Thông tin tài liệu
Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT Giaovienvietnam.com NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TỐN Cho phương trình bậc hai: −b − ∆ ; 2a −b − ∆ − b + ∆ −2b −b x1 + x2 = = = 2a 2a a (−b − ∆ )(−b + ∆ ) b − ∆ 4ac c x1 x2 = = = = 4a 4a 4a a −b - Tổng nghiệm S : S = x1 + x2 = a c - Tích nghiệm P : P = x1 x2 = a Có hai nghiệm Suy ra: Vậy đặt : ax2 + bx + c = (a≠ 0) x1 = (*) x2 = −b + ∆ 2a Như ta thấy hai nghiệm phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với hệ số a, b, c Đây nội dung Định lí VI-ÉT, sau ta tìm hiểu số ứng dụng định lí giải tốn I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : Dạng đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = ta có (*) a.12 + b.1 + c = a + b + c = Như vây phương trình có nghiệm x1 = nghiệm lại x2 = c a b) Nếu cho x = − ta có (*) a.( − 1)2 + b( − 1) + c = a − b + c = Như phương trình có nghiệm x1 = −1 nghiệm lại x2 = −c a Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau: 1) x + x + = (1) 2) 3x + x − 11 = (2) Ta thấy : −3 Phương trình (1) có dạng a − b + c = nên có nghiệm x1 = −1 x2 = Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm x1 = x2 = −11 Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: 35 x − 37 x + = x + 500 x − 507 = x − 49 x − 50 = 4321x + 21x − 4300 = Cho phương trình , có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm tìm nghiệm cịn lại hệ số phương trình : Vídụ: a) Phương trình x − px + = Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai b) Phương trình x + x + q = có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai Giaovienvietnam.com c) Cho phương trình : x − x + q = , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x − qx + 50 = , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm Bài giải: a) Thay x1 = v phương trình ban đ ầu ta đ ợc : 4−4p+5 = ⇒ p = 5 T x1 x2 = suy x2 = x = x = b) Thay v phương trình ban đ ầu ta đ ợc 25 + 25 + q = ⇒ q = −50 −50 −50 T x1 x2 = −50 suy x2 = x = = −10 c) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 − x2 = 11 theo VI-ÉT ta có x1 − x2 = 11 x1 = x1 + x2 = , ta giải hệ sau: ⇔ x + x = x2 = −2 Suy q = x1 x2 = −18 d) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 = x2 theo VI-ÉT ta có x1 x2 = 50 Suy x = −5 x22 = 50 ⇔ x22 = 52 ⇔ x2 = Với x2 = −5 th ì x1 = −10 Với x2 = th ì x1 = 10 II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ; x2 Ví dụ : Cho x1 = ; x2 = lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm S = x1 + x2 = x1 ; x2 nghiệm phương trình có dạng: P = x1 x2 = Theo hệ thức VI-ÉT ta có x − Sx + P = ⇔ x − x + = Bài tập áp dụng: x1 = vµ x2 = -3 x1 = 3a vµ x2 = a x1 = 36 vµ x2 = -104 x1 = + vµ x2 = − 2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: Giaovienvietnam.com V í dụ: Cho phương trình : x − x + = có nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải phương 1 trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y1 = x2 + x y2 = x1 + x Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 1 1 1 x +x + x1 + = ( x1 + x2 ) + + ÷ = ( x1 + x2 ) + = + = x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 1 1 P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + + + = +1+1+ = x1 x2 x1 x2 2 S = y1 + y2 = x2 + Vậy phương trình cần lập có dạng: hay y − Sy + P = 9 y2 − y + = ⇔ y2 − y + = 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x + x − = có nghiệm phân biệt x1; x2 Khơng giải phương trình, 1 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 = x1 + x y2 = x2 + x (Đáp số: y + y − = hay y + y − = ) 2 2/ Cho phương trình : x − x − = có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn y1 = x14 y2 = x24 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho) (Đáp số : y − 727 y + = ) 3/ Cho phương trình bậc hai: x − x − m2 = có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1; y2 cho : a) y1 = x1 − y2 = x2 − b) y1 = x1 − y2 = x2 − 2 (Đáp số a) y − y + − m = b) y − y − (4m − 3) = ) III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình : (điều kiện để có hai số S2 − 4P ≥ ) x − Sx + P = Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = − tích P = ab = − Vì a + b = − ab = − n ên a, b nghiệm phương trình : x + 3x − = giải phương trình ta x = x2 = −4 Vậy a = b = − a = − b = Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P S = P=2 − S = P=6 S = P = 20 S = 2x P = x2 − y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 Giaovienvietnam.com −b a = ab = 36 a + b2 = 61 v ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VIÉT cần tìm tích a v b T a + b = ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab = 81 − ( a + b ) = 20 x1 = x2 = Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : x − x + 20 = ⇔ Vậy: Nếu a = b = a = b = 2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = − b ta có : a + c = a.c = − 36 x1 = −4 x2 = Suy a,c nghiệm phương trình : x − x − 36 = ⇔ Do a = − c = nên b = − a = c = − nên b = 2 2 Cách 2: Từ ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169 a + b = −13 ⇒ ( a + b ) = 132 ⇒ a + b = 13 *) Với a + b = −13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x = −4 x + 13x + 36 = ⇔ x2 = −9 Vậy a = −4 b = −9 *) Với a + b = 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x1 = x − 13x + 36 = ⇔ x2 = Vậy a = b = 3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b: a + b = −11 a + b = 11 T ừ: a2 + b2 = 61 ⇒ ( a + b ) = a + b + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 ⇒ *) Nếu a + b = −11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình: x1 = −5 x + 11x + 30 = ⇔ x2 = −6 Vậy a = −5 b = −6 ; a = −6 b = −5 *) Nếu a + b = 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : x = x − 11x + 30 = ⇔ x2 = Vậy a = b = ; a = b = Giaovienvietnam.com IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( x1 + x2 ) x1 x2 Ví dụ a) x12 + x22 = ( x12 + x1x2 + x22 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 3 2 b) x1 + x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 c) x14 + x24 = ( x12 )2 + ( x22 )2 = ( x12 + x22 ) − x12 x22 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 − x12 x22 1 x +x d) x + x = x x 2 x1 − x2 = ? Ví dụ Ta biết ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ± ( x1 + x2 ) − x1 x2 Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: x12 − x22 ( = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) =…….) 2 x13 − x23 x14 − x24 2 2 ( = ( x1 − x2 ) ( x1 + x1 x2 + x2 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2 =…… ) 2 2 ( = ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) =…… ) 3 2 2 4 x16 + x26 ( = ( x1 ) + ( x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = …… ) Bài tập áp dụng x16 − x26 x15 + x25 1 x − + x − 1 x17 + x27 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x − x + 15 = Khơng giải phương trình, tính x12 + x22 (34) x1 x2 34 1 9 1 14 1 1 8 ÷ 15 x + x x + x ( x1 + x2 ) (46) ÷ 15 b) Cho phương trình : x − 72 x + 64 = Khơng giải phương trình, tính: (65) x + x x12 + x22 ÷ 8 c) Cho phương trình : x − 14 x + 29 = Không giải phương trình, tính: x + x x12 + x22 (138) ÷ 29 d) Cho phương trình : x − x + = Khơng giải phương trình, tính: x + x (3) 1− x 1− x 2 x + x x1 x2 (1) 5 x + + x + ÷ 6 2 e) Cho phương trình x − 3x + = có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính x12 + x22 (1) Giaovienvietnam.com Q= HD: Q = x + 10 x1 x2 + x x1 x23 + x13 x2 2 x12 + 10 x1 x2 + x22 6( x1 + x2 ) − x1 x2 6.(4 3) − 2.8 17 = = = 3 2 x1 x2 + x1 x2 x1 x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 5.8 (4 3) − 2.8 80 V TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHƠNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm toán loại này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ∆ ≥ 0) - Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ 1: Cho phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − = có nghiệm x1 ; x2 Lập hệ thức liên hệ x1; x2 cho chúng khơng phụ thuộc vào m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m ≠ m ≠ m − ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ⇔ m≥ V' ≥ 5m − ≥ m − (m − 1)(m − 4) ≥ Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 2m x + x = x + x = + (1) 2 m −1 m −1 ⇔ m − x x = x x = − (2) m − m −1 Rút m từ (1) ta có : 2 = x1 + x2 − ⇔ m − = m −1 x1 + x2 − (3) Rút m từ (2) ta có : 3 = − x1 x2 ⇔ m − = m −1 − x1 x2 (4) Đồng vế (3) (4) ta có: = ⇔ ( − x1 x2 ) = ( x1 + x2 − ) ⇔ ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = x1 + x2 − − x1 x2 Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − = Chứng minh biểu thức A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − không phụ thuộc giá trị m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m ≠ m ≠ m − ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ⇔ m≥ V' ≥ 5m − ≥ m − (m − 1)(m − 4) ≥ Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : Giaovienvietnam.com 2m x1 + x2 = m − x x = m − m −1 thay v A ta c ó: 2m m−4 6m + 2m − − 8(m − 1) + −8 = = =0 m −1 m −1 m −1 m −1 Vậy A = với m ≠ m ≥ Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm - Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bài tập áp dụng: Cho phương trình : x − ( m + ) x + ( 2m − 1) = có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1; x2 cho x1; x2 độc lập m 2 Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = ( m + ) − ( 2m − 1) = m2 − 4m + = ( m − ) + > phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có m = x1 + x2 − 2(1) x1 + x2 = m + ⇔ x x +1 m= (2) x1.x2 = 2m − Từ (1) (2) ta có: x1 x2 + ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − = 2 Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + ( m − ) = x1 + x2 − = Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m + 1)2 − 4.2(m − 4) = 16m2 + 33 > phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có x1 + x2 = −(4m + 1) 4m = −( x1 + x2 ) − 1(1) ⇔ x1.x2 = 2(m − 4) 4m = x1 x2 + 16(2) Từ (1) (2) ta có: −( x1 + x2 ) − = x1 x2 + 16 ⇔ x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Đối với toán dạng này, ta làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ∆ ≥ 0) - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Giaovienvietnam.com Ví dụ 1: Cho phương trình : mx − ( m − 1) x + ( m − 3) = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 x2 l : m ≠ m ≠ m ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ⇔ 2 ∆ ' = ( m − 1) ≥ m ≥ −1 ∆ ' = ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ ∆ ' = 3 ( m − 21) − 9(m − 3)m ≥ 6(m − 1) x + x = m Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: v t gi ả thi ết: x1 + x2 = x1 x2 Suy ra: 9( m − 3) x x = m 6(m − 1) 9(m − 3) = ⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = m m (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x − ( 2m + 1) x + m + = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 & x2 : 2 ∆ ' = (2m + 1) − 4( m + 2) ≥ ⇔ 4m + m + − 4m − ≥ ⇔ 4m − ≥ ⇔ m ≥ x1 + x2 = 2m + Theo hệ thức VI-ÉT ta có: x1 x2 = m + từ giả thiết 3x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Suy 3(m + 2) − 5(2m + 1) + = ⇔ 3m + − 10m − + = m = 2(TM ) ⇔ 3m − 10m + = ⇔ m = ( KTM ) Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Bài tập áp dụng Cho phương trình : mx + ( m − ) x + m + = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 − x2 = 2 Cho phương trình : x + ( m − 1) x + 5m − = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: x1 + x2 = Cho phương trình : 3x − ( 3m − ) x − ( 3m + 1) = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 − x2 = Hướng dẫn cách giải: Giaovienvietnam.com Đối với tập dạng ta thấy có điều khác biệt so với tập Ví dụ ví dụ chỗ + Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x1 + x2 tích nghiệm x1 x2 nên ta vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m + Cịn tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 + x2 tích nghiệm x1 x2 từ vận dụng tương tự cách làm trình bày Ví dụ ví dụ BT1: - ĐKX Đ: m ≠ & m ≤ 16 15 −(m − 4) x1 + x2 = m (1) -Theo VI-ÉT: x x = m + m x1 + x2 = x2 ⇒ 2( x1 + x2 ) = x1 x2 (2) - Từ x1 − x2 = Suy ra: 2( x1 + x2 ) = x1 - Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: m2 + 127m − 128 = ⇒ m1 = 1; m2 = −128 BT2: - ĐKXĐ: ∆ = m − 22m + 25 ≥ ⇔ 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96 x1 + x2 = − m (1) x1 x2 = 5m − - Theo VI-ÉT: x1 = − 3( x1 + x2 ) ⇒ x1 x2 = [ − 3( x1 + x2 ) ] [ 4( x1 + x2 ) − 1] - Từ : x1 + 3x2 = Suy ra: x2 = 4( x1 + x2 ) − (2) ⇔ x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − m = m = - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m − 1) = ⇔ (thoả mãn ĐKXĐ) BT3: - Vì ∆ = (3m − 2) + 4.3(3m + 1) = 9m + 24m + 16 = (3m + 4) ≥ với số thực m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt 3m − x1 + x2 = (1) - -Theo VI-ÉT: x x = −(3m + 1) 8 x1 = 5( x1 + x2 ) + ⇒ 64 x1 x2 = [ 5( x1 + x2 ) + 6] [ 3( x1 + x2 ) − ] - Từ giả thiết: 3x1 − x2 = Suy ra: 8 x2 = 3( x1 + x2 ) − ⇔ 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − 36 (2) m = - Thế (1) vào (2) ta phương trình: m(45m + 96) = ⇔ 32 m=− 15 (thoả mãn ) VII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Giaovienvietnam.com Cho phương trình: ax + bx + c = (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm … Ta lập bảng xét dấu sau: S = x1 + x2 P = x1 x2 ∆ Dấu nghiệm x1 x2 Điều kiện chung m ± ∆≥ ∆ ≥ ; P < trái dấu P0 dấu, P>0 ∆≥ ∆≥ ;P>0;S>0 dương, + + S>0 P>0 − − ∆≥ ∆ ≥ ; P > ; S < âm S0 Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình: x − ( 3m + 1) x + m2 − m − = có nghiệm trái dấu Để phương trình có nghiệm trái dấu ∆ = (3m + 1) − 4.2.(m − m − 6) ≥ ∆ = ( m − 7) ≥ 0∀m ∆ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m < m −m−6 P = ( m − 3)( m + 2) < P = < P < Vậy với −2 < m < phương trình có nghi ệm trái dấu Bài tập tham khảo: mx − ( m + ) x + ( m − ) = có nghiệm dấu 2 3mx + ( 2m + 1) x + m = có nghiệm âm ( m − 1) x + x + m = có nghiệm khơng âm VIII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta ln phân tích được: A+ m C= (trong A, B biểu thức khơng âm ; m, k số) k − B Thì ta thấy : C ≥ m (v ì A ≥ ) ⇒ C = m ⇔ A = C ≤ k (v ì B ≥ ) ⇒ max C = k ⇔ B = Ví dụ 1: Cho phương trình : x + ( 2m − 1) x − m = Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm m để : A = x12 + x22 − x1 x2 có giá trị nhỏ x1 + x2 = −(2m − 1) x1 x2 = − m Bài giải: Theo VI-ÉT: A = x12 + x22 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 Theo đ ề b ài : = ( 2m − 1) + 8m = 4m − 12 m + = (2m − 3)2 − ≥ −8 (*) Giaovienvietnam.com Suy ra: A = −8 ⇔ 2m − = hay m = 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x − mx + m − = Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau: B= x1 x2 + x + x22 + ( x1 x2 + 1) x1 + x2 = m x1 x2 = m − Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT : ⇒B= x1 x2 + x1 x2 + 2(m − 1) + 2m + = = = 2 x + x2 + ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) + m2 + m +2 Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn Ta biến đổi B sau: B= m + − ( m − 2m + 1) m2 + Vì ( m − 1) ≥ ⇒ ( ( m − 1) = 1− m2 + m − 1) ≥ ⇒ B ≤1 m2 + 2 Vậy max B=1 ⇔ m = Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 2 m + 2m + − m m + 4m + ) − ( m + ) ( m + 2) ( 2 2 B= = = − 2 m +2 m +2 ( m + 2) Vì ( m + ) ≥ ⇒ ( m + 2) 2 ( m + 2) ≥0⇒ B ≥− 2 Vậy B = − ⇔ m = −2 Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m 2m + ⇔ Bm − 2m + B − = m +2 Ta có: ∆ = − B(2 B − 1) = − B + B B= (Với m ẩn, B tham số) Để phương trình (**) ln có nghiệm với m ∆ ≥ −2 B + B + ≥ ⇔ B − B − ≤ ⇔ ( B + 1) ( B − 1) ≤ hay B ≤ − 2 B + ≤ B ≥ B −1 ≥ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ B ≤1 2 B + ≥ B ≥ − B − ≤ B ≤ Vậy: max B=1 ⇔ m = (**) Giaovienvietnam.com B = − ⇔ m = −2 Bài tập áp dụng 2 Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + ( m − ) = Tìm m để biểu thức A = ( x1 − x2 ) có giá trị nhỏ Cho phương trình x − 2(m − 1) x − − m = Tìm m cho nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 ≥ 10 Cho phương trình : x − 2(m − 4) x + m − = xác định m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn a) A = x1 + x2 − 3x1 x2 đạt giá trị lớn b) B = x12 + x22 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ Cho phương trình : x − (m − 1) x − m + m − = Với giá trị m, biểu thức C = x12 + x22 dạt giá trị nhỏ Cho phương trình x + (m + 1) + m = Xác định m để biểu thức E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ BÀI TẬP PHẦN I : Bài (Bắc Ninh 1997 - 1998 Đề 1) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m tham số : x − 2(m − 3) x + 2m − = (1) a/ Chứng tỏ phương trình (1) ln có nghiệm với m 1 b/ Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 ; x2 Hãy tìm m để x + + x + = m Bài2 (Bắc Ninh 1998 - 1999 Đề 2) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m tham số : (1) x − 3mx + 3m − = a/ Chứng minh với giá trị m phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt ? b/ Hãy tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 = + Khi tìm nghiệm x2 phương trình ? Bài3 (Bắc Ninh 1999 - 2000 Đề 1) (1) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m tham số : x − x + m = a/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b/ Chứng minh với m phương trình (1) khơng thể có hai nghiệm số âm c/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - 2x2 = Bài4 (Bắc Ninh 1999 - 2000 Đề 2) Cho hai phương trình bậc hai ẩn x (a tham số) : Giaovienvietnam.com x − 3x − a − = (1) x + ax + = (2) 2 a/ Giải phương trình (1) (2) trường hợp a = -1 b/ Chứng minh với giá trị a hai phương trình ln có hai phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Bài5 (Bắc Ninh 2000 - 2001 Đề 2) Cho phương trình bậc hai ẩn x (m, n tham số) : x + (m + n) x − (m + n ) = (1) a/ Giải phương trình (1) m = n = b/ Chứng minh với giá trị m, n phương trình (1) ln có nghiệm c/ Tìm m, n để phương trình (1) tương đương với phương trình x − x − = Bài6 (Bắc Ninh 2001 - 2002 Đề 1) Cho phương trình : x − 2(m + 1) x + 2m + = a/ Giải phương trình m = b/ Tìm tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm Bài7 (Bắc Ninh 2001 - 2002 Đề 2) Cho phương trình bậc hai : x − 2(m + 1) x + m + 3m + = (1) a/ Tìm giá trị m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b/ Tìm giá trị m thỏa mãn x12 + x22 = 12 (Trong x1 , x2 hai nghiệm phương trình) ? Bài8 (Bắc Ninh 2002 - 2003 Đề 2) Cho hai phương trình : x − 3x + 2m + = (1) x + x − 2m − 10 = (2) a/ Giải hai phương trình với m = - b/ Tìm giá trị m để hai phương trình có nghiệm chung c/ Chứng minh với giá trị m hai phương trình có nghiệm Bài9 (Bắc Ninh 2003 - 2004 Đề 1) a/ Chứng minh : Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = có hai nghiệm x1 , x2 x1 + x2 = − b c x1.x2 = a a b/ Tìm hai số biết tổng chúng tích chúng - c/ Tìm số nguyên a để phương trình x − ax + a − = có nghiệm Bài10 (Bắc Ninh 2003 - 2004 Đề 2) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m tham số : x − x + m = (1) a/ Tìm m để phương trình có (1) có nghiệm b/ Chứng minh với m phương trình (1) khơng thể có hai nghiệm âm c/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn : x1 − x2 = Bài11 (Bắc Ninh 2004 - 2005 Đề 1) Cho phương trình bậc hai : x − (m + 1) x + m − 2m + = (1) a/ Giải PT với m=2 b/ Tìm giá trị m để PT có nghiệm kép, vơ nghiệm, có ghiệp phân biệt Bài12 (Bắc Ninh 2005 - 2006 Đề 1) Giaovienvietnam.com Cho phương trình bậc hai : x − 2(m + 1) x + m − = (1) a/ Giải PT với m=1 b/ Tìm giá trị m để PT có nghiệm trái dấu c/ Với x1, x2 nghiệm PT tính theo m giá trị biểu thức A= x1 (1 − x2 ) + x2 (1 − x1 ) Bài13 (Bắc Ninh 2006 - 2007 Đề 1) Cho phương trình bậc hai : x + mx + m − = a/ Giải PT với m=1 b/ CMR PT ln có nghiệm phân biệt với moi m c/ Tìm m dể pt có hai nghiệm trái dấu nghiệm am lớn nghiệm âm Bài14 (Bắc Ninh 2007 - 2008 Đề 1) Cho phương trình bậc hai x − 2(2m − 1) x + 3m − = (x ẩn) (1) a/ Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b/ Gọi x1; x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (1) Hãy tìm m để x1 + x2 = −2 Bài15 (Bắc Ninh 2008 - 2009 Đề 1) Cho phương trình x - 2x - = có hai nghiệm x1, x2 x x Tính giá trị biểu thức : S = x + x Bài16 (Bắc Ninh 2009 - 2010 Đề 1) Cho phương trình : (m + 1) x − 2(m − 1) x + m − = a/ Giải phương trình (1) với m = (1) (m tham số) 1 b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn : x + x = 2 PHẦN II : Bài 1: Cho phương trình: X2 – 3x + = có nghiệm x1, x2 Tính: a x12 + x22 b x13 + x23 c x14 + x24 d x15 + x25 x1 + + x2 h x2 + x1 e) x1 x1 + x2 x2 f x1 x2 + x2 x1 Bài Cho pt x2 - 3x + = 0, Gọi x1 x2 nghiệm pt Khơng giải pt tính x12 + x22 x31 + x32 x41 + x42 x21x2 + x22x1 1 + x1 x x1 x x + x x1 -x2 10 x12 - x22 11 |x1 |-|x2| 12 x1 + x 13 x1 x + x x1 14 x1 x1 + x x 16 (2 x1-1)( 2x2-1) 17 x12(x1- 1) + x22(x2- 1) x1 + x1 x + x 2 x1 x + x1 x 2 Bài Cho PT (m - 1) x2 - 2(m+1)x + m- = Giải pt với m = -1 Tìm m để pt có nghiệm phân biệt Tìm m để pt có nghiệm kép Tìm nghiệm kép Bài 4: Cho phương trình (m-1)x2 + 2mx + m – = 2 x1 + x + x1 x ( x1 + x ) 2 x1 ( x 21 − 1) + x ( x − 1) 15 x1 + x2 x2 x1 x1 -1 x -1 18 x + x Giaovienvietnam.com Giải phương trình m = Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình có nghiệm x = 16, tìm nghiệm cịn lại Bài 5:Cho phương trình : x2 – (m + 5)x – m + = 0, với m tham số Tìm m để hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn : 2x1 + 3x2 = 13 Bài 6: Cho phương trình: x2 - 2mx + m = a Giải phương trình với m = 7b Cm phương trình ln có nghiệm phân biệt với ∀m c Viết hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m Tính x1 theo x2 1 d Tính theo m: x3 + x ; x12 − 2mx1 + x22 + m e Tính m để phương trình có nghiệm trái dấu, nghiệm dương g Tính m để phương trình có nghiệm 2x1+x2 = ; h Tìm giá trị lớn A = x1(x2 – x1)- x22 i.Lập phương trình bậc có nghiệm số đối nghiệm phương trình Bài : Cho phương trình: x2-(m+1)x + m = a)giải phương trình với m = b)Tìm m để tổng bình phương nghiệm 17 c)Lập hệ thức độc lập nghiệm không phụ thuộc vào m Bài : Cho phương trình: x2- 2mx + 2m – = a) Giải phương trình với m= b) Tìm m để tổng bình phương nghiệm 10 c) Llập hệ thức độc lập nghiệm không phụ thuộc vào m 2( x12 + x22 ) − x1 x2 = 65 d) Tìm m cho : Bài 9: Cho x2-4x-( m2+2m)=0 a) Giải phương trình với m=5 b) Chứng minh phương trình có nghiệm với m c) Tính ( x12 + x22 ) + 8( x1 x2 + 1) theo m d) Tìm m để ( x12 + x22 ) = 5( x1 + x2 ) Bài 10: Cho x2-2( m-1)x +m-3=0 a.Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b.Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc m c.Tìm m để x1-3x2=5 Bài 11 Cho pt : x2 - ( 2m - ) + m2 - m- = (1) CMR phương trình ln có nghiệm với giá trị m Giải phương trình với m = Gọi x1, x2 nghiệm pt (1) a Tìm hệ thức lên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m b Tìm m cho ( 2x1 - x2) ( 2x2 - x1) đạt GTNN Bài 12 Cho pt bặc : x2 - 2( m + )x + m2 + 3m + = (1) Giải phương trình (1) với m = -1 Tìm m để PT (1) ln có nghiệm phân biệt Gọi x1,x2 nghiệm PT Tìm m để x12 + x22 = 12 Giaovienvietnam.com Bài 13.Cho phương trình x - 2mx + 2m - = CMR pt ln có nghiệm với giá trị Giải pt với m = m Gọi x 1, x2 nghiệm phương Tìm m để phương trình có nghiệm trình trái dấu a Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m b Tìm GTNN hệ thức A= x12 + x22 ...Giaovienvietnam.com NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI- ÉT TRONG GIẢI TỐN Cho phương trình bậc hai: −b − ∆ ; 2a −b − ∆ −... Giaovienvietnam.com IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức. .. nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ∆ ≥ 0) - Áp dụng hệ thức VI- ÉT vi? ??t S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ 1: Cho phương
Ngày đăng: 12/11/2021, 12:03
Xem thêm:
