SKKN giúp học sinh chuyên sâu về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Phần I: Lý DO CHọN Đề TàI Toỏn hc l mơn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao, giúp cho học sinh khả tính tốn, suy luận logíc phát triển tư sáng tạo Việc dạy học sinh học tốn khơng đơn cung cấp cho em số kiến thức thông qua việc làm tập làm nhiều tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện kỹ thói quen suy nghĩ tìm tịi lời giải tốn vận dụng tốn sở kin thc ó hc Trong trình giảng dạy môn toán nói chung toán nói riêng, thấy phần kiến thức tỷ lệ thức dÃy tỷ số ch-ơng trình Đại số lớp Các dạng toán tØ lƯ thøc vµ d·y tØ sè b»ng rÊt phong phú đa dạng nh-ng sách giáo khoa, sách giám khảo lại trỡnh by ni dung khụng nhiu mà kỳ thi học sinh giỏi toán hấu nh- đề có Trong ch-ơng II, học đại l-ợng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức ph-ơng tiện quan trọng giúp ta giải toán Trong phân môn Hình học, để học đ-ợc định lý Talet, tam giác đồng dạng thiếu kiến thức tỷ lệ thức Mặt khác học tỷ lệ thức tính chất cđa d·y tû sè b»ng cßn rÌn t- cho học sinh tốt giúp em có khả khai thác toán, lập toán Với mong muốn góp phần cơng sức nhỏ việc bồi dưỡng lực học tốn cho học sinh nhằm rèn luyện khả sáng tạo học toán cho học sinh để em tự phát huy lực độc lập sáng tạo mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi tốn, tơi xin cung cấp trao đổi đồng nghiệp đề tài kinh nghiệm: " Gióp häc sinh chuyên sâu tỉ lệ thức, tính chất dÃy tỉ số nhau" Do điều kiện có nhiều hạn chế nên sau xin đ-a số dạng toán th-ờng gặp với nội dung toán bản, thay đổi giả thiết toán để đ-ợc toán mới, thấy vận dụng vào trình ôn tập bồi d-ỡng học sinh giái cho häc sinh khèi phÇn tØ lƯ thøc, tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng lµ phù hợp Thông qua tập đ-a đến cho học sinh cách tiếp cận khác toán có dạng nhằm phát triển t- cho học sinh Phần II: NI DUNG TI A Lí THUYT: 1) Định nghĩa, tính chất tỉ lệ thức a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số a c b d b) TÝnh chÊt: + TÝnh chÊt ( tính chất ) : Nếu a c b d th× ad = bc + TÝnh chÊt : NÕu ad = bc vµ a, b, c, d khác ta có tỉ lệ thức a c b d ; a b c d ; d c b a ; d b c a 2) TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau: + Tõ tØ lÖ thøc a c b d ta suy a c a c a c b d b d b d b + Më réng: tõ d·y tØ sè b»ng ta suy ra: a c e b d f a b a c e b d f c e d f a b c e d f d ( giả thiết tỉ số có nghĩa) Chó ý: + Khi cã d·y tØ sè a b c x y z ta nãi c¸c sè a, b, c tØ lƯ víi c¸c sè x, y, z; Ta cßn viÕt a : b : c = x : y : z + Vì tỉ lệ thức đẳng thức nên có tính chất đẳng thức, tõ a c b d suy ra: a c a b d b tõ a c b e d suy f c ; k d a c k b k ; d 3 k1a k 2c k 1b k2d ( k1 , k 0) a c e a c e b d f b d f ; a c e b d f 3) KiÕn thøc bæ sung: a) Luü thõa cđa mét th-¬ng: n x x y y n Víi n n N, y vµ x, y Q b) Một số tính chất bản: * * a a m b b m a c a c b d b n d n Víi m Víi n n * n a c a c b d b d Víi n N B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM Sè H¹NG TRONG TỈ LỆ THỨC A Phƣơng pháp chung: +) Dạng tập em gặp nhiều, phong phú đa dạng Bài, có cho kiện, thường cho kiện Từ mối quan hệ ta tìm đáp án bài, phải biến đổi sử dụng +) Lưu ý đến dấu số cần tìm trường hợp có số mũ chẵn tích số, để tránh tìm số không thoả mãn yêu cầu Cũng lưu ý trường hợp xảy để khơng bỏ xót giá trị cần tìm B Bài tập áp dụng : Bài tập 1: tìm x tỉ lệ thức sau ( 46 – SGK 26 b) 0,52 : x = - 9,36 : 16,38 HD : Học sinh tìm x cách xem x số chia , để áp dụng tính chất tỷ lệ thức từ 0,52 : x = - 9,36 : 16,38 x 9, 6 , , , x 0, 91 9, 36 Ta nâng mức độ khó sau : Bài tập Tìm x : a) x : b) 3 0, :1 : : 6x đưa tỉ lệ thức tỉ lệ thức đơn giản tìm x Bài tập 2: Tìm x biết ( 69 SBT T 13 – a) Giải : từ x 60 15 x x 60 15 x x.x 15 60 x 900 x 30 Suy x = 30 x = -30 Ta thấy tỉ lệ thức có số hạng chưa biết số hạng giống nên ta đưa luỹ thừa bậc hai nâng cao tỉ lệ thức x 15 60 x Bài tập 3: Tìm x tỉ lệ thức x 5 x Giải: Cách 1: từ x x x 7 x 21 25 12 x 46 x x 5 x Cách 2: từ x 5x x 5 x áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : x 5 x x x x 6 x 5 x 3 x 12 5 Bài tập 4: Tìm x tỉ lệ thức x x x x x x x 5x 5x 7x 14 3x 2x 3x x 14 14 x x x 2x 4x 10 x Trong tập x nằm số hạng tỉ lệ thức hệ số sau biến đổi x2 bị triệt tiêu, làm tập cách áp dụng dãy tỉ số Bài tập : :( Aùp dụng HS Giỏi) Tìm x tỉ lệ thức x x x x x x x 5x 5x 7x 14 3x 2x 3x x 14 14 x 2x x x 4x 10 x Trong tập x nằm số hạng tỉ lệ thức hệ số sau biến đổi x2 bị triệt tiêu, làm tập cách áp dụng tính chất dãy tỉ số Chúng ta bắt đầu với toán n gin sau : Bài toán 1: (Bài 54 SGK To¸n 7- tËp 1- tr 30- nhà xuất giỏo dc nm 2007) Tìm hai số x y biÕt x y x + y = 16 * Đây tốn đơn giản áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số để giải giải theo số cách khác Gi¶i: Cách : Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y x + y = = + 16 = x = = y = 2= 10 Cách 2: (Đặt ẩn phụ) Đặt x y , suy : k Theo giả thiết: x y x 16 3k , 3k 5k y 5k 8k 16 16 k x = = Do đó: y = 2= 10 Cách 3: ( phƣơng pháp ) x Từ giả thiết y mà x y 3y x 3y 16 y 16 8y 80 y 10 Do đó: x Nhận xét : Với cách cách ta áp dụng để giải hầu hết toán ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau, nhiên trình giải tập cụ thể em chọn lựa ph-ơng pháp giải phù hợp với Bài toán 1.1: Tỡm hai s x y biết x = y x+ y = 16 Với toán Học sinh giải theo phương pháp Nhưng để giải theo cách cách phải đổi y lên “ tử ” : x y = x y 5 Bài toán 1.2: Tỡm hai số x y biết 5x = 3y x+ y = 16 Bài áp dụng phương pháp thế, đặt ẩn phụ để giải Tuy nhiện học sinh cần áp dụng tính chất tỉ lệ thức để chuyển 5x = 3y thành dãy tỉ số x y bi toỏn tr thnh bi toỏn Bài toán 1.3: Tỡm hai s x v y bit Bài toán 1.4: Tìm hai số x y biết x y x y x - y = v x y = Hƣớng dn: làm để xuất xy để sử dụng giả thiết, từ h-ớng dẫn học sinh giải theo cách sau: x y Cách 1: Từ Suy x y x y x y 60 15 x x x + Với x = y = 10 + Với x = - y = -10 Cách (Đặt ẩn phụ) : làm tương tự cách toán Cách ( Dùng phƣơng pháp ): làm tương tự cách toán Cách Cũng làm theo cách sau: Có x y x 3 y mµ xy = 60 Nªn : x + x y y x ( y 36 0) x2 = 36 xy : x 60 : y x= y 100 y 10 Mà x, y cïng dÊu nªn ta cã : + Với x = y = 10 + Với x = - y = -10 Cũng t-ơng tự Bài toán nh-ng më réng cho d·y tØ sè b»ng ta cã sau: x y z Bài toán 1.5 : Cho (1) vµ x + y + z = 36 ( ) T×m x, y, z Giải: Cỏch 1: áp dụng tính chất dÃy tỉ số b»ng nhau, tõ ta cã Suy ra: x y z x y z 36 4 x x= ; y x y z , y= 12 ; z z= 16 VËy: x= 8, y= 12, z= 16 Cách :( Đặt ẩn phụ ) Đặt x y z k , ta có Vì x + y + z = 36 nên 2k + 3k + 4k = 36 Suy x ; y ; z VËy: x= 8, y= 12, z= 16 Cách 3: ( Dùng phƣơng pháp ): Tõ x y z suy ra: x ; y z Tõ ®ã ta cã ta cã : y y x k ; y= k ; z= k 9k k= 36 y y 2y 36 3y 4y y 36 12 Suy x ; z H-íng ph¸t triĨn cđa toán 1.5 t-ơng tự nh- toán nh-ng với ba đại l-ợng x, y, z đòi hỏi học sinh phải có h-ớng suy luận cao Giữ nguyên kiện thứ hai toán 1.5 thay đổi kiện thứ , ta có toán sau: ( cỏc bai toỏn t 1.6 n 1.24 hầu hết áp dụng cách giải theo phương đặt ẩn phụ phương pháp thế, để áp dụng tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nên đề tài không đưa hai cỏch ny vo) Bài toán 1.6 : Tỡm ba s x, y, z, biết rằng: x y z ;x vµ x + y + z = 36 Hƣớng dẫn: toán chưa cho ta dãy tỉ số Vậy để xuất dãy tỉ số ta làm thề nào? Ta thấy x x x có hai số hạng giống nhau, làm để hai tỉ số có số hạng ( ta tìm tỉ số trung gian để xuất dãy tỉ số x Ta có y mà x z x z 2 x y z ( nhân hai vế với ) Và bà i toỏn tr v bi toỏn 1.5 Bài toán 1.7 : T×m x, y, z biÕt 3x = 2y; 2x = z x + y+ z = 36 Gợi ý : Bài toán khác so với toán tr-ớc ? HÃy biến đổi đẳng thức 3x = 2y; 2x = z thµnh d·y tØ sè b»ng ? Hƣớng dẫn: Tõ 3x Tõ 2x = z Suy 2y 4x x y z x y 2z x z sau giải nh- tập 1.5 Từ x y z ta cã 12 x y 12 12 z hay 6x = 4y = 3z toán 1.5 cho ta toán khó sau: Bài toán 1.8: Cho 6x = 4y = 3z vµ x + y + z = 36, tìm x, y, z Gợi ý: Đà có dÃy tỉ số ch-a? Làm để có dÃy tØ sè b»ng nhau? BCNN( 6;4;3 ) = ? H·y chia vế đẳng thức cho BCNN( 6;4;3 ) Hƣớng dẫn: : Từ 6x = 4y= 3z 6x 4y 3z x y z 12 12 12 Đến ta ó a toán 1.8 v toán 1.5 x Bài toán 1.9: Tìm x,y,z biết : y z vµ x +y +z = 36 Gặp này, em không tránh khỏi băn khoăn x v-ớng - 4, y v-ớng - z v-ớng - Cứ bình tĩnh làm nh- bình th-ờng xem sao? Giải: p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng ta cã : x y z x 4 x y z x y z 18 36 18 x y y z 12 z 16 VËy x = ; y= 12; z = 16 Bài toán 1.9: T×m x,y,z biÕt : 2x 3y z 10 12 x y z 109 ( Đề thi HSG huyện Thanh Ch-¬ng mơn tốn năm học 2010 – 2011 ) HD: Ta có : 2x 3y z 10 x y 12 10 HS tính được: x z 12 ; y 107 ;z 107 Bài toán 1.10: T×m x, y, z biÕt 6 107 109 107 107 6x 3z 4y 6x 3z 4y vµ x +y +z = 36 Hƣớng dẫn: ¸p dơng tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã 6x 3z 6x 4y 6x 3z 3 z; y 4y x; z 6x 3z 4y 6x 3z 4y 4y Hay 6x = 4y = 3z sau giải tiếp nh- tập 1.8 5x Bài toán 1.11: Tìm x, y, z biÕt 3z 3y x 6x 2z y 4y vµ x +y +z = 36 z Hƣớng dẫn: ¸p dơng tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã 5x 3z 3y x 6x 2z y 6x 4y 5x 3z 3y z 3z x ;4 y 6x ;3z 6x y 2z x 4y y z z x y z 4y Hay 6x = 4y = 3z sau ®ã giải tiếp nh- tập 1.8 Có thể tập 1.11 d-ới dạng gộp hai điều kiện lại nh- sau : 5x Bài toán 1.12: Tìm x, y, z biÕt 3z 3y x 6x 2z y 4y 36 z x y z Bµi chØ cho d·y tØ sè không cho thêm mối quan hệ khác nhnhững tr-ớc, học sinh thấy lạ Vậy lµm thÕ nµo? LiƯu cã lµm xt hiƯn mèi quan hệ khác từ dÃy tỉ số không? Hng dẫn: ¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng ta cã 5x 3z 3y x 6x 2z y 6x 3z 4y 5x 3z 3y z ;4 y 6x x ;3z 6x y 2z x 4y y z z x y z x +y +z = 36 4y B i toán trở Bài toán 1.11 Bài toán 1.12: Tìm x, y, z biết : 2x 3y 2x 3y 6x ( Đề thi HSG huyện Thanh Ch-¬ng mơn tốn năm học 2008 – 2009 ) HD : Áp dụng tính chất dãy tỷ số từ tỷ số đầu ta có: 2x 3y 2x 3y Kết hợp với giả thiết 12 2x 3y 2x 12 + Nếu: 2x 3y 6x 12 + Nếu: 2x 3y 2x x 3y Thay vào tính 3y 6x y Thay vào tỷ số đầu tính y , x Giữ nguyên kiện thứ toán 1.5 thay đổi kiện thứ hai , ta có toán sau: Bài toán 1.13: Tìm số x, y, z biết x y z vµ 2x + 3y 5z = -28 Gợi ý: Để áp dụng đ-ợc 2x+3y-5z = - 28 tử tỉ số x , y , z ph¶i xuÊt thêm thừa số ?( Trên tử phải xt hiƯn c¸c tÝch 2x , 3y 5z ) x Muèn xuÊt hiÖn 2x , 3y 5z tử tỉ số , y z , ta làm nào? ( Nhân tử mẫu tỉ số lần l-ợt với , 3, ta đ-ợc dÃy tỉ số b»ng míi 2x 3y 5z 20 ) Giải tóm tắt: Từ x y z suy 2x 3y 5z 20 ¸p dơng tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã: 2x 3y 5z 2x 20 x 8; y 12; z 3y 5z 28 20 16 Tổng quát lên ta có Bài toán: x y z a b c nb pc Bài toán 1.14 : Tìm x, y, z biết số khác cho tr-ớc ma Ph-ơng pháp giải nh- sau: ta cã vµ mx ny ny pz mx ny pz ma nb pc ma nb pc d (Víi a,b, c, d ,m,n,p,q 0) x y z mx ny pz a b c ma nb pc mx ny pz ma nb pc ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng cho dÃy tỉ số mx pz ta đ-ợc d ma nb pc Từ ta tìm đ-ợc x, y, z Tiếp tục giữ nguyên kiện thứ toán 1.5 thay đổi kiện thứ hai, ta có toán thứ hai khó nh- sau: Bài toán 1.15 :Tìm số x, y, z biÕt x y z vµ x y z 464 Hƣớng dẫn : Muèn ¸p dụng đ-ợc kiện x2+y2+z2= 464 Hc sinh phải bình ph-ơng tỉ số x y , , z để đ-ợc dÃy tỉ số x y z 16 Gi¶i: Ta cã: x y z x 4 y z 16 ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng cïng víi kiện x2+y2+z2=464 ta đ-ợc 10 Bi 4: Cho dóy tỉ số nhau: a1 a a a 2 a a a 2008 a 2009 2008 CMR: Ta có đẳng thức: a Bài 5: Cho a1 a2 a2 a3 Chứng minh rằng: a1 a1 a1 a a a 2008 2009 a a a a 2009 a8 a9 a9 a1 a2 a1 a2 a9 a9 Dạng Tính giá trị biểu thức A Phƣơng pháp chung: +) Đây loại tập khó, địi hỏi học sinh phải huy động nhiều kiến thức kĩ biết tổng hợp tri thức phương pháp học Khả quan sát dự đoán sử dụng nhiều, liên tục, đồng thời với suy luận logic, sáng tạo +) Làm dạng tập này, học sinh cần đến xúc tác giáo viên em gặp bế tắc Những lúc giáo viên cần gợi mở hướng cho học sinh câu hỏi mở B Bài tập áp dụng : Bµi toán 3.1: Cho x, y, z thoả mÃn: Tính: P = x x y 2y x y z với x, y, z khác z z Bài t-ơng đối khó nhìn, học sinh chẳng biết làm để tính đ-ợc P ? Cứ bình tĩnh quan sát đặc điểm biểu thức P để tìm mối liên hệ P dÃy tỉ số đà cho em không tìm đ-ợc cách làm Giải : Cách 1: Đặt : Khi đó: P = 2k 2k Vậy: P = x y z 5k 10k 7k 7k = k (k 4k 5k 0) th× x = 2k , y = 5k , z = 7k 26 C¸ch 2: Ta cã: x y z x y z 7 L¹i cã: x z suy x – y + z = 2x x 2y z x 2y z 10 10 2x 4x 5x 5x Do ®ã: P = y x 2y z suy x + 2y – z = 5x 2 VËy: P = Víi hai cách giải hoàn toàn cho học sinh dễ dàng giải toán tổng quát sau : Bài toán 3.1: Cho biết x, y, z thoả m·n: x y z a b c y z x a) Q = Tính giá trị biểu thức : x a b c a1 b1 c1 z a1 x b1 y c1 z a2x b2 y c2 z b) M = Bài toán 3.1: Cho biết 2y với x, y, z khác Tính h a Bài toán 3.2: Cho tØ sè b»ng : b b ; c c c ; a a b Tìm giá trị tỉ số Với em dễ mắc phải cách giải nh- sau: a b b = c c = c a a a = b (b c) b (c c = a) (a Vµ kết luận: Giá trị tỉ số đà cho lµ b) Nh-ng chØ cã thÕ lời giải toán ch-a đ-ợc hoàn thiện a + b + c=0 Mà phải trình bµy nh- sau: a +) NÕu a + b +c ≠ th× b b = c c c = a a a = b (b c) b (c c a) = (a b) +) NÕu a + b +c = th× b + c = –a ; c + a = –b ; a + b = –c a Khi ®ã: b a Hay: b = b c c c = a b ; a c = c a a b a = b c ; b a c c b c c a VËy: +) NÕu a + b +c ≠ th× b b = c c c = a a = b 27 a +) NÕu a + b +c = th× b = b c c = c a a = b Khi ®· tinh giá trị phân thức ta ẩn chúng cách cho học sinh làm tập khó sau: a Bài toán 3.2: Cho b = b c c = c a a b Tìm giá trị N = a + b b c c + c a a b Râ ràng biến đổi M để tính em khó tìm kết mà phải tìm gia a trÞ cđa tõng : b b ; c c c ; a a b Bài toán 3.3: Cho biÓu thøc: P = x y y z z t t x z t t x x y y z x Tìm giá trị biểu thức P biết: y y z t z t y z x y z x t x t y x y z Gi¶i: x Cã: y z x Hay: y t y z z y z t t x x t y t z z z t t x y x y x t t x z t x y x z y t z +) NÕu x + y + z + t ≠ th× y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z x = y = z = t ®ã: P = + + +1 = +) NÕu x + y + z + t = th× x + y = – (z + t) ; y + z = – (z + t) Khi ®ã: P = (– 1) + (– 1) + (– 1) +(– 1) = – VËy: +) P = x + y + z + t ≠ +) P = – x + y + z + t = Bài toán 3.4: Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: a b c b c c a c a a b Hãy tính giá trị biểu thức b B b a a c c b ( Thi HSG toán Yên Việt năm học 2012 - 2013 ) H-íng dÉn : +Nếu a+b+c Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a b c b c c mà a c a a a b c a = b c b b c Vậy B = b c a c a a a b c a a b c = => c a b b a b b c b a ( b c a =1 c c a a )( b b c c a b c =2 b c )( a ) =8 b + Nếu a+b+c = Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: 28 a b c b c c mà a a a a b c b a b c a c a a b b c c c a Vậy B = a = b c b c => c b b c a a b c c a b =0 =1 b a =1 b b a c a b c a ( c a )( b b c )( a c ) =1 b Bài tập t-ơng tự: Bài Cho A = x 2y 3z x 2y 3z TÝnh A biÕt x, y, z tØ lƯ víi 5, 4, Bµi Cho biÕt c¸c sè A; B ; C tØ lƯ với a, b, c Tính giá trị biểu thức : Q= Ax By C ax by c Bµi Cho tØ sè b»ng nhau: a b c ; b d c d ; c a d a ; d a b b c Tìm giá trị tỉ số Bài Cho dÃy: 2a b c d a 2b a Tìm giá trị biểu thức: M = c d a b 2c b d a c b c 2d d a b b c c d d a c d d a a b b c Dạng 4: có nội dung Liên quan thực tế, hình học Ph-ơng pháp giải B-ớc 1:Dùng chữ để biểu diễn đại l-ợng ch-a biết B-ớc 2:Thành lập dÃy tỉ số điều kiện B-ớc 3:Tìm số hạng ch-a biết B-ớc 4:Kết luận Bài toán 1:( Bài 76 SBT toán 7-Trang 14 ): Tính độ dài cạnh tam giác biết chu vi 22 cm cạnh tam giác tỉ lệ với số 2;4;5 Hng dn: Gọi độ dài cạnh tam giác a,b,c (a,b,c ) Vì chu vi tam giác 22 nên ta có a+b+c=22 29 Vì cạnh tam giác tØ lƯ víi 2;4;5 nªn ta cã a b c Đến cách giải giống Bài toán 1.5 T-ơng tự toán ta có toán sau : – Bài toán 4.2: tập 1-trang 30) Số viên bi ba bạn Minh, Hùng, Dũng tương ứng tỉ lệ với số 2, 4, Tính số viên bi bạn, biết ba bạn có tất 44 viên bi Hƣớng dẫn: Gäi số viên bi ba bạn Minh, Hùng, Dũng lần l-ợt x, y, z ( viên) (x, y, z * N ) Vì số viên bi ba bạn tỉ lệ với 2, 4, nên ta có x y z x y z Khi đà có x + y +z = 44 đến toán giải nh- toán 1.5 x + y +z = 44 Thỡ cách thay đổi ngôn ngữ có nhiều toán có nội dung thực tế (theo kiểu phát triển nh- dạng toán 1) Sau sèvÝ dơ : Bµi tËp 4.3: Chia số 44 thành phần tỉ lệ với 2, 4, Bµi tËp 4: Ba líp 7A,7B,7C cïng tham gia lao ®éng trồng ,số lớp trồng đ-ợc tỉ lệ với số 2;4;5 lần số lớp 7A cộng với lần số lớp 7B số lớp 7C 60 Tính số lớp trồng đ-ợc H-ớng dẫn Gọi số trồng đ-ợc lớp 7A,7B,7C lần l-ợt a,b,c ( a,b,c nguyên d-ơng) Theo ta cã a b c vµ 2a + 4b – c = 60 Tõ ®ã Häc sinh giải đ-ợc t-ơng tự nh- toán 1.13 Bài tập 5: Ba líp 7A, 7B, 7C cã 117 b¹n tham gia trồng Số bạn ba lớp trồng đ-ợc tỉ lệ với số 2; 3; , số lớp trồng đ-ợc Hỏi lớp có học sinh trồng (Đề kiểm định chất l-ợng đại trà Đô L-ơng môn Toán năm học 2008 2009 ) Bài tập 4: :( Aùp dụng HS Giỏi) 30 Ba kho thóc có tất 710 thóc, sau chuyển số thóc kho I, kho II số thóc số thóc kho III số thóc cịn lại kho Hỏi lúc đầu 11 kho có thóc H-íng dÉn Gọi số thóc kho I,II,III lúc đầu a,b,c (tấn, a,b,c>0) Số thóc kho I sau chuyển a a Số thóc kho II sau chuyển b b Số thóc kho III sau chuyển c a từ a 5 b 10 10 b c 11 b c 25 24 22 c 11 a+b+c=710 a a 10 11 c c b 11 theo ta có a 10 b a b 25 24 c 22 1 c 710 10 71 Suy a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220 Thử lại giá ta thấy thoả mãn Vậy số thóc lúc đầu của kho I,II,III 250tấn , 240 tấn, 220 tn Bài tập : Cho tam giác ABC có  tam giác ABC B tỉ lƯ víi vµ 15, Cˆ = Aˆ Tính góc Đây toán có nội dung hình học nh-ng lại đ-ợc giải ph-ơng pháp đại số, thật đơn giản nhớ đ-ợc kiện cho d-ới dạng ẩn tổng góc tam giác 1800 H-ớng dẫn * Theo ta có Aˆ = Hay : Aˆ = Bˆ 15 = B 15 C C mà  + Bˆ = Aˆ + Cˆ = (Tổng góc tam giác) 12 Đến toán giải nh- toán 1.5 Bài tập : Có ba tủ sách đựng tất 2250 cn s¸ch NÕu chun 100 cn tõ tđ thø sang tủ thứ số sách tủ thø 1, thø 2, thø tØ lƯ víi 16;15;14 Hỏi tr-ớc chuyển tủ có sách ? Bài phức tạp chỗ: số l-ợng sách tủ tr-ớc sau chun 31 H-íng dÉn Gäi sè qun s¸ch cđa tđ 1, tủ 2, tủ lúc đầu là: a, b, c (qun) (a, b, c c < 2250) Th× sau chun ,ta cã: Tđ 1: a –100 (qun) Tđ 2: b (qun) Tđ 3: c + 100 (qun) Theo ®Ị bµi ta cã : a 100 = 16 b = 15 c 100 N * vµ a, b, vµ a + b + c = 2250 14 Và giải nh- toán 1.9 Bài tập 8: Trong ®ỵt lao ®éng ba khèi 7, 8, chun ®-ỵc 912 m đất , trung bình học sinh khối 7, 8, theo thứ tự làm đ-ợc 1, m ; 1, m ; 1, m Sè häc sinh khèi vµ khèi tØ lƯ víi vµ ; sè häc sinh khèi vµ khè tØ lƯ víi vµ TÝnh số học sinh khối H-ớng dẫn Gọi số học sinh khối 7,8,9 lần l-ợt a,b,c (h/s) (a,b,c số nguyên d-ơng) Số đất khối chuyển đ-ợc 1,2a Số đất khối chuyển đ-ợc 1,4b Số đất khối chuyển đ-ợc 1,6c 3 Theo bµi rat a cã a b ; b c 3 Vµ 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ta đ-ợc a= 80, b= 240, c= 300 VËy sè häc sinh cña khối 7,8,9 lần l-ợt 80 h/s ,240h/s ,300h/s Bài tËp 8: Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 sau chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua ( Trích đề thi HSG Tốn 7) H-íng dÉn Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c Ta có: a b c a b c 18 x 5x a 18 ;b 18 6x x 18 7x ;c (1) 18 Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: a , b , c , a , b , c , 15 x a 15 , 4x ;b , 15 5x x 15 ;c , 6x (2) 15 So sánh (1) (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu Vây: c’ – c = hay 6x 7x 15 18 x x 360 90 Vậy số gói tăm lớp ó mua l 360 gúi Đây dạng tập khó học sinh, không học sinh trung bình mà học sinh khá-giỏi, khó v quan trng nht công đoạn chuyển toán lời văn dạng biểu thức Giáo viên cần dẫn dắt em thật tỉ mỉ b-ớc, từ phân 32 tích đầu để tìm yếu tố cho, yếu tố ch-a biết, yếu tố cần tìm mối quan hệ chúng, kể mối quan hệ ®· biÕt d-íi d¹ng Èn (VÝ dơ nh-: s = v.t tổng góc tam giác 180 ), đến cách gọi kí hiệu kèm điều kiện đơn vị Đặc biệt kết luận cho phải xác theo yêu cầu Bài tập tự giải: Bài Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc v-ờn tr-ờng cã diƯn tÝch 300m Trong ®ã: Líp 7A nhận 15% diện tích, 7B nhận diện tích lại Sau lớp 7A 7B nhận phần lại đ-ợc chia cho lớp 7C, 7D, 7E theo tØ lÖ ; ; Tính 16 diện tích v-ờn giao cho lớp Bài Một bể chứa hình chữ nhật có chiỊu réng vµ chiỊu dµi tØ lƯ víi vµ 5; ChiỊu réng vµ chiỊu cao tØ lƯ víi vµ ThĨ tÝch cđa bĨ lµ 64m TÝnh chiỊu réng, chiỊu dµi vµ chiỊu cao cđa bĨ Bµi Tìm số đo góc tam giác ABC biết số đo góc Â, B , C tỉ lƯ víi: a) 2; 3; b) 1; 2; Bài Ba đ-ờng cao tam giác có ®é dµi b»ng 4; 12; x BiÕt r»ng x lµ số tự nhiên Tìm x( Cho biết cạnh tam giác nhỏ tổng hai cạnh lớn hiệu chúng) Bài Một ng-ời bé tõ A ®Õn B ®· tÝnh r»ng: NÕu ®i với vận tốc km/h đến B lúc 11h 45phút Nh-ng ng-ời đ-ợc quÃng đ-ờng với vận tốc dự định tr-ớc, đoạn đ-ờng lại với vận tốc 4,5 km/h nên đà ®Õn B lóc 12h Hái ng-êi ®ã khëi hµnh lóc quÃng đ-ờng AB km? Bài Ba kho A, B, C chøa mét sè g¹o Ng-ời ta nhập vào kho A thêm số gạo cđa kho ®ã, xt ë kho B ®i số gạo kho đó, xuất kho C số gạo kho Khi sè g¹o cđa kho b»ng TÝnh sè g¹o kho lúc đầu, biết số gạo kho B số gạo kho A 20 t¹ Bà i Tổng luỹ thừa bậc ba số -1009 Biết tỷ số số thứ số thứ ; số thứ số thứ Tìm số đó? D¹ng : Một số sai lầm th-ờng gặp KHI giải toán liên quan đến tỷ số Trong trình giảng dạy xuất nhiều tr-ờng hợp học sinh mắc sai lầm, tùy theo đối t-ợng mà giáo viên chấn chính, uốn nắn có biện pháp phù hợp với mục đích giúp em hiểu biết cách vận dụng giải tập Và nhìn chung em th-ờng mắc sai lầm nh- sau : 33 1.Sai lầm áp dụng t-ơng tự : x y x.y a b a b Hoc sinh thường sai làm Áp dông hay x y z x y z a b c a b c Sau lµ mét sè bµi tËp thĨ : Bµi tËp 5.1: (Bài 62 SGK Toán 7-Trang 31) Tìm sè x,y biÕt r»ng x y x.y 10 5 10 *Häc sinh cã thĨ sai lÇm nh- sau : x y vµ x.y=10 suy x=2, y=5 *Bài làm : từ x y x đặt x x y y x k x 10 x x y 10 2k, y 5k xy=10 nên 2k.5k=10 k k suy x vµ y Bài tập 5.2: Tìm số x,y,z biết x y z vµ x.y.z= 648 * Häc sinh sai lÇm nh- sau: x y z x y z 648 4 24 27 Suy x = 54, y = 81, z = 108 * Bài làm : t-ơng tự Bài toán 1.18 2.Sai lầm bỏ qua điều kiện khác 0: Khi rót gän hoc sinh th-êng bá qua ®iỊu kiện số chia khác dẫn đến thiếu giá trị cần tìm Chẳng hạn nh- : Bài tập 5.3: Cho d·y tØ sè b»ng lµ a b c b c a Chứng minh a=b=c *Lời giải mắc sai lầm : ta cã a b c a b c b c a b c a =1 Suy : a=b=c ( T-¬ng tù Đề thi giáo viên dạy giỏi huyện Đô Lƣơng 2011 ) ( không a+b+c = ) * Lời giải cách 2, cách Bài tốn 2.13 Bµi tËp 5.4 : (Sai lầm nh- toán 3.2 ) Bài tập 5.5: (bài tốn 3.3) Cho biĨu thøc P x y y z z t t x z t t x x y z y 34 x Tính giá trị P biÕt r»ng y y z t z z t x t t x y x (1) y z Học sinh mắc sai lầm không xét trường hợp x+y+z+t = a Bµi tËp 5.6: Cho tØ sè b»ng lµ b b a TÝnh b b c c c a a c c c a a b ( thi HSG toán huyện Thanh chng năm 2012 ) b Học sinh th-ờng mắc sai lầm không xét tr-ờng hợp a+b+c = nh- toán 3.2 Bài tập 5.7 : Tìm x, y biết : 5x 3y 5x Häc sinh th-êng gi¶i nh- sau : tõ 5x 3y 5x 9y 21 8x 8y “9 = 15 3 9y 8x 3y 5x 9y 21 8x 24 3(3 y 8x 8) y =3 vµ suy x = 3y Sai lầm từ 5x 21 8x Suy 9y 3(3 y 8) 8x 8y “9 = 15 Kh¾c phơc : Khi giải đến 3y 3(3 y + Nếu :3y “8 = y 8x ph¶i xÐt hai tr-ờng hợp : từ tìm đ-ợc + NÕu 3y “8 8) x 8y “9 = 15 y =3 vµ suy x = 3.Sai lầm xét luỹ thừa bậc chẵn : Học sinh th-ờng sai lầm A2=B2 suy A=B Bài tập 5.8: Tìm số x,y,z biết x y z biÕt r»ng 2x 3y 5z 720 ( Bài toán 1.15 ) Khi giải ®Õn : x y 16 x 16 y 16 z 2 64 144 z 2 256 16 Häc sinh chØ lÊy x =8 ; y = 12 ;z = 16 mà sót tr-ờng hợp x = - ; y = -12 ;z = - 16 Sai lÇm vËn dơng kiÕn thøc : 35 VÝ dô 1: Cho 6x = 4y = 3z x + y + z = 36, tìm x, y, z (Bài toán 1.8 ) Lời giải học sinh th-êng lµ: Tõ 6x = 4y = 3z x y z 24 24 24 x y z x y z x y z 24 24 24 x = 36 ; y = 36 ; z = 36 1, 24 Lỗi sai sót : Từ 6x = 4y = 3z x y z ; nên việc tìm x,y,z sai Khắc phục : Ta cã BCNN ( 6; ;3 ) = 24 Tõ 6x = 4y = 3z x y 24 1 z 24 24 Lêi gi¶i mong đợi : Dựa vào tính chất phép nhân đẳng thức em đà biết tìm BCNN( 6; ;3 ), từ ,lời giải nh- sau : (Giải nh- 1.8) Ví dụ : Cho t lệ thức: a c b Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: d Lêi gi¶i cđa häc sinh : Tõ a c a c a c a c b d b d b d b d a b c d a b c d không đến yêu cầu toán Sai sót : Do học sinh ch-a sử dụng ph-ơng pháp hoán vị số hạng tỉ lệ thức, ch-a biết vận dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng Kh¾c phôc : Tõ a c a b b d c d ( hoán vị trung tỷ ) Từ áp dơng tÝnh chÊt tû lƯ thøc vµ tÝnh chÊt d·y tỷ số đến kết Lời giải mong đợi : ( nh- Bài toán 2.3 ) Ngoài h-ớng giải em đà tìm h-ớng giải khác nhờ tính chất tỷ lệ thức nh-: Xét tích : (a-b).(c+d) (a+b).( c-d) từ suy ra: (a-b).(c+d) = (a+b).( c-d) tõ ®ã dÉn têi điều phải chứng minh Sai lầm trình bày lời giải : Qua thc t dạy hc sinh thấy em gặp nhiều sai sót q trình giải toán , nhầm lẫn dấu “=” với dấu “=>” Ví dụ 1: cách giải tốn 1.4 em sai lầm dùng dấu “=” dấu sau : ta có x y ( x y x y ) d x y 60 15 em lại dùng dấu “ = ” sai Ví dụ : cách giải toán 1.5 chỗ ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau, tõ x y z 36 ta cã x y z ( ) S x y z 36 , Ở cỏc em dựng du => l sai Bài tập t-ơng tự : Bài 1: Cho a,b,c ba số khác thoả mÃn điều kiện a b c b c b HÃy tính giá trị biểu thức B a c a c a a b b c 1 a c b Bµi 2: Cho d·y tØ sè b»ng : 2a b c d a 2b a c d a b 2c b d a b c Tìm giá trị biểu thức M biết : c 2d d M a b b c c d d a c d d a a b b c Bµi 3: Một học sinh lớp trình bày lời giải toán Tìm x, y biết: 2x 3y 2x 3y ” 6x nh- sau: Ta cã: 2x 3y 2x 3y Từ hai tỷ số đầu ta có: (1) 6x 2x 3y Tõ (1) vµ (2) ta suy 2x 2x 3y (2) 12 3y 6x 2x 3y (3) 12 6x = 12 x=2 Thay x = vào tỷ số đầu ta đ-ợc y = Thử lại thấy thoả mÃn VËy x = vµ y = lµ giá trị cần tìm Đồng chí hÃy nhận xét lời giải học sinh Phần III: Kết luận Và BàI HC KINH NGHIM Khi nghiên cứu đề tài Giúp học sinh chuyên sâu tỉ lệ thức, tính chất dÃy tỉ số nhautrong môn Đại số lớp thấy việc áp dụng vào giảng dạy có hiệu quả, học sinh dễ hiểu hứng thú trình tiếp thu kiến thức, em đà biết khai thác sâu toán, biết tự đặt toán mới, tránh đ-ợc sai lầm mà hay mắc phải Và thấy trình giảng dạy giáo viên có đầu t- nghiên cứu dạy kĩ hiệu đạt đ-ợc cao Tâm huyết với nghề 37 yếu tố tạo nên thành công dạy Đứng tr-ớc tập, kiến thức giới hạn gần tới, học sinh thường lúng túng, hoang mang phải làm nh- nào; Lúc thời điểm để giáo viên xuất với vai trò định h-ớng, dẫn dắt em b-ớc qua khó khăn, gợi mở để em làm đ-ợc mà làm tốt không hay kiến thức mà bài, kiến thức khác, có liên quan không liên quan liên hệ logic Đó cách t- duy, kể việc nắm vững kiến thức bản, phải khai thác toán theo mảng, mảng ta lại chia thành phần, cho phần có liên kết chặt chẽ với cấu trúc toán nh- ph-ơng thức giải toán Mặc dù đà cố gắng nh-ng với kiến thức hạn chế chắn ch-a thể đ-a vấn đề cách trọn vẹn đ-ợc, mong đ-ợc góp ý chân thành đồng nghiệp thầy cô đà có nhiều kinh nghiệm giảng dạy để đề tài đ-ợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Yờn Thnh, ngày 27 tháng 04 năm 2019 38 Mục lục Phần I Lý chọn đề tài Phần II Nội dung đề tài A Lý thuyÕt B Các dạng toán ph-ơng pháp giải Dạng Tìm sè h¹ng tØ lƯ thøc D¹ng Chøng minh tØ lƯ thøc 14 Dạng Tính giá trÞ biĨu thøc Dạng Toán có nội dung liên thực tế, hình học Dạng Một số sai lầm th-ờng gặp Phần III Kết luận PhÇn IV.Tài liệu tham khảo 23 25 28 31 32 39 Phần IV Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa toán Sách tập toán NXB GD NXB GD Kiến thức nâng cao toán NXB HN NXB ĐHSP NXB GD Những toán nâng cao chọn lọc Nâng cao phát triển toán Báo giới ta Báo toán học tuổi trẻ Tuyển chọn 400 tập toán Toán bồi d-ỡng đại số 10 Tuyển chọn 500 toán nâng cao toán 11 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán 12 Ôn kiến thức-luyện kĩ đại số 13.Một số sách báo tham khảo khác NXB Đà Nẵng NXB HN NXB ĐHSP NXB GD NXB GD 40 ... hÃy nhận xét lời giải học sinh Phần III: Kết luận Và BàI HC KINH NGHIM Khi nghiên cứu đề tài Giúp học sinh chuyên sâu tỉ lệ thức, tính chất dÃy tỉ số nhautrong môn Đại số lớp thấy việc áp dụng... c) = (c – a)2 (*) GV: Có thể áp dụng tính chất dãy tỉ số để xuất dãy tỉ số có thành phần a – b; b – c; c – a? Cách 1: Từ giả thiết áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a 2012 2013 2014 b 2012... năm 2007) Tìm hai số x y biết x y x + y = 16 * Đây tốn đơn giản áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số để giải giải theo số cách khác Gi¶i: Cách : Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y x