bất phương trình quy về bậc 2

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI (Hay khó) A PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI g(x ) f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) • f (x ) f (x ) g(x ) g(x ) f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) • f (x ) g(x ) g(x ) f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) g(x ) g(x ) f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) g(x ) Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x 2x a) 2x 3x b) x 5x x x2 c) x x 3x x 12 x Lời giải x2 x2 3x x 2x 3x ( x2 2x a) Ta có phương trình 2x Vậy nghiệm phương trình x 2x 3x 2x 1) x 5x 2x 5x x2 x 0 0;1;2; b) Ta chia trường hợp • Với x • Với x2 , ta có phương trình x • Với x 2x • Với x x2 , ta có phương trình x2 , ta có phương trình 3x 5x 5x x2 5x x c) Ta có phương trình x x 3x 3x x 12 x x Vậy phương trình có nghiệm x Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau x a) x x 13 x x c) 3x 13 x2 xx= x2 x x2 x x (loại) x 2x x2 (loại) x 12 x x x x Vậy phương trình cho có nghiệm x x x x phương trình vơ nghiệm , ta có phương trình x x2 3 14x 36 13 x2 3x x2 d) 2x 5x x b) Lời giải Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm 3x x ta có VT a) Với x Với x suy bất phương trình nghiệm với x 1 ta có bất phương trình tương đương với x x x2 x 0, VP x x x x2 x x 2x 2 Vậy nghiệm bất phương trình x b) Với x 3x Với ta có x 2 3x x 6x x x x2 x x VT 3x 2x 3x ( 0, VP 3x x d) 2x 5x x Với x ta có VT 0, VP Với x ta có 2x 5x 2x 5x 2x x 6x x x2 x2 x ( ; x 7] [ 7; ) suy bất phương trình nghiệm với x x 2x 2 (vì x 2x 6x 2x x 6x x (2x 2x 7x x x Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình x \ Vậy bất phương trình có nghiệm x Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt x2 x 4x m Xét hàm số f x 4x x2 x2 m x x suy bất phương trình tương đương với 4) x x Lời giải Ta có x 3x x x2 ) x x (3; 2x Vậy nghiệm bất phương trình x 3x suy bất phương trình vơ nghiệm 2 suy bất phương trình vơ nghiệm x2 ;0) x2 Do bất phương trình x2 0, VP x suy nghiệm bất phương trình x Vậy bất phương trình có nghiệm x ) Đối chiếu với điều kiện c) Nếu x [2; Bất phương trình tương đương với 2x ; 2] ta có VT x x ( 4x 4x Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm m 0) x2 Ta có f x x 5x x x 3x Bảng biến thiên x 3;2 ; 2; f x 99 12 Từ bảng biến thiên ta có Phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt đồ thị hàm số f cắt đường thẳng y 99 m 12 bốn điểm phân biệt 99 giá trị cần tìm Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x 3x 3x 5x 3m 5m Vậy 12 m Lời giải Bất phương trình x2 3x 3x 5x Xét hàm số f x x2 3x 3x 5x Ta có f x 2x 8x x 2x x 4x Bảng biến thiên x ( ;1] 3m 5m [2; ) 1;2 2 10 f x 22 Từ ta có: max f x f 10 Do bất phương trình cho có nghiệm 3m Vậy 5m 145 10 m 145 10 m 3m2 5m 145 145 giá trị cần tìm 6 Ví dụ 5: Giải phương trình bất phương trình sau Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm m a) x c) x 4x 2x x 4x Lời giải a) Đặt t x 12 2x ,t b) x2 t2 x2 4x 4 t 12 x2 Bất phương trình trở thành t 2 x 3x x t 3t t 24 t Kết hợp điều kiện t ta có t suy x x x x x Vậy bất phương trình có nghiệm x b) ĐKXĐ: x Ta có t t2 x x x2 x2 x x x2 x2 x x 2 x x x 2x x x2 c) Phương trình x2 1,t 2x t t 2 x2 2x x2 2x 2x ta có 2x (thỏa mãn) x2 2x 4x 2x t t 4x 2x t 2x Với t x 2x Phương trình trở thành t t x 3t Vậy bất phương trình có nghiệm x Đặt t x 3x Bất phương trình trở thành t 2 t 3t t Kết hợp với t suy t Do 5; Bất phương trình Đặt t ; x 2x x 2x x2 3 x x 1 x x x 1 Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm 2x 2x 3 Với t x ta có 2 x2 x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 3;1 Bài 1: Giải phương trình sau a) 3x x 2x c) x 3x x 3x d) x c) x 3x 1 e) x x3 3x d) 2x 7x 2| x 2x x 5; b) | 2x x2 x 5;1 Bài 2: Giải bất phương trình sau x a) x 5x b) x x x2 x 1 x x 3x x x2 3x x Bài 3: Biện luận số nghiệm phương trình : x 5m Bài 4: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt: 2x 10x m 5x x2 Bài 5: Tìm m để bất phương trình 2x 2x nghiệm với x 3x 5m 8x Bài 6: Cho bất phương trình x 4x | x | 2m a) Giải phương trình m b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài 7: Cho bất phương trình x 2mx x m m 2 a) Giải bất phương trình m b) Tìm m để bất phương trình nghiệm với x B PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN • • • f (x ) f (x ) f (x ) g(x ) f (x ) f (x ) g(x ) g(x ) f (x ) g(x ) g(x ) g(x ) g(x ) f (x ) g(x ) f (x ) • • f (x ) f (x ) g(x ) g(x ) g(x ) f (x ) f (x ) g(x ) g(x ) 0 f (x ) g(x ) 0 g(x ) Ví dụ 1: Giải phương trình sau a) 2x 3x x b) x Lời giải x2 a) Phương trình 2x 3x x2 Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm x 2x d) 2 x x 8x 3x x 3 10 x x x x Vậy phương trình có nghiệm x b) ĐKXĐ: x Phương trình x 2x x x 2x (1 2x )(1 x ) x 2x 2x )(1 (1 7x x 2x 2x x) x (2x 1) (1 2x )(1 x) (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x Ví dụ 2: Giải phương trình sau 5x 8x 5x x Lời giải 5x 8x 3 5x ĐKXĐ: x x 5x x (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x 3x Ví dụ 3*: Giải phương trình x Phương trình ( 5x 5x x x 1) 1)( 5x x 5x 31x 41 Lời giải x ĐKXĐ: 3x 0 x 3 x Phương trình tương đương với x x 3x x2 7x x x2 7x x2 7x x2 x 3x x x x x 3x 7x 3x 2 5x 35x 30 5x 35x 30 x 3x 3x (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x x Nhận xét: dễ thấy x 1, x nghiệm ta tìm cách làm xuất nhân tử chung x Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm 7x Đối với x x 5 ta ghép thêm với x x 3 25 x x x x , sau trục thức ta có x 2x để có tử x Hoàn toàn tương tự với đại lượng 3x lời giải Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau 2(x 1) a) x b) c) 5x Lời giải (x 5)(3x d) (x 3) x 2(x 1) x a) Bất phương trình 2(x 1; (x 16(x 5)(3x 4) Vậy bất phương trình có tập nghiệm S ( 1)2 ; 5] [ ; 4) 5x x Bất phương trình x 2x x x 2x 2) x 4x 2x 6x (do x x 10x 0 x 10 Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình S d) (x 3) x ĐKXĐ: x x2 4 [2;10) x x 1) 4(x 1) (x 5)(3x 4) x 5x c) ĐKXĐ: x 2x 1) Vậy bất phương trình có tập nghiệm S b) Bất phương trình x 2 (x 1) 4(x 4) 2 Nhận xét x nghiệm bất phương trình : ta có +) Với x x2 Bất phương trình x2 x Kết hợp với điều kiện x +) Với x Bất phương trình x2 x 13 x ta có tập nghiệm bất phương trình S 4 x Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm 3; 7x Do ta tách x x2 x x 6x (II) 13 x2 2 x x Ta có (I) x (I) 0 x x x 13 x (II) 13 x 3 suy bất phương trình có tập nghiệm S Kết hợp với điều kiện x Vậy tập nghiệm bất phương trình S ( 13 ] ; [3; ) x ( ; Ví dụ 5: Giải bất phương trình sau 2x x 1 x Lời giải a) * Nếu x x a) 51 x 51 2x x x2 x x 52 x x 1 x 52 1 52 25 * Nếu x ln VT Vậy nghiệm tập bất phương trình cho S x2 b) ĐKXĐ: x x x x 16 2(x Bất phương trình 2(x 16) 2x 10 x 10 16) x x 16) [1 52; 5) 2x x (II) 2x )2 (10 x (10 ta có bất phương trình 2x )2 x x 16) 1; 2x kết hợp với điều kiện x 2(x x 10 2x 2(x 4 x (I) 10 x x Ta có I II x2 2x 51 x 16) Ta có bất phương trình x 2(x b) 20x 66 Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm 13 ] 10 x 34 x 10 10 34 x 34 Vậy tập nghiệm bất phương trình S 10 34; 5x 28 t 24 Ví dụ 6: Giải bất phương trình sau x x x 5x 28 Lời giải Bất phương trình x 5x Đặt t x 5x x 28, t x 5x Bất phương trình trở thành t t 5t 24 24 5t t Suy x 5x 28 x 5x 36 9; Vậy bất phương trình có tập nghiệm S x Ví dụ 7: Giải bất phương trình a) x x2 4x x2 4x x x b) 1 x x 2 Lời giải a) ĐKXĐ: Dễ thấy x Với x Đặt t x x x x x 0 2 nghiệm bất phương trình , bất phương trình tương đương với x x t t t2 0 0 t x t2 x , bất phương trình trở thành x t t 3 t 2 25 x x x t2 t x Từ ta có ,t x x x x 4x 17x Kết hợp với điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình cho S b) ĐKXĐ: x2 Bất phương trình Đặt t x x2 1 x x x 0; 4 [4; 2 ta có bất phương trình : t x2 3t x2 x2 Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm x t t x2 ) t *t x *t x 1 x x x2 x x x x x x x2 x x x3 Lời giải ĐKXĐ: x x , điều kiện y 2 ;1 x x 6x y x x 2y x x x x x y 2y 2y x x x 2) x 2 x x 2 4(x x x x 3xy x2 x Với x x Bất phương trình trở thành: Với x ) 2 2 x Đặt y x 3x x 1; x 4(1 Vậy nghiệm bất phương trình cho là: T Ví dụ 8: Giải bất phương trình x 2 x Kết hợp điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình cho S 2 3; Bài 1: Giải bpt sau : a x c 3x 2x 4x b x2 d 3x x x x x x Bài 2: Giải bất phương trình sau a) (x 3x ) 2x 3x c) x 3x (x 3) x Bài 3: Giải bpt sau : a ) 2x x x2 c) e) x 6x x b) x2 (1 x )2 1 b) 2x 2x d) x f) x 6x x 2x 2x 2x 2 x x 21 Bài 4: Giải bất phương trình sau : a) c) 3x x2 x x 8x 15 x2 b) 2x 15 x2 3x 4x 2 x2 18x 18 Bài 5: Giải bất phương trình sau: Thầy Ngơ Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm 4x d) x2 x 5x x x2 1)2 a) 4(x c) g) h) x2 25 3x e) (2x x2 9x 10)(1 x2 x x 8x 15 16 2x 7x 2x )2 d) f) x 2x 2 15 4x x >12x Bài 6: Giải bất phương trình sau: a ) 3x 6x 2x x c) 3x 5x 3x 5x 2x x 2x 2x x2 18x 18 x x 1 x2 x x b) 2x 4x 3 2x x2 d) x x x x x 1 x f) 2x x x Bài 7: Giải phương trình sau: a) x x x x 8x (2x 1)2 b) 2x 2x c) 10x 3x 9x 2x 2 x d) x (x 1) Bài 8: Giải phương trình sau a) x 2x 2x x 3x 3x b) 14 x x 2x x c) 3x x x Bài 9: Giải phương trình 2x x Bài 10: Cho phương trình: 2x 2 m x e) x x b) 2x g) x x x x2 35 12 x 11x m2 m a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 11: Cho phương trình x m x 3m 33 3x x 1 a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm ÔN TẬP CHƯƠNG IV Bài 4.131: Cho số thực a, b, c số thực Chứng minh rằng: a) a b4 c2 2a(ab a c 1) c) (a b )(a b) (a b )(a b ) , với ab Bài 4.132: Cho a,b, c số dương thỏa mãn a b a2 b c ab ac c Chứng minh b) Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm 2bc a) a 1 b c 1 a b b c 2 b 4bc c c 4ca a Bài 4.133: Cho a,b, c số dương abc b) a) c a a 4ab b Chứng minh : a3 1)(b (a (c 1) b3 1)(b c3 1)(c (a 1) 1 a 2b b 2c c 2a Bài 4.134: Giải bất phương trình sau b) (1 a ) x 3x b) x3 − 3x + 1 x2 − x + 1) x )(x 5x 6) x2 −1 − x + 0 x3 + − x + Bài 4.135: Cho tam thức f (x ) x 2(m 3)x m Tìm m để a) Phương trình f (x ) có nghiệm b) f (x ) x c) c) Bài 4.136: Cho tam thức: f (x ) 1)x (m 4(m 1)x a) Phương trình f (x ) có nghiệm b) Hàm số y Bài 4.137: Giải hệ bất phương trình sau: x 4x 2x x a) b) 3x 2x x 3x 2m Tìm m để f (x ) xác định x 0 x +1  x  d)  x − x + 4 x + x −  x c) 2x x2 x Bài 4.138: Xác định miền nghiệm bất phương trình hệ bất phương trình sau: a) x 2y 2x 2x y b) 3x y x y y Bài 4.139: Giải bất phương trình: a) 2x 6x x b) x 2x y x x2 x − 3x + + x − x +  x − x + 9m x 7mx Bài 4.140: Cho bất phương trình: x x x2 x a) Giải bất phương trình với m 28 b) Tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm Bài 4.141: Giải bất phương trình sau: 2x 4x 2x b) x a) x x c) x x x Bài 4.142: Tìm m để bất phương trình (x x 1)(x 2 x x 9x x c) 1 d) Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm x x2 x x m) x có tập nghiệm Thầy Ngơ Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm  ... t2 x x x2 x2 x x x2 x2 x x 2 x x x 2x x x2 c) Phương trình x2 1,t 2x t t 2 x2 2x x2 2x 2x ta có 2x (thỏa mãn) x2 2x 4x 2x t t 4x 2x t 2x Với t x 2x Phương trình trở thành t t x 3t Vậy bất phương. .. x x2 ) x x (3; 2x Vậy nghiệm bất phương trình x 3x suy bất phương trình vơ nghiệm 2 suy bất phương trình vơ nghiệm x2 ;0) x2 Do bất phương trình x2 0, VP x suy nghiệm bất phương trình x Vậy bất. .. e) x 6x x b) x2 (1 x )2 1 b) 2x 2x d) x f) x 6x x 2x 2x 2x 2 x x 21 Bài 4: Giải bất phương trình sau : a) c) 3x x2 x x 8x 15 x2 b) 2x 15 x2 3x 4x 2 x2 18x 18 Bài 5: Giải bất phương trình sau: Thầy