CƠ HỌC CÔNG TRÌNH: CÁCH TÍNH THANH CHỊU KÉO HOẶC NÉN ĐÚNG TÂM

3 CÁCH TÍNH THANH CHỊU KÉO HOẶC NÉN ĐÚNG TÂM Ta gặp trường hợp chịu kéo nén tâm chiỉ tồn thành phần lực dọc N Lực dọc dương chịu kéo, lực dọc ânn chịu nén Trong thực tế, dạng chịu lực phổ biến đon giảm Dây cáp cần trục, dây văng cầu treo chịu kéo>; kết cấu dạng cột, trụ chịu nén; dàn l;à chịu kéo nén Để kiểm tra điều kiện bền, điểu kiện cứng cho toán ta cần nghiêm cứu trạng thái phân bố ứng suất - biến dạng 3.1 ỨNG SUẤT TRÊN TH AN H CHỊU KÉO, NÉN 3.1.1 Q uan sát thực nghiệm giả thiết Trên bể mặt thẳng có tiết diện khơng đổi ta kẻ mạnjg gồm đường thẳng hình la: đường vng góc với trụic biểu thị tiết diện ngang; đưòfng song song với trục biểiu thị thớ dọc Cho chịu kéo hai lực ngược chiều nhaiư với cường độ p phân bố đểu diện tích A tiết diện hai đầu thanlh hình 3.1b Hợp lực p = pA lực phân bố nằm dọc theo trụic lực dọc N = p a) b) P=pA P=pA Hình 3.1 Sau chịu lực ta thấy (hình 3.1b): 94 Các đường kẻ vng góc với trục thắng vng góc với trục khoảng cách xa hofn Các đường kẻ song song với trục thẳng song song với trục Trên sở quan sát ta đề xuất giả thiết biến dạng th a m chịu kéo nén tâm: ỉ) Giả thiết tiết diện phẳng (Bernoiilli): trước sau chịu biến dạng kéo nén, tiết diện phẳng vng góc với trục 2) Giả thiết thớ dọc: trình biến dạng kéo nén, thớ dọc tức lớp vật liệu dọc trục khơng chèn ép, xơ đẩy có biến dạng dài S1.2 ứ n g suất tiết diện ngang Khi chịu lực dọc N ta có nhận xét sau; Theo giả thiết tiết diện phẳng, góc vng khơng đổi nên ứng suất tiếp tiết diện ngang khơng *• Theo giả thiết thớ dọc khơng chèn ép có biến dạng dài nên mặt song song với trục khơng có ứng suất pháp; tiết diện ngang có ứng suất pháp phân bố (hình 3.2.b) a) b) d) c) X N N i J- - 4* , ^)dz+Adz z Ơ=N/A ƠƠA Hình 3.2 Tieo cơng thức (5), mục (4.5) chươngở đầu ta có liên hệ thiàih phần lực dọc N với ứng suất pháp ơ(hình 3.2a); N = dA - ã A ô A clA = A "ừ ta suy cơng thức xác định ứng suất pháp: ơ= V(ới N (3.1) \ diện tích tiết diện ngang 95 Biểu đồ phẳng ứng suất pháp hình 3.2c Chú ý: * K h i lực đ ặ t ĩại i đ ấ u không p h ả i hệ lực plỉán b ố m ù lực ĩậ p trung chẳng hạn ĩiếĩ diện hai đầu (hanh không phẳng Theo nguyên lý Saint-Venanĩ, ĩiết diện xa hai đầu ĩlĩơnli vẩn plìẳng nên phép chấp nhận gỉd thiết ĩiếĩ diện phẳng * Trường hợp có t i ế t diện bị giám yếu cục bộ, chẳng hạn thanìx tiết diện chữ nhật có lổ khuyết hìnlĩ trịn hình 3.3 íìết diện bị giảm yếu phát sinh tượìig ĩập trung ứtĩg suất : ứỉìg suất pháp p không phân bố nià phân bố theo luật đường cong với giá trị iớỉĩ H ình 3 mép lỗ khuyết 3.1.3 ứ n g suất tiết diện nghiêng Thực mặt cắt nghiêng có pháp tuyến ngồi u hợp với trục theo góc a (hình 3.4a) ứhg suất mặt cắt phân bố bằng: N (3.2) Pz = với Aq diện tích mặt cắt nghiêng Phân tích Pz Aa = A (3.3) cosa thành hai thành phần theo hai phương u V, theo cách ký hiệu quy ước dấu nêu mục 4.2 chương mở đầu, ta được: ơi/ = P zí'o sa ; Tiiy = p^sina (3.4) Thay (3.3) vào (3.2), tiếp thay vào (3.4) ý tới (3.1), ta công thức ứng suất mặt cắt nghiêng: ứng suất pháp: ứng suất tiếp: 96 = N co s^a - c o s ^ a ; N hv - — c o sa sin a - — sin2a A (3.5) (3.6) Nhận xét: ♦ úhg suất pháp không a = 90°; đạt cực đại a = 0° với giá trị ♦ úhg suất tiếp không a = 0°: đạt cực đại a = 45° với giá trị 12 Xét mặt cắt nghiêng có pháp tuyến ngồi V vng góc với mặt cắt nghiêng có pháp tuyến ngồi u trênhình 3.4c úh g suất mặt căt nghiêng có pháp tuyến ngồi V xác định theo (3.5) (3.6) thay góc a ( a + 90°): • ứng suất pháp: ơy = c o s ^ ia +90°) = sin ^a ; (3.7) • ứng suất tiếp: Tyu - — sin2(a +90°) = - — s in la (3.8) Từ công thức (3.5) (3.7) ta thấy: ơ,t+ ơy= ơ(cos^a +sin^a) = = const (3.9) Như vậy, tổng ứng suất pháp hai mặt cắt vng góc với bất biến Tư công thức (3.6) (3.8) ta thấy, ứng suất tiếp hai mặt cắt vng góc \ới có giá trị nhứng ngược dấu: X ỵx> — (3.10) ~ T y ịị Đ5 tính chất đối i'úĩg lứig suất tiếp 3.2 BIẾN DẠNG VÀ CHUYỂN VỊ CỦA THANH 3.2.1 Biến d n g dài dọc trụ c Taeo giả thiết thớ dọc giả thiết tiết diện phẳng nêu mục 3.1.1, tách từ đoạn có chiều dài dz (hình 3.2d) thớ dọc doạn có độ dãn nhau: Adz - const Do đó: B.ến dang dài tỷ đối theo phương z: £, - = const (3.11) dz Kii làm việc giới hạn đàn hổi, theo định luật Robert Hooke giữẳmg suất biến dạng có liên hệ bậc nhất: o_ N , N e ^ = — c r = — ; nên s , = — (3.12) E A EA vái ỉ môđun đàn hỏi hay môđiin Young vật liệu (xem bảng 3.1) 97 Đối chiếu (3.11) (3.12) ta tìm biến dạng dài đoạn dz: Ndz Mz = EA Như vậy, biến dạng dài dọc trục có chiều dài / bằng: Ai - [ ảdz = \ - ^ d z (3.13) Trưcmg họfp đặc biêt, N EA khơng đổi tồn chiều dài biến dạng dài dọc trục bằng: Nỉ (3.14) EA Khi tỷ số NIEA không đổi đoạn có chiều dài lị, biến dạng dài Al = dọc trục toàn chiều dài bằng: (3.15) T M Tich số EA gọi độ cứng đơn vị chiều dài chịu kéo nén 3.2.2 Biến dạng dài theo phương ngang Khi chịu biến dạng tỷ đối dọc trục z £ theo phương JC, y vng góc với trục z phát sinh biến dạng ngang tỷ đối £y ngược dấu với £2 Các nghiên cứu thực nghiêm lý thuyết cho thấy độ lớn hai loại biến dạng tỷ đối tỷ lệ với Hệ số tỷ lệ gọi hộ số Poisson, ký hiệu ỊJ., phụ thuộc loại vật liệu: (3.16) Sx = Sy = - j J S Trong bảng (3.1) cung cấp giá trị hệ số |J tương ứng với số loại vật liệu thường gặp Bảng 3.1 Vật liệu Thép cán Hợp kim nhôm Gang xám Đổng Bê tông Gạch Gổ dọc thớ GỖ ngang thó Cao su 98 E [kN/cm2 (2 ^ , ) 10" ,72 10“ (1,15^ 1,6).10" (1 - 1,3).10“ (0 ,1 h-0,23).I0‘' 7,0.102 1.103 10 I 0,7 ^ 0,8 0,3 4- 0,33 0,26 -í- 0,36 0,23 0,27 0,31 - , ,1 ^ ,1 0,25 0,48 0,02 0,5 3.2.3 C huyển vị tiết diện Khi chịu kéo, nén tâm, trục \ ẫri tháng, tiết diện khịng có chuyền vị xoay mà có chuyên vị thắng doc trục Sai biết biến dạng dễ dàng tìni chui vị theo phương dọc trục theo lién hộ hình học (xem ví dụ 3.1) &//////////// /^3=6 cm^ D V í dụ 3.1 Cho có tiết diện thay đổi, chịu lực hình 3.5a o Vẽ biểu đồ lực dọc thanh; xác định ứng suất biến dạng tương ứng đoạn :hanh; tìm chuyển vị đầu A Cho biết: :hanh chế tạo từ vật liệu có m ơđui đàn hồi E =2.10"^ kN/cm- oco b) $ Af^5 cm^ 60 kN Ai=2cm^ t 20 kN 80 kN â 20 kN đ Hinh 3.5 BiỂu đồ lực dọc tìm hình 3.5b Cách xác định ứng suất biến dạng đoạn trình bày bảng 3.2 Bảng 3.2 Đom AB BC CD DE ứng suất [kN/cm2] a b = / = Biên dạng [cm] AIab = (20.80) / (2.10^.2) = 0,0400 = 20/5 = ,A1hc = (20.40)/(2.104.5) = 0,0080 ƠCD = 80 / = Aluc = (80.40) / (2.104.5) = 0,0320 a D E b c = / = 13,33 AIce = (80,40) / (2.104.6) = 0,0267 Chiyển vị đầu A tổng biến dạng Irong tìmg đoạn thanh: A a = 0,0040 + 0,0080 + 0,(B20 + 0.02Ờ7 = 0,1067 cm 3.3 c i c ĐẶC TRUNG c HỌC CỦA VẬT LIỆU Đ ể nghiên cứu khả chịu lực vật liệu nhằm xác định độ bền, độ cứng (ủa cơng trình ta cần tiến hành thí nghiệm kéo, nén tâm cá; loại vật liệu khác qua mẫu thử với thiết bị chuyên dụng Vật li;u đa dạng song vào tính chất làm việc khả biến dạng ti phân thành hai lọai chủ yếu: • VỊt liệu dẻo thép, n h ô m , bị phá hong biến dạng lớn • Vật liệu dịn gang, bêtơng, đá bị phá hỏng biến dạng nhỏ, qiá trình phá hỏng xảy đột ngột 99 Dưới mơ tả thí nghiệm kéo nén hai loại vật liệu nói a) 3.3.1 T h í n g hiệm kéo ^Oi^l - ì= Mẫu thí nghiệm kéo Mẫu chế tạo theo dạng - i io b) / hình trụ trịn (hình 3.6a) - hình lăng trụ tiết diện chữ nhật (hình í 3.6b), tiết diện hai đầu mẫu gia -t - 1: h _ L H ỉnh 3.6 cưèmg để kẹp mâm kẹp máy vạn mẫu bị phá hủy vết đứt xảy phần Chiều dài chuẩn ban đầu lo trền phần quy định chung là: • /o= (5-I0)do với mẫu hình trụ trịn có đưịfng kính tiết diện do; /o = (5 ,6 -1 ,3 ) > / v i c c m ẫ u h ìn h lă n g trụ tiết d iệ n c h ữ n h ậ t c ó d iệ n tích Ao tỷ số cạnh dài cạnh ngắn nằm phạm vi từ đến K ết thí nghiệm kéo vật liệu dẻo Mẫu thí nghiệm làm thép Sau đặt mẫu vào phận gây lực kéo máy vạn năng, ta tăng lực kéo với tốc độ chậm bảo đảm không phát sinh lực quán tinh, từ không mẫu bị phá hoại Trong q trình thí nghiệm, lực kéo p độ dãn dài Al đoạn /o xác định liên tục Với giả thiết ứng suất pháp phân bố tiết diện ngang, ta tính ứng suất tiết diện ngang = PIAo biến dạng dọc tương ứng £ = Al Ho, từ vẽ đồ thị kéo hệ tọa độ (a-s) hình la Trên máy thí nghiệm, đồ thị kéo vè tự dộng thiết bị tưcfng ứng Ta thấy đồ thị bao gồm ba giai đoạn: 100 * G iai đoạn tỷ lệ O A : Đồ thị dưèmg thẳng, quan hệ ứng suất biến dạng bậc nhất, tuân theo định luật Hooke, bicVi dạng giai đoạn nói chung nhỏ Trong giai đọan vật liệu có tính đàn hồi nên gọi giai đoạn đàn hồi, kết thúc A tUíTng ứng với giá trị ứng suất kéo ơiỊ Thực giới hạn tỷ lệ chút vật liệu cịn tính đàn hồi, ứng suất lớn mà vật liệu đàn hồi gọi giới hạn đàn hồi ơđhTrong thực tế, số vật liệu có đoạn OA cong, khơng đàn hồi mà có biến dạng dư bỏ hết lực Khi ta dùng giới hạn đàn hồi q u y ước CT0 05, tức ứng suất bỏ hết lực biến dạng dư tỷ đối 0,05% * G iai đ o n chảy B C C : Sau đoạn cong ngắn chuyển tiếp từ A đến B, đổ thị đường thẳng nằm ngang Lúc này, ứng suất kéo không tăng biến dạng tăng nên gọi giai đoạn chảy, ứng suất tưcmg ứng với giai đoạn gọi giới hạn chảy ơcì, Đơi thí nghiệm khơng hình thành đoạn cong AB Do tốc kéo không đủ chậm, bút ghi vạch đường thẳng OA vượt B hạ xuống, tạo nên đưịrng zích zắc độ dài BC C ' (hình 3.7b) Khi ta có hai điểm: giới hạn chảy giới hạn chảy Giới hạn chảv thể tính chất thực vật liệu nên quy ước xem giới hạn chảv vật liệu Trong thực tế, số vật liệu khơng có giai đoạn chảy rõ ràng Khi ta d ù n g g iớ i h n ch ả y q u y ước ƠQ tư n g ứng v i ứ iig suất bỏ h ế t lự c biến dạng dư tỷ đối 0,2% * G iai đ o n củ n g cố C ’DE: Qua giai đoạn chảy, vật liệu khơi phục, quan hệ (ơ-e) có dạng đường cong, lực lăug, dài thêm, tiết diện nhỏ dần Khi ứng suất đat tới íT/, tươnẹ ứiií! với điểm D đồ thị, đoạn mẫu phát sinh tiết diên giảm yếu bị thắt nhỏ lại đột ngột gọi "cổ thắt" trình bày hình 3.7a ứng suất tiết diện cổ thắt tăng nhanh, tốc độ tăng lực máy không tăng kịp với tốc độ biến dạng nên đồ thị xuống mẫu bị đi'rt tưcmg ứng với điểm E đồ thị Các đặc trư n g vật liệu kh ỉ chịu kéo Ba trị số giới hạn ƠỊi, ơch ƠỊ, đặc trưng học vật liệu Môđun đàn hồi E vật liệu xác định hệ số góc dồ thị giai đoạn tỷ lệ 101 Để đánh giá tính dẻo vật liệu ta sử dụng hai đặc trưng sau: • Độ dãn dài tỷ đối tính theo phần trãm: ỉ Độ thắt tỷ đối tính theo phần trăm: ¥ = ^ 100% đó: /y —chiều dài chuẩn mẫu chắp lại sau bị đứt; A j - diện tích tiết diện bị đứt mẫu (diện tích bị thắt) Hiện tượng biến cứng nguội Trong trình kéo mẫu vật liệu dẻo, ứng suất kéo cịn thấp ơ>/, giảm lực quan hệ ứng suất biến dạng dường OA đồ thị 3.7a Điều có nghĩa vật liệu làm việc giai đoạn đàn hồi, cất bỏ lực biến dạng đi, biến dạng gọi đàn hồi Khi ứng suất kéo vượt ơii, giả sử tới điểm M tương ứng với biến dạng tỷ đối đoạn OQ, giảm lực quan hệ ứng suất biến dạng không trở theo đường cũ M C C B A O đồ thị 3.7a mà theo đường M P song song với AO Sau cất bỏ lực tồn biến dạng tỷ đối đoạn OP Biến dạng gọi biến dạng dư biến dạng dẻo Sau đó, lại tăng lực kéo đồ thị theo sát đường PM D E Như vậy, giới hạn tỷ lệ vật liêu gia tăng, tượng gọi h iệ n tư ợ n g b iế n c ứ n g n g u ộ i, đ ợ c d ù n g kỹ th u ật n h m ộ t b iện p h áp công nghệ nhằm nâng cao giới hạn tỷ lệ Kết thí nghiệm kéo vật liệu dòn Đồ thị kéo (ơ-s) vật liệu dịn hlnh 3.8 Đồ thị có dạng cong, khơng hình thành giai đoạn tỷ lệ giai đoạn chảy Giới hạn thấp so với giới hạn vật liệu dẻo Biến dạng nhỏ, bị phá hủy đột ngột, không ninh thành cổ thắt Để áp dụng định luật Hooke, ta giả dịnh giai đoạn đoạn thẳng sử dụng giới hạn tỷ lệ quy ước 3.3.2 T h í nghiệm nén aj Hình 3.8 bì M ẩu thí nghiệm nén Mẫu chế tạo theo dạng hình trụ trịn (hình 3.9a) khối lập phương (hình 3.9b) Chiều cao 102 Hình 3.9 cùa m ẫu nén thường l đến 1,5 đường kính hay kích thước lớn đáy K ết th í nghiệm nén vật liệu dẻo M ẫu thí nghiệm làm thép, thường có dạng hình trụ trịn Sau đặt aj b) mẫu vào phận gây lực nén máy vạn ta đồ thị nén (cr-s) hình •i- 3.10a Đ thị hình thành ba giai đoạn: giai đoạn tỷ lệ, giai đoạn chảy giai đoạn Hình 310 củng cố Do đó, ta có giới hạn tỷ lệ, giới hạn chảy cịn giới hạn bền khơng xác định Lực tăng, mẫu bị ngắn lại nở rộng theo chiều ngang Diện tích tiết diện ngang tăng khả chịu lực mẫu tăng lên Mẫu thí nghiệm sau chịu nén có dạng hình trống đưcmg đứt nét hình S.lOb Thí nghiệm chứng tỏ giá trị giới hạn tỷ lệ giới hạn chảy kéo nén tương ứng nên xem khả chịu kéo chịu nén vật liệu dẻo K ết thí nghiệm nén vật liệu dịn 3) c) d) e) € Hình 3.11 Đồ thị quan hệ (ơ-e) mẫu chịu nén hình thànírm ột giai đoạn đường cong có độ cong nhỏ, gần thẳng hình 3.1 la Đồ thị kết thúc điểm D mẫu bị vỡ Nếu mâm nén mẫu khơng bơi trơn mẫu có dạng hình trống, hình thành vết nứt nghiêng 45° so với phương nén (hình 3.1 Ib); vật liệu bị bong dần quanh mẫu, cuối cịn lại hai hình chóp có đáy mặt tiếp xúc với mâm nén (hình 3.1ỈC, d) Nếu mâm nén mẫu bôi tran mẫu hình thành vết nút song song với phương nén hình 3.1 le 3.3.3 Các đặc trưng học sô vật liệu thường dùng Bảng 3.3 cung cấp giới hạn chảy giới hạn bền số vật liệu 103 Bảng 3.3 ơch [kN/cm2] b (kéo) [kN/cm2] ơb(nén) [kN/cm2] Thép CT 38 (CT3) 21 - -4 38 -4 Thép c r 51 (CT5) 26^29 Thép hợp kim 51 - 80 51 - 80 Đuy 45-5 -5 Gang xám 12-38 50-150 (6 ,5 ,5 )1 '^ 0,40 (78-245)10'^ 0,80 Vật liệu Bê tông GỖ 3.4 CÁ C Q UAN Đ IỂ M TÍN H TỐN K ẾT CẤU Để giải tốn kết cấu, quy trình thiết kế đưa nhiều quan điểm tính tốn, số có hai quan điểm sau: * Quơn điểm tính theo ứng suất cho phép * Quan điểm tính theo trạng thái giới hạn 3.4.1 Q uan điểm tính theo ứng suất cho phép Theo quan điểm này, khả chịu lực hệ bảo đảm giá trị ứng suất lófn chưa vượt giá trị gọi ứng suất cho phép ký hiệu dấu móc vng [ ] Trị số ứng suất cho phép phụ thuộc thể loại vật liệu tìm thực nghiệm Đối với chịu kéo, nén tâm, điều kiện bền mơ tả sau: ‘^max ^ [ ỉ H ệ sô' điều kiện làm việc m kết cấu, kể đến ảnh hưởng yếu tố bất lợi cho liên kết khơng xác cấu kiện v.v Tùy trường hợp cụ thể, hệ số có giá trị tưcmg ứng khác nhau, lớn hcfn nhỏ đơn vị Đặc trưng độ bền vật liệu sức chịu tính toán Rt vừa phụ thuộc đồng chất vật liệu vừa phụ thuộc điều kiện làm việc kết cấu, xác định sức chịu tiêu chuẩn Rtc (tức giới hạn chảy, giới hạn bền hay giới hạn mỏi tùy trường hợp) chia cho hệ số đồng chất k nhân với hệ số điều kiện làm việc m {m < 1): Rt = R , c Y kNhư vậy, điều kiện bền chịu kéo, nén tâm theo trạng thái giới hạn cường độ có dạng: N> (hình 3.13c) Từ hình vẽ ta dễ dàng tìm thành phần thẳng đứng chuyển vị A: Ay= Aabcos30‘’ + Aaccos60° = 0,06.0,866 + 0,02.0,5 =0,062 cm BÀ I T Ậ P CH Ư Ơ N G III III.l - III.3 Vẽ biểu đồ ứng suất dọc theo chiều dài trục xác định biến dạng dài tuyệt đối (hình III.1-III.3) E = 2.10-^ kN/cm2 10 kN CSI IkN ị P=20kN 20 kN o“ =5 cm^ ■A Ô Af^4 cm^ A=2cm^ T 40 kN -30 kN /77Ĩ77Ự7Ĩ77T /77/ 7777Ĩ77T A=10cm^ H ìn h I I I l III.4 2A H ìn h I1I.2