SKKN toán giúp học sinh chuyên sâu về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

SKKN toán giúp học sinh chuyên sâu về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau; SKKN toán giúp học sinh chuyên sâu về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau; SKKN toán giúp học sinh chuyên sâu về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau; SKKN toán giúp học sinh chuyên sâu về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau SKKN toán giúp học sinh chuyên sâu về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau; SKKN toán giúp học sinh chuyên sâu về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Phần I: Lý DO CHọN Đề TàI Toỏn hc l mơn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao, giúp cho học sinh khả tính tốn, suy luận logíc phát triển tư sáng tạo Việc dạy học sinh học tốn khơng đơn cung cấp cho em số kiến thức thông qua việc làm tập làm nhiều tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện kỹ thói quen suy nghĩ tìm tịi lời giải tốn vận dụng tốn sở kin thc ó hc Trong trình giảng dạy môn toán nói chung toán nói riêng, thấy phần kiến thức tỷ lệ thức dÃy tỷ số chơng trình Đại số lớp Các dạng toán tØ lƯ thøc vµ d·y tØ sè b»ng rÊt phong phú đa dạng nhng sách giáo khoa, sách giám khảo lại trỡnh by ni dung khụng nhiu mà kỳ thi học sinh giỏi toán hấu nh đề có Trong chơng II, học đại lợng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức phơng tiện quan trọng giúp ta giải toán Trong phân môn Hình học, để học đợc định lý Talet, tam giác đồng dạng thiếu kiến thức tỷ lệ thức Mặt khác học tỷ lệ thức tính chất cđa d·y tû sè b»ng cßn rÌn t cho học sinh tốt giúp em có khả khai thác toán, lập toán Với mong muốn góp phần cơng sức nhỏ việc bồi dưỡng lực học tốn cho học sinh nhằm rèn luyện khả sáng tạo học toán cho học sinh để em tự phát huy lực độc lập sáng tạo mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi tốn, tơi xin cung cấp trao đổi đồng nghiệp đề tài kinh nghiệm: " Gióp häc sinh chuyên sâu tỉ lệ thức, tính chất dÃy tØ sè b»ng nhau" Do ®iỊu kiƯn cã nhiỊu hạn chế nên sau xin đa số dạng toán thờng gặp với nội dung toán bản, thay đổi giả thiết toán để đợc toán mới, thấy vận dụng vào trình ôn tập bồi dỡng häc sinh giái cho häc sinh khèi phÇn tØ lƯ thøc, tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng phù hợp Thông qua tập đa đến cho học sinh cách tiếp cận khác toán có dạng nhằm phát triển t cho học sinh Phần II: NI DUNG TI A Lí THUYT: 1) Định nghĩa, tính chất tỉ lệ thức a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số a c  b d b) TÝnh chÊt: + TÝnh chất ( tính chất ) : Nếu a c  th× ad = b d bc + TÝnh chÊt : c¸c tØ lƯ thøc NÕu ad = bc a, b, c, d khác ta cã a c a b d c d b  ;  ;  ;  b d c d b a c a 2) TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau: a c a c a c a c  ta suy    b d b d b d b d a c e + Më réng: tõ d·y tØ sè b»ng   b d f a c e a c e a  c e      ta suy ra: b d f bd  f b d  f + Tõ tØ lÖ thøc  b ��d ( giả thiết tỉ số có nghĩa) Chú ý: + Khi cã d·y tØ sè a b c   ta nãi c¸c sè a, b, c tØ lƯ víi c¸c sè x y z x, y, z; Ta cßn viÕt a : b : c = x : y : z + Vì tỉ lệ thức đẳng thức nên có tính chất đẳng thøc, tõ 2 �a � �c � a c � � � � ; �b � �d � b d a c k  k  k �0  ; b d a c  b d k1a k2 c  (k1 , k �0) k1b k2 d 3 a c e �a � �c � �e � a c e   tõ b d f suy � � � � � � � � �b � �d � �f � b d f suy ra: �a � c e ; � � � �b � d f 3) KiÕn thøc bỉ sung: a) L thõa cđa mét th¬ng: n �x � xn Víi n � N, y � vµ x, y � Q �y �  y n b) Một số tính chất bản: a a.m  * Víi m �0 b b.m a c a c  �  * Víi n �0 b d b.n d n n n a c �a � �c � *  � � �  � � Víi n � N b d �b � �d � B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM Sè H¹NG TRONG TỈ LỆ THỨC A Phương pháp chung: +) Dạng tập em gặp nhiều, phong phú đa dạng Bài, có cho kiện, thường cho kiện Từ mối quan hệ ta tìm đáp án bài, phải biến đổi sử dụng +) Lưu ý đến dấu số cần tìm trường hợp có số mũ chẵn tích số, để tránh tìm số khơng thoả mãn u cầu Cũng lưu ý trường hợp xảy để khơng bỏ xót giá trị cần tìm B Bài tập áp dụng : Bài tập 1: tìm x tỉ lệ thức sau ( 46 – SGK 26 b) 0,52 : x = - 9,36 : 16,38 HD : Học sinh tìm x cách xem x số chia , để áp dụng tính chất tỷ lệ thức từ 0,52 : x = - 9,36 : 16,38 � x  9,36   0.52.16,38 0,52.16,38 �x  0,91 9,36 Ta nâng mức độ khó sau : Bài tập Tìm x : �3 �3 b) 0, :1  5 � � a) � x �:  : :  6x  7 đưa tỉ lệ thức tỉ lệ thức đơn giản tìm x Bài tập 2: Tìm x biết ( 69 SBT T 13 – a) x 60  15 x x 60  � x.x   15   60  � x  900 � x  302 Giải : từ 15 x Suy x = 30 x = -30 Ta thấy tỉ lệ thức có số hạng chưa biết số hạng giống nên ta đưa luỹ thừa bậc hai nâng cao tỉ lệ thức Bài tập 3: Tìm x tỉ lệ thức x  60  15 x  x3  5 x Giải: Cách 1: từ x 3  �  x  3    x  5 x � x  21  25  x � 12 x  46 �x3 x3 x 3 5 x  �  Cách 2: từ 5 x 7 áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : x 3 5 x x 35 x     57 12 x3 �  �  x  3  5 5 � x3 � x  6 Bài tập 4: Tìm x tỉ lệ thức x2 x4  x 1 x  �  x    x     x    x  1 � x  x  x  14  x  x  x  � x  14  3x  � x  3x  4  14 � x  10 � x  Trong tập x nằm số hạng tỉ lệ thức hệ số sau biến đổi x2 bị triệt tiêu, làm tập cách áp dụng dãy tỉ số Bài tập : :( Aùp dụng HS Giỏi) Tìm x tỉ lệ thức x2 x4  x 1 x  �  x    x     x    x  1 � x  x  x  14  x  x  x  � x  14  3x  � x  3x  4  14 � x  10 � x  Trong tập x nằm số hạng tỉ lệ thức hệ số sau biến đổi x2 bị triệt tiêu, làm tập cách áp dụng tính chất dãy tỉ số Chúng ta bắt đầu với toán đơn giản sau : Bài toán 1: (Bài 54 SGK Toán 7- tập 1- tr 30- nhà xuất giáo dục năm 2007) Tìm hai số x y biết x y x + y = 16 * Đây tốn đơn giản áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số để giải giải theo số cách khác Gi¶i: Cách : Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y x + y 16  = = =2 3+5 �x = = �� �y = 2= 10 Cách 2: (Đặt ẩn phụ) x y   k , suy : x  3k , y  5k Theo giả thiết: x  y  16 � 3k  5k  16 � 8k  16 � k  �x = = Do đó: � �y = 2= 10 Đặt Cách 3: ( phương pháp ) x y 3y  � x 5 3y mà x  y  16 �  y  16 � 8y  80 � y  10 Từ giả thiết Do đó: x  3.10 6 Nhận xét : Với cách cách ta áp dụng để giải hầu hết toán ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau, nhiên trình giải tập cụ thể em chọn lựa phơng pháp giải phù hợp với x Bài toán 1.1: Tỡm hai số x y biết y = x+ y = 16 Với toán Học sinh giải theo phương pháp Nhưng để giải x x y = �  theo cách cách phải đổi y lên “ t : y 5 Bài toán 1.2: Tìm hai số x y biết 5x = 3y x+ y = 16 Bài áp dụng phương pháp thế, đặt ẩn phụ để giải Tuy nhiện học sinh cần áp dụng tính chất tỉ lệ thức để chuyển 5x = 3y thành dãy tỉ x y  toán trở thành tốn x y Bµi to¸n 1.3: Tìm hai số x y biết  x - y = x y Bài toán 1.4: Tỡm hai s x v y bit  x.y = 60 số Hng dn: làm để xuất xy để sử dụng giả thiết, từ hớng dẫn học sinh giải theo cách sau: Cỏch 1: T x y  2 �x � �y � x y x.y 60 Suy � � � �   4 �3 � �5 � 3.5 15 x �x �  �  �2 � x  �6 �� �3 � + Với x =  y = 10 + Với x = -  y = -10 Cách (Đặt ẩn phụ) : làm tương tự cách toán Cách ( Dùng phương pháp ): làm tương tự cách toán Cách Cũng làm theo cách sau: x y x Cã  � y  mà xy = 60 Nên : + x xy  60 � x  36 ( y � ) y   xy : x2 = 36  x=6 x  60 : � y  100 � y  � 10 y Mà x, y cïng dÊu nªn ta cã : + Với x =  y = 10 + Với x = - y = -10 Còng tơng tự Bài toán nhng mở rộng cho dÃy tỉ số ta có sau: Bài toán 1.5 : Cho x y z   (1) vµ x + y + z = 36 ( ) Tìm x, y, z Giải: Cỏch 1: ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau, tõ x y z x  y  z 36      4,  3 x y  � x= ;  � y= 12 Suy ra: x y z   ta cã ; z  � z= 16 VËy: x= 8, y= 12, z= 16 x y z    k , ta có x  2k ; y=3k; z=4k Vì x + y + z = 36 nên 2k + 3k + 4k = 36 � 9k  36 � k = Suy x  2.4  ; y  3.4  12 ; z  4.4  16 Cách :( Đặt ẩn phụ ) Đặt VËy: x= 8, y= 12, z= 16 Cách 3: ( Dùng phương pháp ): x y z   suy ra: x  y ; z  y 3 2y  3y  4y  36 � y  12 Tõ ®ã ta cã ta cã : y  y  y  36 � 3 Suy x  8; z 16 Từ Hớng phát triển toán 1.5 tơng tự nh toán nhng với ba đại lợng x, y, z đòi hỏi học sinh phải có hớng suy luận cao Giữ nguyên kiện thứ hai toán 1.5 thay đổi kiện thứ , ta có toán sau: ( bai toán từ 1.6 đến 1.24 hầu hết áp dụng cách giải theo phương đặt ẩn phụ phương pháp thế, để áp dụng tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nên đề tài không đưa hai cách vào) Bài toán 1.6 : Tỡm ba s x, y, z, biết rằng: x y z  ; x  vµ x + y + z = 36 Hướng dẫn: toán chưa cho ta dãy tỉ số Vậy để xuất dãy tỉ số ta làm thề nào? Ta thấy x x x  có hai số hạng giống nhau, làm để hai tỉ số có số hạng ( ta tìm tỉ số trung gian để xuất dãy tỉ số x y  z x z mà x  �  ( nhân hai vế với ) 2 x y z   Ta có Và tốn trở v bi toỏn 1.5 Bài toán 1.7 : Tìm x, y, z biÕt 3x = 2y; 2x = z vµ x + y+ z = 36 Gợi ý : Bài toán khác so với toán trớc ? HÃy biến đổi đẳng thức 3x = 2y; 2x = z thµnh d·y tØ sè b»ng ? x Hướng dẫn: Tõ 3x  y �  y x Tõ 2x = z � x  z �  Suy Tõ x y z   z sau giải nh tập 1.5 x y z  ta cã x y z 12  12  12 hay 6x = 4y = 3z toán 1.5 cho ta toán khó sau: Bài toán 1.8: Cho 6x = 4y = 3z vµ x + y + z = 36, tìm x, y, z Gợi ý: Đà có dÃy tỉ số cha? Làm để cã d·y tØ sè b»ng nhau? BCNN( 6;4;3 ) = ? HÃy chia vế đẳng thức cho BCNN( 6;4;3 ) Hướng dẫn: : Từ 6x = 4y= 3z � x y 3z x y z   �   12 12 12 Đến ta ó a toán 1.8 v toán 1.5 Bài toán 1.9: Tìm x,y,z biết : x  y 6 z 8   vµ x +y +z = 36 Gặp này, em không tránh khỏi băn khoăn x víng - 4, y víng - vµ z víng - Cứ bình tĩnh làm nh bình thờng xem sao? Gi¶i: Áp dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng ta cã : x  y  z  x   y   z  x  y  z  18 36  18      2 234 9 x4 �  2� x 8 y 6  � y  12 z 8  � z  16 VËy x = ; y= 12; z = 16 Bài toán 1.9: Tìm x,y,z biết : 2x y z   x  y  z  109 10 12 ( Đề thi HSG huyện Thanh Ch¬ng mơn tốn năm học 2010 – 2011 ) 2x 3y z x yz 109 109.6      HD: Ta có : 10 12  10  12 107 107 15.109 20.109 72.109 ;y  ;z  HS tớnh c: x 107 107 107 Bài toán 1.10: T×m x, y, z biÕt x  3z y  x 3z  y   vµ x +y +z = 36 Hướng dẫn: ¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng ta cã x  3z y  x 3z  y x  z  y  x  3z  y    0 34 � x  3z; y  x;3z  y Hay 6x = 4y = 3z sau giải tiếp nh tập 1.8 Bài toán 1.11: T×m x, y, z biÕt 5x  3z y  x z  y   vµ x +y +z = x y z 36 Hướng dẫn: ¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng ta cã x  3z y  x z  y x  3z  y  x  z  y   x  y  z       1 x y z x yz x yz � x  3z ; y  x ;3 z  y Hay 6x = 4y = 3z sau giải tiÕp nh bµi tËp 1.8 Cã thĨ bµi tËp 1.11 dới dạng gộp hai điều kiện lại nh sau : Bài toán 1.12: Tìm x, y, z biÕt 5x  3z y  x z  y 36    x y z x yz Bµi chØ cho d·y tØ sè b»ng không cho thêm mối quan hệ khác nh trớc, học sinh thấy lạ Vậy lµm thÕ nµo? LiƯu cã lµm xt hiƯn mèi quan hệ khác từ dÃy tỉ số không? Hng dẫn: ¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng ta cã x  3z y  x z  y x  3z  y  x  z  y   x  y  z       1 x y z x yz x yz � x  3z ; y  x ;3z  y x +y +z = 36 Bi toán trở Bài toán 1.11 Bài toán 1.12: Tìm x, y, z biết : 2x  3y  2x  y 1   6x ( Đề thi HSG huyện Thanh Ch¬ng mơn tốn năm học 2008 – 2009 ) HD : Áp dụng tính chất dãy tỷ số từ tỷ số đầu ta có: 2x  3y  2x  3y 1 2x  3y 1 2x  3y 1    Kết hợp với giả thiết � 12 12 6x + Nếu: x  y  �0 � x  12 � x  Thay vào tính y  3 + Nếu: x  y   � x   y Thay vào tỷ số đầu tính y , x Giữ nguyên kiện thứ toán 1.5 thay đổi kiện thứ hai , ta có toán sau: Bài toán 1.13: Tìm số x, y, z biết x y z   vµ 2x + 3y – 5z = -28 Gợi ý: Để áp dụng đợc 2x+3y-5z = - 28 tử tỉ số x y z , , phải xuất thêm thừa số ?( Trên tử phải xt hiƯn c¸c tÝch 2x , 3y 5z ) Muèn xuÊt hiÖn 2x , 3y 5z tử tỉ số x y z , , ta làm nào? ( Nhân tử mẫu tỉ số lần lợt với , 3, ta đợc dÃy tØ sè b»ng míi x y 5z ) 20 Giải tóm tắt: Từ x y z x y 5z   suy   4 20 10 Bài toán 3.2: Cho tỉ số : a b ; ; bc ca c ab Tìm giá trị tỉ số Với em dễ mắc phải cách giải nh sau: abc = (b  c)  (c  a) (a b) Và kết luận: Giá trị tỉ số đà cho a b c = = = bc ca ab Nhng lời giải toán cha đợc hoàn thiện a + b + c=0 Mà phải trình bày nh sau: +) Nếu a + b +c ≠ th× abc a b c = = = (b  c)  (c  a)  (a  b) = bc ca ab +) NÕu a + b +c = th× b + c = –a ; c + a = –b ; a + b = –c a a b b c c  1 ;   1 ;   1 = bc a c  a b a  b c a b c c  1 Hay: = = = bc ca ab c a b c VËy: +) NÕu a + b +c ≠ th× = = = bc ca ab a b c +) NÕu a + b +c = th× = = = 1 bc ca ab Khi ®ã: Khi ®· tinh giá trị phân thức ta ẩn chúng cách cho học sinh làm tập khó sau: a b c = = bc ca ab a b c Tìm giá trị cđa N = + + bc ca ab Bµi toán 3.2: Cho Rõ ràng biến đổi M để tính em khó tìm kết a b c ; ; bc ca ab x y y z z t t x Bài toán 3.3: Cho biÓu thøc: P = z  t  t  x  x  y  y  z x y z t Tìm giá trÞ cđa biĨu thøc P biÕt: y  z t z t  x t  x y x y z mà phải tìm gia trị tõng : Gi¶i: x y z t Cã: y  z  t   z  t  x   t  x  y   x  y  z  29 Hay: x y  z t x  y  z t x y  z t x y  z t    y  z t zt  x tx y x y z +) NÕu x + y + z + t ≠ th× y + z + t = z + t + x = t + x + y = x +y+z � x=y=z=t ®ã: P = + + +1 = +) NÕu x + y + z + t = th× x + y = – (z + t) ; y+z= – (z + t) Khi ®ã: P = (– 1) + (– 1) + (– 1) +(– 1) = – VËy: +) P = x + y + z + t ≠ +) P = – x + y + z + t = Bài toán 3.4: Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện:  b  a  c  a b c b c  a c  a b   Hãy tính giá trị biểu thức B 1  1  1   c a b  a  c  b  ( Thi HSG toán Yên Việt năm học 2012 - 2013 ) Híng dÉn : +Nếu a+b+c �0 Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a b c b c  a c  a b a  b  c  b  c  a  c  a  b   = =1 abc c a b mà abc bca c a b 1  1  1 c a b b a c = => ab bc ca   =2 c a b ba ca bc � � � � � � 1 � 1 �  � ( )( )( ) =8 Vậy B = � � � c b � a� � c� � b� a + Nếu a+b+c = Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a b c b c  a c  a b a  b  c  b  c  a  c  a  b   = =0 abc c a b mà abc bca c a b 1  1  1 c a b => ab bc ca   =1 c a b b a c =1 ba ca bc � � � � � � 1 � 1 �  � ( )( )( ) =1 Vậy B = � � � c b � a� c b a Bài tập tơng tự: x  y  3z Bµi Cho A = x  y  3z TÝnh A biÕt x, y, z tØ lƯ víi 5, 4, 30 Bài Cho biết số A; B ; C tỉ lệ với a, b, c Tính giá trị biểu thøc : Ax  By  C Q = ax  by  c Bµi Cho tØ sè b»ng nhau: abc bcd cd a d ab ; ; ; d a b c Tìm giá trị tỉ số Bài Cho dÃy: 2a b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d Tìm giá trị biểu thức: M = a b bc c d d a    cd d a ab bc D¹ng 4: cã néi dung Liên quan thực tế, hình học Phơng pháp giải Bớc 1:Dùng chữ để biểu diễn đại lợng cha biÕt Bíc 2:Thµnh lËp d·y tØ sè b»ng điều kiện Bớc 3:Tìm số hạng cha biết Bớc 4:Kết luận Bài toán 1:( Bài 76 SBT toán 7-Trang 14 ): Tính độ dài cạnh tam giác biết chu vi 22 cm cạnh tam giác tỉ lệ với số 2;4;5 Hng dn: Gọi độ dài cạnh tam giác a,b,c (a,b,c ) Vì chu vi tam giác 22 nên ta có a+b+c=22 Vì cạnh tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta cã a b c   Đến cách giải giống Bài toán 1.5 Tơng tự toán ta có toán sau : Bi toán 4.2: (Bài 57 – SGK Toán7 tập 1-trang 30) Số viên bi ba bạn Minh, Hùng, Dũng tương ứng tỉ lệ với số 2, 4, Tính số viên bi bạn, biết ba bạn có tất 44 viên bi 31 Hướng dẫn: Gọi số viên bi ba bạn Minh, Hùng, Dũng lần lợt x, y, z ( viên) ( x, y, z �N * ) Vì số viên bi ba bạn tỉ lệ với 2, 4, nên ta có x y z   x + y +z = 44 đến toán giải nh toán 1.5 Khi đà có x y z   vµ x + y +z = 44 Thỡ cách thay đổi ngôn ngữ có nhiều toán có nội dung thực tế (theo kiểu phát triển nh dạng toán 1) Sau sốví dụ : Bài tËp 4.3: Chia số 44 thành phần tỉ lệ với 2, 4, Bµi tËp 4: Ba líp 7A,7B,7C tham gia lao động trồng ,số lớp trồng đợc tỉ lệ với số 2;4;5 lần số lớp 7A cộng với lần số lớp 7B số lớp 7C 60 Tính số lớp trồng đợc Hớng dẫn Gọi số trồng đợc lớp 7A,7B,7C lần lợt a,b,c ( a,b,c nguyên dơng) Theo ta có a b c   vµ 2a + 4b – c = 60 Từ Học sinh giải đợc tơng tự nh toán 1.13 Bài tập 5: Ba líp 7A, 7B, 7C cã 117 b¹n tham gia trồng Số bạn ba lớp trồng đợc tỉ lệ với số 2; 3; , số lớp trồng đợc Hỏi lớp có học sinh trồng 32 (Đề kiểm định chất lợng đại trà Đô Lơng môn Toán năm học 2008 2009 ) Bài tập 4: :( Aùp dụng HS Giỏi) Ba kho thóc có tất 710 thóc, sau chuyển số thóc kho I, số thóc kho II số thóc kho III số thóc cịn lại kho Hỏi lúc đầu 11 kho có thóc Híng dÉn Gọi số thóc kho I,II,III lúc đầu a,b,c (tấn, a,b,c>0) 5 Số thóc kho I sau chuyển a  a  a 6 Số thóc kho II sau chuyển b  b  b Số thóc kho III sau chuyển c  theo ta có từ 10 c c 11 11 10 a  b  c a+b+c=710 11 10 10 a b c� a b 11 5.20 6.20 11.20c � a b c a b c 710      10 25 24 22 25  24  22 71 Suy a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220 Thử lại giá ta thấy thoả mãn Vậy số thóc lúc đầu của kho I,II,III 250tấn , 240 tấn, 220 Bµi tËp : Cho tam giác ABC có  Bˆ tØ lƯ víi vµ 15, Cˆ = A Tính góc tam giác ABC Đây toán có nội dung hình học nhng lại đợc giải phơng pháp đại số, thật đơn giản nhớ đợc kiện cho dới dạng ẩn tỉng c¸c gãc mét tam gi¸c b»ng 1800 Híng dÉn * Theo bµi ta cã Aˆ Bˆ = 15 vµ Cˆ Aˆ = 33 Hay : A B C = = 15 12 mà  + Bˆ + Cˆ = 1800 (Tæng gãc tam giác) Đến toán giải nh toán 1.5 Bài tập : Có ba tủ sách đựng tất 2250 sách Nếu chuyển 100 cn tõ tđ thø nhÊt sang tđ thø th× sè s¸ch ë tđ thø 1, thø 2, thø tỉ lệ với 16;15;14 Hỏi trớc chuyển tủ có sách ? Bài phức tạp chỗ: số lợng sách tủ tríc vµ sau chun Híng dÉn Gäi sè qun sách tủ 1, tủ 2, tủ lúc đầu lµ: a, b, c (qun) (a, b, c �N * a, b, c < 2250) Thì sau chuyển ,ta cã: Tđ 1: a –100 (qun) Tđ 2: b (quyển) Tủ 3: c + 100 (quyển) Theo đề ta cã : a  100 b c  100 = = 16 15 14 vµ a + b + c = 2250 Và giải nh toán 1.9 Bài tập 8: Trong đợt lao động ba khối 7, 8, chuyển đợc 912 m3 đất , trung bình học sinh khối 7, 8, theo thứ tự làm đợc 1, 2m3 ;1, 4m3 ;1, 6m3 Số häc sinh khèi vµ khèi tØ lƯ víi vµ ; sè häc sinh khèi vµ khè tØ lƯ víi vµ TÝnh số học sinh khối Hớng dẫn Gọi số học sinh khối 7,8,9 lần lợt a,b,c (h/s) (a,b,c số nguyên dơng) Số đất khối chuyển đợc 1,2a Số đất khối chuyển đợc 1,4b Số đất khối chuyển đợc 1,6c Theo bµi rat a cã a b b c  ;  Vµ 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ta đợc a= 80, b= 240, c= 300 VËy sè häc sinh cña khèi 7,8,9 lần lợt 80 h/s ,240h/s ,300h/s Bài tập 8: Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 sau chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua ( Trích đề thi HSG Tốn 7) Híng dÉn Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) 34 Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c Ta có: a b c abc x 5x 6x x 7x     � a  ;b   ;c  18 18 18 18 18 (1) Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: a , b, c , a ,  b ,  c , x x , 5x x , x     � a,  ;b   ;c  15 15 15 15 15 (2) So sánh (1) (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu Vây: c’ – c = hay 6x x x  4�  � x  360 15 18 90 Vậy số gói tăm lp ó mua l 360 gúi Đây dạng tập khó học sinh, không học sinh trung bình mà học sinh khá-giỏi, khó v quan trng nht công đoạn chuyển toán lời văn dạng biểu thức Giáo viên cần dẫn dắt em thật tỉ mỉ bớc, từ phân tích đầu để tìm yếu tố cho, yếu tố cha biết, yếu tố cần tìm mối quan hệ chúng, kể mối quan hệ đà biết dới dạng ẩn (Ví dụ nh: s = v.t tổng góc tam giác 180 ), đến cách gọi kí hiệu kèm điều kiện đơn vị Đặc biệt kết luận cho phải xác theo yêu cầu Bài tập tự giải: Bài Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vờn trêng cã diƯn tÝch 300m2 Trong ®ã: Líp 7A nhËn 15% diƯn tÝch, 7B nhËn diƯn tÝch cßn lại Sau lớp 7A 7B nhận phần lại đợc chia cho lớp 7C, 7D, 7E theo tØ lÖ 1 ; ; Tính diện tích vờn giao 16 cho lớp Bài Một bể chứa hình chữ nhật có chiỊu réng vµ chiỊu dµi tØ lƯ víi vµ 5; ChiỊu réng vµ chiỊu cao tØ lƯ víi vµ ThĨ tÝch cđa bĨ lµ 64m3 TÝnh chiỊu réng, chiỊu dµi vµ chiỊu cao cđa bĨ Bµi Tìm số đo góc tam giác ABC biết số đo góc Â, B , C tỉ lệ víi: a) 2; 3; b) 1; 2; Bµi Ba đờng cao tam giác có độ dµi b»ng 4; 12; x BiÕt r»ng x lµ mét số tự nhiên Tìm x( Cho biết cạnh tam giác nhỏ tổng hai cạnh lớn hiệu chúng) Bài Một ngời tõ A ®Õn B ®· tÝnh r»ng: NÕu ®i víi vận tốc km/h đến B lúc 11h 45phút Nhng ngời đợc quÃng đờng với vận tốc dự định trớc, đoạn đờng lại với 35 vận tốc 4,5 km/h nên đà ®Õn B lóc 12h Hái ngêi ®ã khëi hµnh lóc quÃng đờng AB km? Bài Ba kho A, B, C chøa mét sè g¹o Ngời ta nhập vào kho A thêm 1 số gạo kho đó, xuất kho B số gạo kho đó, xuất kho C số gạo kho Khi số g¹o cđa kho b»ng TÝnh sè g¹o kho lúc đầu, biết số gạo kho B số gạo kho A 20 t¹ Bài Tổng luỹ thừa bậc ba số -1009 Biết tỷ số số thứ số thứ ; số thứ số thứ Tìm số đó? D¹ng : Mét số sai lầm thờng gặp KHI giải toán liên quan đến tỷ số Trong trình giảng dạy xuất nhiều trờng hợp học sinh mắc sai lầm, tùy theo đối tợng mà giáo viên chấn chính, uốn nắn có biện pháp phù hợp với mục đích giúp em hiểu biết cách vận dụng giải tập Và nhìn chung em thờng mắc sai lầm nh sau : 1.Sai lầm áp dụng tơng tự : Hoc sinh thng sai làm Áp dông x y x y x y z x y.z   hay    a b a.b a b c a.b.c Sau sè bµi tËp thĨ : Bµi tËp 5.1: (Bµi 62 SGK Toán 7-Trang 31) Tìm số x,y biÕt r»ng x y  vµ x.y=10 *Häc sinh cã thĨ sai lÇm nh sau : x y x y 10     suy x=2, y=5 2.5 10 *Bài làm : x y x2 x y x 10  �  �   � x  � x  �2 � y  �5 5 10 x y   k � x  2k , y  5k v× xy=10 nên đặt từ 2k.5k=10 k  � k  �1 suy x y Bài tập 5.2: Tìm c¸c sè x,y,z biÕt r»ng x y z   vµ x.y.z= 648 * Häc sinh sai lÇm nh sau: 36 x y z x y.z 648      27 2.3.4 24 Suy x = 54, y = 81, z = 108 * Bài làm : tơng tự Bài toán 1.18 2.Sai lầm bỏ qua điều kiện khác 0: Khi rót gän hoc sinh thêng bá qua ®iỊu kiện số chia khác dẫn đến thiếu giá trị cần tìm Chẳng hạn nh : Bài tập 5.3: Cho d·y tØ sè b»ng lµ Chứng minh a=b=c *Lời giải mắc sai lầm : ta cã a b c   b c a a b c a bc    =1 b c a bca Suy : a=b=c ( T¬ng tù Đề thi giáo viên dạy giỏi huyện Đô Lương 2011 ) ( không a+b+c = ) * Lời giải cách 2, cách Bài tốn 2.13 Bµi tập 5.4 : (Sai lầm nh toán 3.2 ) Bµi tËp 5.5: (bài tốn 3.3) x y yz z t tx Cho biÓu thøc P  z  t  t  x  x  y  z y x y z t Tính giá trị P biÕt r»ng y  z  t  z  t  x  t  x  y  x  y  z (1) Học sinh mắc sai lầm không xét trường hợp x+y+z+t = Bµi tËp 5.6: Cho tØ sè b»ng lµ TÝnh a b c   bc ca a b a b c   bc ca a b ( thi HSG toán huyện Thanh chng năm 2012 ) Học sinh thờng mắc sai lầm không xét trờng hợp a+b+c = nh toán 3.2 x  3 y  x  y  21   8x x  3 y  x  y  21   Häc sinh thêng gi¶i nh sau : tõ 8x y  x  y  21  x  y  24 3(3 y  8)    Suy 8x  8x  8x  � 8y – = 15 � y =3 vµ suy x = y  3(3 y  8) � 8y = 15 Sai lầm từ 8x  y  3(3 y 8) Khắc phục : Khi giải đến phải xÐt hai trêng 8x  Bµi tËp 5.7 : Tìm x, y biết : hợp : 37 từ tìm đợc x � � + NÕu 3y – 8y – = 15 y =3 vµ suy x = + NÕu :3y – = � y 3.Sai lầm xét luỹ thừa bậc chẵn : Häc sinh thêng sai lÇm nÕu A2=B2 suy A=B Bài tập 5.8: Tìm số x,y,z biết x y z   biÕt r»ng x  y  z  720 ( Bài toán 1.15 ) Khi giải đến : x2  16 � x  64 42 y  16 � y  144 z2  16 � z  256 16 Häc sinh chØ lÊy x =8 ; y = 12 ;z = 16 mà sót trờng hợp x = - ; y = -12 ;z = - 16 Sai lÇm vËn dơng kiÕn thøc : VÝ dơ 1: to¸n 1.8 ) Cho 6x = 4y = 3z vµ x + y + z = 36, t×m x, y, z (Bài Lời giải học sinh thờng là: Từ 6x = 4y = 3z � x y z x y z   �   24 24 24 x y z x yz     1,5 � x = 36 ; y = 36 ; z = 36 24 24 24 24 x y z Lỗi sai sót : Từ 6x = 4y = 3z ; nên việc tìm x,y,z sai � Kh¾c phơc : Ta cã BCNN ( 6; ;3 ) = 24 Tõ 6x = 4y = 3z � x 1  y  z 24 24 24 Lêi gi¶i mong đợi : Dựa vào tính chất phép nhân đẳng thức em đà biết tìm BCNN( 6; ;3 ), từ ,lời giải nh sau : (Giải nh 1.8) Ví dụ : Cho t lệ thức: a c  Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: b d a b c d  a b c d 38 Lêi gi¶i cđa häc sinh : Tõ a c a c ac ac không b d b d bd bd đến yêu cầu toán Sai sãt : Do häc sinh cha sư dơng ®óng phơng pháp hoán vị số hạng tỉ lệ thøc, cha biÕt vËn dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng Kh¾c phơc : Tõ a c a b ( hoán vị trung tỷ ) b d c d Từ áp dụng tính chất tû lƯ thøc vµ tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng đến kết Lời giải mong đợi : ( nh Bài toán 2.3 ) Ngoài hớng giải em đà tìm hớng giải khác nhờ tÝnh chÊt cđa tû lƯ thøc nh: XÐt tÝch : (a-b).(c+d) (a+b).( c-d) từ suy ra: (a-b).(c+d) = (a+b).( c-d) từ dẫn tời điều phải chứng minh Sai lầm trình bày lời giải : Qua thực tế d¹y học sinh thấy em gặp nhiều sai sót q trình giải tốn , nhầm lẫn dấu “=” với dấu “=>” Ví dụ 1: cách giải toán 1.4 em sai lầm dùng dấu “=” dấu x y � sau : ta có  2 �x � �y � x y x.y 60 (�)� � � �   4 d �3 � �5 � 3.5 15 em lại dùng dấu “ = ” sai Ví dụ : cách giải tốn 1.5 chỗ ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau, tõ ta cã x y z x  y  z 36   (�)   4, S 234 x y z   Ở em dựng du => l sai Bài tập tơng tự : Bài 1: Cho a,b,c ba số khác thoả m·n ®iỊu kiƯn abc bca c a b   c a b � b� � a� � c� 1 HÃy tính giá trị biÓu thøc B  � � � � a� � c� � b� 39 Bµi 2: Cho d·y tØ sè b»ng : 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d ab bc cd d a Tìm giá trị biÓu thøc M biÕt : M  c  d d  a a b b c Bµi 3: Mét học sinh lớp trình bày lời giải toán “ T×m x, y biÕt: 2x  3y  2x  3y 1   ” 6x nh sau: x  y  2x  y 1   (1) 6x 2x 1 3y  2x  y Từ hai tỷ số đầu ta cã: (2) 12 x  y 1 x  y   Tõ (1) vµ (2) ta suy (3) 6x 12 � 6x = 12 � x = Ta cã: Thay x = vào tỷ số đầu ta đợc y = Thử lại thấy thoả mÃn Vậy x = y = giá trị cần tìm Đồng chí hÃy nhận xét lời giải học sinh Phần III: Kết luận Và BàI HC KINH NGHIM Khi nghiên cứu đề tài Giúp học sinh chuyên sâu tỉ lệ thức, tính chất dÃy tỉ số môn Đại số lớp thấy việc áp dụng vào giảng dạy có hiệu quả, học sinh dễ hiểu hứng thú trình tiếp thu kiến thức, em đà biết khai thác sâu toán, biết tự đặt toán mới, tránh đợc sai lầm mà hay mắc phải Và thấy trình giảng dạy giáo viên có đầu t nghiên cứu dạy kĩ hiệu đạt đợc cao Tâm huyết với nghề yếu tố tạo nên thành công dạy Đứng trớc tập, kiến thức giới hạn gần tới, học sinh thờng lúng túng, hoang mang phải làm nh nào; Lúc 40 thời điểm để giáo viên xuất với vai trò định hớng, dẫn dắt em bớc qua khó khăn, gợi mở để em làm đợc mà làm tốt không hay kiến thức mà bài, kiến thức khác, có liên quan không liên quan liên hệ logic Đó cách t duy, kể việc nắm vững kiến thức bản, phải khai thác toán theo mảng, mảng ta lại chia thành phần, cho phần có liên kết chặt chẽ với cấu trúc toán nh phơng thức giải toán Mặc dù đà cố gắng nhng với kiến thức hạn chế chắn cha thể đa vấn đề cách trọn vẹn đợc, mong đợc góp ý chân thành đồng nghiệp thầy cô đà có nhiều kinh nghiệm giảng dạy để đề tài đợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Yờn Thnh, ngày 27 tháng 04 năm 2019 41 Mục lục Phần I Lý chọn đề tài Phần II Nội dung đề tµi A Lý thuyÕt B Các dạng toán giải Dạng Tìm số thức hạng phơng Dạng Chøng minh thøc Dạng Tính giá thức trị pháp tỉ tỉ lệ lệ biểu Dạng Toán có nội dung liên thực tế, hình học Dạng Một số sai lầm thờng gặp Phần III Kết luận IV.Tµi liệu khảo Phần tham 42 Phần IV Sách NXB GD Sách NXB GD Tài liệu tham khảo giáo khoa tập toán toán 7 Kiến thức nâng cao toán NXB HN Những toán nâng cao chọn lọc NXB ĐHSP Nâng cao phát triển toán NXB GD B¸o thÕ giíi ta B¸o to¸n häc tuổi trẻ Tuyển chọn 400 tập toán NXB Đà Nẵng Toán bồi dỡng đại số NXB HN 10 Tuyển chọn 500 toán nâng cao toán NXB ĐHSP 11 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán NXB GD 12 Ôn kiến thức-luyện kĩ đại số NXB GD 13.Một số sách báo tham khảo khác 43 ... nm 2007) Tìm hai số x y biÕt x y  x + y = 16 * Đây toán đơn giản áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số để giải giải theo số cách khác Gi¶i: Cách : Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y... áp dụng tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nên đề tài không a hai cỏch ny vo) Bài toán 1.6 : Tìm ba số x, y, z, biết rằng: x y z  ; x  vµ x + y + z = 36 Hướng dẫn: toán chưa cho ta dãy tỉ số Vậy... C có giá trị B D Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức: Dïng c¸c tÝnh chÊt cđa tû lƯ thức ri hoán vị số hạng v dựng tính chất dÃy tỷ số nhau, tính chất đẳng thøc ®Ĩ biÕn ®ỉi tû lƯ thøc ®·