Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy

Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN GIỚI HẠN DÃY SỐ Giới hạn hữu hạn dãy số 1.1 Định nghĩa: • Dãy số (un ) gọi có giới hạn n tiến dương vô cực với số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, số hạng dãy số , kể từ số hạng trở đi, có giá tri tuyệt dối nhỏ số dương Kí hiệu: lim un = Hay là: lim un = với x→+∞ x→0 ε > nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên n0 cho: un < ε , ∀n > n0 • lim un = a ⇔ lim ( un − a) = , tức là: Với ε > nhỏ tùy ý, x→+∞ x→+∞ tồn số tự nhiên n0 cho un − a < ε , ∀n > n0 Dãy số (un) có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn 1.2 Một số giới hạn đặc biệt • lim = vi k Ơ * nk n ã Nu q < lim q = n→+∞ • Nếu un = c (với c số) lim un = lim c = c n→+∞ n→+∞ un = a Chú ý: Ta viết limun = a thay cho cách viết nlim →+∞ Một số định lí giới hạn Định lí Nếu dãy số (un) thỏa un < kể từ số hạng trở limvn = limun = Định lí Cho limun = a, limv n = b Ta có: • lim(un + ) = a + b • lim(un − ) = a − b • lim(un ) = a.b • lim un = a (b ≠ 0) b • Nếu un ≥ ∀n lim un = a Tổng CSN lùi vô hạn Cho CSN (un ) có cơng bội q thỏa q < Khi tổng S = u1 + u2 + + un + gọi tổng vô hạn CSN http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 139 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả S = limSn = lim u1(1− qn ) 1− q = u1 1− q Giới hạn vô cực 4.1 Định nghĩa: • lim un = +∞ ⇔ với số dương tuỳ ý cho trước , số hạng n→+∞ dãy số , kể từ số hạng trở đi, lớn số dương • lim un = −∞ ⇔ lim ( −un ) = +∞ n→+∞ n→+∞ 4.2 Một số kết đặc biệt • limnk = +∞ với k > • limqn = +∞ với q > 4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực Quy tắc 1: Nếu limun = ±∞ , limvn = ±∞ lim(un ) cho sau; limun limvn lim(un ) +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ Quy tắc 2: Nếu limun = ±∞ , limvn = l lim(un ) cho sau; Dấu l limun lim(un ) +∞ + +∞ − −∞ +∞ −∞ −∞ + − −∞ +∞ Quy tắc 3: Nếu limun = l , limvn = > < kể từ số hạng dó trở lim Dấu l +∞ +∞ −∞ −∞ un coi sau; Dấu + − + − lim un +∞ −∞ −∞ +∞ Vấn đề Tìm giới hạn định nghĩa Phương pháp: 140 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt • Để chứng minh limun = ta chứng minh với số a > nhỏ tùy ý tồn số na cho un < a ∀n > na • Để chứng minh limun = l ta chứng minh lim(un − l) = • Để chứng minh limun = +∞ ta chứng minh với số M > lớn tùy ý, tồn số tự nhiên nM cho un > M ∀n > nM • Để chứng minh limun = −∞ ta chứng minh lim(−un ) = +∞ • Một dãy số có giới hạn giới hạn Các ví dụ Ví dụ Chứng minh rằng: lim lim n+2 =1 n+1 1− 2n n2 + Lời giải lim n2 − 1 2n + = = −2 Với a > nhỏ tùy ý, ta chọn na > − 1, ta có: a n+2 1 −1 = < < a với ∀n > na n+1 n + na + Suy lim n+ n+ − = ⇒ lim = n+1 n+1 − , ta có: a Với a > nhỏ tùy ý, ta chọn na > n2 − 1 3 = < < a với ∀n > na 2 2n + n + na + − Suy lim n2 − 1 n2 − 1 = ⇒ lim = 2n2 + 2n2 + − Với a > nhỏ tùy ý, ta chọn na > 1− 2n n +1 +2= 1− 2n + n2 + n +1 < a2 − , ta có: 1− 2n + 2(n + 1) n +1 = n +1 < na2 + < a với ∀n > na Suy lim 1− 2n n2 + + = ⇒ lim 1− 2n n2 + = −2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 141 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ví dụ Chứng minh dãy số (un ) : un = (−1)n khơng có giới hạn Lời giải Ta có: u2n = 1⇒ limu2n = 1; u2n+1 = −1⇒ limu2n+1 = −1 Vì giới hạn dãy số có nên ta suy dãy (un) giới hạn Ví dụ Chứng minh giới hạn sau: 2− n n2 + = −∞ lim lim = +∞ n n Lời giải Với số thực dương M lớn tùy ý, ta có: n2 + M + M2 − > M ⇔ n2 − Mn + > ⇔ n > n  M + M − 4  ta có: n + > M , ∀n > n Ta chọn n0 =    n   n2 + = +∞ n Với M > lớn tùy ý, ta có: Do đó: lim  M + M2 + 8 ÷ > M ⇔ n − M n − 2> 0⇔ n >   ÷ n   2   n−2  M + M + ÷  n = > M , ∀n > n0 Ta chọn  ta có:  ÷  n     2− n = −∞ Do đó: lim n CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Chứng minh rằng: 1 sin2 n =0 lim lim k = (k ∈ ¥ *) lim =0 n+1 n n+ n−2 lim 1− n = −∞ n Bài Chứng minh giới hạn sau cosn + sinn =0 =0 lim lim n+1 n2 + lim(2n + 1) = +∞ lim 142 n+1 =0 n+ Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt lim 3n3 + n n2 lim = +∞ 2− n n+1 = −∞ Bài Dùng định nghĩa tìm giới hạn sau : 2n + 2n + 1 A = lim B = lim n−2 n +1 n2 + n+1 Bài Tìm giới hạn sau C = lim A = lim C = lim n−2 n 2n n +2 n +7 B = lim D = lim nsinn − 3n2 n2 4n + n2 + 3n + Bài Chứng minh dãy số (un ) : un = (−1)n n khơng có giới hạn Bài Chứng minh giới hạn sau: lim an =0 n! lim n a = với a > Bài Nếu dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn a dãy số trung bình  x1 + x2 + + xn   ÷ có giới hạn a n   Dãy số (xn ) thỏa mãn điều kiện < x1 < xn+1 = 1+ xn − xn2 ,∀n ∈ ¥ * Chứng minh dãy số cho hội tụ Tìm limxn Vấn đề Tìm giới hạn dãy số dựa vào định lý giới hạn Phương pháp: Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn f(n) • Khi tìm lim ta thường chia tử mẫu cho nk , k g(n) bậc lớn tử mẫu • Khi tìm lim  k f(n) − m g(n)  limf(n) = limg(n) = +∞ ta thường   tách sử dụng phương pháp nhân lượng liên Các ví dụ Ví dụ Tìm giới hạn sau : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 143 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả A = lim B = lim n 1+ + + + (2n − 1) 2n2 + 1+ + + n − n + 22 + + n2 + 2n Lời giải Ta có: 1+ + + + 2n − = n2 Suy A = lim n2 2n + 1 = lim 2+ = n2 n(n + 1) ; n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + + n2 = Ta có: 1+ + + n =  1 n2  1+ ÷ n n(n + 1)   −n −n 2 = lim = Suy : B = lim n(n + 1)(2n + 1)    3 + 2n n  1+ ÷ + ÷ n  n  + 2n Ví dụ Tìm giới hạn sau :   1   C = lim  1− ÷ 1− ÷  1− ÷    n    1 1  + + + + D = lim   1.2 2.3 3.4 n(n + 1)   Lời giải Ta có: 1− = (k − 1)(k + 1) nên suy k k2   1   1.3 2.4 (n − 1)(n + 1) n + =  1− ÷ 1− ÷  1− ÷ = 2n     n  n2 n+1 = Do C = lim 2n 1 = − Ta có nên suy k(k + 1) k k + 1 1 + + + + = 1− 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n+1 144 −1 +2 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt   Vậy D = lim  1− ÷ = n + 1  Ví dụ Tìm giới hạn sau : A = lim 4n+1 − 5n+1 B = lim 4n + 5n 4.3n+ − 2.7n−1 4n + 7n+1 Lời giải n  4 4 ÷ −  5 = −5 ( Chia tử mẫu cho 5n ta có: A = lim n  4  5÷ +   n  4 lim  ÷ = )  5 n  4 36 ÷ − 7   =− Ta có: B = lim n 49  4  7÷ +     1   Ví dụ Tìm giới hạn sau : C = lim  1− ÷ 1− ÷  1− ÷    n   Lời giải Ta có: 1− k = (k − 1)(k + 1) k2 nên suy   1   1.3 2.4 (n − 1)(n + 1) n + =  1− ÷ 1− ÷  1− ÷ = 2n     n  n2 n+1 = Do C = lim 2n CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Tìm giới hạn sau : A = lim 2n2 + 3n + 3n2 − n + 2n + 1) C = lim ( 17 n D = lim ( n + 2) B = lim n2 + 2n n − 3n2 + +1 n2 + − 3n3 + 2n4 + n + − n Bài Tìm giới hạn sau : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 145 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả   A = lim  n + 6n − n ÷   3  2 B = lim  n + 9n − n ÷   3.2n − 3n C = lim n+ 3  2 D = lim  n + 2n − n + 2n ÷   n+ +3 Bài Tìm giới hạn sau:   A = lim  n + 2n + + n ÷   C = lim   2 B = lim  2n + − n ÷   3n3 + − n D = lim 2n4 + 3n + + n ak nk + + a1n + a0 bpnp + + b1n + b0 (Trong k,p số nguyên dương; ak bp ≠ ) ( ) A = lim n − 2n + ( k k−1 + + a0 C = lim ak n + ak−1n )   B = lim  n + n − + n ÷   với ak ≠ 3   D = lim  2n − n + 1÷   E = lim 3n3 + n − (2n − 1)(n + 3)2 10 F = lim (n − 2)7(2n + 1)3 (n2 + 2)5   3  11 H = lim  n + n + − n ÷ 12 M = lim  1− n − 8n + 2n ÷       13 N = lim  4n + − 8n + n ÷     2 14 K = lim  n + n − − 4n + n + + 5n ÷   Bài Tìm giới hạn sau A = lim C = lim 2n + 1− 3n n3 + n(2n + 1)2 E = lim n + 2n + n+2 B = lim D = lim F = lim 4n2 + 3n + (3n − 1)2 n3 − 3n2 + n4 + 4n3 + n4 − 2n + + 2n 3n3 + n − n   M = lim  n + 6n − n ÷   3  N = lim  n + 3n + − n ÷   3  H = limn  8n + n − 4n + ÷   10 K = lim Bài Tìm giới hạn sau 146 3.2n − 3n 2n+1 + 3n+1 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt A = lim 2n3 + sin2n − n +1 3.3n + 4n C = lim D = lim B = lim n n! n + 2n 3n+1 + 4n+1 n+1 n2( 3n2 + − 3n2 − 1) F = lim E = lim( n2 + n + − 2n) ( n + 1+ n )   K = limn  n + − n ÷   p H = lim(k n2 + − n2 − 1) Bài Tìm giới hạn dãy số sau 1 + + + un = 1+ + (n + 1) n + n n + un = (n + 1) 13 + 23 + + n3 3n3 + n + 1 n(n + 1) un = (1− )(1− ) (1− ) Tn = T1 T2 Tn un = un = 23 − 33 − n3 − 23 + 33 + n3 + n 2k − k =1 2k ∑ un = q + 2q2 + + nqn với q < un = Bài Tìm giới hạn sau: A = lim B = lim ak nk + ak−1nk−1 + + a1n + a0 bp np + bp−1np−1 + + b1n + b0 n ∑ n k =1 n +k với ak bp ≠ n6 + n + − n4 + 2n − (2n + 3)2   C = lim  4n + n + − 2n ÷   3   2 D = lim  n + n + − n + n − + n ÷   Bài Cho số thực a,b thỏa a < 1; b < Tìm giới hạn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 147 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả 1+ a + a2 + + an I = lim 1+ b + b2 + + bn Cho dãy số (xn ) xác định x1 = ,xn+1 = xn2 + xn ,∀n ≥ 1 + +L + Đặt Sn = Tính limSn x1 + x2 + xn + Cho dãy (xk ) xác định sau: xk = k + + + 2! 3! (k + 1)! n Tìm limun với un = n x1n + x2n + + x2011  u0 = 2011  Tìm lim un Cho dãy số (un ) xác định bởi:  u = un + n  n+1 u2n  Cho dãy số (un ) xác định : un = n + − n + + n Đặt Sn = u1 + u2 + L + un Tìm limSn u1 = 1;  Cho dãy (un ) xác định sau:  u2n Tìm u = u +  n+ n 2010   u  lim  ∑ n ÷ ÷  u n+  Cho dãy số (un ) với un = 4n + 2n n Dãy (sn ) cho sn = ∑ ui i =1 Tìm limsn Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 =   un (un + 1)2 − , (n ≥ 1,n ∈ N)  u n+ =  n Xét hội tụ tính giới hạn sau tồn tại: lim ∑ ui − n→∞ i =1 u2 + i Bài Cho dãy số ( un ) xác định sau: u1 = u n+ = u2n 2010 u với n = 1,2,3, 2011 2011 n + Chứng minh ( un ) dãy số tăng không bị chặn 148 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Lời giải x 2+ Ta có: A = lim x − x 1+ x(2 + ) x x→+∞ x = lim 2+ 2 x x→+∞ − 1+ 2+ x x2 = − 1 1 + − 3− − + 2 x x x x x x2 = = lim Ta có: B = xlim →−∞ x→−∞   1 1 x  1+ − ÷ −  1+ − ÷   x2 x ÷ x2 x ÷     CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tìm giới hạn sau: x 3− 2 +x 2x − 3x2 + C = lim x→+∞ D = lim x→−∞ 5x + x2 + E = lim ( x − x + − x) 1+ x4 + x6 1+ x3 + x4 F = lim x( 4x + − x) x→+∞ x→−∞ M = lim ( x + 3x + − x − x + 1) x→±∞ N = lim  8x3 + 2x − 2x ÷ x→+∞   4  H = lim  16x + 3x + − 4x + ÷ x→+∞     K = lim  x + + x − x − 2x ÷ x→+∞   Bài Tìm giới hạn sau: A = lim 3x2 + 5x + B = lim 2x2 + x + Bài Tìm giới hạn sau: x→+∞ A = lim x→−∞ 3x3 + − 2x2 + x + 4x4 + Bài Tìm giới hạn sau: A = lim x→+∞ C = lim x→+∞ (2x + 1)3(x + 2)4 (3 − 2x)7 2x + 3x2 + 5x − x2 + Bài Tìm giới hạn sau: 164 x→+∞ a0xn + + an−1x + an b0xm + + bm−1x + bm B = lim x x2 + − 2x + x→+∞ B = lim x→−∞ D = lim x→−∞ (a0b0 ≠ 0) 2x3 − + 4x2 − 3x + − 2x x2 + x + − x 1+ x4 + x6 1+ x3 + x4 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt   A = lim  x + x + − 2x + x − 1÷ x→+∞     C = lim  4x + x + − 2x ÷ x→+∞   D = lim  x3 + x2 + + x2 + x + 1÷ x→−∞   Bài Tìm giới hạn sau:   A = lim  x + x + − x − x + x ÷ x→+∞     2 B = lim  x − x + x + 1÷ x→−∞   2 B = lim x( x + 2x − x + x + x) x→+∞ Bài Tìm giới hạn sau A = lim x→+∞ B = lim a0xn + + an−1x + an b0xm + + bm−1x + bm 4x2 + x + 8x3 + x − 4 x→+∞ x +3 4x − + x3 + C = lim x→−∞ D = lim , (a0b0 ≠ 0) x2 + − x x x2 + + 2x + 2x3 + x + + x Bài tốn 04: Dạng vơ định: ∞ − ∞ 0.∞ Phương pháp: x→+∞ Những dạng vô định ta tìm cách biến đổi đưa dạng Các ví dụ ∞ ∞ 3 2 Ví dụ Tìm giới hạn sau: A = lim ( x − 3x + x − 2x) x→−∞ Lời giải Ta có: 3 x − 3x2 + x2 − 2x = ( x3 − 3x2 − x) + ( x2 − 2x + x) = ⇒ A = lim x→−∞ −3x2 3 (x3 − 3x2)2 + x x3 − 3x2 + x2 −3 (1− 3)2 + 1− + x x + lim x→−∞ + −2x x2 − 2x − x −2 − 1− − x =0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 165 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả 2 Ví dụ Tìm giới hạn sau: B = lim x( x + 2x − x + x + x) x→+∞ Lời giải x2 + 2x − x2 + x + x = Ta có: = 2x = 2x2 + 2x + 2x x2 + 2x − 4x2 − 4x x2 + 2x + x2 + x + x x2 + 2x − x − x2 + 2x + x2 + x + x −2x ( x2 + 2x + x2 + x + x)( x2 + 2x + x + 1) ⇒ B = lim x→+∞ −2x2 ( x2 + 2x + x2 + x + x)( x2 + 2x + x + 1) −2 B = lim x→+∞ =− 2 + 1+ + 1)( 1+ + 1+ ) x x x x CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Tìm giới hạn sau:     A = lim  x − x + − x ÷ B = lim  2x + 4x − x + 1÷ x→+∞  x →−∞    ( 1+ C = lim [n (x + a1)(x + a2) (x + an ) − x] x→+∞ Bài Tìm giới hạn sau: A = lim ( x − x + − x) x→+∞ B = lim x( 4x2 + − x) x→−∞ 2 C = lim ( x − x + − x + x + 1) x→±∞ 4 E = lim ( 16x + 3x + − 4x + 2) x→+∞ 3 D = lim ( 8x + 2x − 2x) x→+∞ 3 F = lim (x − 1− x ) x→−∞ Bài toán 05: Dạng vô định hàm lượng giác Phương pháp: Ta sử dụng công thức lượng giác biến đổi dạng sau: sinx x tanx x • lim = lim = 1, từ suy lim = lim = x→0 x x→0 sinx x→0 x x→0 tanx sinu(x) tanu(x) = lim = x→x0 u(x) x→x0 u(x) • Nếu lim u(x) = ⇒ lim x→x0 Các ví dụ 166 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ Tìm giới hạn sau: cosx − cosx A = lim sin2 x x→0 1+ 2x − 1+ 3x B = lim 1− cos2x x→0 Lời giải cosx − x2 Ta có: A = lim x2 x→0 Mà: lim cosx − x→0 lim x 1− cosx x2 x→0 sin2 x + lim 1− cosx x2 x→0 x2 sin2 x cosx − 1 =− x→0 cosx + x = lim 1− cosx = lim x2 x→0 1 cos2 x + cosx + = 1 Do đó: A = − + = − 12 1+ 2x − 1+ 3x x2 1− cos2x Ta có: B = lim x→0 x2 Mà: lim 1+ 2x − 1+ 3x x2 x→0 = lim x→0 −1 1+ 2x + x + = lim 1+ 2x − (1+ x) x2 x+ x→0 + lim x→0 + lim (x + 1) − 1+ 3x x2 x→0 (x + 1)2 + (x + 1)3 1+ 3x + ( 1+ 3x) 1 = − + 1= 2 1− cos2x x→0 = lim 1− cos2x =1 x→0 1+ cos2x x2 x2 Vậy B = Ví dụ Tìm giới hạn sau: 3 A = lim x sin 2 B = lim 2sinx + cos x x→+∞ x→0 x Lời giải 3 Ta có: ≤ x sin ≤ x x lim ( 3 Mà lim x = ⇒ lim x sin x→0 x→0 x = ⇒ lim x3 sin x→0 )( x2 x + 1− x ) =0 Vậy A = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 167 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả 2sinx + cos3 x Ta có: B = lim x + 1+ x x→+∞ Mà: ≤ 2sinx + cos x x + 1+ x ≤ x + 1+ x → x → +∞ Do đó: B = CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tìm giới hạn sau: A = lim x→0 Bài Tìm giới hạn sau: 1+ sinmx − cosmx A = lim x→0 1+ sinnx − cosnx Bài Tìm giới hạn sau: 1− cos2x A = lim 3x x→0 2sin tan2 2x C = lim x→0 1− cos2x 1− cosax x2 B = lim 1− cosx.cos2x.cos3x x2 x→0 cos2x − cos3x x→0 x(sin3x − sin4x) B = lim D = lim x→0 x2 1+ xsin3x − cos2x Bài Tìm giới hạn sau: A = lim x→1 sin(πxm ) sin(πxn ) (α > 0) C = lim xα sin x→0 x Bài Tìm giới hạn sau cos3x − cos4x A = lim x→0 cos5x − cos6x sin2 2x C = lim x→0 cosx − cosx π 1− sin( cosx) E = lim x→0 sin(tanx) H = lim m cosax − m cosbx sin2 x Bài Tìm giới hạn sau cos3x − cos4x A = lim x→0 cos5x − cos6x x→0 168 π − x)tanx B = lim( π x→ D = lim (sin x + − sin x) x→+∞ B = lim 1− 1+ 2sin2x x→0 sin3x D = lim sin4 2x x→0 sin4 3x F = lim 3sinx + 2cosx x→+∞ M = lim x→0 x + 1+ x 1− n cosax x2 1− 1+ 2sin2x x→0 sin3x B = lim Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt sin2 2x C = lim x→0 cosx − cosx π 1− sin( cosx) x→0 sin(tanx) E = lim H = lim x→0 m D = lim sin4 2x x→0 sin4 3x F = lim cosax − m cosbx sin2 x 3sinx + 2cosx x→+∞ x + 1+ x M = lim 1+ 3x − 1+ 2x x→0 1− cos2x HÀM SỐ LIÊN TỤC Định nghĩa • Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng K x0 ∈ K f(x) = f(x0) 1) Hàm số y = f(x) liên tục x0 ⇔ xlim →x 2) Hàm số y = f(x) không liên tục x0 ta nói hàm số gián đoạn x0 • y = f(x) liên tục khoảng kiên tục điểm khoảng • y = f(x) liên tục đoạn a;b liên tục ( a;b) lim f(x) = f(a) , lim f(x) = f(b) x→a+ x→ b− Các định lý Định lý : a) Hàm số đa thức liên tục tập R b) Hàm số phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Định lý Các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục x0 Khi tổng, hiệu, tích liên tục tai x0, thương y = f(x) liên tục g(x0) ≠ g(x) Định lý Cho hàm số f liên tục đoạn a;b Nếu f(a) ≠ f(b) M số nằm f(a) ,f(b) tồn số c ∈ ( a;b) cho f(c) = M Hệ : Cho hàm số f liên tục đoạn a;b Nếu f(a) f(b) < tồn số c ∈ ( a;b) cho f(c) = Chú ý : Ta phát biểu hệ theo cách khác sau : Cho hàm số f liên tục đoạn a;b Nếu f(a) f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm thuộc (a;b) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 169 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Vấn đề Xét tính liên tục hàm số điểm Phương pháp: • Tìm giới hạn hàm số y = f(x) x → x0 tính f(x0) f(x) ta so sánh lim f(x) với f(x ) • Nếu tồn xlim →x x→ x 0 Chú ý: Nếu hàm số liên tục x0 trước hết hàm số phải xác định điểm lim f(x) = l ⇔ lim f(x) = lim f(x) = l x→x0 x→x+ x→x− 0 f(x) x ≠ x0 f(x) = k Hàm số y =  liên tục x = x0 ⇔ xlim →x0 x = x0 k f1(x) x ≥ x0 Hàm số f(x) =  liên tục điểm x = x0 f2(x) x < x0 lim f1(x) = lim f2(x) = f1(x0) x→x+ x→ x− 0 Chú ý: f(x) x ≠ x0 • Hàm số y =  liên tục x = x0 khi x = x0 k lim f(x) = k x→x0 f(x) x > x0 • Hàm số y =  liên tục x = x0 g(x) x ≤ x0 lim f(x) = lim g(x) x→ x+ x→x− 0 Các ví dụ Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau x =  x3 − 27  x− x ≠  x <  x − x− f ( x) =  f ( x) =  2x + −  10  x−1 x = ) x ≥ (  Lời giải Hàm số xác định ¡ Ta có f(3) = 170 10 x3 − 27 (x − 3)(x2 + 3x + 9) lim f(x) = lim = lim x→3 x→3 x2 − x − x→3 (x − 3)(x + 2) Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x2 + 3x + 27 = ≠ f(3) x→3 x+ Vậy hàm số không liên tục x = = lim Ta có f(3) = lim f(x) = lim lim f(x) = lim (x − 1)2 = ; + + x→3 x− x→3 2x + + = ≠ lim f(x) x→3+ = lim 2x + − Vậy hàm số gián đoạn x = Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau điểm x2 + x ≠ 1 f(x) =  điểm x0 = x = 2 x→3− x→3− x→3−  x2 − x −  x ≠ −1 f(x) =  x +  x = −1 1 Lời giải Ta có f(1) = limf(x) = lim(x + 1) = = f(1) x→1 x→1 Vậy hàm số liên tục điểm x = Ta có f(−1) = lim f(x) = lim x→−1+ (x + 1)(x − 2) x+ x→−1+ lim f(x) = lim x→−1− x→−1+ (x + 1)(x − 2) x→−1− = lim (2 − x) = x+1 = lim (x − 2) = −3 ≠ lim f(x) x→−1− x→−1+ Suy không tồn giới hạn hàm số y = f(x) x → −1 Vậy hàm số gián đoạn x = −1 Ví dụ Tìm a để hàm số sau liên tục x =  x4 − 5x2 +  4x − x <   x ≠ f ( x) =  x − 2 f ( x) =  x3 −  a x = x ≥   ax + x + Lời giải Ta có f(2) = a lim f(x) = lim x→2 x→2 4x − = lim = x→2 x− (4x)2 + 23 4x + Hàm số liên tục điểm x = ⇔ lim f(x) = f(2) ⇔ a = x→2 Ta có : lim f(x) = lim x→2− x→2− x − 5x + x3 − = lim x→2− (x2 − 1)(x + 2) x2 + 2x + =1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 171 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả ( ) lim f(x) = lim ax2 + x + = 4a + = f(2) x→2+ x→ 2+ Hàm số liên tục x = ⇔ lim+ f(x) = lim− f(x) = f(2) x→2 x→2 ⇔ 4a + = ⇔ a = − CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm  x−2 x ≠  f(x) =  x − x = 1 x =   x2 − 3x + + x >  f(x) =  x = x−1  x ≤ 3x + x −  πx x ≤  cos f ( x) =  x = 1và x = −1  x − x >  Bài Chọn giá trị f(0) để hàm số sau liên tục điểm x = 2x + − 2x + − 2 f(x) = x(x + 1) 3x + − Bài Xét tính liên tục hàm số sau điểm x + x +  x > −1 f(x) =  x + x0 = −1 2x + x ≤ −1  f(x) =  x + 1+ x −  x ≠ f(x) =  x0 = x 2 x =  3x −1 x ≠  f(x) =  x − x0 = 1 x =   x2 − x − + 2x x >  f(x) =  x − x0 =  x ≤ x − x + Bài Tìm a để hàm số sau liên tục điểm 172 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  x + 2a x < f ( x) =  x = x + x + x ≥  4x + − x ≠  2 f(x) =  ax + (2a + 1)x x =  x = 3  3x + − x >   x2 − f(x) =  x =  a(x2 − 2) x ≤  x − Vấn đề Xét tính liên tục hàm số tập Phương pháp:Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … Nếu hàm số cho dạng nhiều cơng thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng Các ví dụ Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau toàn trục số: f(x) = tan2x + cosx f(x) = x − 1+ 2 x − 3x + Lời giải π π  TXĐ: D = ¡ \  + k ,k ∈ ¢  4  Vậy hàm số liên tục D x > x − ≥ ⇔ Điều kiện xác định:  x − 3x + ≠ x ≠ Vậy hàm số liên tục ( 1;2) ∪ ( 2; +∞ )  a2 ( x − 2)  x < Ví dụ Xác định a để hàm số f ( x) =  x + − liên tục  1− a x x ≥ ) ( ¡ Lời giải Hàm số xác định ¡ Với x < ⇒ hàm số liên tục Với x > ⇒ hàm số liên tục http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 173 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Với x = ta có lim+ f(x) = lim+ (1− a)x = 2(1− a) = f(2) x→2 x→2 a (x − 2) = lim a2( x + + 2) = 4a2 x + − x→2− Hàm số liên tục ¡ ⇔ hàm số liên tục x = ⇔ lim f(x) = lim f(x) ⇔ 4a2 = 2(1− a) ⇔ a = −1,a = x→2− x→2+ lim f(x) = lim x→2− x→2− Vậy a = −1,a = giá trị cần tìm CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Xác định tính liên tục hàm số sau ¡ x+ f(x) = 2 f(x) = 3x2 − x − x− f(x) = 2sinx + 3tan2x Bài Xét tính liên tục hàm số sau ¡ 3x −1  x2 − 5x + x >  x <   x −1 f x = f(x) = ( )  2x − 16   − x x ≥  1− x + x ≤   x + Bài Xét tính liên tục hàm số sau ¡  x2 − 3x +  2x + − x ≠   x ≠ x−1 f ( x) =  f ( x) =  x   x = a x =   2x + x ≤ 2x2 + x + x ≤  3 f(x) = (x − 1) < x < f(x) =  x > 3x −   x − x ≥ Bài Xác định a,b để hàm số sau liên tục ¡  x3 − 3x2 + 2x x(x − 2) ≠   π  x(x − 2)  sinx x ≤  x = f ( x) =  f(x) = a ax + b x > π b x =    Bài Tìm m để hàm số sau liên tục ¡  x − + 2x −  x ≠ 1 f(x) =  x−1 3m − x =  174 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  x + 1− x >  f(x) =  x 2x2 + 3m + x ≤   2x − + x ≥  f(x) =  x+ x <   x − 2mx + 3m + Vấn đề Chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp : • Để chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục D có hai số a,b ∈ D cho f(a).f(b) < • Để chứng minh phương trình f(x) = có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục D tồn k khoảng rời (ai ;ai +1) (i=1,2,…,k) nằm D cho f(ai ).f(ai +1) < Các ví dụ Ví dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm x5 + 3x + = x3 + 2x = + 3 − 2x Lời giải Xét hàm số f(x) = x5 + 3x + hàm liên tục ¡ Mặt khác: f(−1) = −1,f(0) = 1⇒ f(−1).f(0) = −1< Nên phương trình f(x) = có nghiệm thuộc ( −1;0) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1,x2 ( ) 5 Khi đó: f(x1) − f(x2) = ⇔ x1 − x2 + 3( x1 − x2 ) = ( ) ⇔ ( x1 − x ) x14 + x13x2 + x12x22 + x1x23 + x24 + = (1) 1444444444444442444444444444443 A 2   1  Do A =  x12 + x1x2 ÷ +  x1x2 + x22 ÷ + x12x22 + > 2   4  Nên (1) ⇔ x1 = x2 Vậy phương trình ln có nghiệm Điều kiện: x ≤ Phương trình ⇔ x3 + 2x − 3 − 2x − =  3 Xét hàm số f(x) = x3 + 2x − 3 − 2x − liên tục  −∞;  2  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 175 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả   19  3 f(0) = −4 − 3 < 0, f  ÷ = > ⇒ f(0).f  ÷ <  2  2 Nên phương trình f(x) = có nghiệm Giả sử phương trình f(x) = có hai nghiệm x1,x2 Khi đó: f(x1) − f(x2) = ( ) ( ⇔ x13 − x32 + 2( x1 − x2 ) − ) − 2x1 − − 2x2 =   ÷= ⇔ ( x1 − x2 )  x12 + x1x2 + x22 + +  ÷ − 2x + − 2x 2 14444444444444444442444444444444444444 B ⇔ x1 = x2  x  3x2 > 0) (Vì B =  x1 + ÷ + + + 2 − 2x1 + − 2x2  Vậy phương trình ln có nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm : x7 + 3x5 − = x2 sinx + xcosx + = Lời giải Ta có hàm số f(x) = x7 + 3x5 − liên tục R f(0).f(1) = −3 < Suy phương trinh f(x) = có nghiệm thuộc (0;1) Ta có hàm số f(x) = x2 sinx + xcosx + liên tục R f(0).f(π) = −π < Suy phương trinh f(x) = có nghiệm thuộc (0; π) Ví dụ x5 + 2x3 + 15x2 + 14x + = 3x2 + x + có nghiệm phân biệt Lời giải Phương trình cho tương đương với ( ) x5 + 2x3 + 15x2 + 14x + = 3x2 + x + ⇔ x5 − 9x4 − 4x3 + 18x2 + 12x + 1= (1) Hàm số f(x) = x5 − 9x4 − 4x3 + 18x2 + 12x + liên tục ¡  1 19 0,f  − ÷ = − 32   f(0) = > 0,f(2) = −47 < 0,f(10) = 7921 > Do phương trình f(x) = có nghiệm thuộc khoảng 176 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  1   ( −2; −1) ,  −1; − ÷,  − ;0÷, ( 0;2) , ( 2;10)     Mặt khác f(x) đa thức bậc nên có tối đa nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Chứng minh phương trình sau có ba nghiệm phân biệt x3 − 3x + = 2x + 63 1− x = Bài Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị m, n 1 − =m m ( x − 1) ( x + 2) + 2x + = cosx sinx m ( x − a) ( x − c) + n ( x − b) ( x − d ) = ( a ≤ b ≤ c ≤ d ) Bài Cho m > a,b,c ba số thực thoả mãn a b c + + = Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = m+ m+ m ln có nghiệm Bài Chứng minh phương trình : x4 + x3 − 3x2 + x + = có nghiệm thuộc khoảng ( −1;1) x5 − 5x3 + 4x − = có năm nghiệm thuộc khoảng ( −2;3) a( x − b) ( x − c) + b( x − c) ( x − a) + c( x − a) ( x − b) = ; a,b,c > có hai nghiệm phân biệt (1− m2)x5 − 3x − = ln có nghiệm với m m2.(x − 2) + m(x − 1)3.(x − 2)4 + 3x − = có nghiệm với m Bài Cho số thực dương m,n,p thỏa mãn: n < m; mp < n2 a b c + + = Chứng minh phương trình : f(x) = ax2 + bx + c = m n p ln có nghiệm Bài Cho hàm số f :0;1 → 0;1 liên tục.Chứng minh tồn số thực c ∈  0;1 cho f ( c) = c f(x) = L < Chứng minh Cho hàm số f :[0;+∞) → [0;+∞) liên tục lim x→+∞ x tồn số c ≥ cho f(c) = c Tìm tất hàm số f : ¡ → ¡ liên tục x = thỏa: f(3x) = f(x) Cho hàm số f : 0;1 → 0;1 liên tục 0;1 thỏa f(0) = f(1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 177 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Chứng minh với số tự nhiên n phương trình f(x) − f(x + ) = ln có nghiệm thuộc đoạn 0;1 n Bài Cho hàm số f liên tục đoạn [a ;b] n điểm x1;x2; ;xn ∈ a;b Chứng minh tồn điểm c ∈ a;b cho nf(c) = f(x1) + f(x2) + + f(xn ) Chứng minh tồn số < α < β < cho cosα = α β tan β = 178 ... Dấu + − + − lim un +∞ −∞ −∞ +∞ Vấn đề Tìm giới hạn định nghĩa Phương pháp: 140 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt • Để chứng minh limun = ta chứng minh với số a > nhỏ tùy ý tồn số na cho un < a ∀n > na... hạn sau cosn + sinn =0 =0 lim lim n+1 n2 + lim(2n + 1) = +∞ lim 142 n+1 =0 n+ Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt lim 3n3 + n n2 lim = +∞ 2− n n+1 = −∞ Bài Dùng định nghĩa tìm giới hạn sau : 2n + 2n... nên suy k(k + 1) k k + 1 1 + + + + = 1− 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n+1 144 −1 +2 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt   Vậy D = lim  1− ÷ = n + 1  Ví dụ Tìm giới hạn sau : A = lim 4n+1 − 5n+1 B = lim