ĐS 4 1a GIỚI hạn dãy số

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A LÝ THUYẾT : Giới hạn hữu hạn dãy số 1.1 Định nghĩa: un  với   nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên n0 cho: Định nghĩa : nlim �� un   , n  n0 un  lim un Kí hiệu: nlim �� un  a � lim  un  a   , tức là: Với   nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên n0 cho �xlim � � x �� un  a   , n  n0 Dãy số (un) có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn 1.2 Một số giới hạn đặc biệt �lim k  với k ��* n n �Nếu q  lim q  n �� un  lim c  c �Nếu un  c (với c số) nlim �� n �� un  a Chú ý: Ta viết lim un  a thay cho cách viết nlim �� Một số định lí giới hạn Định lí Nếu dãy số (un) thỏa un �vn kể từ số hạng trở lim  lim un  Định lí kẹp : Cho ba dãy số (un );(vn );(w n ) �un �w n ; n �N * � � lim un  a Nếu � lim  lim wn  a � Định lí Cho lim un  a, lim  b Ta có: �lim(un  )  a  b �lim(un )  a.b �lim(un  )  a  b �lim un a  (b �0) b �lim un  a �lim|un|=|a| �Nếu un �0 n lim un  a Tổng CSN lùi vô hạn Cho CSN (un ) có cơng bội q thỏa q  Khi tổng S  u1  u2   un  gọi tổng vô hạn CSN u1 (1  q n ) u  1 q 1 q Giới hạn vô cực 4.1 Định nghĩa: �lim un  �� với số dương tuỳ ý cho trước , số hạng dãy số , kể từ số hạng trở đi, S  lim S n  lim n �� lớn số dương �lim un  �� lim  un   � n �� n � � 4.2 Một số kết đặc biệt �lim n k  � với k  �lim q n  � với q  4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực trang | Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số Quy tắc 1: Nếu lim un  ��, lim  �� lim(un ) cho sau; lim un lim lim(un ) � � � � � � � � � � � � Quy tắc 2: Nếu lim un  ��, lim  c lim(un ) cho sau; Dấu c lim un lim(un ) �  �  � � � �   � � Quy tắc 3: Nếu lim un  c , lim    kể từ số hạng dó trở lim un coi sau; Dấu c Dấu � � � �     un � � � � lim B CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN: DẠNG : TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ĐƯỢC CHO Ở DẠNG ĐA THỨC k k 1 Tổng quát: Cho dãy số un  ak n  ak 1n   a1 n  a0 , k số nguyên dương k k 1 a) lim  ak n  ak 1n   a1 n  a0   � ak  k k 1 b) lim  ak n  ak 1n   a1 n  a0   � ak  Câu Tính lim  n  2n  1 Câu 2.Tính lim  5n  n  1 Lời giải tham khảo : Lời giải tham khảo : � � 3� 2�   � 1   � Ta có: n  2n   n � Ta có 5n  n   n � � n n � � n n � � 1� � �   �  nên theo quy Vì lim n  � lim � 1   � 1  nên Vì lim n3  � lim � � n n � � n n � tắc 2, lim  n  2n  1  � lim  5n  n  1  �(theo quy tắc 2) Nhận xét : (H/s ghi) Cho un có dạng đa thức (bậc lớn 0) n - Nếu hệ số lũy thừa bậc cao n số dương lim un  � - Nếu hệ số lũy thừa bậc cao n số âm lim un  � � 2� 1  � Câu lim  n  4n  1  lim n � � n n � ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… Câu lim  2n  3n   ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… trang | Gv: Thầy tý ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… Câu lim 2n  5n3  n ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… Toán 11 chương IV giới hạn dãy số ………………………………………………………… ………………………………………………………… Câu lim  2n  n3 ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… DẠNG : Tìm giới hạn dãy số cho dạng phân thức : f ( n) Phương Pháp : Tìm lim ta thường chia tử mẫu cho n k , k bậc lớn tử , mẫu g ( n) 5n  3n  3n3  2n  Câu lim Câu lim un  n2 2n  n Lời giải tham khảo : ………………………………………………………… ………………………………………………………… �5n 3n � � � lim un  lim �   � lim �   � ………………………………………………………… n n � � n n � �n ………………………………………………………… ………………………………………………………… n3  2n  ………………………………………………………… Câu lim ………………………………………………………… n  3n  5n  ………………………………………………………… Lời giải tham khảo : ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… Nhận xét : (H/s ghi) Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu: kết giới hạn Nếu bậc tử bậc mẫu: kết giới hạn bẳng tỉ số hệ số có lũy thừa cao tử mẫu Nếu bậc từ lớn bậc mẫu: kết giới hạn � hệ số cao tử mẫu dấu ngược lại kết � hệ số cao từ mẫu trái dấu 2n3  3n  n  n3  n  ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… VD1 lim n 1 2n  ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… VD2 lim trang | Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… n  n  3n VD3 lim  2n ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 4n  n  VD5 L  lim  2n  1   n   n2   n VD6 lim ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 9n  n  VD7 lim 4n  ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 3n   n  n ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… VD9 lim n  3n  2n  ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… VD4 lim    n  1  n  1  2n  3 2 2n3 11n   2 n VD8 lim n n n  n2 n2 ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 2n   n n ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… VD10 lim trang | Gv: Thầy tý ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… Toán 11 chương IV giới hạn dãy số ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… DẠNG : GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO DẠNG MŨ CỦA N Phương pháp : Ta đưa số mũ chia cho Lũy thừa có số lớn (cùng số mũ) n n VD1 lim    Lời giải tham khảo : n � �2 � � n n n  � �� Ta có   � � �5 �� � � n � �2 � � n  � ��  Vì lim  � lim � � �5 �� � � n n nên theo quy tắc 2, lim     � Nhận xét : Chia cho lũy thừa có số lớn (cùng số mũ) n 1 n VD1 lim  3.2  5.3  n  ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 3n  5.4n 4n  n ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… n  n2  VD5 L  lim n.3n ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… VD1 lim 4n 1  6n  VD2 lim n n 8 Lời giải tham khảo : n 4n 1  6n  lim n n 8 n �4 � �6 � � � 36 � � 8  lim � � n � �  �5 � � � �8 � 4.3n  n 1 2.5n  n ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… VD2 lim 2n  3n 2n  ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 9n  VD6 lim n 1 ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… VD4 lim trang | Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 3n  2.5n VD7 lim  3.5n ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… n  n2  VD9 lim n.3n ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 2n  3n  5n  VD8 lim n 1 n  n 1 3 5 ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 4.3n  5n 1 4.3n  5.5n VD10 lim  lim 3.2n  5n 3.2 n  5n ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… DẠNG : TÌM GIỚI HẠN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng công thức nhân lượng liên hợp sau: � a  b2 a  b  � ab �a  b   a  b   a  b  � � a  b2 � a  b  � a b � �a  b  a  b3 a  b3 � a  b  a  ab  b a  ab  b �3 a  b       a b  b � � ab �  a   a b  b  a   a.b  b a  b �3 a � � 2 3 3 trang | Gv: Thầy tý � a b  Toán 11 chương IV giới hạn dãy số      a b  b � � ab �   a   a b  b  a   a.b  b a  b �3 a � � �a  b  a  a �a  b  �3 a  b  a  a  � a b 3   b b  b b 3 2 3 n  3n  n 3  lim n  3n  n  2  3  b � � � � � �   a   a b  3  b ab  a.3 b   b  3 VD2 lim n  n  3n    3n  lim   lim � � � 3� n �   1� n2 �  � n � n� � n �  Lời giải tham khảo : Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) n  n3  3n  lim n  n3  3n  3n n  3n  n 3n a b  a  n  3n  n n  3n  n 3 a  a b      a b   b   a   a b   b  a  b �3 a � � a3  b 3  b a  a b  3 a3  b � � � Lời giải tham khảo :  L  lim � � � 2 3     a b   b   a   a b   b  Câu L = lim b a  b �3 a � �   b b  b a  a  a  b � � � 3 a  a  a  b � � � 3  n3   n3  3n  1  lim � �2 n  n n3  3n    n  3n  1 � � � � 3  n  lim  1 3 � � 1 1   � 1  � n n � n n � NHẬN XÉT : k Dấu hiệu nhận biết nhân lượng liên hợp: Nếu dãy số un  n   w n  (với n k bậc cao dãy un ) lim   w n   ta phải nhân lượng liên hợp VD1 lim   n  n  n  lim n2  n  n2 n2  n  n ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… VD2 lim   n  n   n  lim n2  n   n n2  n   n ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… trang | Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số ………………………………………………………… ………………………………………………………… VD3 lim   n  2n  n   lim   n  2n  n  ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… VD5 lim  n  n3  n    n  n   n3  3n  VD4 lim  ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………   4n  3n   2n  ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… VD6 lim ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… VD7 lim ………………………………………………………… …………………………………………………………   2n  n  n  ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 4n   2n VD8 L  lim n  4n   n ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… DẠNG : GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI MÔ TẢ : trang | Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số     4n    12   5n  Lời giải tham khảo : Tử thức tổng n số hạng cấp số cộng  un  với n  , un  4n  công bội d  Câu lim n   n  3 n  n    2 n   5n  3 n  5n  1 Tương tự ta có:   12   n    2 n  4n       4n   lim  Vậy lim   12   5n  n  5n  1 Do     4n   NHẬN XÉT : Để làm tốt dạng tập trên, cần nhớ số tổng quen thuộc sau: n  n  1 a)    n  n  n  1  2n  1 b) 12  2   n  � n  n  1 � 3    n  � c) � � �  32  33   3n VD1 lim   22   2n …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………     n       2n  1 VD2 lim  1 VD3 lim  1 3n  n  3n  ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………      3n  1  1 4n  ………………………………………………………… VD4 lim   22  23   2n  1   32  33   3n ………………………………………………………… VD5 lim trang | Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 1 1     n  1 VD6 lim 1 1     n ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… �1 � 1   VD7 lim �  � 1.3 2.4 n  n  2 � � ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… DẠNG : TÍNH TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN 1    bằng: Lời giải tham khảo : ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… Câu Tổng S   Câu Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,32111 a biểu diễn dạng phân số tối giản , a, b b số nguyên dương Tính a  b Lời giải tham khảo : ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… trang | 10 Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số ………………………………………………………… VD1 Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a  2,151515 (chu kỳ 15 ), a biểu diễn m dạng phân số tối giản , m, n số n nguyên dương Tìm tổng m  n ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… VD4 ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 1 1 n1 VD2 Cấp số nhân lùi vô hạn 1,  , ,  , , ( ) , m Tính m  2n n ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… có tổng phân số tối giản Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 2, VD5 tổng số hạn Số hạn đầu cấp số nhân là? ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… Gỉai phương trình , x  , ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… x   x  x3  x  x5   GIỚI HẠN DÃY SỐ  Dạng 00: Các câu hỏi chưa phân dạng Câu Tìm lim un biết un  124 22 32 A � n dau can B � C 2   n3  Câu Tính giới hạn dãy số un  3 : 1 1 n 1 D trang | 11 Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số A � B � C D � u1  � � Câu Cho dãy số có giới hạn  un  xác định : � Tìm kết lim un � un 1  , n �1  un � � A B C 1 D 1    Câu Tính giới hạn dãy số un  : 1  (n  1) n  n n  A � B � C D * Câu Cho dãy số  un  xác định u1  , un 1   un với n �N Tính lim un A B C D 1  Dạng 01: Câu hỏi lý thuyết Câu Phát biểu sau sai ? A lim un  c ( un  c số ) C lim  n Câu Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A Nếu lim un  �, lim un  � C Nếu lim un  , lim un  B lim q n   q  1 D lim k   k  1 n B Nếu lim un  �, lim un  � D Nếu lim un   a , lim un  a  Dạng 02: Dùng lượng liên hợp Câu Giá trị A  lim A � Câu Giá trị B  lim A �   Câu 10 Giá trị A  lim A � n Câu 11 Tính I  lim � � A I  �   n2  6n  n bằng: B �  D C D C D C I  1, 499 D I  2n2   n bằng: B �   n  2n   n bằng: B �  n   n  � � B I  Câu 12 Tính giới hạn dãy số C  lim A � C B �   4n2  n   2n : C D  Dạng 03: Dãy phân thức hữu tỷ 12  2  32  42   n Câu 13 Giới hạn lim có giá trị bằng? n3  2n  trang | 12 Gv: Thầy tý A Toán 11 chương IV giới hạn dãy số B Câu 14 Cho dãy số  un  sau: un  A B Câu 15 Tính giới hạn lim A Câu 16 Biết lim A 12 C n  n2  n4 D  u1  u2   un  , n  , , Tính giới hạn xlim �� C D 4n  2018 2n  B C 2n  n   với a tham số Khi a  a an  2 B 2 C Câu 17 Giá trị C  lim D $2018$ D 6 bằng: n2  n  A � B � C �1 1 �   Câu 18 Tính giới hạn: lim �  1.4 2.5 n( n  3) � � � 11 A B C 18 �1 1 �   Câu 19 Tính giới hạn lim �  � 1.2 2.3 n  n  1 � � A B C D Khơng có giới hạn n2 Câu 20 Kết lim bằng: 3n  1 A B  C 2 3 2n  n  Câu 21 lim 4n  n  A B C � 11 8n5  2n3  Câu 22 Tìm lim 4n  2n  A B C 3n  Câu 23 Tìm giới hạn I  lim n3 A I   B I  C I  D D D D D D k �� �1 � 1   Câu 24 Tính giới hạn lim �  � 1.3 3.5 n n    � � A B C D  Dạng 04: Dãy phân thức (có mũ n) trang | 13 Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số  5n  là: 3n  2.5n A  B  50  5n  Câu 26 Kết lim n  2.5n A  B  50 Câu 25 Kết lim 3.3n  4n bằng: 3n1  4n1 A � B 2 n  2n  Câu 28.Tìm I  lim 3n  2n  A B  3 C D  25 C D  25 Câu 27 Giá trị C  lim Câu 29 lim C D C D 4n  n 1 : 3n  4n  A B C 3n  4.2n 1  bằng: 3.2n  4n A � B � n  4.2n 1  Câu 31 Kết lim bằng: 3.2n  4n A � B � 3.2n  3n Câu 32 Giá trị C  lim n1 n1 bằng: 3 D � Câu 30 lim A � B � C D C D C  D  Dạng 05: Dãy phân thức (chứa căn) Câu 33 Giới hạn lim 3n  n a a  (với a, b số nguyên dương phân số tối giản) Tính b  3n   b T  a b A T  21 B T  11  n  2n  C T  D T  C  D C D � Câu 34 Kết lim A  3n  2 B  3 Câu 35 lim A � 10 n4  n2  là: bằng: B 10 trang | 14 Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số Câu 36 Giá trị F  lim 3n3  n  n bằng: B � A � Câu 37 Cho I  lim n4  2n   2n 4n   n 4n  n  A I  31 D Khi giá trị I là: 4n  B I  Câu 38 Giá trị D  lim C C I  1 bằng: n2  3n  A � B � C n     (2n  1) Câu 39 Tìm lim un biết un  2n  1 A � B � C D I  D D  Dạng 06: Dãy khơng có ẩn số mẫu Câu 40 Giá trị F  lim   n   n bằng: A � B � C Câu 41 Giá trị E  lim( n  n   2n) bằng: A � B � C p Câu 42 Giá trị H  lim( k n2   n2  1) bằng: A � B � C Đáp án khác D D D  Dạng 07: Hỏi quy tắc giới hạn (đáp số vô cực) Câu 43 Giới hạn dãy số  un  với un  A � 3n  n là: 4n  B � C n �2 � n sin  2n3 �bằng: Câu 44 lim � � � A � B Câu 45 Chọn kết lim A B Câu 46 Giá trị lim  D C 2 D � C � D � C D C � D � C D � n  2n   5n  n   3n  là: A � B � Câu 47 lim 200  3n5  2n : A B n 1 Câu 48 lim n bằng: 1 A � B trang | 15 Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số n n Câu 49 Giá trị lim    là: A � B � D 2 C  Dạng 09: Cấp số nhân lùi vô hạn � 1 �      n  � Câu 50 Tìm giá trị S  � � �  A B C 2 D D � 1 � 1    L  n  L � Câu 51 Tìm giá trị S  � � �  A B C 2 Câu 52 Tính tổng S cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu u1  cơng bội q   A S  B S  C S  D S  Câu 53 Trong dãy số cho đây, dãy số cấp số nhân lùi vô hạn? n n 1 1 27 �2 � �3 � A , , ,…, � �,… B , , ,…, n ,… C , , ,…, � �,… 27 27 �3 � �2 � n1 1 1 � 1� D ,  , ,  , ,…, � � ,… 16 � 2� - HẾT Dạng toán 00 C C B D A Dạng toán 01 B C Dạng toán 02 C A 10 A 11 B 12 D Dạng toán 03 13 D 23 C 14 C 24 B 15 C 16 A 17 C 18 A 19 B 20 A 21 B 22 A Dạng toán 04 25 B 26 B 27 B 28 B 29 B 30 C 31 C 32 C Dạng toán 05 33 B 34 A 35 C 36 C 37 A 38 D 39 C Dạng toán 06 40 41 42 trang | 16 Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số A B C Dạng toán 07 43 A 44 C 45 D 46 B 47 D 48 A 49 B Dạng toán 09 50 C 51 C 52 D 53 C trang | 17 ... Hỏi quy tắc giới hạn (đáp số vô cực) Câu 43 Giới hạn dãy số  un  với un  A � 3n  n là: 4n  B � C n �2 � n sin  2n3 �bằng: Câu 44 lim � � � A � B Câu 45 Chọn kết lim A B Câu 46 Giá trị... chương IV giới hạn dãy số A � B � C D � u1  � � Câu Cho dãy số có giới hạn  un  xác định : � Tìm kết lim un � un 1  , n �1  un � � A B C 1 D 1    Câu Tính giới hạn dãy số un ...  32  42   n Câu 13 Giới hạn lim có giá trị bằng? n3  2n  trang | 12 Gv: Thầy tý A Toán 11 chương IV giới hạn dãy số B Câu 14 Cho dãy số  un  sau: un  A B Câu 15 Tính giới hạn lim