Đối với các em học sinh khi mới bắt đầu tham gia giải hệ phương trình thì không nên giải theo cách này mà nên tập khả năng đặt nhân tử chung, tập phân tích bài toán... TẠI LIỆU THAM KHẢO[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI TRONG VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (PHÂN TÍCH NHÂN TỬ BẰNG MTBT) LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình toán trung học, mà cụ thể là các đề thi đại học thì hệ phương trình là nội dung thường xuyên xuất đề thi, và đó là nội dung xem là tương đối khó lấy điểm các học sinh trung bình khá các đề thi tuyển sinh đại học Đối với hệ phương trình thì có nhiều phương pháp giải chúng ta đã biết đặt ẩn phụ, dùng hàm số, dùng số phức, lượng giác, đánh giá, bất đẳng thức… Có thể nói hệ phương trình có vẻ đẹp riêng nó vì phong phú bài tập và cách giải Trong quá trình giảng dạy, học tập và tham khảo nhiều tài liệu, tôi thấy có mẹo nhỏ có thể giải lớp bài tập hệ phương trình với dự hỗ trợ máy tính bỏ túi Hôm xin giới thiệu cho các đồng nghiệp, bạn bè và học sinh tham khảo Hy vọng tài liệu này có thể giúp đọc giả có thêm công cụ để học tập, giảng dạy Rất mong nhận góp ý, đóng góp bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh để tài liệu hoàn chỉnh Bình Tân, Ngày 15 Tháng 12 Năm 2014 Ý TƯỞNG CỦA PHƯƠNG PHÁP (2) Cho phương trình phương trình f x, y 0 f x 0 Giả sử ta chọn y a (hoặc x a co nst ) Khi đó n giả sử có nghiệm x ka b; a, b, k Q, n Z , ta hy vọng có thể phân tích phương trình f x, y 0 được: f x, y 0 x ky n b g x, y 0 f x, y 0 (Chú ý: Nếu phương tình có mối quan hệ tuyến tính x,y thì chắn ta phân tích thành nhân tử) 1.1 Các ví dụ minh họa dùng máy tính bỏ túi phân tích nhân tử 2 Ví dụ 1: A 2 x y xy x y Nhận xét: A là tam thức bậc hai Giả sử ta cho y=1000, ta A x 500 x 2998 x y x y 2 Ví dụ 2: A x xy y 3x 36 y 130 Nhận xét: A là tam thức bậc hai Giả sử ta cho y=1000, ta A x 1990 x 987 x y 10 x y 13 2 Ví dụ 3: A x xy x y y x y Nhận xét: A là tam thức bậc hai với y Giả sử ta cho x=1000, ta A y 1000000 y 999 x y x y 1 2 Ví dụ 4: A x y xy x y xy Nhận xét: A là tam thức bậc hai Giả sử ta cho x=1000, ta A 1000 y y 999999 xy 1 y x 1000 2 Ví dụ 5: A x y xy x xy y Nhận xét: A là tam thức bậc hai y Giả sử ta cho x=1000, ta A 1000 y y 99999 xy x y 500 2 Ví dụ 6: A 2 x y xy x y Nhận xét: A là tam thức bậc hai Giả sử ta cho y=1000, ta A 2 x 500 x 2998 x y x y CÁC VÍ DỤ MINH HỌA (3) xy x 0 x x y x y xy y 0 2.1 Giải hệ phương trình: Đại học khối D-2012 Nhận xét: Phương trình (2) hệ là dạng tam thức bậc hai y Giả sử ta cho x=1000 Khi đó: phương trình (2) có hai nghiệm y 1000000 x ; y 2001 2 x Bài giải: Pt (2) y x y x 1 0 y x y 2 x y 2 x y x xy x 0 xy x 0 Kết hợp với Pt (1) ta được: y x x x 0 y 2 x x x 0 y y 1 1 x 1 x Vậy nghiệm hệ phương trình là: 1 1 S x; y 1;1 , ; , ; 2 5 x y xy y 2( x y ) 0 xy ( x y ) x y 2.2 Giải hệ phương trình: Đại học khối A-2011 Nhận xét: Phương trình (2) hệ là phương trình bậc theo ẩn x, y Giả sử cho 1 x 1000 y Khi đó, phương trình (2) y=1000, đó phương trình có nghiệm có nhân tử Bài giải: xy 1 (4) pt (2) xy 1 x y 0 xy 0 2 x y 2 Kết hợp pt(1) ta được: 5 x y xy y x y 0 5 x y xy y x y 0 2 x y 2 xy 1 2 3 y x y 0 5 x y xy y x y 0 xy 1 xy TH 1: y y 0 x y x 1 x y 1 y 5 x y xy y x y 2 x y 2 TH 2: x y x 2 x y 0 x y x y 0 2 x y 2 x 2 y 5 y 2 2 x x 1 x y 1 y y 2 x y Vậy nghiệm hệ phương trình là: S x; y 1;1 , 1; 1 ; ; , 5 xy x y x y x y y x 2 x y 2.3 Giải hệ phương trình: Đại học khối D-2008 Nhận xét: Phương trình (1) có dạng bậc theo ẩn x y Giả sử cho y=1000, đó phương trình (1) có nghiệm x 1000 y; x 2001 2 y Bài giải: x 1 Điều kiện: y 0 (5) pt (1) x y x y 1 0 x y 0(l ) x 2 y Kết hợp phương trình (2) ta được: x 2 y y 1 y y y 2 y x 2 y y 1 y 0 x 5 x n l y 2 y Vậy hệ có nghiệm S x; y 5; y xy y x x y 13 15 x x 2.4 Giải hệ phương trình: Đề thi thử đại học khối A-THPT Trần Phú –Hà Tĩnh– 2013 Nhận xét: Phương trình (1) có dạng trùng phương theo ẩn y Giả sử cho x=1000, 2 đó phương trình (1) có nghiệm y 1001 x 1; y 992 x Bài giải: 15 x Điều kiện: pt (1) y x y x 0 y x y x Kết hợp phương trình (2) ta được: y x y 13 15 x x y x y 13 15 x x y x x 16 15 x x TH 1: y x x 1 15 x 2 x (6) y x x 0 6 x 13 x 15 0 y x 1 x 0 x 3( n); x / 6(l ) y 2 x 3 y x (l ) y 13 15 x x TH 2: 15 Do x y x 0(vn) Vậy nghiệm hệ phương trình là: S x; y 3; , 3; x 2 y x y 1 2.5 Giải hệ phương trình: x xy y x Nhận xét: Phương trình (1) có dạng bậc hai theo ẩn x y Giả sử ta cho y=1000, đó phương trình (1) có nghiệm x=1999=2y-1 Khi đó, phương trình (1) có nhân tử x y 1 Bài giải: y Điều kiện: 3 y x 0 pt (1) x x 4 y xy x y x y 1 x y 0 x 2 y x y x 2 y x xy y x Kết hợp phương trình (2) ta được: x 2 y x xy y x TH 1: x y x xy y x x 2 y y 1 y 1 y y 2 y x 2 y x x 3 2 y y 0 y 0 y 2 (7) x y y y y y y TH 2: x y 42 y 124 y 88 0 31 37 31 37 x x 21 y 37 y 37 7 31 37 2 37 S x; y 1;0 ; 3; ; ; 21 Vậy hệ có nghiệm 2.6 Giải hệ phương trình: y xy x 1 y xy x 3 Nhận xét: Phương trình (1) là phương trình bậc hai theo ẩn y, giả sử ta cho x=1000, đó phương trình (1) có nghiệm y 1; y 1999 2 x Khi đó, phương trình (1) phân thích thành nhân tử y 1 y x 1 0 Bài giải: pt (1) y 1 y x 1 0 y 1 y 2 x y 1 y xy x Kết hợp phương trình (2) ta được: TH 1: y 1 x 2 y 1 x y 2 x y xy x 3 TH 2: x x 2 y 3 y y 2 x 6 x 11x 0 y 2 x y xy x 3 (8) S x; y 2;3 ; ;1 ; ; Vậy hệ phương trình có nghiệm 2 x3 x y xy y x y x xy x 4 2.7 Giải hệ phương trình: Nhận xét: Phương trình (1) là phương trình bậc hai theo ẩn y giả sử cho x=1000, phương trình (1) có nghiệm y 1000 x; y 2000001 2 x Khi đó, phương trình (1) thể phân tích thành nhân tử yx.2120 Bài giải: pt (1) y x y x 0 y x y 2 x Kết hợp phương trình (2) ta được: y x x x 0 y 2 x 2 2 x x x x 0 y y x x x 0 x 1 TH 1: TH 2: y 2 x x x 0 y 10 17 17 x y 10 17 17 x Vậy hệ phương trình có nghiệm 17 17 S x; y 1; 1 ; ;10 17 ; ;10 17 x y xy x y 0 x y x y y 2.8 Giải hệ phương trình: Nhận xét: Phương trình (1) là phương trình bậc theo ẩn x, giả sử cho y=1000 Khi đó, phương trình (1) có hai nghiệm x 1000 y; x 2001 2 y 1 Do đó, phương trình (1) phân tích thành nhân tử Bài giải: x y x y 1 0 (9) pt (1) x y x y 1 0 x y x 2 y Kết hợp phương trình (2) ta được: x 2 y x y 3 2 2 x y x y y x y x y y x y x y 3 2 x y x y y x x 0 TH 1: x 2 y 15 y 21y y 0 TH 2: Vậy hệ phương trình có nghiệm y x x y S x; y 1; 1 2 x xy xy y 0 16 x x y 0 2.9 Giải hệ phương trình: Nhận xét: Phương trình (1) là phương trình bậc hai theo ẩn x, giả sử cho y=1000 Khi đó, phương trình (1) có hai nghiệm x 4000000 4 y ; x 500 y Do đó, phương x y x y 0 trình (1) có thể phân tích thành nhân tử Bài giải: pt (1) x y x y 0 x 4 y x y Kết hợp phương trình (2) ta được: x 4 y * 16 x 14 0 TH 1: x 4 y 16 x x y 14 0 y 2 x1 16 x x y 14 0 ** Từ pt (*), suy ra: x 0 , kết hợp phương trình (**) suy hệ vô nghiệm (10) TH 2: y 2 x 16 x x 32 x 14 0 y 2 x x 1 16 x 16 x 14 0 3 x x 1 x 2 y 3 3 y 2 y x y 3 2 3 S x; y 1; ; ; Vậy hệ phương trình có nghiệm 2 2 x xy y 5 x y x y x y 4 2.10 Giải hệ phương trình: Nhận xét: Phương trình (1) có dạng bậc hai ẩn x y, giả sử cho y=1000 1001 y x 998 y 2; x 2 Do đó, Khi đó, phương trình (1) có hai nghiệm phương trình (1) có thể phân tích thành nhân tử x y 2 2x y 1 0 Bài giải: pt (1) x y x y 1 0 y 2 x y 2 x y 2 x x x y y 4 Kết hợp phương trình (2) ta được: y 2 x 5 x x 0 x 1 y 1 TH 1: y 2 x x x y y 4 TH 2: y 2 x 2 x x y y 4 4 x y 13 x y 2 xy 1 x 1 y 1 13 S x; y 1;1 ; ; 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm (11) 2.11 Giải hệ phương trình: x 3x x y xy 2 2 y xy x x y Nhận xét: Phương trình (2) có dạng bậc hai theo ẩn x y, giả sử cho x=1000 Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm y 3000 3x; y thể phân tích thành 2999 x 1 2 Do đó, phương trình (2) có y 3x y x 1 0 Phương trình (1) là phương trình bậc theo ẩn x, giả sử cho y=1000 Khi đó, phuognw trình (1) có nghiệm x 3 Do đó, phương trình (1) có thể phân tích thành x 3 x y 0 Bài giải: pt (2) y 3x y 3x 1 0 y 3 x y x 0 pt (1) x 3 x y 0 x 3 x y Kết hợp phương trình (1); (2) ta được: y 3 x x 3 y 3x 3 x y 0 x y 1 0 x 3 y 9 TH 1: x 3 y 3 x x x 0 TH 2: y TH 3: x 3 3 x y 9 3 3 x y 0 x y 1 0 (12) 3x y 0 x y 0 3 x y 0 x x 0 x y 2 TH 4: 1 x y 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm 3 S x; y 3; ; 3;9 ; ; ; ; 4 y x x y x xy 16 x y 16 0 2.12 Giải hệ phương trình: Nhận xét: Phương trình (2) có dạng bậc hai theo ẩn x y, giả sử cho x=1000 Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm y 5004 5 x 4; y 996 x Do đó, phương trình (2) có thể phân tích thành y x y x 0 Bài giải: pt (2) y x y x 0 y 5 x y 4 x y 5 x y x 4 x Kết hợp phương trình (1) ta được: y 4 x y x x x 0 y 4 y 5 x y 5 x x y 0 y x 4 x x x TH 1: y 4 x y 4 x x x 0 y x x TH 2: x 0 y 4 x 4 y 0 S x; y 0; ; 4;0 ; ;0 Vậy hệ phương trình có nghiệm BÀI TẬP ÁP DỤNG (13) 3.1 Giải hệ phương trình: x x xy 3 y 2 4 x y xy y 9 y xy 3x y 3 x y 3 3.2 Giải hệ phương trình: 3.3 Giải hệ phương trình: y 12 3 x y x x y y x x x y 5 y x y 1 y x y 3.4 Giải hệ phương trình: x3 y x y xy 2 x y x y 3.5 Giải hệ phương trình: x 2 y x y 1 x xy y x 3.6 Giải hệ phương trình: 3.7 Giải hệ phương trình: xy 2 x y x y 1 x y x y Đề thi thử đại học-THPT Lê Qúy Đôn -HCM– 2010 4 y 16 xy 16 y x3 3x y x 0 x y x y 2 3.8 Giải hệ phương trình: Đề thi thử đại học khối -THPT Hùng Vương -HCM– 2013 x y x xy y 3 x y 4 x 16 y x 3.9 Giải hệ phương trình: Đề thi thử đại học khối A-THPT Lương Tài 2-Bắc Ninh – 2013 x x x 22 y y y 2 x y x y 3.10 Giải hệ phương trình: Đại học khối A,A1-2012 (14) 2 xy x y y 4 x y 2 xy x y x y 3 xy 3.11 Giải hệ phương trình: 3.12 Giải hệ phương trình: x y x y 6 y x x y x y 3 x y y 3x 0 2 x x 3 y y 3.13 Giải hệ phương trình: x x y y 0 3.14 Giải hệ phương trình: x xy y x x y y y 1 x y 6 3.15 Giải hệ phương trình: x x y 3 y 0 x y 3 3.16 Giải hệ phương trình: 3.17 Giải hệ phương trình: x x y y y 2 x y x y 0 x 3x y y 3 x y y 3.18 Giải hệ phương trình: Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ 2 x y y x 0 y y x 3x 3.19 Giải hệ phương trình: x3 y 3x x y x y x y 10 y 3.20 Giải hệ phương trình: x 3x y y x y 2 3.21 Giải hệ phương trình: 4x y (15) 2 x x y x x y 3 2 x y x y 15 3 x 3.22 Giải hệ phương trình: Đề thi thử ĐH – Bắc Ninh x y x y x3 3x 10 y 3 3.23 Giải hệ phương trình: x x 13x y y 10 THPT Thuận Thành – 7 x3 y 3xy x y 12 x x 1 x y x y 4 3.24 Giải hệ phương trình: Đề thi thử ĐH – Hà Tĩnh x 3x y 1 y y 1 x y x y 5 3.25 Giải hệ phương trình: Đề thi thử ĐH – Thái Bình x3 y xy xy x y 0 y x y 0 3.26 Giải hệ phương trình: x3 y xy 8 x y 2 x y 14 3.27 Giải hệ phương trình: 17 x x y 14 y 0 2 x y 3 x y 11 x x 13 3.28 Giải hệ phương trình: x y x 3 y 3 xy 3 y 15 y 23 x x y 3 3.29 Giải hệ phương trình: 4 x xy y y x 3 2 x xy y x 10 3.30 Giải hệ phương trình: 3.31 Giải hệ phương trình: 3 x xy y x y 0 3 y xy x 10 y 0 (16) 3.32 Giải hệ phương trình: x3 x x y3 y y 2 x y x xy y 0 3.33 Giải hệ phương trình: 43 0 2 xy y xy 27 6 x3 y 3xy xy 6 x y x y x y y xy 1 x y 1 x y 7 x 2 3.34 Giải hệ phương trình: 3 x y x y 3 x 1 y 1 12 x y 24 0 2 x y x y 3.35 Giải hệ phương trình: x3 y x y xy xy y x 0 x y x3 x y 3.36 Giải hệ phương trình: x x y 3 y 0 x x xy x 11 0 3.37 Giải hệ phương trình: 3 x y y y x 2 x y x y 0 3.38 Giải hệ phương trình: 8 x x 18 x x y xy 5 y 13 y y y 16 x 7 3.39 Giải hệ phương trình: 3 x x y y x y 0 x x y y 1 3.40 Giải hệ phương trình: x3 y x3 y y x 3x 28 y 32 x y 5 3.41 Giải hệ phương trình: y 25 3 x x xy y 24 0 2 x x xy y y 0 3.42 Giải hệ phương trình: (17) x y 2 x y 2 x x y x x y 3.43 Giải hệ phương trình: 3.44 Giải hệ phương trình: 2 y y x x 3 x y y 4 x 3 x y xy x y 0 x y y x 2 x y 3.45 Giải hệ phương trình: 8 x y 3xy x y x y 2 x y 3.46 Giải hệ phương trình: 3x x 1 y y x y x y x y 0 3.47 Giải hệ phương trình: x y x 1 y 5 y x x x y 0 3.48 Giải hệ phương trình: x x y y 15 y 14 x y x3 y 3.49 Giải hệ phương trình: 3 x 12 x y y 16 0 2 4 x x y y 0 3.50 Giải hệ phương trình: x y x 4 xy y x y x y x y x y 2 3.51 Giải hệ phương trình: y x x y y 1 x y 3 x x y 3.52 Giải hệ phương trình: 2 y x x 3 x y y 2 x xy x 3.53 Giải hệ phương trình: (18) x 2 y x y 1 x 5 xy y 3y 3.54 Giải hệ phương trình: x x 2 y y 3 x y 5 3.55 Giải hệ phương trình: x y 3 y 3 2 x y y x 1 x x 1 0 3.56 Giải hệ phương trình: x 3x y y x y 2 3.57 Giải hệ phương trình: 2 x x y y 3 xy x y x 8 y 3.58 Giải hệ phương trình: y y xy y 1 4 x 10 x x x 18 y 3.59 Giải hệ phương trình: x y x y y y 0 x y 1 y2 y 3.60 Giải hệ phương trình: 3.61 Giải hệ phương trình: 4 x xy y x y 0 8 x y 0 3.62 Giải hệ phương trình: x y xy y 0 2 6 x y xy x y 0 y 2x y x 0 xy xy x y 0 3.63 Giải hệ phương trình: y x x y x y y 3 x x y 3.64 Giải hệ phương trình: (19) 3.65 Giải hệ phương trình: x3 x x2 x y 1 x y y y y x x 0 y2 y 3.66 Giải hệ phương trình: 2 x4 y 2x2 y x y y2 x2 x2 y2 xy y x 8 y y 10 x y 3 y x x y y 1 x 3.67 Giải hệ phương trình: 2 x y x 1 y 1 1 ; x 0 3 y 8 x3 y 3.68 Giải hệ phương trình: x y 1 4 xy 13 x xy y 2 x y x y x y2 3.69 Giải hệ phương trình: 3.70 Giải hệ phương trình: x 3 y 1 y 2x y 1 1 3x y y y x y x 2 x y 1 y 2 y x y 2 x y x y 3.71 Giải hệ phương trình: Đề thi ĐH KB – 2014 x 12 y y 12 x 12 x3 x 2 y 3.72 Giải hệ phương trình: Đề thi ĐH A – 2014 TỔNG KẾT (20) 3.1 ƯU ĐIỂM - Có thể giải lớp bài tập hệ phương trình có dạng phân tích thành nhân tử - Một số hệ phương trình có sử dụng tính đơn điệu hàm số có thể phương pháp này.( Những hàm số dạng đa thức) 3.2 NHƯỢC ĐIỂM - Bản chất việc học toán là rèn luyện tư duy, còn phương pháp này là cái mẹo để giải nhạnh hệ phương trình, đó không nên lạm dụng quá làm cho người học hạn chế tư duy, sang tạo học toán - Đối với các em học sinh bắt đầu tham gia giải hệ phương trình thì không nên giải theo cách này mà nên tập khả đặt nhân tử chung, tập phân tích bài toán TẠI LIỆU THAM KHẢO [1] Một số tài liệu trên internet có nguồn góc từ: Diễn đàn toán học, Tài liệu hệ phương trình Thầy Lê Văn Đoàn, Thầy Nguyễn Minh Hiếu, thủ thuật máy tính Alexander Viet,….Và nhiều nguồn khác trên internet (21)