De HSG Toan 820162017 12

Gọi K là giao điểm của AC và BE a Cho biết dạng của tứ giác OKO’I b Trung điểm M của OO’ di động trên đường nào c Xác định vị trí của I để OKO’I là hình vuông Bµi 5... Vế trái là tổng bì[r]

§Ò thi häc sinh giái líp M«n thi : to¸n ĐỀ BÀI Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a x  x  3 b x  y  z  3xyz Bµi (3đ)Cho biÓu thøc: A = ( x+ − x −1 + x −24 x −1 ) x+ 2006 x −1 x+1 x x −1 a) Tìm điều kiện x để biểu thức xác định b) Rót gän biÓu thøc A c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bµi 3: (3đ) 2−x 1−x x −1= − a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2004 2005 2006 b) Tìm a, b để: x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho x2 + x + Bµi (4đ) Cho điểm I di động trên đoạn thẳng AB Trên cùng mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AICD, BIEF Gọi O và O’ là tâm hai hình vuông đó Gọi K là giao điểm AC và BE a) Cho biết dạng tứ giác OKO’I b) Trung điểm M OO’ di động trên đường nào c) Xác định vị trí I để OKO’I là hình vuông Bµi Tìm a, b, c thuộc Z biết a  b  c  ab  3b  2c Bài Phân tích đa thức thành nhân tử x  x  x  x  ( x  x  1) (0,5) =x( x  1)  ( x  x  1) 3 (0,5) =x( x  1)( x  1)  ( x  x  1) =x( x  1)( x  1)( x  x  1)  ( x  x  1) a =( x  x  1)( x  x  x  x  1) (0,5) (0,5) 3 b x  y  z  3xyz  x  y  xy ( x  y )  z  3xy ( x  y )  3xyz (0,5) ( x  y )3  z  xy ( x  y  z ) (0,5) ( x  y  z )  ( x  y )  z ( x  y )  z   xy ( x  y  z ) (0,5) ( x  y  z )( x  y  z  xy  yz  zx) (0,5) Bµi 2: ¿ x ≠ ±1 a) §iÒu kiÖn: x ≠ ( 0,5đ) ¿{ ¿ 2 x −1 ¿ + x − x −1 ¿ b) A = ( 0,5đ) x+1 ¿2 −¿ ¿ ¿ (x+ 1+ x −1)(x +1− x+1)+ x − x − x +2006 = ( 0,5đ) x x −1 = x + x 2− x − x +2006 ( 0,5đ) x x −1 = x +2006 ( 0,5đ) x c) Ta cã: A nguyªn ⇔ (x + 2006) ⋮ x ⇔2006 ⋮ x ( 0,25đ) Vậy x là ước 2006 và x ≠ ±1 ( 0,25đ) Bµi a) Ta cã: − x −1= − x − x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2004 2005 2006 2−x 1−x x +1= +1 − +1 ( 0,5đ) 2004 2005 2006 − x 2004 − x 2005 x 2006 + = + − + 2004 2004 2005 2005 2006 2006 2006 − x 2006 − x 2006 − x = + ( 1đ) 2004 2005 2006 (2006  x)( 1   ) 0 2004 2005 2006 ⇔ ( 0,5đ) (2006 - x) = ⇒ x = 2006 ( 0,5đ) b) Thực phép chia đa thức, từ đó ta tìm đợc: x  ax  x  b x3  x  x x  x 1  a -1 x  x  b  a-1 x   a  1 x  a   2-a  x  b  a  x+ a1 (1đ) 2  a 0  b  a  0 a 2  Suy b 1 (0,5 đ) Bài vẽ hinh 0,5 điểm  F E a DI  AC suy COI 90  tương tự KO ' I 90 (0,5đ) K ID là tia phân giác góc AIE IF là tia phân giác góc BIE C D Mà AIE và BIE là hai góc kề bù O’ M Suy ID  IF (1đ) Tứ giác KOIO’ có góc vuông nên O Nên là hình chữ nhật (0,25đ) A B I b AB cố định (0,25đ)  CAI 450 ( AC là tia phân giác góc A)  EBI 450 ( BE là tia phân giác góc B) (1đ) Suy đường thẳng AC VÀ BE cố định K cố định (0,5) M là trung điểm OO’ nên M là trung điểm KI (0,25) I di động trên cạnh AB nên M di động trên đường trung bình tam giác AKB, song song với AB (0,5) c Hình chữ nhật OKO’I là hình vuông và IO = IO’ (0,25)  AIO O ' IB  AI IB (0,5)  I là trung điểm AB (0,25) Bµi Tìm a, b, c thuộc Z biết a  b  c  ab  3b  2c  a  b  c   ab  3b  2c 0  a  ab  (0,5) b 3b   3b   c  2c  0 4 (1) b  b    a      1   c  1 0 2  2  (0,5) Vế trái là tổng bình phương nên luôn 0 Vây để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì 2 b  b   a      1   c  1 2  2  =0 (0,5) (0,5)  b a  0  b   0  2 c  0  Vậy   a 1  b 2  c 1 (0,5)