Đang tải... (xem toàn văn)
Cho biÓu thøc A=.[r]
(1)§Ò thi olympic n¨m häc 2008-2009 M«n to¸n huyÖn h¬ng s¬n C©u1 Cho biÓu thøc A= ( x +1 x −1 x − x −1 x −1004 − + x −1 x+ x x −1 )( ) a) Tìm điều kiện xác định biểu thức A b) Rót gän biÓu thøc A c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A< C©u Cho hai sè d¬ng x,y tho¶ m·n x+y =1 a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M= x(x+34) +y( y+ 34 ) +2xy +65 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P= (1 − x1 ) (1 − y1 ) 2 C©u §a thøc P(x) bËc cã hÑ sè bËc cao nhÊt lµ Gi¶ sö P(1)= ; P(3) =0 ; P(5) =0.H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : Q= P(-2) +7P(6) C©u T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn n tho¶ m·n : (n+5)2 = [ ( n− ) ]3 C©u Cho ®o¹n th¼ng AB , gäi O lµ trung ®iÓm cña AB , vÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c tia Ax vµ By cïng vu«ng gãc víi AB LÊy ®iÓm C trªn Ax , lÊy ®iÓm D trªn By cho gãc COD = 900 a) Chứng minh Δ ACO đồng dạng với Δ BOD b) Chøng minh CD= AC + BD c) KÎ OM vu«ng gãc víi CD t¹i M Gäi N lµ giao ®iÓm cña AD víi BC Chøng minh MN// AC đáp án và biểu điểm C©u 1( 3,5 ®) a) (0,5®) §KX§ ¿ x ≠ ±1 x≠0 ¿{ ¿ b) (1,5®) Rót gän ta cã A= x −1004 x (2) x −1004 x −2008 < ⇔ <0 ⇔ 0< x< 2008 KÕt hîp víi §KX§ x x ¿ 0< x <2008 ta cã Th× A< x≠1 ¿{ ¿ c) (1,5®) A< C©u (4®) a) (2®) M= x(x+34) + y( y+34) +2xy +65= (x+y)2 +34(x+y) +65 thay x+y =1 ta cã M=100 1 ( x2 −1 ) ( y − ) thay x+y =1 ta cã − = 2 x y x2 y P = ( x +1 ) ( y +1 ) = x + y + xy+1 = 2+xy =1+ xy xy xy xy 2 Ta cã P nhá nhÊt nhá nhÊt x,y >0 nªn nhá nhÊt x,y lín nhÊt xy xy Pmin =1+ =9 mà x+y =1 không đổi nên x,y lớn x=y=1/2 Vậy 1 2 b) (2®) P= ( 1− )( ) C©u ( ®) V× P(1) =0; P(3)= 0; P(5) =0 nªn ®a thøcP(x) nhËn 1;3;5 lµm nghiÖm Mµ hÖ sè cña bậc cao nên P(x) = (x-1) (x-3) (x-5) (x-a) Từ đó ⇒ P(-2) =210+105a vµ 7P(6) = 630-105a VËy Q= P(-2) +7P(6) =840 C©u (3,5®) V× (n+5)2 víi mäi n nªn n DÔ thÊy n=2 kh«ng tho¶ m·n nªn n>2 Víi n>2 ta cã ( n+5 )2=64 ( n −2 )3 ≥64 ( n −2 )2 ⇒ ( n+5 )2 ≥8 ( n − ) ⇔ n≤ 21 ⇔n ≤ KÕt hîp víi n>2 ta cã n=3 VËy gi¸ trÞ cÇn t×m lµ n=3 C©u (6 ®) a) (2®) Ta cã ∠ BOD =∠ OCA cïng phô víi gãc COA đồng dạng với Δ BOD ∠ A =∠ B=1V ⇒ ΔACO b) ( 2®) KÐo dai CO c¾t BD t¹i E ta cã tam gi¸c AOC b»ng tam gi¸c BOE Suy CA =BE vµ CO =OE Tõ AC =BE suy CA + BD=DE (1) Tõ CO =OE vµ DO vuong gãc víi CE suy tam gi¸c CDE c©n t¹i D ⇒ CD=DE (2) Tõ (1) vµ (2 ) ta cã AC+BD= CD ND BD (3) v× tam gi¸c CDE c©n t¹i D nªn DO còng = NA AC lµ ph©n gi¸c cña gãc CDE ⇒OM=OB VËy Δ MOC= Δ BOE mµ Δ BOE=Δ AOC Suy ΔMOC= ΔAOC Từ đó AC=CM (40 mà AC+BD= CD MD ND =CM+MD suy BD =MD (5) Tõ (3),(4),(5) ta cã VËy MN//AC = MC NA c) (2®) Tõ AC//BD ta cã (3)