Phần 2 giáo trình Cơ học kết cấu cung cấp cho người học các kiến thức: Tính hệ siêu tĩnh theo phương pháp lực, tính hệ siêu tĩnh phẳng theo phương pháp chuyển vị, tính hệ siêu tĩnh theo phương pháp phân phối mô men (H.Cross), hệ không gian. Mời các bạn cùng tham khảo.
CHƯƠNG TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC 5.1 KHÁI NIỆM VỀ HỆ SIÊU TĨNH 5.1.1 Định nghĩa Trong chương trước ta làm quen với hệ tĩnh định, hệ cần dùng phương trình cân tĩnh học đủ để xác định hết phản lực nội lực hệ Trong thực tế ta thường gặp hệ mà sử dụng phương trình cân tĩnh học chưa đủ để xác định hết thành phần phản lực nội lực Để tính hệ đó, cần bổ sung thêm phương trình thường phương trình biến dạng, hệ gọi hệ siêu tĩnh Hệ gọi siêu tĩnh toàn hệ vài phần hệ ta dùng phương trình cân tĩnh học để xác định tất phản lực nội lực Về mặt cấu tạo hình học, hệ siêu tĩnh hệ bất biến hình thừa liên kết Số liên kết thừa đặc trưng hệ siêu tĩnh, song liên kết thừa liên kết khơng cần thiết cho cấu tạo hình học hệ cần cho làm việc công trình Ví dụ dầm khung hình 5.1a, b hệ tĩnh định Các hệ dầm, khung, dàn, vòm hình 5.1c,d,g,h hệ siêu tĩnh từ ba phương trình cân tĩnh học ta chưa thể xác định hết phản lực Hệ siêu tĩnh sử dụng rộng rãi cơng trình thực tế cầu giao thông, nhà dân dụng công nghiệp, đập ngăn, cống, cầu máng, trạm thuỷ điện v v b) a) c) d) g) h) Hình 5.1 5.1.2 Đặc điểm hệ siêu tĩnh Đối chiếu với hệ tĩnh định hệ siêu tĩnh có đặc điểm sau: Chuyển vị, biến dạng nội lực hệ siêu tĩnh nói chung nhỏ hệ tĩnh định có kích thước tải trọng Kết tính độ võng nhịp, mơ men uốn lớn dầm tĩnh định nhịp dầm siêu tĩnh nhịp hai đầu ngàm ghi bảng 5.1 cho ta thấy chuyển vị nội lực dầm siêu tĩnh nhỏ dầm tĩnh định nhiều 123 Bảng 5-1 q q Dầm EJ Ymax Độ võng nhịp Giá trị mô men uốn lớn EJ l l 5ql = 384EJ Tại nhịp M = Ymax ql ql = 384EJ Tại ngàm M = ql 12 Vì dùng hệ siêu tĩnh tiết kiệm vật liệu so với hệ tĩnh định tương ứng Đây ưu điểm hệ siêu tĩnh Trong hệ siêu tĩnh phát sinh nội lực thay đổi mhiệt độ, chuyển vị gối tựa, chế tạo lắp ráp khơng xác gây (những nguyên nhân không gây nội lực hệ tĩnh định) Để thấy rõ tính chất này, ta xét vài ví dụ: • So sánh dầm đơn hình 5.2a với dầm siêu tĩnh nhịp hình 5.2b chịu thay đổi nhiệt độ khơng đều, t1, t2 với t2 > t1 ta thấy: Dưới tác dụng nhiệt độ dầm có khuynh hướng bị uốn cong, dầm tĩnh định liên kết không ngăn cản biến dạng dầm nên không phát sinh phản lực nội lực, ngược lại dầm siêu tĩnh, liên kết (ngàm) cản trở không cho phép dầm biến dạng tự do, phát sinh phản lực nội lực a) c) t1 t2 b) Δ d) t1 Δ t2 Hình 5.2 • Khi liên kết có chuyển vị cưỡng (bị lún) dầm tĩnh định cho hình 5.2c bị nghiêng đi, liên kết không ngăn cản cho phép chuyển vị tự nên không phát sinh nội lực Ngược lại, gối phải dầm siêu tĩnh hình 5.2d bị lún, gối tựa không cho phép dầm chuyển vị tự trường hợp trên, dầm bị uốn cong theo đường đứt nét, dầm phát sinh nội lực • Khi chế tạo, lắp ráp khơng xác (hình 5.3) Giả sử chiều dài CD hệ siêu tĩnh bị ngắn so với chiều dài thiết kế đoạn Δ Sau lắp ráp, CD bị dãn đồng thời dầm AB bị uốn cong, hệ tồn nội lực ban đầu 124 C A D Δ Hình 5.3 B Khi thiết kế kết cấu siêu tĩnh ta cần đặc biệt lưu ý đến nguyên nhân gây nội lực kể Đơi sử dụng tính chất để tạo sẵn hệ nội lực biến dạng ban đầu ngược chiều với nội lực biến dạng tải trọng gây Biện pháp làm cho phân phối nội lực cấu kiện cơng trình hợp lý tiết kiệm vật liệu Nội lực hệ siêu tĩnh phụ thuộc vật liệu, kích thước hình dạng tiết diện Sau ta thấy, để tính hệ siêu tĩnh ta phải dựa vào điều kiện biến dạng mà biến dạng lại phụ thuộc độ cứng EJ, EF nên nội lực hệ siêu tĩnh phụ thuộc EJ, EF Ba đặc điểm thấy rõ q trình tính hệ siêu tĩnh sau 5.1.3 Bậc siêu tĩnh Với giả thiết chấp nhận học kết cấu, ta đưa khái niệm bậc siêu tĩnh sau: Bậc siêu tĩnh hệ siêu tĩnh số lượng liên kết thừa qui đổi liên kết số liên kết cần thiết đủ hệ bất biến hình Có thể tính bậc siêu tĩnh (ký hiệu n) theo ba cách sau: Theo định nghĩa Ta dùng cơng thức (1-2), (1-3), liên hệ số lượng miếng cứng số lượng liên kết nghiên cứu chương để suy công thức xác định bậc siêu tĩnh n hệ: n = (T + 2K + 3H) - (D - 1) Hệ không nối đất n = T + 2K + 3H + C - 3D Hệ nối đất Trong đó: D - số miếng cứng tĩnh định (miếng cứng có chu vi hở) T, K, H - số liên kết thanh, liên kết khớp, liên kết hàn dùng để nối D miếng cứng (đã qui đổi liên kết đơn giản) a) C - số liên kết tựa nối với đất qui liên kết Loại bỏ dần liên kết Theo cách ta loại bỏ dần liên kết hệ siêu tĩnh để đưa hệ siêu tĩnh cho hệ tĩnh định (bất biến hình đủ liên kết) Số liên kết bị loại bỏ (đã qui đổi liên kết thanh) bậc siêu tĩnh cần tìm Trái đất b) A B C D Hình 5.4 125 Ví dụ 5-1: Xác định bậc siêu tĩnh hệ hình 5.4 Khung siêu tĩnh hình 5.4a bỏ ngàm hệ trở thành tĩnh định Do n = 3.3 = 9, hệ siêu tĩnh bậc Dầm siêu tĩnh tên hình 5.4b bỏ liên kết A, B, C có dầm cơng sơn quen thuộc nên n = 1.2 +1 + = Nếu bỏ liên kết B D ta có dầm đơn giản có đầu thừa nên n = + 1.3 = dầm siêu tĩnh bậc Theo công thức đơn giản Trước thiết lập công thức ta khảo sát ví dụ sau: Xét khung có chu vi hở (hình 5.5a) Khung tĩnh định, thực mặt cắt hình vẽ ta cần sử dụng phương trình cân tĩnh học xác định nội lực tiết diện thuộc hệ b) a) P P P d) c) P P P P P Hình 5.5 Nếu đặt thêm vào chu vi hở liên kết loại (liên kết thanh), hệ thừa liên kết (hình 5.5b) Vậy hệ có bậc siêu tĩnh (n = 1) Nếu đặt thêm vào chu vi hở liên kết loại hai ( liên kết khớp ) hệ thừa hai liên kết tương đương loại (hình 5.5c) Vậy hệ có bậc siêu tĩnh hai (n = 2) Nếu đặt thêm vào chu vi hở mối hàn (liên kết loại ba) hệ thừa ba liên kết tương đương loại (hình 5.5d) Vậy hệ có bậc siêu tĩnh ba (n = 3) Qua ví dụ ta có: Một chu vi kín có bậc siêu tĩnh ba, thêm vào chu vi kín khớp đơn giản bậc siêu tĩnh giảm xuống đơn vị Bởi vậy, với hệ siêu tĩnh có V chu vi kín K khớp đơn giản bậc siêu tĩnh n hệ xác định theo công thức: n = 3V - K (5-1) Chú thích: Khi sử dụng cơng thức (5-1) cần quan niệm trái đất miếng cứng hở Ví dụ, xét hệ hình 5.4a số chu vi kín trường hợp khơng phải phải quan niệm trái đất miếng cứng hở hình vẽ Bậc siêu tĩnh hệ n = 3.3 - = E Ví dụ 5-2: Xác định bậc siêu tĩnh khung hình 5.6 Coi đất miếng cứng hở qua A, C, D Ta thấy hệ có chu vi kín (V = 4), số khớp đơn giản (K = 5) khớp đơn A, B, C khớp phức tạp qui đổi thành khớp đơn giản E Vậy n = 3.4 - = Hệ siêu tĩnh bậc 126 A D B C Hình 5.6 5.1.4 Các phương pháp tính hệ siêu tĩnh So với hệ tĩnh định biết, việc tính tốn hệ siêu tĩnh thường phức tạp khối lượng tính tốn lớn Có nhiều phương pháp tính hệ siêu tĩnh, có hai phương pháp phương pháp lực phương pháp chuyển vị Phương pháp lực (được đề cập Chương này), phương pháp tổng quát áp dụng cho kết cấu dạng với nguyên nhân khác Hệ có bậc siêu tĩnh cao việc tính tốn phức tạp Phương pháp chuyển vị (được đề cập Chương 6), thường dùng để tính cho hệ dầm, khung Việc tính tốn thuận tiện có khả tự động hoá cao Nhược điểm hai phương pháp phải giải hệ phương trình nhiều ẩn số Để khắc phục nhược điểm phương pháp giải dần dựa sở phương pháp chuyển vị đời Một phương pháp phương pháp phân phối mô men (được đề cập Chương 7) Trong năm gần đây, với phát triển mạnh mẽ máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn áp dụng rộng rãi hiệu toán học mơi trường liên tục nói chung học vật rắn biến dạng nói riêng Ta nghiên cứu phương pháp môn học phương pháp số 5.2 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP LỰC TÍNH HỆ SIÊU TĨNH 5.2.1 Nội dung phương pháp Từ định nghĩa ta thấy khơng thể tính phản lực, nội lực trực tiếp hệ siêu tĩnh cho mà phải tính thông qua hệ khác cho phép dễ dàng xác định phản lực, nội lực Hệ suy từ hệ siêu tĩnh cho cách loại bớt liên kết thừa gọi hệ Để bảo đảm cho hệ làm việc giống hệ siêu tĩnh cho ta cần phải bổ sung thêm điều kiện phụ Đó nội dung tóm tắt phương pháp lực Hệ phương pháp lực hệ bất biến hình suy từ hệ siêu tĩnh cho cách loại bỏ tất hay số liên kết thừa Nếu loại bỏ tất liên kết thừa hệ tĩnh định, loại bỏ số liên kết thừa hệ siêu tĩnh có bậc thấp Điều quan trọng hệ phải bất biến hình cho phép ta xác định nội lực cách dễ dàng Bởi đa số trường hợp, ta thường dùng hệ tĩnh định Đối với hệ siêu tĩnh hình 5.7a, chọn hệ theo nhiều cách khác Ví dụ hình 5.7b,c,d,e cho ta ba cách chọn hệ tĩnh định từ hệ siêu tĩnh cho hình 5.7a Để thiết lập điều kiện phụ ta so sánh khác hệ siêu tĩnh cho (hình 5.7a) với hệ (giả sử dùng hệ hình 5.7b) Ta nhận thấy: ♦Tại vị trí loại bỏ liên kết hệ siêu tĩnh có phản lực XB, YB cịn hệ (hình 5.8) khơng có thành phần lực 127 a) B P YB A b) XB c) B P P A d) B B P P A e) B A A Hình 5.7 ♦ Trong hệ siêu tĩnh, chuyển vị theo phương liên kết bị loại bỏ không, cịn hệ chuyển vị tồn Như vậy, muốn cho hệ làm việc giống hệ siêu tĩnh cho, ta cần: ♦ Trong hệ bản, đặt lực X1, X2, , Xn tương ứng với vị trí phương liên kết bị loại bỏ Những lực chưa biết giữ vai trị ẩn số (hình 5.8) Vì ẩn số lực (lực tập trung mô men tập trung) nên phương pháp mang tên phương pháp lực B X1 X2 P A Hình 5.8 ♦ Thiết lập điều kiện bổ sung buộc chuyển vị hệ tương ứng với vị trí phương liên kết bị loại bỏ phải với chuyển vị thực tương ứng hệ siêu tĩnh (thường chuyển vị khơng) Nói khác đi, chuyển vị hệ tương ứng với vị trí phương ẩn số X1, X2, ,Xn lực X1, X2, ,Xn nguyên nhân bên (tải trọng P, thay đổi nhiệt độ t, chế tạo lắp ráp khơng xác chuyển vị gối tựa Δ) gây phải khơng Trên hình 5.8, với ngun nhân tải trọng ta có hai chuyển vị ngang đứng B là: Δ X1 ( X1 , X , P ) = Δ X ( X1 , X , P ) = Nếu hệ có bậc siêu tĩnh n hệ tĩnh định ta có n điều kiện: Δ X k ( X1 ,X , X n ,P,t ,Δ ) = với k = 1, 2, n (5-2) Các điều kiện (5-2) gọi phương trình phương pháp lực Với hệ có n bậc siêu tĩnh ta thiết lập n phương trình đủ để xác định n ẩn số X1, X2, Xn Sau tìm lực X1, X2, Xn ta xem chúng ngoại lực tác dụng hệ (hình 5.8) Lúc lực tác dụng hệ biết, ta dễ dàng tìm nội lực biến dạng hệ bản, nội lực biến dạng hệ siêu tĩnh cho, lực Xi thỏa mãn hệ phương trình tức thỏa mãn điều kiện làm việc hệ với hệ siêu tĩnh cho 128 Chú ý: Khi chọn hệ cho hệ siêu tĩnh chịu chuyển vị cưỡng Δ gối tựa Để vế phải phương trình ln khơng trường hợp tải trọng nhiệt độ tác dụng ta cắt liên kết có chuyển vị cưỡng mà khơng loại bỏ Thật vậy, giả sử xét hệ siêu tĩnh cho hình 5.9a chọn hệ cách loại bỏ liên kết A có chuyển vị cưỡng (Hình 5.9b) điều kiện biến dạng theo phương ẩn số X1 khác không: Δ X1 ( X1 ,Δ ) = - a X1 A c) m n X1 a b) a) A X1 Δ Hình 5.9 Nếu chọn hệ cách cắt liên kết có chuyển vị điều kiện biến dạng khơng (Hình 5.9c) lúc chuyển vị tương ứng với cặp ẩn số X1 chuyển vị tương đối, gối A có chuyển vị cưỡng chuyển vị tương đối hai điểm cắt m n không Δ X1 ( X1 ,Δ ) = Khi chọn hệ cho hệ dàn siêu tĩnh hệ siêu tĩnh có hai đầu khớp với độ cứng hữu hạn (EF ≠ ∞) tải trọng không tác dụng thanh, ta quy định phép cắt thay cặp lực XK ngược chiều mà không phép loại bỏ a) b) P EJ EJ A EF ≠ ∞ c) P B A X1 X1 B A P X1 m n X1 B Hình 5.10 Với hệ hình 5.10a: chọn hệ cách loại bỏ căng AB (Hình 5.10b) phương trình biểu thị chuyển vị tương đối A B theo phương AB, chuyển vị khác khơng AB có biến dạng dọc trục; chọn hệ cách cắt AB (Hình 5.10c) chuyển vị tương đối hai điểm m n khơng phương trình ln khơng 5.2.2 Hệ phương trình tắc Thành lập hệ phương trình tắc Trong giáo trình ta nghiên cứu hệ áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, với hệ ta biểu thị phương trình thứ k hệ (5-2) dạng: 129 Δ X k ( X1 , X , X n , P, t , Δ , z ) = Δ X k X1 + Δ X k X + + Δ X k X k + + Δ X k X n + + Δ X kP + Δ X kt + Δ X kΔ = Để cho gọn, ta bỏ bớt số X: Δk1 + Δk2 + + Δkk + + Δkn + ΔkP + Δkt + ΔkΔ = Trong đó: Δkm - chuyển vị tương ứng với vị trí phương lực XK lực Xm gây hệ bản; ΔkP, Δkt, ΔkΔ - chuyển vị tương ứng với vị trí phương lực XK riêng tải trọng, thay đổi nhiệt độ, chuyển vị gối tựa gây hệ Nếu gọi δkm chuyển vị tương ứng với vị trí phương lực XK riêng lực Xm=1 gây hệ bản, ta có: Δkm = δkm.Xm Do phương trình thứ k có dạng: δk1.X1 + δk2.X2 + + δkk.Xk + + δkn.Xn + ΔkP + Δkt + ΔkΔ = Với hệ có n bậc siêu tĩnh sau cho k = 1, 2, , n ta có hệ n phương trình phương pháp lực Hệ phương trình (5-3) sau gọi hệ phương trình tắc phương pháp lực Các hệ số δkm (với k ≠ m) phương trình tắc gọi hệ số phụ Các hệ số δkk gọi hệ số Các số hạng ΔkP, Δkt, ΔkΔ gọi số hạng tự δ11X1 + δ12X2 + + δ1kXk + + δ1nXn + Δ1P + Δ1t + Δ1Δ = δ21X1 + δ22X2 + + δ2kXk + + δ2nXn + Δ2P + Δ2t + Δ2Δ = δk1X1 + δk2X2 + + δkkXk + + δknXn + ΔkP + Δkt + ΔkΔ = (5-3) δn1X1 + δn2X2 + + δnkXk + + δnnXn + ΔnP + Δnt + ΔnΔ = Hệ phương trình (5-3) viết dạng ma trận sau: [F].{X} + {Δ} = Trong đó: [F] - ma trận hệ số {X}- véc tơ ẩn lực {Δ}- véc tơ số hạng tự Ý nghĩa vật lý phương trình tắc thứ k tổng chuyển vị điểm đặt lực Xk theo phương Xk ẩn X1, X2, Xn tải trọng, thay đổi nhiệt độ chuyển vị gối tựa gây hệ phải không 130 Cách tính hệ số số hạng Về chất, hệ số số hạng tự (5-3) chuyển vị nên xác định theo cơng thức Măc xoen - Mo: M M Q Q N N δkm = ∑ ∫ k m ds + ∑ ∫ μ k m ds + ∑ ∫ k m ds (5-4) EJ GF EF Trong đó: ( M k , Q k , N k ), ( M m , Q m , N m ) - biểu thức mô men, lực cắt, lực dọc riêng Xk = 1, Xm = gây hệ Đối với hệ áp dụng phép “nhân” biểu đồ theo Vêrêsaghin, ta có: δkm = M k M m + N k N m + Q k Q m ; Trong đó: M k , Q k , N k , M m , Q m , N m - biểu đồ mô men, lực cắt, lực dọc Xk = 1, Xm=1 gây hệ Các hệ số δkk ln dương, hệ số phụ δkm dương, âm khơng - Các số hạng tự do: M Mo N No Q Qo ΔkP = ∑ ∫ k P ds + ∑ ∫ k P ds + ∑ ∫ μ k P ds (5-5) EJ EF GF Trong đó: MoP, N oP, Q oP - Biểu thức giải tích mơ men uốn, lực dọc lực cắt riêng tải trọng gây hệ Trong trường hợp áp dụng cách “nhân” biểu đồ ta có: ΔkP = M oP M k + NoP N k + QoP Q k Trong đó: M oP , NoP , QoP - Các biểu đồ nội lực riêng tải trọng gây hệ Δ Δkt = ∑ ∫ M k α t ds + ∑ ∫ N k α.t c ds (5-6) h Với hệ gồm thẳng có tiết diện khơng đổi đoạn nhiệt độ thay đổi dọc theo chiều dài đoạn thanh, ta dùng công thức thực hành sau: Δ Δkt = ∑ α.t c Ω (N k ) + ∑ ± α t Ω (M k ) h Trong đó: Ω (N k ) Ω (M k ) - diện tích biểu đồ lực dọc biểu đồ mơ men uốn lực Xk =1 gây hệ ΔkΔ = − ∑ R ik Δim (5-7) Trong đó: Δim - chuyển vị cưỡng liên kết thứ i hệ siêu tĩnh; R ik phản lực liên kết thứ i lực Xk=1 gây hệ Chú ý: Nếu nguyên nhân tác dụng hệ siêu tĩnh chuyển vị cưỡng liên kết tựa mà chế tạo, lắp ráp khơng xác ΔkΔ xác định theo (4-15) 131 5.2.3 Cách tìm nội lực hệ siêu tĩnh Giải hệ phương trình tắc (5-3) xác định giá trị ẩn lực X1, X2, Xn từ ta vẽ biểu đồ nội lực theo hai cách sau: Cách tính trực tiếp Đặt tất ẩn lực chiều trị số vào hệ với tải trọng cho Vì hệ thường tĩnh định nên biểu đồ nội lực xác định dễ dàng trình bày chương 2 Cách dùng nguyên lý cộng tác dụng Mô men uốn, lực cắt, lực dọc hệ siêu tĩnh P, t, Δ gây xác định theo biểu thức cộng tác dụng (xem Chương mở đầu) Với mơ men uốn ta có: Mcc = M1 X1 + M X2 + + M n Xn + M oP + M ot + M oΔ (5-8) Trong đó: Mcc - biểu đồ mơ men hệ siêu tĩnh P, t, Δ gây M1 , M , M n - biểu đồ mô men hệ riêng X1 = 1, Xn= gây M oP , M ot , M oΔ - biểu đồ mô men hệ tải trọng, thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cưỡng liên kết tựa gây Trong trường hợp hệ hệ tĩnh định M ot = M oΔ = Biểu thức (5-8) hay áp dụng để vẽ biểu đồ mơ men uốn biểu đồ M1 , M , M n , M oP xây dựng q trình tính hệ số, số hạng tự hệ phương trình tắc Biểu đồ lực cắt, lực dọc thường xác định theo cách sau Cách vẽ biểu đồ lực cắt, lực dọc Ta vẽ biểu đồ lực cắt từ biểu đồ mô men biết xác định biểu đồ lực dọc từ biểu đồ lực cắt biết a Xác định giá trị lực cắt đầu đoạn theo công thức: QAB = Q oAB ± ΔM AB l AB (5-9) Trong đó: QAB - giá trị lực cắt tiết diện A AB hệ siêu tĩnh Q oAB - giá trị lực cắt tiết diện A AB tải trọng tác dụng đoạn AB gây coi dầm đơn giản hai đầu khớp ΔMAB - hiệu đại số tung độ mô men hai đầu đoạn A B 132 P=10kN 1,5l 3m 2J l F=2J P=20kN F=2J J 2J 6m ϕ Hình 7.22 J 2J 6m Hình 7.23 224 9m CHƯƠNG HỆ KHÔNG GIAN 8.1 CÁC LOẠI LIÊN KẾT TRONG HỆ KHƠNG GIAN Hệ khơng gian hệ mà trục tải trọng không nằm mặt phẳng Trong thực tế hầu hết công trình có sơ đồ tính hệ khơng gian Giống hệ phẳng, hệ khơng gian muốn có khả chịu tải trọng phải cấu tạo thành hệ bất biến hình Khi nghiên cứu cấu tạo hình học hệ không gian, thay khái niệm miếng cứng hệ phẳng ta đưa vào khái niệm gọi vật thể Vật thể hệ không gian bất biến hình cách rõ rệt Trong khơng gian, vật thể vật thể khác coi bất động có sáu bậc tự do, ba chuyển vị tịnh tiến ba chuyển vị xoay Một hệ không gian gồm nhiều vật thể nối với liên kết Các loại liên kết thường dùng hệ không gian sau: 8.1.1 Thanh hai đầu có khớp lý tưởng (Hình 8.1a) Liên kết khử chuyển vị thẳng vật thể theo phương dọc trục (phương y), tức khử bậc tự do; song cho phép vật chuyển vị thẳng mặt phẳng vng góc với quay quanh ba trục Trong liên kết phát sinh phản lực dọc theo trục Liên kết có khớp cầu hai đầu loại liên kết thường dùng hệ không gian Mọi liên kết khác thường tổ hợp số liên kết loại a) o z e) b) c) d) x y f) g) h) Hình 8.1 8.1.2 Hai có khớp cầu chung đầu (Hình 8.1b) Liên kết khử hai bậc tự chuyển vị thẳng vật thể mặt phẳng hai thanh, song cho phép chuyển vị thẳng theo phương vng góc với mặt phẳng hai quay quanh ba trục Tại liên kết phát sinh hai thành phần phản lực (phương x y) 225 8.1.3 Hai song song (Hình 8.1c) Liên kết khử chuyển vị thẳng vật thể theo phương dọc trục chuyển vị xoay mặt phẳng hai Tại liên kết phát sinh phản lực dọc theo hai phản lực mô men nằm mặt phẳng hai 8.1.4 Ba không mặt phẳng, có khớp cầu chung đầu (Hình 8.1d) Liên kết khử ba chuyển vị thẳng vật thể theo phương, tức khử ba bậc tự do; song cho phép vật thể xoay quanh ba trục qua khớp chung Trong liên kết phát sinh phản lực qua khớp chung, lực phân thành ba thành phần (phương x, y, z) 8.1.5 Ba song song khơng nằm mặt phẳng (Hình 8.1e) Liên kết khử chuyển vị thẳng vật thể theo phương dọc trục hai chuyển vị góc quay quanh trục nằm mặt phẳng vng góc với (trục x, z) Tại liên kết phát sinh phản lực dọc theo ba hai phản lực mô men 8.1.6 Ba mặt phẳng, hai song song thứ ba có đầu khớp chung với hai (Hình 8.1f) Liên kết khử chuyển vị thẳng chuyển vị xoay vật thể mặt phẳng (mặt phẳng xoy) Tại liên kết phát sinh phản lực dọc theo trục mô men nằm mặt phẳng 8.1.7 Mối hàn (Hình 8.1g) Liên kết khử toàn chuyển vị vật thể, tức khử tất sáu bậc tự Trong liên kết phát sinh ba phản lực theo phương ba trục hệ tọa độ ba phản lực mô men ba mặt phẳng hệ tọa độ Mối hàn tương đương với sáu Trên bảy loại liên kết thường dùng Ngồi cịn tổ hợp liên kết để liên kết loại khác, chẳng hạn khớp tựa (Hình 8.1h) Trường hợp mối hàn hay khớp cầu đồng thời nối số vật thể liên kết liên kết phức tạp Độ phức tạp liên kết phức tạp số vật thể nối trừ 8.2 CẤU TẠO HÌNH HỌC CỦA HỆ KHÔNG GIAN 8.2.1 Cách nối hai vật thể thành hệ bất biến hình Muốn nối hai vật thể thành hệ bất biến hình cần phải dùng liên kết khử hết sáu bậc tự vật thể vật thể kia; cần sử dụng số liên kết phải tương đương với sáu xếp hợp lý; khơng hệ biến hình biến hình tức thời Dưới số trường hợp sáu xếp không hợp lý cần tránh: 226 Sáu cắt đường thẳng (đường ab Hình 8.2a): Đường thẳng trục quay vật thể vật thể kia, tức hệ bị biến hình biến hình tức thời 2- Số đồng quy điểm song song lớn ba (Hình 8.2b): đồng quy (hoặc song song) khử tối đa ba bậc tự nên số lại ba khơng đủ để khử hết ba bậc tự nữa, hệ biến hình b) a) b a c) a b Hình 8.2 b a 3- Ba mặt phẳng đồng quy điểm (Hình 8.2c): Khi ba khử hai bậc tự do, nên ba cịn lại khơng đủ để khử nốt bốn bậc tự nữa, hệ biến hình 8.2.2 Cách nối nhiều vật thể thành hệ bất biến hình Trước hết thành lập điều kiện để nối V vật thể thành hệ bất biến hình Coi số vật thể bất động vật thể đó, hệ có 6(V - 1) bậc tự cần khử Gọi T số liên kết tương đương với số liên kết có hệ Vậy điều kiện cần số lượng liên kết để nối vật thể với thành hệ bất biến sau: 6(V - 1) ≤ T (8-1) Trường hợp hệ không gian nối đất số liên kết tựa quy số liên kết tương đương C: 6V ≤ T + C (8-2) Nếu không đảm bảo điều kiện trên, tức thiếu liên kết, hệ biến hình Trường hợp điều kiện cần đảm bảo với dấu “=”, hệ vừa đủ liên kết, xếp liên kết hợp lý để khử hết bậc tự do, bất biến hình, ta hệ khơng gian tĩnh định Còn ứng với dấu “ b) b3 πr có: Jxoắn ≈ (a − 0,63b) ; Với tiết diện trịn Jxoắn = ; a Các tích phân tính cách nhân biểu đồ Vêrêsaghin hệ phẳng Với dầm khung, tiết diện chủ yếu uốn, thường bỏ qua ảnh hưởng lực cắt lực dọc ds GF (8-7) Qy Mx x Qx Mz z N z y My Hình 8.9 Với hệ dàn, cơng thức tính chuyển vị trước chương Các định lý công chuyển vị rút hệ phẳng cho hệ khơng gian 8.5 TÍNH HỆ KHƠNG GIAN SIÊU TĨNH Tính hệ khơng gian siêu tĩnh theo phương pháp - phương pháp lực phương pháp chuyển vị, nguyên tắc giống tính hệ siêu tĩnh phẳng, phức tạp do: - Số ẩn hệ không gian nhiều - Số nội lực nhiều 8.5.1 Áp dụng nguyên lý chung phương pháp lực Số ẩn hệ số liên kết “thừa” suy từ công thức (8-1) Để đơn giản ta thường áp dụng cách loại bỏ liên kết thừa để hệ không gian tĩnh định, vừa đồng thời lập hệ Hệ hệ cho hình 8.10a, lập cách cắt qua bốn ngang ta có bốn cơng sơn tĩnh định (Hình 8.10b) Tại tiết diện bị cắt xuất sáu ẩn nội lực, số ẩn lực toàn hệ 6.4 = 24 a) b) Hình 8.10 Với hệ siêu tĩnh bậc n, tương tự trước đây, ta lập hệ phương trình tắc: δ11X1 + δ12X2 + + δ1kXk + + δ1nXn + Δ1P = δ21X1 + δ22X2 + + δ2kXk + + δ2nXn + Δ2P = δn1X1 + δn2X2 + + δnkXk + + δnnXn + ΔnP = 232 Trong ý nghĩa phương trình, hệ số số hạng tự hệ phẳng Hệ số số hạng tự xác định theo công thức (8-7) s δik = ∑ ∫ M xi M xk s s ds ds ds + ∑ ∫ M zi M zk + ∑ ∫ M yi M yk + EJ x EJ y GJ xoan 0 s + ∑ ∫ Ni Nk s ΔiP = ∑∫M ds + EF M oxP ∑ ∫ μ x Q xi Q xk ds + GF s ∑∫μ y Q yi Q yk ds GF y Q yi Q oyP ds GF s s xi s ds ds ds + ∑ ∫ M yi M oyP + ∑ ∫ M zk M ozP + EJ x EJ y GJ xoan 0 s + ∑ ∫ N i N oP ds + EF s ∑ ∫ μ x Q xi Q oxP ds + GF s ∑∫μ Chúng cịn xác định qua cách nhân biểu đồ bỏ qua ảnh hưởng lực cắt, lực dọc Với dàn siêu tĩnh: N ij N kj l j δik = ∑ EFj j ΔiP = ∑ N ij N oPj l j EFj Sau giải hệ phương trình tắc tìm ẩn lực, nội lực cuối hệ siêu tĩnh xác định theo nguyên lý cộng tác dụng: j S = S1 X1 + S X2 + + S n Xn + S oP Ví dụ 8-4: Vẽ biểu đồ mô men uốn xoắn khung siêu tĩnh hình 8.11b Biết EJ =1, Jx = Jy = J GJ xoan a) z P Mz,1 6P x b) c) P y Mx,p 6m 6m X1=1 Mpo 6 Mx,1 M1 6m Mz,2 d) 6 M2 e) P 18P 16 My,2 Mx= 66P 16 Mz= 12P 16 30P 16 My,2 Mp X2=1 Hình 8.11 233 Hệ biểu đồ mô men tải trọng vẽ hình 8.11b Các biểu đồ mơ men đơn vị vẽ hình 8.11c,d.Các hệ số số hạng tự xác định theo cách nhân biểu đồ: δ11 = M1 M1 = 6.6 6.6 6.6.6 360 + + = .6 EJ x EJ x GJ xoan EJ δ22 = M2 M2 = 6.6 6.6 6.6.6 360 .6 + + = EJ y EJ y GJ xoan EJ δ12 = M1 M2 = 6.6.6 216 = GJ xoan EJ Δ1P = M1 Mpo = − 6.6.P 72 P ; =− EJ EJ Δ2P = M2 Mpo = 0; Hệ phương tình tắc: 360X1 + 216X2 - 72P = 0; 216X1 + 360X2 + = 0; Từ tìm được: X1 = X2 = − P ; P; 16 16 Áp dụng biểu thức (8-13) có biểu đồ mơ men hệ siêu tĩnh (Hình 8.11e) Kiểm tra biểu đồ cuối cùng: M1 Mp = 30P 6 66P 6 12P − + =0 16 EJ 16 EJ 16 GJ xoan 8.5.2 Tính khung siêu tĩnh phẳng chịu lực không gian Trong trường hợp khung siêu tĩnh phẳng (Hình 8.12), ẩn lực mặt phẳng hệ (X1, X2, X3) gây chuyển vị mặt phẳng đó, mà khơng gây chuyển vị theo phương ẩn lại (theo X4, X5, X6) Hệ phương trình tắc ln ln tách thành hai nhóm độc lập: Nhóm thứ gồm ba phương trình với ba ẩn lực nằm mặt phẳng hệ (X1, X2, X3), nhóm thứ hai gồm ba phương trình với ba ẩn lực lại (X4, X5, X6) Như việc giải sáu phương trình sáu ẩn số đơn giản nhiều x a) z X3 X1 X2 X2 y X3 X1 Pngang b) X6 X5 Pđứng X4 X5 X4 X6 Hình 8.12 Mặt khác, ta phân tích tải trọng cho thành tải trọng tác dụng mặt phẳng hệ (Png hình 8.12a) tải trọng thẳng góc với hệ (Pđ hình 8.12b) 234 khối lượng tính số hạng tự giảm đáng kể Tải trọng nằm mặt phẳng hệ gây nên ẩn lực mặt phẳng hệ (X1, X2, X3), cịn tải trọng vng góc gây nên ẩn cịn lại (X4, X5, X6) Ví dụ 8-5: Vẽ biểu đồ mô men uốn khung cho hình 8.13a, biết tiết diện J E hình trịn có = 2,5; xoan = G J Hệ vẽ hình 8.13b Từ tính chất đối xứng, khung siêu tĩnh có ẩn lực X1 (mô men uốn tiết diện bị cắt) Biểu đồ X1 tải trọng vẽ hình 8.13c,d Phương trình tắc: δ11X1 + Δ1P = Hệ số δ11 số hạng tự Δ1P xác định được: 13,5 ⎛ 1.3.1 1.3.1 ⎞ + δ11 = M1 M1 = ⎜ ⎟.2 = EJ ⎝ EJ G.2.J ⎠ ⎞ 15,75P ⎛ 3P 3P Δ1P = M1 Mpo = − ⎜ + ⎟.2 = − G.2.J ⎠ EJ ⎝ 2 EJ Từ phương trình: 13,5X1 - 15,75P = 0, tìm X1 = 1,167P Biểu đồ mơ men uốn cuối vẽ hình 8.13e a) 3m x z J P J y J 3m 3m 6m c) b) M1 P2 P2 X1 X1 o d) Mp P P Mx,p Mz,1 3P X1=1 Mx,1 3P 3P 3P P Mz,p Mz,p Mz=0,333P e) Mp 0,333P 3P Mz=0,333P 1,167P Hình 8.13 Ví dụ 8-6: Vẽ biểu đồ mô men uốn hệ dầm trực giao cho hình 8.14a Hệ dầm trực giao đưa sơ đồ tính đơn giản hình 8.14b Do hệ lập hình 8.14c, gồm dầm đơn giản chịu lực tác dụng mặt phẳng dầm Các biểu đồ đơn vị biểu đồ tải trọng vẽ hình 8.14e, f 235 Hệ phương trình tắc: δ11X1 + δ12X2 + Δ1P = δ21X1 + δ22X2 + Δ2P = Các hệ số số hạng tự do: 97 ⎛1 3⎞ ⎛1 4 4⎞ δ11 = M1 M1 = ⎜ ⎟ + ⎜ + ⎟ = ; ⎝ 2 ⎠ 0,5EJ ⎝ 3 3 3 ⎠ 2EJ 9EJ 40 δ22 = M2 M2 = ; 9EJ 42 δ12 = M1 M2 = ; 27EJ ⎞ 46P ⎛ Δ1P = M1 Mpo = ⎜ − 2.2 P .1 − 1.2P =− ; ⎟ 2.2 ⎠ 0,5EJ 3EJ ⎝ Δ2P = M2 Mpo = 0; B a) 2m E 2m 0,5J A 3m 2m P P C 2m F 0,5J b) 2m P P D 2m 2m 2J 3m c) P d) X2 P X1 0,5J X1=1 2J M1 e) f) X2=1 P P 0,5J 2J 2P Mpo M2 Hình 8.14 236 2P Hệ phương trình tắc dạng số: 97 42 46 X1 + X2 P=0 27 42 40 0=0 X1 + X2 27 0,2988P 0,246P Từ tìm được: X1 = 1,4984P, 0,5106P X2 = -0,5244P 0,5244P 0,5106P Mp 1,6483P Biểu đồ mơ men uốn cuối vẽ hình 8.15 Hình 8.15 8.5.3 Tính hệ khơng gian siêu tĩnh theo phương pháp chuyển vị Tương tự hệ phẳng, ẩn số phương pháp chuyển vị chuyển vị góc xoay chuyển vị thẳng nút khung Mỗi nút khung khơng gian có sáu chuyển vị: Ba chuyển vị góc xoay quanh ba trục tọa độ ba chuyển vị thẳng hướng theo ba trục Với giả thiết sử dụng trước đây, ta có số ẩn chuyển vị góc ba lần số nút cứng hệ (vì nút cứng có ba ẩn góc xoay); cịn số ẩn chuyển vị thẳng số chuyển vị thẳng độc lập có hệ Cũng giống hệ phẳng, để xác định số ẩn chuyển vị thẳng ta đưa hệ cho hệ khớp cách thay tất nút cứng liên kết ngàm khớp xét tính biến hình hệ khớp Số ẩn chuyển vị thẳng số liên kết chống thêm vào vừa đủ để cố định nút hệ khớp theo phương Hệ cho hình 8.16a có 12 ẩn chuyển vị góc ẩn chuyển vị thẳng b) a) Hình 8.16 Hệ hệ các nút hoàn toàn cố định, lập cách đưa liên kết ngàm chống xoay (theo ba trục) vào nút cứng đặt thêm liên kết chống ngăn chuyển vị thẳng nút Hệ khung cho vẽ hình 8.16b Trên hình 8.17 vẽ số biểu đồ tải trọng, ẩn chuyển vị đơn vị tác dụng hệ Khi ẩn chuyển vị góc xoay tác dụng nối với nút biến dạng: Các nằm mặt phẳng góc xoay bị uốn, cịn khác vng góc với mặt phẳng bị xoắn Mơ men xoắn góc xoay đơn vị bằng: GJ xoan GJ xoan EJ Mz = i= = i; EJ l l 237 Hệ phương trình tắc có dạng trước đây: ri1Z1 + ri2Z2 + + rinZn + RiP = (i = 1, 2, n) Ý nghĩa phương trình, hệ số số hạng tự hệ phẳng Giải hệ phương trình tắc tìm ẩn chuyển vị mô men cuối xác định theo biểu thức cộng tác dụng: MP = M1 Z1 + M Z2 + + M n Zn + M oP Pl1 a) Pl1 P i1 i2 h z =1 Mz l1 4i2 l Hình 8.17 238 2i1 b) 4i1 2i2 ... + δ12X2 + + δ1kXk + + δ1nXn + Δ1P + Δ1t + Δ1Δ = ? ?21 X1 + ? ?22 X2 + + δ2kXk + + δ2nXn + Δ2P + Δ2t + ? ?2? ? = δk1X1 + δk2X2 + + δkkXk + + δknXn + ΔkP + Δkt + ΔkΔ = (5-3) δn1X1 + δn2X2 +... δ13X3 + δ14Y4 + Δ1P = c) ? ?21 Y1 + ? ?22 X2 + ? ?23 X3 + ? ?24 Y4 + Δ2P = X2 X3 X1 Y4 δ31Y1 + δ32X2 + δ33X3 + δ34Y4 + Δ3P = P X4 X3 X2 Y1 X2 X3 X2 X3 P Y1 Y4 Hình 5.31 δ41Y1 + δ42X2 + δ43X3 + δ44Y4 + Δ4P... 3EJ ⎡ 2l.2l ⎤ 8l ? ?22 = M M = ⋅ ⎢ ⋅ ⋅ 2l⎥ = EJ ⎣ ⎦ 3EJ δ 12 = ? ?21 = M1 M = M1 l X2 2l X2= Hình 5 .20 18 ⎞⎤ 5l3 ⎛ ⋅ ⎜ l + l ⎟⎥ = ⎠⎦ 6EJ ⎝ 30 MΔ (× EJΔ ) 7l Δ1Δ = - l.ϕ = - Δ Hình 5 .21 ? ?2? ? = - 2l.ϕ