Slide Động lực học công trình_chương 2

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: P(t) mn mk M(t) mi m2 m1 yk (t) yi (t) yn (t) y2 (t) y1 (t) (a) Xét dao động khung không trọng lượng mang khối lượng tập trung (hình a) Chịu lực kích thích thay đổi theo thời gian Bỏ qua biến dạng dọc khung, ta có toán dao động có n bậc tự CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: P(t) mn mk M(t) mi m2 m1 yk (t) yi (t) yn (t) y2 (t) y1 (t) (a) Zk(t) P(t) M(t) R2(t) Rk(t) Zi(t) Z2(t) R1(t) Z1(t) Ri(t) Zn(t) Rn(t) (b) Xét thời điểm t tác dụng lực: * Lực kích thích: M(t), P(t), q(t) Zk ( t ) = −mk yk ( t ) * Lực quán tính: * Lực cản: Rk(t) CHƯƠNG 2: 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: P(t) mn mk M(t) mi m2 m1 (a) yk (t) yi (t) y2 (t) y1 (t) yn (t) Zk(t) P(t) M(t) R2(t) Rk(t) Zi(t) Z2(t) R1(t) Z1(t) Ri(t) (b) Zn(t) Rn(t) δk δi δ2 δn Zi=1 δ1 (c) Gọi δ ki chuyển vị khối lượng Z = tác dụng tĩnh gây ra: ∆ kP(t) chuyển vị khối lượng mk lực kích thích gây Xem hệ đàn hồi tuyến tính, chuyển vị nhỏ: CHƯƠNG 2: 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: P(t) mn mk M(t) mi m2 m1 (a) yk (t) yi (t) y2 (t) y1 (t) yn (t) Zk(t) P(t) M(t) R2(t) Rk(t) Zi(t) Z2(t) R1(t) Z1(t) Ri(t) (b) Zn(t) Rn(t) δk δi δ2 δn Zi=1 δ1 (c) Phương trình chuyển vị khối lượng: yk ( t ) = δ k1 [Z1 ( t ) − R1 ( t )]+ δ k [Z2 ( t ) − R2 ( t )]+ + Zkn [Zn ( t ) − Rn ( t )]+ ∆ kP ( t ); k = 1,2 ,3, ,n CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: yk ( t ) + δ k1 [ m1 y1( t ) + R1( t )] + δ k [ m2 y2 ( t ) + R2 ( t )] + + + δ kn [ mn yn ( t ) + Rn ( t )] − ∆ kP ( t ) = ; k = 1, , , n Đây phương trình vi phân tổng quát mô tả dao động cưỡng có kể đến lực cản hệ có bậc tự n CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.2 Dao động riêng không lực cản: Không kể đến lực kích thích lực cản Phương trình viết lại sau: m1 δ k1 y1 ( t ) + m2 δ k y2 ( t ) + + mn δ kn yn ( t ) + yk ( t ) = Nghiệm tổng quát thứ k phương trình biểu thị dạng tổng nghiệm riêng: yk ( t ) = n n i i =1 ∑ yki( t ) = ∑ yki Fi ( t ) yki : số chưa biết; Fi(t): hàm số phụ thuộc thời gian t, chưa xác định CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.2 Dao động riêng không lực cản: Với nghiệm riêng thứ i, khối lượng ta có: y1i ( t ) = y1i Fi ( t ), y2i ( t ) = y2i Fi ( t ), , yni ( t ) = yni Fi ( t ) y1i y2i m1 yii yki yni m2 mi m k m n Điều chứng tỏ tỷ lệ chuyển vị khối lượng không phụ thuộc vào thời gian t Đường cong tạo tung độ y1i , y2i , … đường cong đàn hồi dầm dạng thứ i dao động riêng CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.2 Dao động riêng không lực cản: Đạo hàm nghiệm riêng thứ i thay vào phương trình bản, ta thu được: ( m1δ 11 − ui ) m2δ 12 m1δ 21 ( m2δ 22 − ui ) D= m1δ n1 m δ n2 Trong đó: mnδ 1n mnδ n =0 ( mnδ nn − ui ) ui = ωi Phương trình gọi phương trình tần số phương trình kỷ Giải hệ ta thu giá trị ui,Từ giá trị ta tìm tần số dao động riêng ω i (phổ tần số dao động riêng) CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.3 Dạng dao động riêng: Đạo hàm nghiệm riêng thứ i thay vào phương trình bản, ta thu được:  ( t ) + y F ( t ) = [ m1δ k1 y1i + m2δ k y 21 + + mnδ kn yni ] F i ki i ⇒ i ( t ) F = Fi ( t ) − yki m1δ k1 y1i + m2δ k y2i + + mnδ kn yni Vế trái phụ thuộc vào thời gian t, vế phải phụ thuộc vào kết cấu, vị trí trị số khối lượng, nên tỷ số số -ω i2  ( t ) + ω F ( t ) = F i i i [ m1δ k1 y1i + m2δ k y21 + + mnδ kn yni ] ω i − yki = CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.3 Dạng dao động riêng:  Như hệ có n bậc tự luôn tìm n giá trị tần số dao động riêng Ứng với tần số dao động riêng ω i có dạng dao động xác định chuyển vị y1i, y2i, …, yni khối lượng Phương trình dao động khối lượng thứ k với tần số ω i có dạng: yki ( t ) = yki sin( ωi t + ϕi ) Phương trình dao động tổng quát khối lượng thứ k: n yk ( t ) = ∑ yki sin(ωi t + ϕi ) i =1 2.4.1 Biểu thức nội lực, chuyển vị: Do có lực cản nên sau khoảng thời gian dao động riêng hệ biến mất, hệ dao động bình ổn dao động với chu kỳ tần số lực kích thích Đại lượng Lực kích thích thứ j Chuyển vị k lượng mi Lực quán tính mi Nội lực tiết diện k Chuyển vị tiết diện k Phương trình dao động Pj (t ) = Poj sinθ t y i (t ) = sinθ t Zi (t ) = − mi yi (t ) = 2 miθ sinθ t = miθ yi (t ) Sk(t ) = Sk sinθ t ∆k(t ) = ∆ k sinθ t Ở thời điểm, hệ chịu tác dụng lực quán tính lực kích thích đặt khối lượng Theo nguyên lý cộng tác dụng, nội lực tiết diện k bất kỳ: Sk (t ) = Sk1Z1 (t ) + Sk Z2 (t ) + + SknZn (t ) + SkP (t ) Ở trạng thái biên độ (thời điểm xảy biên độ): Sk = Sk1Z1 + Sk Z2 + + SknZn + SkP Sk1 - nội lực tiết diện thứ k lực Zi = tác dụng tĩnh vị trí khối lượng mi; Zi – biên độ lực quán tính khối lượng mi; SkP – nội lực tiết diện thứ k biên độ lực kích thích P0i tác dụng tĩnh hệ Tương tự, ta có biểu thức xác định biên độ chuyển vị động tiết diện k: ∆ykđ = ∆đk = δ k1Z1 + δ k Z2 + + δ knZn + ∆ kP δ ki – chuyển vị đơn vị tiết diện k lực Zi = tác dụng tĩnh khối lượng mi; ∆ kP – chuyển vị tiết diện k biên độ lực kích thích P0i tác dụng tĩnh hệ ⇒ Để áp dụng biểu thức nói ta cần phải xác định biên độ lực quán tính Zi 2.4.2 Hệ phương trình tắc để xác định biên độ lực quán tính: Khi chịu lực kích thích P(t) =Psinθ t, chuyển vị khối lượng mk thời kỳ bình ổn có dạng: y k(t ) = ak sinθ t Lực quán tính khối lượng mk: Zk (t ) = − mk yk (t ) = mkθ ak sin θ t = mkθ yk (t ) ⇒ Z k (t ) yk (t ) = mkθ 2.4.2 Hệ phương trình tắc để xác định biên độ lực quán tính: Không kể đến lực cản, phương trình chuyển động khối lượng mk có dạng: yk (t ) = δ k1Z1 (t ) + δ k Z2 (t ) + + δ kk Zk (t ) + + δ knZn (t ) + ∆ kP (t ) Phương trình chuyển động khối lượng thứ k: δ k1Z1 + δ k Z2 + + (δ kk − + + δ knZn + ∆ kP = ) Zk mkθ Lần lượt cho k = 1, 2, …, n ta thu hệ phương trình: 2.4.2 Hệ phương trình tắc để xác định biên độ lực quán tính: + δ + + δ + ∆ = (δ11 − ) Z Z Z 0, 12 1 n n P m1θ δ 21Z1 + (δ 22 − + + δ n Zn + ∆ P = 0, ) Z2 m2θ δ n1Z1 + δ n2 Z2 + + (δ nn − + ∆ nP = ) Zn mnθ hệ trình tắcchiều để xác chiều lựcphương quán tính hướng theo giảđịnh địnhbiên •Zi > 0,Đây độ lực quán tính Zi với i = 1, 2, …, n • Zi [...]... y21( t ) = y21a1 sin( ω1t + ϕ1 ) y21( t ) = -0,6587a1 sin( 65 ,69t + ϕ1 ); EI EI 2m 2m 2m 2m m2 m1 m1 y21 = 0,6587 Tương tự với ω 2 = 99,1 1/s: δ 21 m1 y 12 + ( δ 22 m2 − u2 )y 22 = 0 2EI 2EI 3m ( δ 11m1 − u2 )y 12 + δ 12 m2 y 22 = 0 m2 m1 EI EI 2m 2m 2m 2m Cho y 12 = 1  y 22 = 3,037 Dạng chính thứ hai của dao động riêng và chuyển vị tương ứng của các khối lượng như hình vẽ y 12( t ) = y12a2 sin( ω2t + 2. .. m1=3m EI l m2=m l l Z1=1 2l ( M1 ) Z2=1 ( M2 ) ω1 y11=1 2 y 12= 1 m1 y21=3 m2 m2 y 22= -1 m2 m1 2EI 2EI EI 3m Ví dụ 3: Tìm các tần số dao động riêng và các dạng dao động riêng chính của khung như hình vẽ Cho biết EI = 34,8.104 N.m2, m = 1000/g.Ns2/m m1 = 2m, m2 = m 2, 86 EI 2m 2m Z1=1 5 ,2 2m 2m 3, 12 2,08 Hệ có hai bậc tự do, Phương trình tần số có dạng: δ 12 m2 ( δ 11m1 − ui ) =0 δ 21 m1 ( δ 22 m2 − ui )... =0 δ 21 m1 ( δ 22 m2 − u ) 2 = ⇒ u 2 − u( δ 11m1 + δ 22 m2 ) + m1m2 ( δ 11δ 22 − δ 12 ) 0 Vẽ các biểu đồ mô men uốn đơn vị Z1 = 1, Z2 = 2 Xác định các chuyển vị δ 11, δ 12, δ 21 , δ 22 Ví dụ 2: Tìm các tần số dao động riêng và các dạng dao động riêng chính của dầm công xôn trên hình vẽ Cho biết EI = const l l 2l l3 δ 11 = ( M 1 )( M 1 ) = = 2 EI 3 3 EI δ 22 2l 2l 2. 2l 8l 3 = ( M 2 )( M 2 ) = = 2 EI... ω2t + 2 ) y 12( t ) = a1 sin( 99 ,10t + 2 ); y 22( t ) = y22a2 sin( ω2t + 2 ) y 22( t ) = 3,037a2 sin( 99 ,10t + 2 ); m1 y 12 = 1 y21 = 0,6587 m1 y 12 = 1 y 22 = 3,037 Phương trình dao động tổng quát của các khối lượng: y1 ( t ) = y11 a1 sin( ω1t + ϕ1 ) + y 12 a2 sin( ω 2 t + ϕ 2 ) = = a1 sin( 65 ,69.t + ϕ1 ) + a2 sin( 99 ,1.t + ϕ 2 ) y2 ( t ) = y21 a1 sin( ω1t + ϕ1 ) + y 22 a2 sin( ω 2 t + ϕ 2 ) = = -0,6587... số dao động riêng ứng với dạng dao động đối xứng: m1 m2 δ − δ 12 ( ui ) 11 2 2 m1 m2 δ 21 ( δ 22 − ui ) 2 2 m1 m2 δ ( n−1)1 δ ( n−1) 2 2 2 m1 m2 δ n1 δ n2 2 2 mn−1 mn δ1( n−1) δ1n 2 2 mn−1 mn δ 2( n−1) δ 2n 2 2 mn−1 mn δ − δ ( n−1) n ( ui ) ( n−1)( n−1) 2 2 mn−1 mn δ n( n−1) ( δ nn − ui ) 2 2 Giải phương trình này ta thu được n giá trị của phổ tần số dao động riêng ứng với n dạng dao động riêng... m1 = m2 = m Tìm các tần số dao động riêng? m1 m2 Phương trình tần số cho l/3 l/3 l/3 bài toán 2 khối lượng: δ 12 m2 ( δ 11m1 − u ) =0 δ 21 m1 ( δ 22 m2 − u ) Z1=1 2l / 9 Z2=1 2l / 9 2 = ⇒ u 2 − u( δ 11m1 + δ 22 m2 ) + m1m2 ( δ 11δ 22 − δ 12 ) 0 33 4l 3 7l 3 5ml ; δ = δ ml δ 11 ⇒= δu 221 == ; u 122 = 21 = 24 3 162EI EI 486 486 EI EI Ví dụ 1: Cho dầm như hình vẽ với m1 = m2 = m Tìm các tần số dao động riêng?... ω1 = = 65 ,69 1 / s u1 2 = 1 = 99 ,1 1 / s u2 Chu kỳ dao động: m2 m1 2EI 2EI 3m Thay các giá trị tìm được vào phương trình tần số ta thu được: EI 2m EI 2m 2m 2m 2 2 = 0 ,0956 ; T2 = = 0 ,0634 T1 = ω1 2 Với ω 1 = 65,69, ta có: ( δ 11m1 − u1 )y11 + δ 12 m2 y21 = 0 δ 21 m1 y11 + ( δ 22 m2 − u1 )y21 = 0 Cho y11 = 1  y21 = - 0,6587 m2 m1 2EI 2EI 3m Dạng chính thứ nhất của dao động riêng và chuyển vị... m1 m2 Tần số dao động l/3 l/3 l/3 riêng được xác định: Z1=1 2l / 9 1 EI ω1 = = 5 ,69 u1 ml 3 1 EI 2 = = 22 u2 ml 3 Z2=1 2l / 9 m1 m2 m1 m2 Ví dụ 2: Tìm các tần số dao động riêng và các dạng dao động riêng chính của dầm công xôn trên hình vẽ Cho biết EI = const Giải: l l m2=m m1=3m EI l Z1=1 2l ( M1 ) Z2=1 ( M2 ) Hệ có bậc tự do là 2, dao động không cản, phương trình tần số dao động có dạng: δ 12 m2... Z2 = 1 8,97 0,78 3,90 (M1).1/13 6 ,24 Z2=1 2, 34 9,68 (M2).1/13 0 ,356 )= EI 0 δ 22 = ( M 2 )( M 2 ) = 0 , 426 6 EI 0 δ 11 = ( M 1 )( M 1 δ 12 = 0 δ 21 = ( M 1 )( M 2 )= 0 , 12 EI m2 m1 2EI 2EI 3m Để xác định các chuyển vị δ ik ta tạo các trạng thái khả dĩ và vẽ các biểu đồ mô men uốn đơn vị (M1o) và (M2o) tương ứng trong hệ cơ bản Áp dụng các nhân biểu đồ: EI EI 2m 2m 2m 2m P=1 1 o (M 1 ) P=1 1 o (M 2) ... EI δ 12 5l 3 = δ 21 = ( M 1 )( M 2 ) = 6 EI 1 EI ⇒ ω1 = = 0 ,5345 , 1/ s 3 u1 ml m2=m m1=3m EI l l l Z1=1 2l ( M1 ) Z2=1 ( M2 ) ; ω 2 = 2 ,5 EI ml 3 , 1/ s Xác định các dạng chính của dao động: ( δ 11m1 − u1 )y11 + δ 12 m2 y21 = 0 δ 21 m1 y11 + ( δ 22 m2 − u1 )y21 = 0 Cho y11 =1  y21 = 3 Tương ứng với ω 2, cũng thực hiện tương tự như trên, cho y 12 = 1 ta sẽ tìm được dạng chính thứ hai của dao động riêng ... δ 12 m2 ( δ 11m1 − u ) =0 δ 21 m1 ( δ 22 m2 − u ) Z1=1 2l / Z2=1 2l / = ⇒ u − u( δ 11m1 + δ 22 m2 ) + m1m2 ( δ 11δ 22 − δ 12 ) 33 4l 7l 5ml ; δ = δ ml δ 11 ⇒= δu 221 == ; u 122 = 21 = 24 3 162EI... δ 11m1 − u2 )y 12 + δ 12 m2 y 22 = m2 m1 EI EI 2m 2m 2m 2m Cho y 12 =  y 22 = 3,037 Dạng thứ hai dao động riêng chuyển vị tương ứng khối lượng hình vẽ y 12( t ) = y12a2 sin( ω2t + 2 ) y 12( t ) =... ϕ1 ); y21( t ) = y21a1 sin( ω1t + ϕ1 ) y21( t ) = -0,6587a1 sin( 65 ,69t + ϕ1 ); EI EI 2m 2m 2m 2m m2 m1 m1 y21 = 0,6587 Tương tự với ω = 99,1 1/s: δ 21 m1 y 12 + ( δ 22 m2 − u2 )y 22 = 2EI 2EI 3m