bất phương trình quy về bậc 2

LỚP TỐN THẦY NGƠ LONG Ngã Quảng Oai - 0988666363 - Dạy tâm (Học thử tháng, 200k/8 buổi, Hs xa 180k, Ngô Quyền 160k, Hộ nghèo 100k) Tên lớp Sĩ số Lịch học Nội dung Lớp 12 52 17h15 thứ 14h00 CN Phương pháp tọa độ Oxyz Lớp 11 52 17h30 thứ 09h15 CN Mặt phẳng song song Lớp 10 52 17h30 thứ 07h15 CN Bất phương trình Lớp 26 17h30 thứ 16h15 CN Tập Kèm nhóm 12 14h00 thứ 14h00 thứ Hình Oxyz Thầy Ngơ Long – Giảng viên – 15 năm kinh nghiệm luyện chấm thi đại học Nhận dạy nhóm nhỏ, nhận nhóm cam kết khơng đỗ đền tiền gấp đôi cho lớp lớp 12 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI (Hay khó) A PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI g(x ) f (x ) g(x ) f (x ) g(x )  f (x ) f (x ) g(x ) g(x ) f (x ) g(x ) f (x ) g(x )  f (x ) g(x ) g(x ) g(x ) f (x ) f (x ) g(x ) g(x ) g(x ) f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) g(x ) Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) 2x 3x x 2x b) x 5x x x2 c) x x 3x x 12 x Lời giải a) Ta có phương trình x2 2x 2x 3x 2x 3x Vậy nghiệm phương trình x x2 x2 2x 3x 2 2x 1) x 5x ( x 2x x 5x 2 x 0 0;1;2; b) Ta chia trường hợp  Với x  Với  Với 2x  Với x x2 , ta có phương trình x x 3x 5x x2 , ta có phương trình , ta có phương trình x2 5x x x x2 x x x2 xx= x2 x x2 x x (loại) phương trình vơ nghiệm , ta có phương trình x2 5x x Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm (loại) 7 Vậy phương trình cho có nghiệm x x c) Ta có phương trình x x x 3x 3x x 12 x x x Vậy phương trình có nghiệm x Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau a) x x x 13 x c) 3x Với x x 14x 36 13 x2 3x x2 d) 2x 5x x b) 3x 2x x2 ta có VT 0, VP suy bất phương trình nghiệm với x x x x2 x x 2x 2 Vậy nghiệm bất phương trình x b) Với x 3x Với ta có x 2 3x 2x 6x x x Đối chiếu với điều kiện x x x x c) Nếu x VT 3x 2 2x ( x 3x 2 5x x Với x ta có VT 0, VP Với x ta có 2x 5x (3; suy bất phương trình vơ nghiệm 3x x2 x x 3x ) x2 x2 x x x x2 2x 2 x 0, VP ;0) x2 ) suy bất phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm bất phương trình x 3x [2; suy nghiệm bất phương trình 0, VP Do bất phương trình x2 ; 2] x2 Vậy bất phương trình có nghiệm x ( ta có VT x Bất phương trình tương đương với d) 2x ta có bất phương trình tương đương với x x x2 x x 13 Lời giải a) Với x 12 x x x ( ; x 7] [ 7; 7 ) suy bất phương trình nghiệm với x x 2x suy bất phương trình tương đương với Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm 2x 5x 2x x 6x x 2x 7x 2x 2 (vì x x x 6x 2x 2 x 6x x (2x 4) 0) Đối chiếu với điều kiện x ta có nghiệm bất phương trình x \ Vậy bất phương trình có nghiệm x x Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt x2 x 4x m Lời giải Ta có x x 4x x2 Xét hàm số f x x2 Ta có f x x 5x x2 x2 m 4x m 4x 6 x 3x x 3;2 x ; 2; Bảng biến thiên x 3 2 f x 99 12 Từ bảng biến thiên ta có Phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt đồ thị hàm số f cắt đường thẳng y bốn điểm phân biệt 12 m 99 99 giá trị cần tìm Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x 3x 3x 5x 3m 5m Vậy 12 m Lời giải Bất phương trình x2 3x 3x 5x Xét hàm số f x x2 3x 3x 5x Ta có f x 2x 8x x 4x 2x x ( ;1] 3m 5m [2;  1;2 Bảng biến thiên x f x 10 Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm m 22 Từ ta có: max f x f 10 3m 5m Vậy 10 145 145 5m m m 3m 10 Do bất phương trình cho có nghiệm 145 145 giá trị cần tìm 6 Ví dụ 5: Giải phương trình bất phương trình sau a) x c) x 4x 2x x 4x Lời giải a) Đặt t x 12 2x ,t b) x2 t2 x2 4x 4 t 12 Bất phương trình trở thành t t 3t t 24 x2 x 3x x t Kết hợp điều kiện t ta có t suy x x x x x Vậy bất phương trình có nghiệm x b) ĐKXĐ: x x2 3x Bất phương trình x2 Đặt t Ta có t x x t2 x x x2 x2 x x x Do 2x x x Vậy bất phương trình có nghiệm x c) Phương trình Đặt t x2 1,t x2 5; x Bất phương trình trở thành t 2 t 3t t Kết hợp với t suy t x ; 2x x t 2 3t x2 2x x2 x 2x 1 x2 4x Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm (thỏa mãn) Phương trình trở thành t t 2x t 2x t t 4x 2x t 2x Với t 2x 2x Với t ta có 2x x 2x x 2x x x 2 x 2x x2 d) x c) x 3x 1 e) x x3 3x d) 2x 7x 2| x 2x x 5; b) | 2x 3x x 5;1 Bài 2: Giải bất phương trình sau a) x 5x b) x x x 2x 3;1 x2 2 Bài 1: Giải phương trình sau x 2x a) 3x 3x x2 x Vậy phương trình có nghiệm x c) x x2 x x x2 ta có x 2 x 1 x x 3x x x2 3x x Bài 3: Biện luận số nghiệm phương trình : x 5m Bài 4: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt: 2x 10x m 5x x2 Bài 5: Tìm m để bất phương trình 2x 2x nghiệm với x 3x 5m 8x Bài 6: Cho bất phương trình x 4x | x | 2m a) Giải phương trình m b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài 7: Cho bất phương trình x 2mx x m m 2 a) Giải bất phương trình m b) Tìm m để bất phương trình nghiệm với x B PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN   f (x ) f (x ) g(x ) g(x ) f (x ) f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) g(x )   f (x ) f (x ) Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm g(x ) g(x ) g(x ) f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) 2  f (x ) g(x ) g(x ) f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) Ví dụ 1: Giải phương trình sau a) 2x 3x x b) x Lời giải x2 a) Phương trình 2x 3x x2 x4 x 8x 3x 10 x Vậy phương trình có nghiệm x b) ĐKXĐ: x x 2x Phương trình x 2x x 2x 2x 1 2x )(1 (1 7x 2x )(1 (1 x x) x x 1 (2x d) x 2x x) 2x x2 x x x 1) (1 2x )(1 x) (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x Ví dụ 2: Giải phương trình sau 5x 8x 5x x Lời giải 5x 8x 3 5x ĐKXĐ: x x 5x x (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x 3x Ví dụ 3*: Giải phương trình x Phương trình ( 5x 5x 3 1)( x x 1) 5x x 5x Lời giải ĐKXĐ: x 3x x x Phương trình tương đương với x x 3x 3 2 x 3x 5x 35x Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm 30 31x 41 x2 7x x x x2 7x x2 7x x2 3x x 7x x x 3x 5x 2 35x 30 x 3x 3x (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x x Nhận xét: dễ thấy x 1, x nghiệm ta tìm cách làm xuất nhân tử chung x Đối với x x 5 ta ghép thêm với x 3 , sau trục thức ta có x 25 x x x x lời giải Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau a) x b) 2(x 1) c) 5x Lời giải x 2x để có tử x Hồn toàn tương tự với đại lượng 3x (x 5)(3x 2(x 1) x a) Bất phương trình 2(x 1;3 (x 16(x 5)(3x 4) Vậy bất phương trình có tập nghiệm S x ( 1)2 ; 5] [ ; 4) 5x x Bất phương trình x 2x 4(x 1) (x 5)(3x 4) x 5x c) ĐKXĐ: x 2x x 2x x 4x 2x 6x (do x ) x 10x 0 x 10 Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình S d) (x 3) x ĐKXĐ: x 4 x2 x x 1)2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S b) Bất phương trình x2 1) (x 1) 4(x 4) 3) x d) (x 7x 2 Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm [2;10) 7x Do ta tách Nhận xét x nghiệm bất phương trình +) Với x : ta có Bất phương trình x2 x 13 x2 x x Kết hợp với điều kiện x ta có tập nghiệm bất phương trình S +) Với x Bất phương trình x x2 x2 (I) x x x Ta có (I) (II) 2 x 6x 13 x x x2 3; x x x x 13 (II) 13 x 3 suy bất phương trình có tập nghiệm S Kết hợp với điều kiện x Vậy tập nghiệm bất phương trình S ( ; 13 ] [3; ) x ( ; Ví dụ 5: Giải bất phương trình sau 2x x 1 x Lời giải a) * Nếu x x a) 51 Ta có bất phương trình 16) x x x x 51 2x x2 x2 52 x 2x x 1 52 x2 25 x 1 52 * Nếu x ln VT Vậy nghiệm tập bất phương trình cho S x2 b) ĐKXĐ: x 16) x x x 16 2(x Bất phương trình 2(x 51 x 2(x b) 10 4 16) x x [1 52; 5) 1; x 2x kết hợp với điều kiện x ta có bất phương trình Thầy Ngơ Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm 13 ] 2x 10 x II 2x 2(x Ta có I x x x 10 2x 2(x 10 x (I) 10 x 16) x 34 x 10 x x 2x )2 (10 2x ) (10 16) (II) 10 34 20x 66 x 34 Vậy tập nghiệm bất phương trình S 10 34; Ví dụ 6: Giải bất phương trình sau x x x 5x 28 Lời giải Bất phương trình Đặt t x 5x x2 5x x2 28, t x 5x 28 t2 5x 24 Bất phương trình trở thành t 24 5t t 5t 24 t x 5x 36 Suy x 5x 28 9; Vậy bất phương trình có tập nghiệm S Ví dụ 7: Giải bất phương trình a) x x2 4x x2 4x x x x b) 1 x x2 Lời giải a) ĐKXĐ: Dễ thấy x Với x x x x x x 0 2 nghiệm bất phương trình , bất phương trình tương đương với Đặt t x t2 x ,t t2 t t 3 t t t Từ ta có x t x x x x x x x , bất phương trình trở thành x t2 t x x 25 x 4x 17x Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm t Kết hợp với điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình cho S x2 b) ĐKXĐ: 1 Bất phương trình x Đặt t *t x2 *t x x x 2 x x2 x2 x 2 3t x , điều kiện y x x Với y x 2y x x x x Với x x x 1 x x x x x3 3xy 2 3x t x y x 2y x2 x ) 2 6x 0 x x 2) x x 2 x x 2 x 2 x Kết hợp điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình cho S 2 3; Bài 1: Giải bpt sau : a x c 3x 2x 4x b x2 d 3x x x x 3x ) 2x 3x c) x 3x (x 3) x Bài 3: Giải bpt sau : b) x2 (1 x )2 Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm x Bài 2: Giải bất phương trình sau a) (x ;1 x x 4(x ) 2 x x x 4(1 1; 2y x x 0 x3 Bất phương trình trở thành: x2 t x2 Ví dụ 8: Giải bất phương trình Lời giải ĐKXĐ: x x [4; x Vậy nghiệm bất phương trình cho là: T Đặt y ta có bất phương trình : t x2 1 x x x 0; x x a) 2x x2 c) e) x 6x 2x x b) 2x x d) x 6x x 2x f) x 2x x 2x x 21 Bài 4: Giải bất phương trình sau : 3x a) c) x2 x x 8x x2 15 b) 2x x2 4x 15 Bài 5: Giải bất phương trình sau: a) 4(x 1)2 (2x 10)(1 2x )2 c) e) g) h) 25 3x x2 9x x2 x2 x x 8x 15 16 2x 7x x2 d) 2 c) 3x 5x 3x 5x x >12x 2x x 2x x2 d) x 2x x 1 x2 x x 2x x 5x x b) 2x 4x 3 2x x2 d) x x x x x 1 x f) 2x x x Bài 7: Giải phương trình sau: x x 8x a) x x (2x 1)2 2x b) 2x 3x 9x 2x c) 10x x3 d) x (x 1)2 Bài 8: Giải phương trình sau 2x x 3x 3x a) x 2x x 2x x b) 14 x x c) 3x x x Bài 9: Giải phương trình 2x 2 m x Bài 10: Cho phương trình: 2x e) x 18 x2 18x 18 4x Bài 6: Giải bất phương trình sau: a ) 3x 6x 2x x 18x 4x x f) 15 x2 b) 2x 3x x x g) x x x2 m a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 11: Cho phương trình x m x 3m 11x m 33 x a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm 3x 1 35 12 x2 c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm ƠN TẬP CHƯƠNG IV Bài 4.131: Cho số thực a, b, c số thực Chứng minh rằng: a) a b4 c2 2a(ab a c 1) c) (a b )(a b) (a b )(a b ) , với ab Bài 4.132: Cho a,b, c số dương thỏa mãn a b a) a 1 b c 1 a) c a a 4ab b Chứng minh : (a a3 1)(b (c 1) 2bc a b b c 2 b 4bc c c 4ca a Bài 4.133: Cho a,b, c số dương abc b) a2 b c ab ac c Chứng minh b) b3 1)(b 1) c3 1)(c (a 1 a 2b b 2c c 2a Bài 4.134: Giải bất phương trình sau b) (1 a) x 3x x )(x 5x b) x  3x  1 x2  x  1) 6) x 1  x  0 x3   x  Bài 4.135: Cho tam thức f (x ) x 2(m 3)x m Tìm m để a) Phương trình f (x ) có nghiệm b) f (x ) x c) c) Bài 4.136: Cho tam thức: f (x ) 1)x (m 4(m 1)x a) Phương trình f (x ) có nghiệm b) Hàm số y Bài 4.137: Giải hệ bất phương trình sau: x 4x 2x x a) b) x 3x 3x 2x 3 Tìm m để 2m f (x ) xác định x 0 x 1  x  d)  x  x  4 x  x   x c) 2x x2 x Bài 4.138: Xác định miền nghiệm bất phương trình hệ bất phương trình sau: a) x 2y 2x y 2x y b) 3x y x y Bài 4.139: Giải bất phương trình: a) 2x 6x x c) b) x 2x y x x2 x  3x   x  x   x  x  Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm 9x Bài 4.140: Cho bất phương trình: 9m x x x a) Giải bất phương trình với m 28 b) Tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm Bài 4.141: Giải bất phương trình sau: a) x 2x 4x 2x b) x x x 7mx x x x x x Bài 4.142: Tìm m để bất phương trình (x x 1)(x c) x2 x d) 2 x x2 x x Thầy Ngô Long 0988666363 – Quảng Oai – Dạy tâm m) x có tập nghiệm ... bất phương trình x 3x [2; suy nghiệm bất phương trình 0, VP Do bất phương trình x2 ; 2] x2 Vậy bất phương trình có nghiệm x ( ta có VT x Bất phương trình tương đương với d) 2x ta có bất phương trình. .. Ta có bất phương trình 16) x x x x 51 2x x2 x2 52 x 2x x 1 52 x2 25 x 1 52 * Nếu x ln VT Vậy nghiệm tập bất phương trình cho S x2 b) ĐKXĐ: x 16) x x x 16 2( x Bất phương trình 2( x 51 x 2( x b)... Vậy bất phương trình có nghiệm x b) ĐKXĐ: x x2 3x Bất phương trình x2 Đặt t Ta có t x x t2 x x x2 x2 x x x Do 2x x x Vậy bất phương trình có nghiệm x c) Phương trình Đặt t x2 1,t x2 5; x Bất phương