De HSG Toan 820162017 65

Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC.[r]

Trờng thcs nguyễn khắc viện đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi khối lần Năm học:2010-2011 Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1: Rút gọn phân thøc ( x 2+ a ) ( 1+a ) + a2 x +1 P= ( x − a ) ( 1− a ) + a2 x +1 x3  x    x x HÃy phân tích A thành tích Câu 2: a)Cho biÓu thøc A= a b c + + =1 Chøng minh r»ng b)Cho b+c c +a a+b a2 b2 c2 + + =0 b+c c +a a+b C©u 3: Cho sè tù nhiªn a, b, c Chøng minh r»ng nÕu a + b + c chia hÕt cho th× a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hÕt cho C©u 4: Cho x+y=2011.HÃy tìm giá trị nhỏ P=x(x2+y)+y(y2+x) Câu 5: Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC Qua B vẽ đờng thẳng BI song song với AD, BI c¾t AC ë F, AK c¾t BD ë E Chøng minh r»ng a) EF//AB b) AB2 = CD.EF HÕt - C©u 2: (4 điểm) a)Rút gọn P ta đợc kết cuối cïng: P= b) víi mäi x th× a + a+1 a2 − a+1 a2+ a+1  P kh«ng phơ thuéc vµo x P= a −a+ xÐt mÉu a2 - a + 1= (a - 1/2)2 + 3/4>0 (a - 1/2)2 nên P có nghĩa với x, a Câu 3: (4 điểm) a b c a) (2 điểm): Nhân vế b+c + c +a + a+b =1 víi a+ b+ c sau rút gọn kết cuối ta đợc : b) đặt a1 b c =p , =q , =r a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + =0 b+c c +a a+b ta cã p + q + r = (1) vµ + + =1 (2) p q r 1 p+q+ r =1 tõ (2)  + + +2 pqr p q r 1 KÕt hỵp víi (1) ta cã: + + =1 p q r 2 a +b +c VËy 22 22 22 =1 a1 +b1 +c C©u 5: (5 điểm) a)(2,5 điểm) AEB đồng dạng với KED (g.g) AE =AB EK KD àB đồng d¹ng víi  CFI (g.g)  AB = AB FC CI Mµ KD = CI = CD – AB  AE =AF EF // KC (định lý đảo talét AKC EK FC b)(2,5 điểm) AEB đồng dạng với  KED (CMT)  DK = DE AB EB  DK +AB = DE+EB AB EB  DK +KC =DB ⇒ DC =DB (1) AB EB AB EB Bµi Cho sè tù nhiªn a, b, c Chøng minh r»ng nÕu a + b + c chia hÕt cho th× a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hÕt cho (3 ®iĨm) A = a + b + c ⋮ =>2A ⋮ 6; B = a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 C = B + 2A = a3 + 3a2 + 2a + b3 + 3b2 + 2b + c3 + 3c2 + 2c = a(a + 1)(a + 2) + b(b + 1)(b + 2) + c(c + 1)(c + 2) a(a + 1)(a + 2), b(b + 1)(b + 2), c(c + 1)(c + 2) lµ tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp nªn chia hÕt cho => C ⋮ => B ⋮ ... KC (định lý đảo talÐt  AKC EK FC b)(2,5 ®iĨm) AEB ®ång d¹ng víi  KED (CMT)  DK = DE AB EB  DK +AB = DE+ EB AB EB  DK +KC =DB ⇒ DC =DB (1) AB EB AB EB Bài Cho số tự nhiên a, b, c Chøng minh