Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC.[r]
Trang 1Trờng thcs nguyễn khắc viện
đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi khối 8 lần 2
Năm học:2010-2011
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1: Rút gọn phân thức
P= (x
2
+a)(1+a)+a2x2 +1
(x2− a)(1− a)+ a2x2 +1
Câu 2: a)Cho biểu thức A=
3
3
x x
x x
.Hãy phân tích A thành tích b)Cho a
b+c+
b
c +a+
c a+b=1 .Chứng minh rằng
a2
b+c+
b2
c +a+
c2
a+b=0
Câu 3: Cho 3 số tự nhiên a, b, c Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 3 thì
a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hết cho 6
Câu 4: Cho x+y=2011.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P=x(x2+y)+y(y2+x)
Câu 5: Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC Qua B vẽ đờng thẳng BI song song với AD, BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E Chứng minh rằng
a) EF//AB
b) AB2 = CD.EF
-Hết -Câu 2: (4 điểm)
a)Rút gọn P ta đợc kết quả cuối cùng:
P= a2+a+1
a2− a+1
b) với mọi x thì P= a
2
a2−a+1 P không phụ thuộc vào x
xét mẫu a2 - a + 1= (a - 1/2)2 + 3/4>0 vì (a - 1/2)2 0 nên P có nghĩa với mọi x, mọi a
Câu 3: (4 điểm)
Trang 2a) (2 điểm): Nhân cả 2 vế của b+c a + b
c +a+
c a+b=1 với a+ b+ c
sau đó rút gọn kết quả cuối cùng ta đợc :
a2 b+c+
b2
c +a+
c2 a+b=0
b) đặt a1
a2=p ,
b1
b2=q ,
c1
c2=r
ta có p + q + r = 0 (1)
và 1
p+
1
q+
1
r=1 (2)
từ (2) 1
p2+
1
q2+
1
r2+2
p+q+r
Kết hợp với (1) ta có: 1
p2+
1
q2+
1
r2=1
Vậy a22+b22+c22
a12+b12+c12=1
Câu 5: (5 điểm)
a)(2,5 điểm)
AEB đồng dạng với KED (g.g)
AE
AB
KD
àB đồng dạng với CFI (g.g)
AB
AB CI
Mà KD = CI = CD – AB
AE
AF
FC ⇒EF // KC (định lý đảo talét trong AKC
b)(2,5 điểm)
AEB đồng dạng với KED (CMT) DK
DE EB
DE+EB EB
DB
DB
Bài 2 Cho 3 số tự nhiên a, b, c Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 3 thì a 3
+ b 3 + c 3 + 3a 2 + 3b 2 + 3c 2 chia hết cho 6 (3 điểm)
A = a + b + c ⋮ 3 =>2A ⋮ 6; B = a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2
C = B + 2A = a3 + 3a2 + 2a + b3 + 3b2 + 2b + c3 + 3c2 + 2c
= a(a + 1)(a + 2) + b(b + 1)(b + 2) + c(c + 1)(c + 2)
a(a + 1)(a + 2), b(b + 1)(b + 2), c(c + 1)(c + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 => C ⋮ 6 => B ⋮ 6