Đại cương cơ học kết cấu (Phần 1)

LÝ TRƯỜNG THÀNH (chủ biên) LỀU MỘC LAN - HOÀNG ĐÌNH TRÍ CƠ HỌC KẾT CẤU NHÀ XUẤT BẢN XÂY DỰNG HÀ NỘI - 2006 LỜI NĨI ĐẦU Giáo trình Cơ học kết cấu lần biên soạn theo đề cương “Chương trình giảng dạy mơn Cơ học kết cấu” tiểu ban môn học Bộ Giáo dục Đào tạo soạn thảo So với lần xuất trước, giáo trình lần viết ngắn gọn, rõ ràng có bổ sung, sửa chữa, điều chỉnh số phần để thuận tiện cho việc học tập sinh viên Sách dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên ngành Trường Đại học Thủy lợi, làm tài liệu tham khảo cho ngành trường Đại học khác, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho kỹ sư, nghiên cứu sinh cán kỹ thuật có liên quan đến tính tốn kết cấu cơng trình Phân cơng biên soạn sau: TS Lý Trường Thành viết chương mở đầu, Chương Chương chủ biên; Ths Lều Mộc Lan viết Chương 1, 4, 5; PGS.TS Hồng Đình Trí viết Chương 6, 7, 8; Ths Phạm Viết Ngọc giúp đỡ chế sửa chữa thảo sách Tuy có nhiều cố gắng biên soạn, song khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đồng nghiệp, sinh viên bạn đọc để hoàn thiện lần xuất sau CÁC TÁC GIẢ MỞ ĐẦU ĐỐI TƯỢNG VÀ NHIỆM VỤ CỦA MƠN HỌC Một cơng trình xây dựng gồm nhiều cấu kiện liên kết lại với chịu lực gọi kết cấu Cơ học kết cấu môn khoa học thực nghiệm trình bày phương pháp tính tốn kết cấu độ bền, độ cứng độ ổn định cơng trình chịu ngun nhân tác dụng khác tải trọng, thay đổi nhiệt độ, chuyển vị liên kết tựa Tính kết cấu độ bền nhằm đảm bảo cho cơng trình có khả chịu tác dụng nguyên nhân bên mà khơng bị phá hoại Tính kết cấu độ cứng nhằm đảm bảo cho cơng trình khơng có chuyển vị rung động lớn tới mức làm cho cơng trình trạng thái làm việc bình thường điều kiện bền bảo đảm Tính kết cấu mặt ổn định nhằm đảm bảo cho cơng trình bảo tồn vị trí hình dạng ban đầu trạng thái cân biến dạng Cơ học kết cấu giống Sức bền vật liệu nội dung nghiên cứu phạm vi nghiên cứu khác Sức bền vật liệu nghiên cứu cách tính độ bền, độ cứng độ ổn định cấu kiện riêng biệt, trái lại Cơ học kết cấu nghiên cứu tồn cơng trình gồm nhiều cấu kiện liên kết lại với Nhiệm vụ chủ yếu Cơ học kết cấu xác định nội lực chuyển vị cơng trình Độ bền, độ cứng độ ổn định cơng trình liên quan đến tính chất học vật liệu, hình dạng kích thước cấu kiện nội lực phát sinh công trình Hơn kích thước cấu kiện lại phụ thuộc vào nội lực kết cấu Do cơng việc tính cơng trình xác định nội lực chuyển vị phát sinh cơng trình tác động bên ngồi Các mơn học tiếp sau như: Kết cấu bê tông cốt thép, kết cấu thép, gỗ.v.v…dựa vào tính vật liệu nghiên cứu để tiến hành giải ba toán trình bày mơn Sức bền vật liệu là: toán kiểm tra, toán thiết kế toán xác định tải trọng cho phép theo điều kiện bền, cứng ổn định Ngoài Cơ học kết cấu nghiên cứu dạng kết cấu hợp lý nhằm tiết kiệm vật liệu xây dựng Môn Cơ học kết cấu cung cấp cho kỹ sư thiết kế kiến thức cần thiết để xác định nội lực chuyển vị kết cấu, từ lựa chọn kết cấu có hình dạng kích thước hợp lý Mơn học giúp cho kỹ sư thi cơng phân tích đắn làm việc kết cấu, nhằm tránh sai sót trình thi cơng tìm biện pháp thi công hợp lý PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Khi tính tốn cơng trình thực, xét hết yếu tố liên quan, toán phức tạp thực Để đơn giản tính tốn, phải đảm bảo độ xác cần thiết, ta đưa vào số giả thiết gần Bởi Cơ học kết cấu môn khoa học thực nghiệm; nghiên cứu lý luận thực nghiệm gắn liền với Các kết nghiên cứu lý luận tin cậy thực nghiệm xác nhận A Các giả thiết - Nguyên lý cộng tác dụng Cơ học kết cấu sử dụng giả thiết Sức bền vật liệu là: Giả thiết vật liệu làm việc giai đoạn đàn hồi tuyệt đối tuân theo định luật Hooke, nghĩa biến dạng nội lực có liên hệ tuyến tính Giả thiết biến dạng chuyển vị cơng trình (kết cấu, hệ ) nhỏ so với kích thước hình học ban đầu Giả thiết cho phép xác định nội lực theo sơ đồ kết cấu khơng có biến dạng Nhờ hai giả thiết áp dụng nguyên lý độc lập tác dụng (hay nguyên lý cộng tác dụng) để tính tốn kết cấu Ngun lý phát biểu sau: Một đại lượng nghiên cứu nhiều nguyên nhân tác dụng đồng thời cơng trình gây ra, tổng đại số (tổng hình học) đại lượng ngun nhân tác dụng riêng rẽ gây ra: Biểu diễn dạng toán học: S ( P1 ,P2 Pn , t ,Δ ) = S P1 + S P2 …+ S Pn + S t+ S Δ = S1 P1 + S P2 +…+ S n Pn + S t+ SΔ Trong đó: S i (i= 1,2 n) giá trị đại lượng S Pi = gây St, SΔ giá trị đại lượng S thay đổi nhiệt độ dịch chuyển gối tựa gây B Sơ đồ tính cơng trình Khi xác định nội lực cơng trình xét cách xác đầy đủ yếu tố hình học cấu kiện tốn q phức tạp Do tính tốn kết cấu người ta thay cơng trình thực sơ đồ tính Sơ đồ tính hình ảnh cơng trình thực đơn giản hóa Một sơ đồ tính tốt phải thoả mãn hai yêu cầu: Tính đơn giản phản ánh tương đối xác đối xử thực cơng trình Để đưa cơng trình thực sơ đồ tính nó, thường tiến hành theo bước: Bước 1: Chuyển cơng trình thực sơ đồ cơng trình, cách: a) + Thay đường trục vỏ mặt trung bình + Thay mặt cắt ngang cấu kiện đặc trưng hình học như: diện tích F, mơmen qn tính J v.v… + Thay thiết bị tựa liên kết tựa lý tưởng + Đưa tải trọng tác dụng mặt bên cấu kiện đặt trục hay mặt trung bình b) Bước 2: Chuyển sơ đồ cơng trình sơ đồ tính cách bỏ bớt yếu tố phụ, nhằm làm cho việc tính tốn đơn giản phù hợp với khả tính tốn người thiết kế Ví dụ dàn cửa cống (van cung) cho hình 1a, sau thực phép biến đổi bước thứ ta sơ đồ cơng trình hình 1b Nếu dùng sơ đồ để tính tốn kết xác phức tạp, coi mắt dàn khớp lý tưởng toán đơn giản song sai số mắc phải nhỏ Sơ đồ tính dàn cửa cống (van cung) hình 1c c) Hình Nếu sơ đồ cơng trình phù hợp với khả tính tốn dùng làm sơ đồ tính mà khơng cần đơn giản hố Ví dụ với hệ khung cho hình 2a, sau thực phép biến đổi bước thứ ta có sơ đồ cơng trình hình 2b Sơ đồ sơ đồ tính khung phù hợp với khả tính tốn Cách chọn sơ đồ tính cơng trình vấn đề phức tạp quan trọng kết tính tốn phụ thuộc nhiều vào sơ đồ tính Người thiết kế ln ln phải có trách nhiệm tự kiểm tra xem sơ đồ tính tốn chọn có phù hợp với thực tế khơng, có phản ánh xác làm việc thực tế cơng trình hay khơng, để lựa chọn sơ đồ tính ngày tốt b) a) Hình PHÂN LOẠI SƠ ĐỒ TÍNH CỦA KẾT CẤU Trong thực tế có nhiều hình thức kết cấu sơ đồ tính có nhiều loại Người ta phân loại sơ đồ tính nhiều cách, thường dựa vào cấu tạo hình học phương pháp tính để phân loại A Phân loại theo cấu tạo hình học Theo cách kết cấu chia thành hai loại: hệ phẳng hệ không gian Hệ phẳng: Hệ phẳng hệ mà trục cấu kiện tất loại lực tác động nằm mặt phẳng, hệ không thoả mãn điều kiện gọi hệ không gian Trong thực tế, cơng trình xây dựng hầu hết hệ khơng gian, song tính tốn hệ khơng gian thường phức tạp nên gần phân tích đưa hệ phẳng để tính tốn a) b) Hình Trong hệ phẳng dựa theo hình dạng cơng trình, người ta chia thành nhiều dạng kết cấu khác nhau: + Dầm (Hình 3a,b) a) + Dàn (Hình 4a,b) a) + Vịm (Hình 5a,b) + Khung (Hình 6a,b) + Hệ liên hợp (hệ treo hình hệ liên hợp dàn dây xích) b) b) Hình Hình b) a) Hình Hình Hệ không gian: P1 Những hệ không gian thường gặp là: P3 + Dầm trực giao (Hình 8) P2 + Dàn khơng gian (phần Hình 9a) + Khung khơng gian (phần Hình 9b) +Tấm (Hình 9c) Hình + Vỏ (Hình 9d, e, f) a) b) c) f) d) e) Hình B Phân loại theo phương pháp tính Theo cách ta có hai loại hệ: Hệ tĩnh định hệ siêu tĩnh Hệ tĩnh định: Hệ tĩnh định hệ cần dùng phương trình cân tĩnh học đủ để xác định hết phản lực nội lực hệ Ví dụ: Dầm cho hình 3a; dàn cho hình 4a; vịm cho hình 5a; khung cho hình 6a hệ tĩnh định Hệ siêu tĩnh: Hệ siêu tĩnh hệ mà dùng phương trình cân tĩnh học khơng thơi chưa đủ để xác định hết phản lực nội lực hệ Để tính hệ siêu tĩnh, ngồi điều kiện cân tĩnh học ta phải sử dụng thêm điều kiện động học điều kiện biến dạng Các kết cấu cho hình 3b, 4b, 5b, 6b hệ siêu tĩnh CÁC NGUYÊN NHÂN GÂY RA NỘI LỰC VÀ CHUYỂN VỊ Các nguyên nhân gây nội lực chuyển vị kết cấu thường gặp tải trọng, thay đổi không nhiệt độ, dịch chuyển gối tựa vv… Tải trọng tác dụng vào cơng trình thường phân làm loại sau: - Tải trọng lâu dài tải trọng tạm thời: + Tải trọng lâu dài tải trọng tác dụng suốt trình làm việc cơng trình như: trọng lượng thân, áp lực đất đắp v.v… + Tải trọng tạm thời tải trọng tác dụng khoảng thời gian như: thiết bị đặt cơng trình, áp lực nước, gió, động đất v.v… - Tải trọng bất động tải trọng di động: + Tải trọng bất động tải trọng có vị trí khơng thay đổi suốt q trình tác dụng nó: thường tải trọng lâu dài + Tải trọng di động tải trọng có vị trí thay đổi cơng trình tải trọng đồn xe lửa, ôtô, đoàn người v.v… - Tải trọng tác dụng tĩnh tải trọng tác dụng động: + Tải trọng tác dụng tĩnh tải trọng tác dụng vào cơng trình cách nhẹ nhàng yên tĩnh, giá trị tải trọng tăng từ từ khơng làm cho cơng trình dịch chuyển có gia tốc hay gây lực qn tính + Tải trọng tác dụng động tải trọng tác dụng vào cơng trình có gây lực qn tính như: áp lực gió, bão, động đất v.v… Trong giáo trình xét trường hợp tải trọng tác dụng tĩnh Sự thay đổi nhiệt độ dịch chuyển gối tựa gây nội lực chuyển vị hệ siêu tĩnh không gây phản lực nội lực hệ tĩnh định (xem chi tiết Chương 4, 5, 6) 10 Ví dụ 4-3: Xác định chuyển vị ngang tiết diện C, khung có nhiệt độ thay đổi hình 4.11a Cho biết hệ có α, h không đổi a) a C o -2to +t -to +t "t " c) b) Pk = D o d) a - C +to A "k" -2to + Mk B a - Nk 1 Hình 4.11 ♦ Lập trạng thái “k” hình 4.11b, tính hệ trạng thái “k”: Vẽ biểu đồ mơ men uốn (Hình 4.11c) biểu đồ lực dọc (Hình 4.11d) ♦ Tính giá trị tC Δ t có thay đổi nhiệt độ: + Thanh CD: tC = +t-t = 0; Δt = + t − (− t ) = t + Thanh AC BD: tC = + t − 2t t = − ; 2 Δt = + t − (−2t ) = 3t ♦ Vận dụng công thức (4-13) ta có: α ⎣ h ΔnC (t ) = ⎡⎢− ⋅ t ⋅ ⎤ a.a ⎤ ⎡ ⎛ t ⎞ α a.a ⎛ t⎞ − ⋅ 3t ⋅ ⎥ + ⎢α⎜ − ⎟(1 ⋅ a ) + α ⋅ ⋅ (− ⋅ a ) + α ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ (− ⋅ a )⎥ ⎦ ⎣ ⎝ 2⎠ h ⎝ 2⎠ ⎦ α h ΔnC (t ) = − 2,5 ta Kết mang dấu âm, chứng tỏ chuyển vị ngang điểm C ngược chiều với lực Pk =1 giả thiết (tiết diện C dịch chuyển sang trái) Hệ tĩnh định chịu chuyển vị cưỡng liên kết tựa Cũng tương tự trường hợp hệ chịu thay đổi nhiệt độ Khi liên kết tựa chuyển vị cưỡng bức, hệ tĩnh định khơng phát sinh nội lực Do cơng thức tính chuyển vị có dạng: n ΔkΔ = − ∑ R kj Δjm (4-14) j=1 Tích số R kj Δjm mang dấu dương phản lực R kj chiều với chuyển vị Δjm liên kết tựa thứ j Mang dấu âm trường hợp ngược lại 108 Ví dụ 4-4: Xác định chuyển vị ngang đầu tự C khung ngàm A chịu chuyển vị cưỡng theo phương ngang a, theo phương thẳng đứng b xoay thuận chiều kim đồng hồ góc ϕ (Hình 4.12a) Theo u cầu đề ta cần: + Lập trạng thái “k” đặt lực Pk = vào đầu tự C theo a) Pk=1 C L phương ngang (Hình 4.12b) + Tìm phản lực liên kết có chuyển vị cưỡng Pk = gây ra, kết ghi b) B C " Δ" "k" A ϕ b a hình 4.12b L L Hình 4.12 + Vận dụng cơng thức (4-14) ta có: Δ Cn = − [(1.a) − (0.b) + (L.ϕ)] = − (a + L.ϕ) Kết tính mang dấu âm cho ta thấy tiết diện C dịch chuyển sang phải (ngược với chiều Pk =1 giả thiết) 4.3.3 Hệ dàn tĩnh định chiều dài chế tạo khơng xác Khi lắp ráp chế tạo khơng xác vào hệ dàn, mắt dàn chuyển vị Bài tốn giải tương tự trường hợp hệ chịu thay đổi nhiệt độ Các có chiều dài chế tạo dài chiều dài yêu cầu Δ xem chịu biến dạng nhiệt tương đương α.tc.L = Δ; bị chế tạo hụt so với chiều dài yêu cầu Δ xem chịu biến dạng nhiệt tương đương α.tc.L = -Δ Với L chiều dài dàn Một cách tổng quát, gọi Δi độ dôi dàn thứ i bị chế tạo dài hay ngắn chiều dài yêu cầu sau áp dụng cơng thức (4-13) ta có: n Δ kΔ = ∑ N ik Δ im (4-15) i =1 Ví dụ 4-5: Xác định độ võng K dàn có kích thước sơ đồ hình 4.13a, chế tạo chiều dài 1-2 2-3 bị hụt đoạn Δ Khi vận dụng cơng thức (4-15) vào tốn ta có: i = 2; Δ1-2 = Δ2-3 = - Δ Lập trạng thái “k” hình 4.13b tính hệ trạng thái “k”: + Xác định phản lực, kết ghi hình 4.13b + Tính nội lực dàn 1-2 2-3 trạng thái “k” 109 Δ a) Δ b) a "m" K a a K PK = 1 Hình 4.13 N1k- = N k2 -3 = - "k" Δ kΔ = − ⋅ (− Δ ) − ⋅ (− Δ ) = Δ Do đó: 1 2 Kết cho thấy điểm K chuyển vị xuống đoạn Δ Chú ý: Trong trường hợp hệ chịu nhiều nguyên nhân khác ta vận dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính riêng biệt với nguyên nhân cộng kết 4.4 TÍNH CÁC TÍCH PHÂN TRONG CƠNG THỨC CHUYỂN VỊ DO TẢI TRỌNG TÁC DỤNG BẰNG CÁCH “NHÂN” BIỂU ĐỒ Đối với hệ gồm thẳng dầm, khung, dàn ta tính tích phân công thức chuyển vị cách đơn giản tiện lợi so với cách lấy tích phân trực tiếp Cách tính gọi cách “nhân” biểu đồ A.N.Vêrêsaghin đề xuất vào năm 1925 Ta nghiên cứu nội dung phương pháp qua cách tính tích phân số hạng đầu công thức (4-7) z2 M k (z).M P (z) dz EJ z1 T=∫ (a) Giả sử đoạn thẳng xét (Z1, Z2) có: EJ = const Biểu thức nội lực Mp(z) có dạng liên tục đoạn Biểu thức nội lực M k (z) có dạng bậc Gọi α góc nghiêng đường thẳng biểu đồ M k (z) đường chuẩn (trục z) Từ hình 4.14b ta thấy: M k (z) = Z.tgα 110 y dz a) C Mp yk Mk Mp(z) b) α Mk(z) o z z1 z zc z2 Hình 4.14 (b) Thay (b) vào (a) với lưu ý đoạn (Z1, Z2) ta có: tgα = const nên: z tgα ∫ z ⋅ M P (z ) ⋅ dz T= EJ z1 Ký hiệu Mp(z).dz = dΩp vi phân diện tích biểu đồ Mp (phần gạch chéo) hình 4.14a Tích phân viết lại: z T= tgα ∫ z ⋅ dΩ P EJ z1 Ta nhận thấy tích phân vế phải biểu thức mơ men tĩnh diện tích biểu đồ Mp trục oy Nên ∫ z.dΩ P = z C Ω P Trong đó: + Zc hồnh độ trọng tâm diện tích biểu đồ mô men uốn MP với trục oy + Ωp diện tích biểu đồ mơ men uốn MP + Ký hiệu y k = tgα.Zc tung độ biểu đồ M k ứng với trọng tâm diện tích biểu đồ mơ men uốn MP Tích phân (a) viết lại: T= 1 tgα ⋅ Z Ω p = y Ω c EJ EJ k p Số hạng đầu cơng thức (4-7) tính theo cách “nhân” biểu đồ ký hiệu sau: ∑∫ MkM p ds = ∑ Ω ip yki = M p M k EJ EJ (4-16) Làm tương tự với tích phân cịn lại cơng thức (4-7) ta viết lại cơng thức tính chuyển vị cho hệ chịu tải trọng dạng “nhân” biểu đồ sau: Δ kp = M p M k + Q p Q k + N p N k (4-17) Trong ký hiệu “nhân” biểu đồ nội lực (4-17) bao gồm việc lấy tổng kết nhân đoạn đoạn có xét đến độ cứng EJ, EF, GF tương ứng Các ý nhân biểu đồ: Tung độ y k buộc phải lấy biểu đồ có dạng đường thẳng Diện tích Ωp lấy biểu đồ có dạng Nếu biểu đồ lấy diện tích và biểu đồ lấy tung độ dấu kết nhân biểu đồ mang dấu dương ngược lại Theo tính chất tích phân tích phân xác định, biểu đồ lấy diện tích (miền lấy tích phân) hình phức tạp, ta chia thành nhiều hình đơn giản (hình dễ tìm diện tích trọng tâm nó) để áp dụng riêng biệt cách nhân cho hình cộng kết lại với 111 h C zC Ω = h.L zc = L/2 h C L zC parabol bậc (P2) tiếp tuyến Ω = 2h.L/3 zC = L/2 L h C h Ω = h.L/2 zC = L/3 zC C P2 tiếp tuyến zC L Ω = h.L/3 zC = L/4 L tiếp tuyến h C Pn zC L P2 tiếp tuyến h.L Ω= n+1 L zc = n+2 C h Ω = 2.h.L 3.L zc = zC L Hình 4.15 Biểu đồ đối xứng nhân với biểu đồ phản xứng cho kết khơng Trên hình 4.15 cung cấp số liệu diện tích vị trí trọng tâm số hình đơn giản thường gặp Ta tìm hiểu cách nhân biểu đồ gặp hình phức tạp (khó tính diện tích tìm vị trí trọng tâm nó) thơng qua hình đơn giản nói qua ví dụ sau: Tính chuyển vị thẳng đứng tiết diện C dầm có kích thước sơ đồ chịu lực hình 4.16 Trên hình 4.16 ta thấy biểu đồ mơ men uốn trạng thái “p” liên tục từ A đến B Nhưng trạng thái “k” biểu đồ mô men uốn gồm hai đoạn thẳng có hệ số góc khác nên nhân biểu đồ ta phải chia thành hai đoạn AC CB nhân riêng đoạn "p" M q A B C a b L Ω1 MA=M Ω Ω4 Ω2 MC "k" Ω5 Mp Pk=1 A B C y k1 yk yk Mk yk yk Hình 4.16 Với cách chia hình nhân biểu đồ đoạn AC (Hình 4.17) ta chia biểu đồ Mp thành hình tam giác hình parabơn bậc hai (Hình 4.17b,c,d) tương tự với đoạn CB ta chia thành hình tam giác hình parabơn bậc hai Ta có kết nhân là: 112 Δdc = MP M k = [-Ω1 y k1 + Ω2 y k + Ω3 y k + Ω4 y k + Ω5 y k ] EJ qa a) MA C MC A Mp b) MA Ω1 c) Ω2 d) MC Ω3 qa y k1 e) Mk yk yk3 Hình 4.17 Ví dụ 4-6: Xác định chuyển vị ngang mắt cắt C khung có kích thước sơ đồ chịu lực hình 4.18a Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt lực dọc Theo yêu cầu đề ta cần: + Lập trạng thái “k” (Hình 4.18c) Tính hệ trạng thái “k”, biểu đồ mô men uốn trạng thái “k” vẽ hình 4.18d + Tính hệ trạng thái “p”, biểu đồ mô men uốn trạng thái “p” vẽ Hình 4.18b n + Dùng cách nhân biểu đồ để tính chuyển vị ngang C: Δ c = Mp Mk b) a) M = qa qa2 qa2 D c) d) PK = a C C q "p" a qa qa EJ = const Mk Mp qa a 3qa 3qa "k" 2 B A 1 Hình 4.18 Δ Cn = qa a ⎤ qa a ⎡ qa a a qa a a ⎥ a − ⋅ a − − ⎢ 2⎥ 2 2 EJ ⎢ Δ Cn = qa ⎡ 1 1 − − − EJ ⎢⎣ 6 24 ⎣ ⎦ 5qa ⎤ ⎥⎦ = − 24 EJ 113 Kết tính cho ta thấy mặt cắt C dịch chuyển sang trái đoạn 5qa 24EJ (ngược với chiều Pk = giả thiết) 4.5 CÁCH LẬP TRẠNG THÁI KHẢ DĨ “K” ĐỂ TÍNH CHUYỂN VỊ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI TIẾT DIỆN VÀ GÓC XOAY CỦA THANH DÀN Trong thực tế tính tốn nhiều trường hợp ta cần phải xác định chuyển vị thẳng chuyển vị góc hai tiết diện với Các chuyển vị gọi chuyển vị tương đối, cách lập trạng thái “k” để tính chuyển vị có khác so với cách lập trạng thái “k” để tính chuyển vị tuyệt đối Sau ta xét số trường hợp thường gặp thực tế tính tốn 4.5.1 Chuyển vị thẳng tương đối Chuyển vị thẳng tương đối hai điểm theo phương u hiệu số hình chiếu khoảng cách hai điểm theo phương u lúc sau trước biến dạng Giả sử cần tìm chuyển vị tương đối hai điểm A B theo phương thẳng đứng y nguyên nhân “m” gây hệ (Hình 4.19a) Từ hình vẽ ta thấy hình chiếu khoảng cách hai điểm A B theo phương y lúc trước biến dạng khơng cịn sau biến dạng hình chiếu khoảng cách chúng lên phương y là: A'B' = ΔA + ΔB Vậy hai điểm có chuyển vị ngược chiều chuyển vị tương đối chúng tổng hai chuyển vị tuyệt đối hai điểm Ta có ΔAB = ΔA + ΔB Để tính chuyển vị tuyệt đối ΔA ΔB.ta cần lập hai trạng thái “k1” “k2” (Hình 4.19b Hình 4.19c) Nếu bỏ qua ảnh hưởng lực cắt lực dọc cách nhân biểu đồ ta có: ΔA = Mm Mk1 ΔB = Mm Mk2 ΔAB = Mm Mk1 + Mm Mk2 = M m [ Mk + Mk ] = M m Mk 114 a) Pm "m" C C’ b) "k1" y B’ ΔB A ΔC ΔA B A’ A Pk=1 B c) "k2" A B Pk=1 d) "k" A Pk=1 B Pk=1 Hình 4.19 B’ A,B,C C’ A’ Trong M k biểu đồ mô men trạng thái “k” tổ hợp hai trạng thái “k1” “k2” (Hình 4.19d) Khi hai điểm có chuyển vị chiều hai điểm A C chuyển vị thẳng tương đối hai điểm theo phương y hiệu hai chuyển vị tuyệt đối A C Ta có: ΔAC = ΔA - ΔC, viết dạng tổng đại số thì: ΔAC = ΔA +(- ΔC) Với cách lập luận tương tự hai trường hợp cho ta cách tạo trạng thái “k” cần xác định chuyển vị thẳng tương đối sau: Muốn tìm chuyển vị thẳng tương đối hai điểm theo phương u trạng thái “k” ta cần đặt hai lực Pk = ngược chiều theo phương u vào hai điểm xét Sau lập trạng thái “k” bước tính giống cách xác định chuyển vị tuyệt đối Ví dụ 4-7: Xác định chuyển vị thẳng tương đối hai điểm A B theo phương ngang khung có kích thước sơ đồ chịu lực hình 4.20 Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt lực dọc a) a A "p" Pk=1 b) B c) A EJ = const Mp q d) Pk=1 B "k" qa2 Mk a a a Hình 4.20 Theo yêu cầu đề ta cần thực theo thứ tự sau: + Lập trạng thái “k”: Đặt hai lực nằm ngang Pk=1 ngược chiều A B (Hình 4.20c) + Tính hệ trạng thái “k”: Vẽ biểu đồ mơ men uốn Mk (Hình 4.20d) + Tính hệ trạng thái “p”: Vẽ biểu đồ mơ men uốn Mp (Hình 4.20b) + Dùng cách nhân biểu đồ để tính chuyển vị ngang tương đối A B: n ΔAB = Mp Mk Δ nAB = qa qa ⋅ ⋅a ⋅a = EJ 12EJ ⋅ Kết mang dấu dương cho ta thấy chuyển vị ngang tương đối hai tiết diện A B hướng theo chiều hai lực Pk = giả thiết (hai điểm A B xích lại gần nhau) 115 4.5.2 Chuyển vị góc tương đối Chuyển vị góc tương đối hai tiết diện hiệu số góc hợp hai tiết diện lúc sau trước biến dạng a) Ví dụ cần tìm chuyển vị góc tương đối hai tiết diện A B hệ có sơ đồ chịu lực hình 4.21 Pm "m" A ϕA Từ hình 4.21a ta thấy góc hợp hai tiết diện A B lúc trước biến dạng khơng, cịn sau biến dạng ϕAB B ϕB ϕAB b) "k" ϕAB = ϕA + ϕB Vậy chuyển vị góc tương đối hai tiết diện A B tính tổng hai chuyển vị góc tuyệt đối hai tiết diện Mk=1 Mk=1 Hình 4.21 Với lý luận tương tự chuyển vị thẳng tương đối ta có kết luận: Muốn tìm chuyển vị góc tương đối hai tiết diện trạng thái “k” ta cần đặt hai mô men tập trung Mk = ngược chiều hai tiết diện (Hình 4.21b) Ví dụ 4-8: Xác định chuyển vị góc xoay tương đối hai tiết diện A B khung có sơ đồ chịu lực hình 4.22 Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt lực dọc Thứ tự thực sau: + Lập trạng thái “k”: Đặt hai mô men tập trung Mk = ngược chiều A B (Hình 4.22c) + Tính hệ trạng thái “k”: Vẽ biểu đồ mơ men uốn Mk (Hình 4.22d) + Tính hệ trạng thái “p”: Vẽ biểu đồ mơ men uốn Mp (Hình 4.22b) a) A a P = qa b) qa2 qa2 c) A Mp "p" EJ = const q Mk= B Mk= B d) Mk "k" 1 qa a Hình 4.22 + Dùng cách nhân biểu đồ để tính chuyển vị góc xoay tương đối A B: ϕAB = Mp Mk ⎞ 11qa ⎛ qa a qa a qa ⎜⎜ + − a.1⎟⎟ = EJ ⎝ 2 ⎠ 12 EJ Kết mang dấu dương cho ta biết chuyển vị góc xoay tương đối hai tiết diện A B chiều với cặp mô men Mk= giả thiết ϕ AB = 116 4.5.3 Chuyển vị góc xoay dàn a) Đặc điểm hệ dàn chịu lực dàn tồn thành phần nội lực lực dọc, bị biến dạng dàn thẳng, chúng bị biến dạng dài làm cho mắt dàn bị chuyển vị thẳng dàn bị xoay Giả sử cần tìm góc xoay dàn AB dàn có sơ đồ chịu lực hình 4.23a Trên hình 4.23b gọi A’B’ vị trí AB sau biến dạng đồng thời gọi ΔA ΔB chuyển vị mắt A B theo phương vng góc với trục AB Gọi ϕAB góc xoay dàn AB ta có: Δ + ΔB ϕAB = tgϕAB = A = ⋅ ΔA + ⋅ ΔB a a a “p” A B P P P A’ ΔA b) A ϕAB B a c) ΔB B’ “k” Pk= a A Ta thấy góc xoay AB dàn tập hợp hai chuyển vị ΔA ΔB với hệ số 1/a B Pk= a Vậy ta phát biểu cách lập trạng thái “k” sau: Hình 4.23 Muốn tìm góc xoay dàn trạng thái “k” ta cần đặt hai lực tập trung hai đầu thanh, ngược chiều nhau, vng góc với trục có giá trị đơn vị chia cho chiều dài (Pk = 1/a) 4.6 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TƯƠNG HỖ Dưới trình bày bốn định lý tương hỗ để phục vụ cho việc nghiên cứu tính tốn hệ siêu tĩnh sau 4.6.1 Định lý tương hỗ công ngoại lực Định lý E Betti đề xuất vào năm 1872 Xét hệ đàn hồi tuyến tính hai trạng thái “m” “k” (Hình 4.24) + Ở trạng thái “m” hệ chịu ngoại lực Pm chuyển vị gối tựa Δm (Hình 4.24a) + Ở trạng thái “k” hệ chịu ngoại lực Pk chuyển vị gối tựa Δk (Hình 4.24b) Theo cơng thức cơng (4-5) ta có: a) "m" Pm Rm Δkm Δm b) Δk Pk Δmk "k" Rk Hình 4.24 117 ♦ Cơng ngoại lực trạng thái “m” chuyển vị tương ứng trạng thái “k”: n n M M Q Q N N i i P Δ R mj Δ jk = ∑ ∫ m k ds + ∑ ∫ μ m k ds + ∑ ∫ m k ds (a) + ∑ ∑ m mk EJ GF EF i =1 j=1 ♦ Công ngoại lực trạng thái “k” chuyển vị tương ứng trạng thái “m”: n n MkMm Q Q N N i i j j P Δ ds + ∑ ∫ μ k m ds + ∑ ∫ k m ds (b) ∑ k km + ∑ R k Δ m = ∑ ∫ EJ GF EF j=1 i =1 So sánh (a) (b) ta có: n ∑P i =1 i m n n n j=1 i =1 j=1 Δimk + ∑ R mj Δ jk = ∑ Pki Δikm + ∑ R kj Δjm hay Tmk = Tkm (4-18) Vậy định lý Betti phát biểu sau: Trong hệ đàn hồi tuyến tính cơng ngoại lực đặt vào hệ trạng thái “m” chuyển vị tương ứng trạng thái “k” tương hỗ công ngoại lực đặt vào hệ trạng thái “k” chuyển vị tương ứng trạng thái “m” Cần hiểu khái niệm tương hỗ sau: + Hai trạng thái “m” “k” phải xây dựng hệ + Chuyển vị trạng thái phải có vị trí phương tương ứng với vị trí phương lực trạng thái Sau ta vận dụng định lý Betti để chứng minh định lý khác 4.6.2 Định lý tương hỗ chuyển vị đơn vị Định lý J Maxwell đề xuất năm 1864 Xét hệ đàn hồi tuyến tính hai trạng thái: a) + Ở trạng thái “m” hệ chịu lực Pm = gây nên chuyển vị δkm theo phương b) Pm=1 δkm Pk=1 lực Pk (Hình 4.25a) "m" "k" δmk Hình 4.25 + Ở trạng thái “k” hệ chịu lực Pk (có thể lực tập trung mô men tập trung) gây nên chuyển vị δmk theo phương lực Pm (Hình 4.25b) Theo định lý Betti ta có: 1.δmk = 1.δkm Vậy: 118 δmk = δkm (4-19) Định lý Maxwell phát biểu sau: Trong hệ đàn hồi tuyến tính chuyển vị đơn vị tương ứng với vị trí phương lực Pm lực Pk đơn vị gây tương hỗ chuyển vị đơn vị tương ứng với vị trí phương lực Pk lực Pm đơn vị gây 4.6.3 Định lý tương hỗ phản lực đơn vị Định lý L Rayleigh (1842- 1919) đề xuất năm 1875 Xét hệ đàn hồi hai trạng thái: + Ở trạng thái “m”: Gối tựa thứ m có chuyển vị cưỡng đơn vị gây gối tựa thứ k phản lực đơn vị rkm (Hình 4.26a) a) Δm=1 k "m" rkm b) Δk=1 m "k" rmk Hình 4.26 + Ở trạng thái “k”: Gối tựa thứ k có chuyển vị cưỡng đơn vị gây gối tựa thứ m phản lực đơn vị rmk (Hình 4.26a) Theo định lý Betti ta có: 1.rmk = 1.rkm Vậy: rmk = rkm (4-20) Định lý Rayleigh phát biểu sau: Trong hệ đàn hồi tuyến tính, phản lực đơn vị liên kết m chuyển vị cưỡng liên kết k đơn vị gây tương hỗ phản lực đơn vị liên kết k chuyển vị cưỡng liên kết m đơn vị gây 4.6.4 Định lý tương hỗ chuyển vị đơn vị phản lực đơn vị ϕm=1 Định lý A.A.Gvozđiev đề xuất năm 1927 Xét hệ đàn hồi hai trạng thái: + Trạng thái “m”: Gối tựa thứ m có chuyển vị cưỡng đơn vị (ϕm = 1), gây chuyển vị điểm k δkm (Hình 4.27a) a) "m" k m δkm rmk b) m "k" Pk=1 k Hình 4.27 + Trạng thái “k”: Một lực đơn vị (Pk = 1) gây gối tựa thứ m phản lực đơn vị rmk (Hình 4.27b) Cơng Tmk = trạng thái m khơng có ngoại lực tác dụng Công khả dĩ: Tkm = &r ϕm + δ& Pk mk km 119 Tkm = r&mk + δ& km Áp dụng định lý Betti (Tkm = Tmk = 0) ta có: &rkm = - δ& mk (4-21) Như định lý phát biểu sau: Trong hệ đàn hồi tuyến tính phản lực đơn vị liên kết k lực Pm đơn vị gây tương hỗ chuyển vị đơn vị tương ứng với vị trí phương lực Pm chuyển vị cưỡng liên kết k đơn vị gây trái dấu BÀI TẬP CHƯƠNG Xác định chuyển vị thẳng đứng tiết diện K, chuyển vị ngang tiết diện I, chuyển vị góc xoay tiết diện C, chuyển vị thẳng tương đối hai tiết diện A B theo phương AB, chuyển vị góc xoay tương đối hai tiết diện E F hệ có kích thước sơ đồ chịu lực hình từ hình 4.28 đến hình 4.39 Xác định chuyển vị thẳng đứng mắt B, chuyển vị ngang mắt C góc xoay AB dàn có kích thước sơ đồ chịu lực hình từ hình 4.40 đến hình 4.43 q = 20kN/m J 4m C K EJ = const 2J C q = 10kN/m J 2J 4m 4m K 8m 8m Hình 4.29 Hình 4.28 M=200KNm q=10kN/m I 2J 4m J q I P= 100kN J F L F E 120 4m 4m EJ = const E 4m L Hình 4.30 Hình 4.31 M=200kNm P=100kN q= 10KN/m K I 2J 2J 2m J J 2m B E F J J q= 10KN/m 2m 2J 3m Hình 4.32 A 1m 3m 1m Hình 4.33 -2to -20o I K -2to +to +10o -20o -20o +10o 3m α,h=const 3m I K 3m 6m -2to 2J K 2m α,h=const 3m 4m 4m Hình 4.35 Hình 4.34 I q 6m J a F a Δ1 J F K F F a F a a 6m Δ2 Hình 4.37 Hình 4.36 q R ϕ EJ=const Hình 4.38 R I P ϕ B A EJ = const Hình 4.39 121 P1=1kN P P A EF EF EF=const 1,5EF EF P2=2kN d/2 1,5EF B d EF d EF 3m EF 3m 4m Hình 4.40 Hình 4.41 A A -Δ d +to -Δ +Δ d +Δ B B d +to d d Hình 4.42 d Hình 4.43 Xác định chuyển vị thẳng tương đối hai tiết diện A B khung có kích thước sơ đồ cho hình 4.44 Khung chịu áp lực cột nước có chiều cao h Biết EJ = const; Trọng lượng riêng nước γ0 B A h a Hình 4.44 Xác định hệ số k để: a) Chuyển vị góc xoay C dầm hình 4.45 khơng b) Chuyển vị thẳng đứng I chuyển vị thẳng đứng F dầm hình 4.46 q P= kq 2J J 6m C 2J 4m 4m Hình 4.45 q P=2q F kEJ 3m I kEJ 3m 2m Hình 4.46 122 EJ 2m EJ 2m 2m ... tích cấu tạo hình học hệ phẳng cho hình sau: Hình 1. 20 Hình 1. 19 Hình 1. 21 Hình 1. 22 Hình 1. 25 Hình 1. 23 Hình 1. 24 Hình 1. 26 23 Hình 1. 27 Hình 1. 28 Hình 1. 29 Hình 1. 31 Hình 1. 30 45o Hình 1. 34... cứng độ ổn định cấu kiện riêng biệt, trái lại Cơ học kết cấu nghiên cứu tồn cơng trình gồm nhiều cấu kiện liên kết lại với Nhiệm vụ chủ yếu Cơ học kết cấu xác định nội lực chuyển vị cơng trình Độ... mắt dàn Hệ hình 1. 11a hệ dàn tự (khơng nối đất) Hệ hình 1. 11b hệ dàn nối đất Hệ hình 1. 11c khơng phải hệ dàn 1- 3 khơng phải có khớp hai đầu a) mắt dàn c) b) dàn nhịp dàn Hình 1. 11 Đối với hệ dàn