THANH CHỊU KÉO HOẶC NÉN ĐÚNG TÂM

Chương 3: Thanh chịu kéo nén tâm Chương 3: THANH CHỊU KÉO HOẶC NÉN ĐÚNG TÂM Mục tiêu chương: 3.1 KHÁI NIỆM Định nghĩa: Một gọi chịu kéo nén tâm mặt cắt ngang có thành phần nội lực lực dọc Nz - Nz > 0: hướng mặt cắt (thanh chịu kéo) - Nz < 0: hướng vào mặt cắt (thanh chịu nén) x Nz 1 z y P z y P x Nz P P a Thanh chịu kéo tâm b Thanh chịu nén tâm Hình 3.1 Thanh chịu kéo chịu nén tâm Thanh chịu kéo (nén) tâm chịu lực trái chiều hai đầu dọc trục Ví dụ: Trường hợp chịu lực dây cáp cần trục, trường hợp ống khói chịu nén trọng lượng thân, trường hợp chịu lực giàn, … 3.2 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG 3.2.1 Thí nghiệm: Ðể tính ứng suất mặt cắt ngang ta làm thí nghiệm với mặt cắt ngang chữ nhật chịu kéo tâm (Hình 3.2a) Trước cho chịu lực, vạch lên mặt đường thẳng song song với trục tượng trưng cho thớ dọc đường vng góc với trục tượng trưng cho mặt cắt ngang, chúng tạo thành mạng lưới ô vuông a P P b Hình 3.2: Biến dạng chịu nén tâm Sau tác dụng lực, bị biến dạng Quan sát thấy: đường thẳng song song vng góc với trục cịn song song vng góc với trục mạng lưới vng trở thành mạng lưới chữ nhật (Hình 3.2b) 3.2.2 Các giả thiết: Từ quan sát thí nghiệm, rút giả thiết tính chất biến dạng chịu kéo (nén) tâm: 38 Chương 3: Thanh chịu kéo nén tâm - Trong trình biến dạng mặt cắt ngang ln ln giữ phẳng vng góc với trục - Trong trình biến dạng, thớ dọc không ép lên không đẩy - Các thớ dọc có biến dạng (tuân theo định luật Hooke) 3.2.3 Ứng suất mặt cắt ngang: N z    z dA Lực dọc tổng ứng suất pháp: (2.4a) F Do thớ dọc giãn dài nên ứng suất pháp ζ z điểm mặt cắt ngang phải có giá trị nhau: ζz = const Từ cơng thức (2.4a) có: Nz = ζz.A N → z  z A (3.1) 2' Nz Với: → Nz : Lực dọc Nz Dấu ứng suất pháp ζz dấu với lực dọc Nz Nz dz → A : Diện tích mặt cắt ngang x Nz dF 2' dz z y Hình 3.3: Ứng suất mặt cắt ngang 3.3 BIẾN DẠNG CỦA THANH 3.3.1 Biến dạng dọc: 3.3.1.1 Định nghĩa: Biến dạng dọc biến dạng dài theo phương dọc trục 3.3.1.2 Xác định biến dạng dọc: Xét đoạn có chiều dài dz chịu kéo tâm, sau tác dụng lực bị dãn dài δdz: - Biến dạng dài tương đối đoạn dz: εz  dz dz (3.2a) - Theo định luật Hooke có biến dạng dài tương đối: εz  z E (3.2b) - Từ (3.2a) (3.2b) có biến dạng dài đoạn dz: dz   z dz  z N dz  z dz E E.A - Biến dạng dài tương đối chiều dài L: (3.2c) Nz dz L E.A L   dz   L N L Nz  const toàn chiều dài L: L  z E.A E.A N L N + Khi z  const đoạn chiều dài Li: L   L i   zi i E.A i E i A i + Khi 39 (3.3) (3.4) (3.5) Chương 3: Thanh chịu kéo nén tâm + Khi E.A = const tồn chiều dài L: Trong đó: L  N  E.A (3.6) → E : Môđun đàn hồi, phù thuộc vào vật liệu, có thứ nguyên [lực/(chiều dài)2], đơn vị N/m2 xác định từ thí nghiệm → E.A : Độ cứng kéo nén tâm → Ω(N): Diện tích biểu đồ lực dọc toàn chiều dài L 3.3.2 Biến dạng ngang: Khi chịu kéo nén tâm, biến dạng dọc, bị biến dạng ngang Biến dạng ngang biến dạng dài theo phương vuông góc với trục Nếu ta chọn z trục thanh, x y phương vng góc với z Các biến dạng tương ứng với phương εz, εx, εy chúng có mối quan hệ sau: εx = εy = - μ εz Trong đó: (3.7) → μ : Hệ số Poisson (hệ số nở ngang) có giá trị    0,5 → (-) : Biến dạng theo phương dọc ngang ngược B ng 3.1: M Vật liệu Thép (0,15-0,20)%C Thép lò xo Thép niken Gang xám Đồng Đồng thau Nhôm Gỗ dọc thớ Bêtông Cao su i h số Poisson c a số v t li u E (kN/cm2) μ 2.104 0,25-0,33 2,2.104 0,25-0,33 1,9.10 0,25-0,33 1,15.10 0,23-0,27 1,2.10 0,31-0,34 (1,0-1,2).10 0,31-0,34 (0,7-0,8).10 0,32-0,36 (0,08-0,12).104 0,08-0,18 0,8 0,47 1, V bi l c d c N z 2, Tính ng su t m t c t mỗ n X nh bi n d ng dài toàn phần c a Bi t: ng nh t có E = 2.104kN/cm.2 Ti t di n: A1 = 10cm2 A2 = 20 cm2 T i tr ng: P1 = 30kN ; P2 = 40kN ; P3 = 20kN 50cm : A2 P3 P2 50cm Cho ch u l 30cm 30cm 3.3.3 Ví dụ: A1 P1 40 Chương 3: Thanh chịu kéo nén tâm ♦ Lời giải: 1, Vẽ biểu đồ lực dọc Nz (Hình 3.4b): - Đoạn 1: N1 = + P1 = + 30kN - Đoạn 2: N2 = -P2 + N1 = -40 + 30 = -10kN - Đoạn 3: N3 = N2 = -10kN - Đoạn 4: N4 = + P3 + N3 = 20 – 10 = 10kN 2, Ứng suất mặt cắt đoạn: N1 30 N  10 - Đoạn 2:      kN/cm2  1 kN/cm2 A1 10 A1 10 N 10 3   - =-0,5kN/cm2 20 A2 A2 N 10 4    0,5 kN/cm P3 A 20 50cm - Đoạn 4: 3, Xác định biến dạng dài toàn phần ∆L: L   i  N zi L i N1.L1 N L N L N L     E i A i E.A1 E.A1 E.A E.A + 10kN - P2 50cm - Đoạn 3: 30cm 30cm - Đoạn 1: 1  30kN A1 10kN + 30kN 30 50  10 50  10 30 10 30     0,005 cm 2.10 4.10 2.10 4.10 2.10 4.20 2.10 4.20 P1 a b Hình 3.4: Biểu đồ lực dọc Nz Biến dạng dọc ∆L > có nghĩa bị dài 3.4 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG Để xác định ứng suất mặt cắt nghiêng có pháp tuyến hợp với trục góc α, tưởng tượng tách khỏi phân tố mặt cắt 1-1, 2-2 3-3 (Hình 3.5): u B α P P ζα.dA α α ηα.dA ζz.dA.cosα C Hình 3.5: Ứng suất mặt cắt nghiêng A v - Nếu gọi dA diện tích mặt cắt nghiêng AB diện tích mặt phẳng cắt BC dA.cosα - Mặt cắt nghiêng AB có hai thành phần: ứng suất pháp ζα ứng suất tiếp ηα Hợp lực chúng là: ζα.dA ηα.dA - Viết phương trình hình chiếu tất lực lên phương u v Ta có: σz    u = σ α dA - σ z dA.cosα.cosα =0 σ α = σ z cos α = 1+cos2α    v = τ dA σ dA.cosα.sinα =0 σ  α z   τ α = z sin2α   41 (3.8) Chương 3: Thanh chịu kéo nén tâm Từ công thức (3.8) rút nhận xét: - Ứng suất pháp ζα đạt giá trị lớn cos2α = (tức α = 0: mặt cắt nghiêng trở thành mặt cắt ngang) đạt giá trị nhỏ cos2α = -1 (tức α = π/2: mặt cắt nghiêng trở thành mặt cắt dọc) - Ứng suất tiếp ηα đạt giá trị lớn sin2α = (tức α = π/4) đạt giá trị nhỏ sin2α = -1 (tức α = 3π/4) Để thấy liên hệ ứng suất hai mặt cắt nghiêng vng góc, xét ứng suất mặt cắt nghiêng có pháp tuyến hợp với trục góc (α + π/2): z     1  cos 2  - Từ công thức (3.8), thay α (α + π/2) Ta có:  (3.9)       z sin 2  - Từ công thức (3.8) (3.9), rút kết luận: + Mặt cắt nguy hiểm chịu kéo nén mặt cắt ngang + Tổng ứng suất pháp hai mặt cắt nghiêng vng góc với số (luật bất biến ứng suất pháp) η>0 η tl): Q trình khơng thuận nghịch, biến dạng gồm phần đàn hồi phần không đàn hồi (gọi biến dạng dư hay biến dạng dẻo):  = đh + d ζ ζ K C ζch ζtl A H O εđh εd ∆L ε Hình 3.14: BD đàn hồi & BD dư vật liệu 3.6.2 Biến dạng cứng nguội: Ở thí nghiệm trên, vật liệu làm việc ngồi giới hạn đàn hồi, giảm ứng suất 0, đồ thị đạt điểm H (Hình 3.14) 45 Chương 3: Thanh chịu kéo nén tâm Nếu tăng tải, ứng suất tăng lên đồ thị tăng theo đường HK trình giảm tải lần trước, sau theo đường cong củng cố Hiện tượng gọi tượng biến cứng nguội Hiện tượng biến cứng nguội tượng làm tăng giới hạn tỷ lệ làm giảm độ dẻo vật liệu Trong thực tế, thường phải loại trừ tượng biến cứng nguội để khơi phục tính dẽo ban đầu vật liệu có lúc lợi dụng tượng để tăng bền bề mặt chi tiết (như chế tạo thép cường độ cao hay thi công bêtông ứng suất trước) 3.6.3 Ảnh hƣởng thời gian - Hiện tƣợng từ biến tƣợng chùng ứng suất: Theo thời gian, tác động bên ngồi lên vật thể khơng thay đổi, ứng suất biến dạng vật thể có thay đổi: - Nếu ứng suất vật thể số biến dạng vật thể thay đổi theo thời gian tượng từ biến (Hình 3.16a) - Nếu ứng suất vật thể thay đổi theo thời gian biến dạng vật thể số tượng chùng ứng suất (Hình 3.16b) εP ζP a εP0 ch b ζ0Pch P = const ζ = const O t ε ==const const P O t Hình 3.16: Ảnh hưởng thời gian đến vật liệu a, Đường cong từ biến b, Đường cong chùng ứng suất 3.6.4 Ảnh hƣởng nhiệt độ - Hiện tƣợng lƣu biến Nhiệt độ yếu tố ảnh hưởng lớn đến tính chất vật liệu: - Ở nhiệt độ thấp, tính dẻo vật liệu giảm, tính giịn tăng - Ở nhiệt độ cao, đặc trưng học phần lớn vật liệu bị giảm 3.7 PHƢƠNG PHÁP TÍNH ĐỘ BỀN CỦA KẾT CẤU THEO ỨNG SUẤT CHO PHÉP 3.7.1 Ứng suất cho phép [σ]: Trong thực tế, tải trọng đặt lên cơng trình vượt q tải trọng thiết kế, điều kiện làm việc cơng trình chưa xét cách đầy đủ Vì vậy, tính tốn độ bền kết cấu cơng trình, để đơn giản thiên an toàn, ứng suất tổ hợp ứng suất phát sinh vị trí kết cấu khơng vượt q trị số giới hạn xác định Trị số gọi ứng suất cho phép xác định theo công thức:    (3.12) n Với: + ζ0: Ứng suất nguy hiểm, xác định trực tiếp từ thí nghiệm, phù thuộc loại vật liệu → Ðối với vật liệu giòn, ứng suất nguy hiểm ζ0 giới hạn bền → Đối với vật liệu dẽo ứng suất nguy hiểm ζ0 giới hạn chảy + n : Hệ số an tồn, có ý nghĩa mặt kỹ thuật kinh tế, thường nhà nước quy định Hệ số an toàn phù thuộc vào yếu tố sau: 46 Chương 3: Thanh chịu kéo nén tâm → Phương pháp công nghệ sản xuất vật liệu, thi công kết cấu → Mức độ tin cậy số liệu tải trọng → Phương pháp kết tính tốn → Điều kiện làm việc cụ thể kết cấu → Ý nghĩa kinh tế, xã hội cơng trình 3.7.2 Điều kiện bền ba toán bản: Muốn đảm bảo làm việc an toàn chịu kéo nén tâm, ứng suất phải thỏa mãn điều kiện bền: “ Ứng suất lớn mặt cắt ngang chịu kéo nén tâm không đƣợc vƣợt ứng suất cho phép”:  max  N   A max (3.13) Từ điều kiện bền, có ba dạng tốn bản: 3.7.2 Kiểm tra bền: - Các số liệu cho trước: Ứng suất cho phép [ζ] vật liệu, tiết diện A thanh, tải trọng tác dụng N - Kiểm tra điều kiện bền theo công thức (3.13) - Nhận xét kết kiểm tra: Sau xác định ứng suất lớn nhất, đem so sánh ứng suất với ứng suất cho phép: + Nếu     max  5%. : Cơng trình đạt điều kiện an toàn + Nếu    max  5%. : Cơng trình q an tồn (thừa bền), khơng tiết kiệm 3.7.2 Chọn kích thước cho mặt cắt: - Các số liệu cho trước: Ứng suất cho phép [ζ] vật liệu, tải trọng tác dụng N N - Từ điều kiện bền (3.13) tìm kích thước tiết diện: (3.13a) A  3.7.2 Xác định tải trọng cho phép: - Các số liệu cho trước: Ứng suất cho phép [ζ] vật liệu, tải trọng tác dụng N N  A. - Từ điều kiện bền (3.13) tìm tải trọng cho phép tác dụng: (3.13b) 3.7.3 Ví dụ: Cho h , xác nh t i tr ng cho phép [P] u ki n b n c a 1, 2, Cho bi t [σ] = 16kN/cm2, A1 = cm2, A2 = 1cm2, A3 = 2cm2 47 P 45 A a B a C a Chương 3: Thanh chịu kéo nén tâm ♦ Lời giải: - Xác định lực dọc N1, N2, N3 thanh: + Xác định N1: ∑Y = → N1 = P + Xác định N2: ∑MB = → P.a + N2.a.cos45 = → N  + Xác định N3: ∑X = → N3 = N2.cos45 =  45 A a B P C a N1 A N2 P 2 P P  P cos 45 a N2 C B N3 Hình 3.17: Phân tích lực tác dụng lên hệ - Từ điều kiện bền, xác định tải trọng cho phép [P] 1, 3: + Thanh 1: 1  .A1  16.2  16 kN N1 2P     P  A1 A1 2 + Thanh 2:   + Thanh 3: 3  N2 P .F2  16.1  11,3kN     P  F2 F2 2 N3 P     P  .A  16.2  32 kN A3 A3 (1) (2) (3) Từ giá trị (1), (2), (3) có P = 11,3kN 3.8 BÀI TỐN SIÊU TĨNH 3.8.1 Định nghĩa: Bài toán siêu tĩnh tốn với phương trình cân tĩnh học không đủ để giải tất phản lực hay nội lực hệ 3.8.2 Cách giải: Để giải tốn siêu tĩnh, ngồi phương trình cân tĩnh học cần bổ sung thêm phương trình mơ tả điều kiện biến dạng hệ (gọi phương trình biến dạng) cho tổng số phương trình thiết lập vừa đủ số ẩn phản lực hay nội lực cần tìm 48 Chương 3: Thanh chịu kéo nén tâm ò Ví dụ: Cho dầm ch u kéo nén có ti t di a/2 E d a/2 P D ng ch t (Hình v ) a/2 3a/2 4P B C A D = 2d X [P] dầm b n bi ớc d = 2cm; a = 0.5m [σ] = 16 N/ ♦ Lời giải: - Giải phóng liên kết E E xuất lực dọc NE (giả sử NE lực kéo) - Xác định lực dọc đoạn: + NDB = NE – P + NED = NE + NBA = NE + 3P - Tìm NE : + Biến dạng E 0, có: L E  N  P.a N  P .a N  3P.3a  N E a  E DC  E CB  E ED 2E.A 2E.A 2E.A 2E.A AB + Triển khai tính toán kết quả: NE = - P/3 16 P 8P  16 P  - Ứng suất lớn phát sinh dầm:  max    AC ;  CE  max  max  3d 3d  d  - Xác định [P]:  max 16 P 3d      P   37.68KN Vậy [P] = 37.68KN 3d 16 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƢƠNG 1, Thế chịu kéo (nén) tâm ? Cho ví dụ 2, Các dạng biến dạng chịu kéo (nén) tâm cách xác định chúng? 3, Nêu số tượng phát sinh vật liệu chịu lực cho ví dụ với tượng? 4, Cho biếu điều kiện bền toán chịu kéo (nén) tâm 5, Vì nói kéo nén tâm dạng chịu lực hợp lý thanh? F1 F2 BÀI TẬP THỰC HÀNH CHƢƠNG Bài 3.1: Cho chịu lực (Hình 3.18) Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất pháp chuyển vị mặt cắt 49 2P B A l F3 E D C l/2 P = 20 kN l/2 l Hình 3.18: H×nh 2.2Bài tập 3.1 Chương 3: Thanh chịu kéo nén tâm Bài 3.2: Cho chịu kéo (nén) tâm (Hình 3.19) Vẽ biểu đồ lực dọc ứng suất pháp tính chuyển vị điểm A b) B c) 60 kN P F = cm 0,8m 60 kN 2m P = 20 kN E = 2.104 kN/cm2 F = 10 cm a = 0,5 m q = 15 kN/m F = cm 10 kN 0,4m 2m 2a a A P F = cm 0,4m 40 kN 2a P 2P B 0,4m A 2m a a) E = 2.104 kN/cm2 q = 15 kN/m E = 1.104 kN/cm2 F = 40 cm A 20 kN B Hình 3.19: Bài tập 3.2 H×nh 2.1 Bài 3.3: Cho hệ thống chịu lực (Hình 3.20) Xác định kích thước mặt cắt ngang đánh số hình vẽ, biết ứng suất cho phép [] = 16000 N/cm2 Hình 3.20: Bài tập 3.3 Bài 3.4: Cho dầm siêu tĩnh (Hình 3.21) Xác định: a, Vẽ biểu đồ lực dọc Nz A B a b, Vẽ biểu đồ ứng suất pháp ζz qa a C D D = 2d E qa a a Hình 3.21: Bài tập 3.4 50 d