nl = −(ml + nk) ⇔ mk + ml + nl + nk = 0 ⇔ (m + m)(k + l) = 0 ⇔ [ m + n = 0 k + l = 0 ⇔ [ m = −n k = −l ⇔ hoặc  m n n m  ∈ A hoặc  k l l k  ∈ A Tức A là iđêan nguyên tố. Nếu theo tiêu chuẩn từ ví dụ 2, ta cần kiểm tra XA là miền nguyên thì : • Cách 2 : Hiển nhiên XA là vành giao hoán có đơn vị. Ta chỉ còn phải kiểm tra XA không có ước của 0. Để ý rằng mỗi phần tử của X có thể viết dưới dạng :  m + k −m −m m + k  4 nên mỗi phần tử của XA có thể viết dưới dạng :  k 0 0 k  + A . Vì vậy nếu :  k 0 0 k  + A  l 0 0 l  + A  = 0 ⇒  kl 0 0 kl  ∈ A ⇒ kl = 0 ⇒ [ k = 0 l = 0 ⇒  k 0 0 k  + A = 0 hoặc  l 0 0 l  + A = 0 Vậy XA không có ước của 0 ; Do vậy A là iđêan nguyên tố. 4. Ví dụ 4 : Cho các tập các ma trận cấp hai sau : X =  a b b a  : a, b ∈ R  và A =  a a a a  : a ∈ R  Chứng minh X là vành giao hoán có đơn vị (với phép toán cộng và nhân ma trận) và A là iđêan tối đại của X. Giải : Việc kiểm tra X ⊂ v M 2 với M 2 là vành các ma trận thực cấp hai, X là vành giao hoán có đơn vị E =  1 0 0 1  ∈ X xin được giành cho độc giả . Ta kiểm tra A  X : • ∀  a a a a  ,  b b b b  ∈ A :  a a a a  −  b b b b  =  a − b a − b a − b a − b  ∈ A. • ∀  a b b a  ∈ X, ∀  c c c c  ∈ A ta có :  a b b a  c c c c  =  c c c c  a b b a  =  c(a + b) c(a + b) c(a + b) c(a + b)  ∈ A. 5 Vậy A là iđêan Để chứng minh A là iđêan tối đại ta dùng định nghĩa. Nếu B  X, B = A và B ⊃ A thì ta phải chứng minh B = X. Vì B = A, ắt tồn tại phần tử  c d d c  ∈ B mà c = d. Vì B ⊃ A nên phần tử  d d d d  ∈ A ⊂ B, do đó :  c d d c  −  d d d d  =  c − d 0 0 c − d  ∈ B (với c −d = 0) Vì B là iđêan nên  c − d 0 0 c − d     1 c − d 0 0 1 c − d    ∈ B hay  1 0 0 1  ∈ B, do vậy B = X. Tức A tối đại. Nhận xét : Ta cũng có thể chứng minh A tối đại bằng cách kiểm tra XA là trường. Để ý rằng mỗi phần tử khác 0 của XA có dạng  a 0 0 a  + A với a = 0 ; và do vậy nó có nghịch đảo là    1 a 0 0 1 a    + A BÀI TẬP 1. Cho X là vành và n là số nguyên cho trước và cho A = {x ∈ X : nx = 0}. Chứng minh A  X 2. Chứng minh rằng trong vành giao hoán có đơn vị, mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên tố. Chứng minh rằng trong vành Z n vành các số nguyên modul n, mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan tối đại. 3. Cho các tập các ma trận cấp hai sau : X =  a 0 0 b  : a, b ∈ R  và  0 0 a 0  : a ∈ R  (a) Chứng minh rằng X là vành có đơn vị (với hai phép cộng và nhân ma trận) (b) Chứng minh A  X và XA là trường. 6 4. Cho vành X =  m n n m  : m, n ∈ Z  trong ví dụ 3 và A =  m 5n − m 5n − m m  : m, n ∈ Z  Chứng minh rằng A là iđêan tối đại của X. Tìm tất cả các iđêan tối đại của X? Tìm tất cả các iđêan nguyên tố nhưng không tối đại của X. 5. Cho vành X =  a b b a  : a, b ∈ R  trong ví dụ 4 . Tìm tất cả các iđêan tối đại của vành X. 7 . vì sao?) Các bài toán về inđêan và vành thương thường gặp trước hết là các bài toán kiểm tra một bộ phận nào đó của mộ t vành cho trước là iđêan và mô tả. vành, gọi là vành thương của vành X theo idean I và kí hiệu là (XI; +, .) hay đơn giản hơn : XI. Nếu X là vành giao hoán thì XI giao hoán Nếu X là vành