Mời quý thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo tài liệu Chuyên đề Ứng dụng của hệ thức Vi-ét. Hi vọng đây sẽ là tư liệu hữu ích giúp các bạn ôn tập, hệ thống lại kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập chính xác để chuẩn bị cho các kì thi quan trọng sắp tới.
CHUN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VIÉT NỘI DUNG CHUN ĐỀ : ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VIÉT TRONG GIẢI TỐN Cho phương trình bậc hai: −b − ∆ ; 2a −b − ∆ − b + ∆ −2b −b x1 + x2 = = = 2a 2a a (−b − ∆ )(−b + ∆ ) b − ∆ 4ac c x1 x2 = = = = 4a 4a 4a a −b Tổng nghiệm là S : S = x1 + x2 = a c Tích nghiệm là P : P = x1 x2 = a Có hai nghiệm Suy ra: Vậy đặt : ax2 + bx + c = 0 (a 0) x1 = (*) x2 = −b + ∆ 2a Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a, b, c. Đây chính là nội dung của Định lí VIÉT, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong giải tốn I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : 1. Dạng đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) a.12 + b.1 + c = 0 a + b + c = 0 Như vây phương trình có một nghiệm x1 = và nghiệm còn lại là x2 = c a b) Nếu cho x = − 1 thì ta có (*) a.( − 1)2 + b( − 1) + c = 0 a − b + c = 0 Như vậy phương trình có một nghiệm là x1 = −1 và nghiệm còn lại là x2 = Ví dụ: Dùng hệ thức VIÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 1) x + x + = (1) 2) 3x + x − 11 = (2) Ta thấy : −3 −11 Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x1 = và x2 = Phương trình (1) có dạng a − b + c = 0 nên có nghiệm x1 = −1 và x2 = Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau: 1. 35 x − 37 x + = 2. x + 500 x − 507 = 3. x − 49 x − 50 = 4. 4321x + 21x − 4300 = −c a 2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình : Vídụ: a) Phương trình x − px + = Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai b) Phương trình x + x + q = có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai c) Cho phương trình : x − x + q = , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x − qx + 50 = , biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. Bài giải: a) Thay x1 = v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc : 4−4p+5 = p= 5 T ừ x1 x2 = suy ra x2 = x = b) Thay x1 = v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc 25 + 25 + q = q = −50 −50 −50 T ừ x1 x2 = −50 suy ra x2 = x = = −10 c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 − x2 = 11 và theo VIÉT ta có x1 + x2 = , ta giải hệ sau: x1 − x2 = 11 x1 = x1 + x2 = x2 = −2 Suy ra q = x1 x2 = −18 d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 = x2 và theo VIÉT ta có x1 x2 = 50 Suy ra x22 = 50 x22 = 52 x2 = −5 x2 = Với x2 = −5 th ì x1 = −10 Với x2 = th ì x1 = 10 II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ; x2 Ví dụ : Cho x1 = ; x2 = lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên Theo hệ thức VIÉT ta có x − Sx + P = Bài tập áp dụng: 1. x1 = 8 2. x1 = 3a 3. x1 = 36 S = x1 + x2 = P = x1 x2 = vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: x − 5x + = vµ vµ vµ x2 = 3 x2 = a x2 = 104 4. x1 = 1 + vµ x2 = 1 − 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: V í d ụ: Cho phương trình : x − x + = có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1 = x2 + y2 = x1 + và x1 x2 Theo h ệ th ức VI ÉT ta c ó: 1 + x1 + = ( x1 + x2 ) + x1 x2 1 P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + + + x1 x2 S = y1 + y2 = x2 + x +x 1 + = ( x1 + x2 ) + = + = x1 x2 x1 x2 2 1 = +1+1 + = x1 x2 2 Vậy phương trình cần lập có dạng: hay y − Sy + P = 9 y2 − y + = y2 − y + = 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x + x − = có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 Khơng giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 = x1 + 1 và y2 = x2 + x2 x1 2 2/ Cho phương trình : x − x − = có 2 nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn y1 = x14 y2 = x24 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của (Đáp số: y + y − = hay y + y − = ) phương trình đã cho) (Đáp số : y − 727 y + = ) 3/ Cho phương trình bậc hai: x − x − m2 = có các nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1; y2 sao cho : a) y1 = x1 − và y2 = x2 − b) y1 = x1 − và y2 = x2 − 2 (Đáp số a) y − y + − m = b) y − y − (4m − 3) = ) III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x − Sx + P = (điều kiện để có hai số đó là S2 − 4P 0 ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = − 3 và tích P = ab = − Vì a + b = − 3 và ab = − 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x + 3x − = giải phương trình trên ta được x = và x2 = −4 Vậy nếu a = 1 thì b = − nếu a = − 4 thì b = 1 Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 1. S = 3 và P = 2 − 2. S = P = 6 3. S = 9 và P = 20 4. S = 2x và P = x2 − y2 Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2. a − b = 5 và ab = 36 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI ÉT thì cần tìm tích của a v à b T ừ a + b = ( a + b) = 81 a + 2ab + b = 81 2 ab = 81 − ( a + b ) = 20 Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : x − x + 20 = x1 = x2 = Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5 nếu a = 5 thì b = 4 2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = − b ta có : a + c = 5 và a.c = − 36 Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : x − x − 36 = x1 = −4 x2 = Do đó nếu a = − 4 thì c = 9 nên b = − nếu a = 9 thì c = − 4 nên b = 4 2 2 Cách 2: Từ ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169 ( a + b) a + b = −13 = 132 a + b = 13 *) Với a + b = −13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x + 13x + 36 = x1 = −4 x2 = −9 Vậy a = −4 thì b = −9 *) Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x − 13x + 36 = x1 = x2 = Vậy a = 9 thì b = 4 3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b: T ừ: a2 + b2 = 61 ( a + b) = a + b2 + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 a + b = −11 a + b = 11 *) Nếu a + b = −11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: x + 11x + 30 = x1 = −5 x2 = −6 Vậy nếu a = −5 thì b = −6 ; nếu a = −6 thì b = −5 *) Nếu a + b = 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : x1 = x − 11x + 30 = x2 = Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5 IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối các bài tốn dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VIÉT rổi tính giá trị của biểu thức 1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 + x2 ) và x1 x2 Ví dụ 1 a) x12 + x22 = ( x12 + x1 x2 + x22 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 b) x13 + x23 = ( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x22 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 c) x14 + x24 = ( x12 )2 + ( x22 )2 = ( x12 + x22 ) − x12 x22 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 − x12 x22 1 x +x d) x + x = 1x x 2 Ví dụ 2 x1 − x2 = ? Ta biết ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 x1 − x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau: 1. x12 − x22 ( = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) =…….) 2. x13 − x23 3. x14 − x24 ( = ( x1 − x2 ) ( x12 + x1 x2 + x22 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2 =……. ) ( = ( x12 + x22 ) ( x12 − x22 ) =…… ) 4. x16 + x26 ( = ( x12 )3 + ( x22 )3 = ( x12 + x22 ) ( x14 − x12 x22 + x24 ) = …… ) Bài tập áp dụng 1 8. x − + x − 1 2. Khơng giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x − x + 15 = Khơng giải phương trình, hãy tính 5. x16 − x26 6. x15 + x25 1. x12 + x22 (34) x1 x2 + x2 x1 34 15 3. 7. x17 + x27 2. 1 + x1 x2 4. ( x1 + x2 ) 15 (46) b) Cho phương trình : x − 72 x + 64 = Khơng giải phương trình, hãy tính: 1. 1 + x1 x2 2. x12 + x22 (65) c) Cho phương trình : x − 14 x + 29 = Khơng giải phương trình, hãy tính: 1. 1 + x1 x2 14 29 2. x12 + x22 (138) d) Cho phương trình : x − 3x + = Khơng giải phương trình, hãy tính: 1 + x1 x2 (3) 3. x12 + x22 (1) 1. − x1 − x2 + x1 x2 x x 4. + x2 + x1 + 2. (1) e) Cho phương trình x − 3x + = có 2 nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính Q= HD: Q = x12 + 10 x1 x2 + x22 x1 x23 + x13 x2 x12 + 10 x1 x2 + x22 6( x1 + x2 ) − x1 x2 6.(4 3) − 2.8 17 = = = 3 x1 x2 + x1 x2 80 5.8 (4 3) − 2.8 x1 x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHƠNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm các bài tốn loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a 0 và 0) Áp dụng hệ thức VIÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 Ví dụ 1 : Cho phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − = có 2 nghiệm x1; x2 Lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho chúng khơng phụ thuộc vào m Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì : m m −1 m m V' m − (m − 1)(m − 4) 5m − m Theo hệ th ức VI ÉT ta có : 2m m −1 m−4 x1.x2 = m −1 (1) m −1 x1.x2 = − (2) m −1 x1 + x2 = x1 + x2 = + Rút m từ (1) ta có : = x1 + x2 − m −1 m −1 = x1 + x2 − (3) Rút m từ (2) ta có : = − x1 x2 m −1 m −1 = − x1 x2 (4) Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có: = x1 + x2 − − x1 x2 ( − x1 x2 ) = ( x1 + x2 − ) ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − = Chứng minh rằng biểu thức A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − khơng phụ thuộc giá trị của m Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì : m −1 m m V' m − (m − 1)(m − 4) 5m − m m Theo hệ thức VI ÉT ta c ó : 2m m −1 m−4 x1.x2 = m −1 x1 + x2 = thay v ào A ta c ó: 2m m−4 6m + 2m − − 8(m − 1) + −8 = = =0 m −1 m −1 m −1 m −1 Vậy A = 0 với mọi m và m Do đó biểu thức A khơng phụ thuộc vào m A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = Nhận xét: Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm Sau đó dựa vào hệ thức VIÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số Bài tập áp dụng: 1. Cho phương trình : x − ( m + ) x + ( 2m − 1) = có 2 nghiệm x1; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho x1 ; x2 độc lập đối với m 2 Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = ( m + ) − ( 2m − 1) = m − 4m + = ( m − ) + > do đó phương trình đã cho ln có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI ÉT ta có x1 + x2 = m + x1.x2 = 2m − m = x1 + x2 − 2(1) x1 x2 + (2) m= Từ (1) và (2) ta có: x1 x2 + ( x1 + x2 ) − x1 x2 − = 2. Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + ( m − ) = x1 + x2 − = Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng khơng phụ thuộc vào m Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m + 1)2 − 4.2(m − 4) = 16m2 + 33 > do đó phương trình đã cho ln có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI ÉT ta có x1 + x2 = −(4m + 1) 4m = −( x1 + x2 ) − 1(1) x1.x2 = 2(m − 4) 4m = x1 x2 + 16(2) Từ (1) và (2) ta có: −( x1 + x2 ) − = x1 x2 + 16 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Đối với các bài tốn dạng này, ta làm như sau: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a 0 và 0) Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VIÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số) Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ 1: Cho phương trình : mx − ( m − 1) x + ( m − 3) = Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à : m m ∆ ' = ( m − 21) − 9( m − 3) m ∆ ' = ( m − 2m + 1) − 9m + 27 2 6(m − 1) m Theo h ệ th ức VI ÉT ta c ó: 9(m − 3) x1 x2 = m x1 + x2 = ra: 6(m − 1) 9(m − 3) = m m 6(m − 1) = 9(m − 3) m ∆ ' = ( m − 1) m m −1 v à t gi ả thi ết: x1 + x2 = x1 x2 Suy 6m − = 9m − 27 3m = 21 m = (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x − ( 2m + 1) x + m + = Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là : ∆ ' = (2m + 1) − 4( m + 2) 4m + 4m + − m − 4m − m x1 + x2 = 2m + Theo hệ thức VIÉT ta có: x1 x2 = m + và từ giả thiết 3x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Suy ra 3(m + 2) − 5(2m + 1) + = 3m + − 10m − + = 3m − 10m + = m = 2(TM ) m = ( KTM ) Vậy với m = phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình : mx + ( m − ) x + m + = Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 − x2 = 2. Cho phương trình : x + ( m − 1) x + 5m − = Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x1 + 3x2 = 3. Cho phương trình : 3x − ( 3m − ) x − ( 3m + 1) = Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 − x2 = Hướng dẫn cách giải: Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ + Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 + x2 và tích nghiệm x1 x2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VIÉT để tìm tham số m + Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 + x2 và tích nghiệm x1 x2 rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 BT1: ĐKX Đ: m & m 16 15 −( m − 4) m (1) Theo VIÉT: m+7 x1 x2 = m x1 + x2 = 3x2 Từ x1 − x2 = Suy ra: 2( x1 + x2 ) = x1 x1 + x2 = 2( x1 + x2 ) = x1 x2 (2) Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: m2 + 127 m − 128 = BT2: ĐKXĐ: ∆ = m − 22m + 25 11 − 96 m 11 + 96 Theo VIÉT: x1 + x2 = − m x1 x2 = 5m − m1 = 1; m2 = −128 (1) x1 = − 3( x1 + x2 ) Từ : x1 + 3x2 = Suy ra: x2 = 4( x1 + x2 ) − x1 x2 = [ − 3( x1 + x2 ) ] [ 4( x1 + x2 ) − 1] (2) x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m − 1) = m=0 m =1 (thoả mãn ĐKXĐ) BT3: Vì ∆ = (3m − 2)2 + 4.3(3m + 1) = 9m + 24m + 16 = (3m + 4)2 với mọi số thực m nên phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt 3m − (1) Theo VIÉT: −(3m + 1) x1 x2 = x1 + x2 = x1 = 5( x1 + x2 ) + Từ giả thiết: 3x1 − x2 = Suy ra: x2 = 3( x1 + x2 ) − 64 x1 x2 = [ 5( x1 + x2 ) + 6] [ 3( x1 + x2 ) − ] 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − 36 (2) m=0 Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m(45m + 96) = m=− 32 (thoả mãn ) 15 VII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax + bx + c = (a 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm … Ta lập bảng xét dấu sau: S = x1 + x2 P = x1 x2 Dấu nghiệm Điều kiện chung x1 x2 m P 0 + + S > 0 P > 0 cùng dương, 0 0 ; P > 0 ; S > 0 − − S 0 cùng âm 0 0 ; P > 0 ; S