Slide động lực học công trình_Chương 4

CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.1 Phương pháp lượng Rayleigh: Tổng U động K thời điểm số (bỏ qua tổn thất lượng): U + K = const Khi hệ dao động điều hòa, thời điểm xa vị trí cân đạt Umax, động K = 0, vị trí cân động đạt Kmax, U = 0: Umax + = + Kmax Xét hệ mang khối lượng phân bố m(z) khối lượng tập trung m1, m2, m3,… hình vẽ, dao động theo phương trình: yi ( z , t ) = yi ( z ) sin(ω i t + ϕ i ) m(z)dz m1 z z1 m(z) mj mn dz Biểu thức hệ kể đến ảnh hưởng biến dạng uốn có dạng: U = ∑∫ M ( z) dz EI ∂ y( z, t ) M ( z) =− Do , ∂z EI U = ∑∫ EI ∂ y ( z , t ) EI ′′ − = ω + ϕ [ ] d [ y ( z ) sin( t )] dz ∑ z i i i ∫ ∂z 2 U max = ∑ ∫ EI[ y′i′( z )] dz Động hệ: z j j mv m( z )v K = ∑∫ dz + ∑ 2 Từ phương trình dao động ta có: ∂y ( z, t ) = yi ( z)ω i cos(ω i t + ϕ i ) vz = ∂t  Vzmax = yi(z)ω i , ∂ y ( zj , t ) = yi ( zj )ω i cos(ω i t + ϕ i ) vj = ∂t  Vjmax = yi(zj )ω i , ω i2 2 = + K max [∑ ∫ m( z ) yi ( z )dz ∑ m j yi ( z j )] j Thay vào phương trình Rayleigh: ω i2 = ′ ′ ∑ ∫ EI[ yi ( z )] dz + ∑ ∫ m( z ) y ( z)dz ∑ mj yi ( z j ) i j Để xác định ω i ta cần biết trước dạng dao động thứ i hệ Nếu yi(z) đường đàn hồi trọng lượng khối lượng đặt hệ gây Umax hệ xác định công ngoại lực Tmax: m j yi ( z j ) m( z ) yi ( z ) U max = Tmax = ∑ ∫ g dz + ∑ g 2 j ⇒ ω i2 = ∑ ∫ g.m( z ) y ( z )dz + ∑ g.m y ( z i ∑ ∫ m( z ) y j j i i j ( z )dz + ∑ m j y ( z j ) i j ) Ví dụ1: Tìm tần số dao động riêng dầm đơn giản có nhịp l, mang khối lượng phân bố m khối lượng tập trung m1 = 18ml/35 đặt nhịp EI m1 l/2 m l /2 Giải: Chọn dao động dầm đường đàn hồi lực P đặt nhịp gây ra: 3 − − Pl 3l z z 3l z z = y( z) = f , 3 48 EI l l Với giá trị: ≤ z ≤ l/2, f độ võng dầm 24 z y′′( z ) = f (− ) l Áp dụng công thức vừa thành lập: l/2 24 2 ∫ EI[ f (− )] dz l 48 EI ω = l/2 = − ml 3l z z 18 2 ∫ m[ f ]dz + mlf l 35 ,9282 ⇒ ω= l EI m 1/ s Nếu sử dụng công thức thứ 2, đường đàn hồi dầm chọn trên, song f phải độ võng dầm nhịp trọng lượng dầm trọng lượng khối lượng tập trung m1 gây ra: 4 Pl 5ql 319 mgl + = f= 48 EI 384 EI 13440 EI Sau thay vào biểu thức ta tìm được: ,9282 ⇒ ω= l2 EI m 1/ s * Nếu dầm không mang khối lượng tập trung m1 = Chọn dạng dao động: iπ z yi ( z ) = f sin l 2 π πz i i EI[− f sin ] dz ∫ 4 l l i π EI ωi = = l π ml i z ∫ m[ f sin l ] dz π EI 9,8696 EI = i = ⇒ ω1 = / s, l m l m 2π EI 39,4786 EI = i = ⇒ ω2 = / s, l m l m l Nếu tính theo công thức thứ hai, đường đàn hồi chọn f độ võng dầm: l f= mg 384 EI Với i = ta có: ω1 = Sai số 0,19% ⇒ ωi = g 2.(1 − cos iπ ) f i.π g 9,8886 = π.f l EI m * Nội dung phương pháp: Xét dầm mang khối lượng phân bố m(z) khối lượng tập trung mj hình vẽ Nếu dạng thứ k dao động xác định phương trình y(z) lực quán tính khối lượng hệ là: = ω q ( z ) m( z ) k yk ( z ), = ω z j m j k yk ( z j ) m(z) m1 mj q(z) = m(z)ω 2k yk(zj) yk(z) zj = mj(z)ω 2k yk(zj) mn Nếu giảm lực quán tính tác dụng hệ xuống ω 2k lần: q z ( 1) ( 1) j = m( z ) yk ( z ), = m j yk ( z j ) Do phương trình đường đàn hồi hệ y(1)k(z) lực quán tính gây giảm xuống ω 2k lần so với ban đầu ωk = yk ( z ) ( 1) yk ( z ) m(z) m1 mj mn q(z) = m(z)ω 2k yk(zj) yk(z) zj = mj(z)ω 2k yk(zj) q(1)(z) = m(z) yk(zj) y(1)k (z) Z(1)j(z) = mj yk(zj) ωk = yk ( z ) ( 1) yk ( z ) Vì hàm yk(z) chưa biết nên lần tính gần thứ cần giả thiết dạng dao động hàm ϕ k(z) xác định giá trị gần thứ tần số dao động riêng theo công thức: ω ( 1) k ϕ k ( z) = ( 1) ϕ k ( z) đó: ϕ (1)k(z) – đường đàn hồi hệ lực quán tính Lại chọn đường đàn hồi thứ hai có dạng ϕ (2)k(z) : ϕ ( z) ω = ϕ ( z) k ( 1) k (2) k Qúa trình tính gần tiếp tục trị số ω k(i+1) xấp xỉ ω k(i) lần tính thứ i dừng lại Lúc ω k(i+1) ứng với điểm khác hệ có giá trị Ví dụ 8: Xác định tần số dao động riêng dầm có khối lượng phân bố hình vẽ * Chia dầm thành sáu khoảng thay khối lượng phân bố khối lượng tập trung hình vẽ m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = ml/6 m EI m1 l m2 m3 m4 m5 * Chọn dạng dao động đường đàn hồi ϕ 1(z) trọng lượng khối lượng mi tập trung gây Do tính đối xứng dầm ta có: ϕ ( z1 ) = ϕ ( z5 ), ϕ ( z ) = ϕ ( z4 ), ϕ ( z3 ) = ϕ 1max m EI l m2 m1 m3 m4 δ ij m5 Pi = z zi l - zi * Xác định chuyển vị ta sử dụng phương trình ảnh hưởng chuyển vị: l − zi z j 2 δ ij = − − − [l (l z j ) zi ]; zi ≤ z j EI l δ ij chuyển vị tiết diện đặt khối lượng mi Pj = đặt vị trí khối lượng mj gây Tọa độ tìm chuyển vị Tọa độ đặt lực P = z1 = l/6 z2=2l/6 z3=3l/6 z4=4l/6 z5=5l/6 Σδ ij z1 50 76 78 62 34 300 z2 76 108 138 112 62 496 z3 78 138 162 138 78 594 Tọa độ tìm chuyển vị Tọa độ đặt lực P = z1 = l/6 z2=2l/6 z3=3l/6 z4=4l/6 z5=5l/6 Σδ ij z1 50 76 78 62 34 300 z2 76 108 138 112 62 496 z3 78 138 162 138 78 594 l mgl mgl ϕ ( z1 ) = ϕ ( z5 ) = 300 = 50 , EI 6 l mgl mgl ϕ ( z ) = ϕ ( z4 ) = 496 = 82,6666 , EI 6 ϕ ( z3 ) = 594 5l mgl = 99 mgl5 EI 6 Tìm tải trọng gây đường đàn hồi ϕ (1)1(z): ml mgl m gl Z1(1) = Z5(1) = m1ϕ ( z1 ) = 50 = 50 , 6 EI EI ml mgl m gl Z2(1) = Z4(1) = m2ϕ ( z ) = 82,6666 = 82,666 , 6 EI EI ml mgl m gl ( 1) = ϕ = = Z3 m3 ( z3 ) 99 99 6 EI EI Độ võng lớn dầm : ϕ 1(1) ( z3 ) = 2δ 31Z1(1) + 2δ 32 Z2(1) + δ 33 Z3(1) = l m2 gl = [(78 × 50 × 2) + (138 × 82,6666 × 2) + (162 × 99)] EI 6 EI m2 gl = 7775,666 10 ( EI) 10 ϕ mgl ( EI) 9,95 EI (1) ( z3 ) ω1 = = 99 = ( 1) ϕ ( z3 ) EI 7775,666 m gl l m So với kết tính xác sai số 0,81% Tiếp tục thực ta thu kết xác Bây ta chọn đường đàn hồi dầm khối lượng tập trung đặt dầm gây ra: M = ml/2 ml l ml ϕ ( z1 ) = = 48 EI 96 EI Tải trọng tập trung vị trí đặt vị trí có độ võng max ( 1) Z ml ml ml = Mϕ ( z1 ) = = 96 EI 192 EI m l l m l ( 1) ϕ1 = = 192 EI 48 EI 192 × 48 ( EI) ϕ × ml 192 48 ( EI) ( 1) ( z) ω1 = = × = ( 1) ϕ1 96 EI ml 9,8 = l EI m 1/ s Tiếp tục thực nhiều lần tìm giá trị xác CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.7 Phương pháp sai phân: Chuyển phương trình vi phan thành phương trình sai phân hữu hạn Trường hợp dao động tự lực cản, phương trình vi phân cho có khối lượng phân bố m, EI = const: ω m IV 4 y − k y = 0; k = EI Đặt z = lξ  dz = ldξ , k = ml4ω 2/EI * d y * − = k y dξ Chia dầm thành n đoạn có độ dài: ∆z = l = l∆ξ ⇒ ∆ξ = n n Khi chuyển sang sai phân ta thay vi phân d sai phân ∆ và: ∆ y = yi − yi − ∆2y = ∆ y ( i+ 1) − ∆ y (i ) = yi+ − yi + yi− ∆3y = yi+ − yi + yi− + yi− ∆ = y i + − y i + + y1 − y i − + y i − y Thay vào ta thu phương trình sai phân:   k yi− − yi−1 +  −  y1 − yi+ + yi+ = n  Mỗi điểm chia ta phương trình Cộng điều kiện biên ta giải tìm k suy ω [...]... A(3 − l l 4 ql A= 24 EI l ω = 2 i 3 q 2 z 2 12 z 2 ∫ EIo l 3 A [ l 4 ] dz 0 l ho 4 z 2 − 4z + z 2 ∫ mo l A [3 l l 4 ] dz 0 39,3762 EIo = 4 ml 6 ,275 ω1 = 2 l EIo mo h(z) 1/ s z Giá trị đúng: l q 5 ,315 ω1 = 2 l EIo mo 1/ s Sai số trong trường hợp này 18% ho h(z) Nếu chọn dạng dao động là đường đàn hồi của dầm côngxôn do tải trọng phân bố bậc nhất gây ra cho dầm y(z) = B(1-z/l)2, với B=ql4/12EIo z... 0 0 * Pj, q(z) – lực kích thích tập trung và lực kích thích phân bố bao gồm cả các lực quán tính do các khối lượng tập trung và khối lượng phân bố gây ra khi hệ dao động CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4. 2.1 Dao động riêng: Xét hệ có khối lượng phân bố m(z) và dao động theo dạng chính yj(z) với tần số riêng ω j Phương trình dao động: yj ( z, t ) = yj ( z ) sin(ω j t + ϕ j ) Lực quán tính giá... ω 1 * Nếu chọn n = 1 và dạng dao động của dầm là đường đàn hồi do tải trọng phân bố đều gây ra: ϕ 1 ( z ) = A(l 3 z − 2lz 3 + z 4 ) / l 4 , A = ql 4 / 24 EI l ∫ EIA (− 2 ω 12 = 0 l 12 12 2 + 3 z 4 zz ) dz l l 3 4 z 2 z z 3 2 − + mA ( ) dz ∫ 3 4 l l l 0 = 97 ,56 EI l 4m 9,8772 ⇒ ω1 = 2 l EI , 1/ s m So với kết quả chính xác, sai số 0,1% * Nếu chọn n = 1 và dạng dao động của dầm là đường đàn hồi do tải... chuyển vị động, nội lực động trong hệ dao động cưỡng bức Khi tính với tải trọng tĩnh ta cho θ =0 Ví dụ 3: Xác định gần đúng tần số dao động cơ bản của dầm đơn giản có nhịp l và mang khối lượng phân bố đều m như hình vẽ EI = const m l Chọn n = 1 và dạng dao động của dầm (trùng với biểu thức chính xác của dao động chính) là: π ϕ 1 ( z ) = sin z l l π2 π 2 EI(− 2 sin z ) dz ∫ 4 π l l EI 2 0 ω1 = = 4 , l π... ] dz 0 5 ,47 72 ω1 = 2 l EIo mo 30 EIo = 4 mo l 1/ s ho Sai số ≈ 3% CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4. 2 Phương pháp năng lượng Lagrange - Ritz: Khi hệ ở trạng thái cân bằng thì thế năng toàn phần U của hệ đạt cực tiểu - là tổng của thế năng của nội lực U* và thế năng ngoại lực T (chiều ngoại lực hướng xuống là dương, tjees năng của nội lực luôn luôn ngược dấu với thế năng của ngoại lực) , ta có:... 4 4 a1 = 60, 94. 10 P cm a2 = − 0,128.10 P cm Độ võng và mô men uốn tại tiết diện giữa dầm: 4 y (l / 2) = ( a1 − a2 ) = 61,068.10 P cm 2 π2 π 9 M (l / 2) = [ a1 2 − a2 2 ]EI = 245 ,13 P kNcm l l  Khi chọn chuỗi nghiệm với hai số hạng, kết quả nhạn được chính xác hơn khi chọn chuỗi nghiệm với một số hạng CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4. 3 Phương pháp BUPVÔV – GALOOCKIN : 4. 3.1: Dạng dao động. .. − θ = − C11 ∫ EI[ 2 sin z ] dz m(sin z ) dz , ∫ 3 l l l 2l 2 0 0 l π l C1 P = − P sin ( ) = − P l 2  C1P P 4 = − = = a1 60, 94. 10 P cm C11 1 64, 1 Độ võng và mô men uốn tại tiết diện giữa dầm: 4 = = y (l / 2) a1 60, 94. 10 Trị số chính xác: cm y(l/2) = 61,0 94. 1 04 cm π 2 EI M (l / 2) = 2 a1 = 240 ,582 P kNcm l Trị số chính xác: M(l/2) = 250,1102 kNcm Nếu chọn n = 2 và y(z) = a1sin(π z/l)+a2sin(3π z/l):... trọng tập trung ở giữa dầm gây nên: z 4 z3 ϕ 1 ( z ) = B(3 − 3 ), 0 ≤ z ≤ l / 2 l l trong đó: B = l3 /48 EI l/2 z 2 − ∫ EIB ( 24 l 3 ) dz 0 2 ω = 2 1 l/2 3 z − 4z 2 ∫ mB (3 l l 3 ) dz 0 2 EI = 98,7085 4 l m 9,9352 EI ⇒ ω1 = 2 l m So với kết quả chính xác, sai số là 0,67% Ví dụ 4: Xác định gần đúng độ võng, mô men uốn tại tiết diện ở giữa dầm đơn giản có nhịp l chịu lực kích thích P(t) = Psinθ t như trên... dao động riêng của dầm côngxôn có tiết diện thay đổi như hình vẽ Cho biết bề rộng tiết diện ngang b không đổi, khối lượng, chiều cao tiết diện ngang, mô men quán tính tiết diện ngang thay đổi theo quy luật: z m( z ) = mo , l 3 ho z h( z ) = z , I ( z ) = Io 3 l l h(z) z l ho h(z) * Chọn dạng dao động y(z) là đường đàn hồi của dầm có tiết diện không đổi do tải trọng phân bố đều gây ra: z l 4 4z z + 4. .. chọn với hai số hạng của chuỗi (n = 2) thì: 2 − C11C22 C12 = 0 CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4. 2.2 Dao động cưỡng bức: Biểu thức thế năng toàn phần của hệ sẽ là: l l 1 1 2 2 2 ′ ′ U = ∫ EI( z )[ y ( z )] dz − ∫ m( z )θ y ( z )dz − 20 20 l n 0 j=1 − ∫ q( z ) y( z )dz − ∑ Pj y ( z j ), q(z): Lực kích thích phân bố; Pj : Biên độ lực kích thích tập trung thứ j Chọn nghiệm dưới dạng chuỗi như phần ... − P l  C1P P 4 = − = = a1 60, 94. 10 P cm C11 1 64, 1 Độ võng mô men uốn tiết diện dầm: 4 = = y (l / 2) a1 60, 94. 10 Trị số xác: cm y(l/2) = 61,0 94. 1 04 cm π EI M (l / 2) = a1 = 240 ,582 P kNcm l... định tần số dao động riêng xác gần Ta có bảng liệt kê: αi ωi = l EI m m EI l a m.l /8 m.l /4 m.l /4 m.l /4 m.l /8 l /4 b m.l /6 m.l /3 m.l /3 m.l /6 l /3 c l /2 d m.l /4 m.l /2 m.l /4 l /2 ... sử dụng công thức thứ 2, đường đàn hồi dầm chọn trên, song f phải độ võng dầm nhịp trọng lượng dầm trọng lượng khối lượng tập trung m1 gây ra: 4 Pl 5ql 319 mgl + = f= 48 EI 3 84 EI 1 344 0 EI Sau