Thông tin tài liệu
Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN - Họ tên: Đinh Quang Minh - Ngày tháng năm sinh: 02/01/1961 - Giới tính: Nam - Địa chỉ: Tổ – khu 12 – Thị trấn Tân Phú – Huyện Tân Phú - Điện thoại : 0902795345 - email: inhquangminh@yahoo.com.vn - Năm vào ngành: 1982 - Chức vụ : Giáo viên - Đơn vị công tác: Trường THPT Đoàn Kết - Huyện Tân Phú – Đồng Nai II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: - Học vị ( chun mơn trình độ cao nhất): Cử nhân khoa học - Năm nhận bằng: 1990 sa III KINH NGHIỆM KHOA HỌC: sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em - Chuyên mơn đào tạo: Sư phạm Tốn - Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Tốn - Số năm có kinh nghiệm: 33 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: DUYỆT CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Th■ah■■ng Mang Luôn 123doc thu■n l■icam s■ tr■ h■u k■t s■ nghi■m t■im■t d■ng s■website mang kho m■i th■ m■ l■i d■n CH■P vi■n nh■ng cho ■■u kh■ng ng■■i NH■N quy■n chia dùng, l■ CÁC s■l■i v■i và■I■U t■t công h■n mua nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N cho tàihi■n ng■■i li■u TH■A tài th■ hàng li■u dùng hi■n THU■N ■■u ■ t■t Khi ■■i, Vi■t c■ khách b■n l■nh Nam Chào online hàng v■c: Tác m■ng tr■ khơng tài phong thành b■n khác chun ■■n thành tíngì d■ng, v■i so nghi■p, viên 123doc v■i cơng c■a b■n hồn ngh■ 123doc g■c h■o, thơng B■n và■■ n■p có tin, cao th■ ti■n ngo■i tính phóng vào ng■, Khách trách tài to,kho■n nhi■m thu nh■ c■a ■■i hàng tùy123doc, v■i ý cót■ng th■b■n d■ ng■■i dàng s■ dùng ■■■c tra c■u M■c h■■ng tàitiêu li■u nh■ng hàng m■t■■u quy■n cáchc■a l■i123doc.net sau xác,n■p nhanh ti■n tr■ chóng thành website th■ vi■n tài li■u online l■n nh■t Vi■t Nam, cung c■p nh■ng tài li■u ■■c khơng th■ tìm th■y th■ tr■■ng ngo■i tr■ 123doc.net Nhi■u event thú v■, event ki■m ti■n thi■t th■c 123doc luôn t■o c■ h■i gia t■ng thu nh■p online cho t■t c■ thành viên c■a website Mangh■n Luôn Th■a Xu■t Sau Nhi■u 123doc h■■ng phát thu■n l■i event cam s■ nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thông B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mơ nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Lnh■n 123doc Sau Th■a Xu■t h■■ng phát thu■n cam nh■n m■t t■k■t s■ t■i ýxác n■m t■■ng d■ng s■ nh■n website mang ■■i, t■o t■l■i c■ng ■■ng d■n 123doc CH■P nh■ng ■■u ■■ng h■ NH■N ■ã quy■n th■ng chia t■ng ki■m CÁC s■s■ l■i b■■c ti■n vàchuy■n ■I■U t■t mua online kh■ng nh■t bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh ng■■i li■u ph■n tài TH■A v■ li■u hàng thông dùng tríTHU■N hi■u c■a ■■u tin Khi qu■ Vi■t xác khách nh■t, minh Nam Chào hàng uy tài l■nh Tác m■ng tín kho■n tr■ phong v■c cao thành b■n email nh■t tàichuyên ■■n li■u thành b■n Mong v■i nghi■p, viên kinh ■ã 123doc 123doc.net! mu■n ■■ng c■a doanh hoàn mang 123doc kýonline v■i h■o, Chúng l■ivà 123doc.netLink cho Tính ■■ n■p tơi c■ng cao ■■n cung ti■n tính ■■ng th■i vào c■p trách xác tài ■i■m D■ch xãkho■n th■c nhi■m h■itháng V■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i ■■■c ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c g■i t■ng tài 123doc v■ mô nguyên b■n ng■■i ■■a t■s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ th■c m■c ■ây) email M■c h■■ng quý 100.000 cho b■n tiêu báu, b■n, nh■ng ■ã hàng phong l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau vuingày, n■p lòng “■i■u giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Lnh■n Th■a Xu■t Sau Nhi■u 123doc Mang h■■ng phát thu■n l■i event cam s■ nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thông dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chun ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thơng B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t u■t phát Nhi■u Mang Ln 123doc Th■a Xu■t Sau h■n h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n t■ m■t tr■ t■ h■u ýk■t s■ thú nghi■m t■i ýt■■ng xác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event t■o kho m■i ■■i, t■o t■ c■ng th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■ng ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia ki■m t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c ti■n s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công online h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N b■ng sang b■ng cho tài ■■nh hi■n tài ng■■i li■u ph■n tài TH■A li■u tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng trí hi■u hi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin qu■ t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia nh■t, b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online uy hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác tín m■ng tín kho■n tr■ cao nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n nh■t email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tín Mong b■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã mu■n t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n mang hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i l■i h■o, Chúng l■i thông B■n cho 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có c■ng tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i ■■ng tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác xã tài ■i■m D■ch xã to,h■i kho■n th■c nhi■m h■i thum■t tháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ngu■n ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cótài g■i t■ng th■ tài 123doc ngun v■ mơ nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t tri d■■i tri dùng ■■■c ch■ th■c tra th■c m■c ■ây) email c■u quý M■c h■■ng quý 100.000 cho tài báu, b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng phong ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u phú, quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a ■a l■i b■n vào d■ng, 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p giàu lòng “■i■u nhanh giàu ti■n giá s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u tr■ thành tr■ nh■p ■■ng 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email th■i vi■n th■i Thu■n mong c■a thành mong tài v■ li■u mu■n viên mu■n S■ online ■■ng D■ng t■o click t■o l■n ■i■u ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n ki■n V■” vào Vi■t 123doc cho top sau cho Nam, cho 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■i users website c■p users ■âynh■ng có ■■■c cóph■ thêm thêm tài bi■n g■i thu thu li■u t■t nh■p nh■t nh■p ■■c T■it■i Chính khơng t■ng Chính Vi■tth■i vìth■ Nam, vìv■y v■y ■i■m, tìm 123doc.net t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racó ■■i thu■c ■■i tr■■ng th■ nh■m nh■m c■p top ngo■i ■áp 3nh■t ■áp Google ■ng tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net nhu Nh■n nhuc■u c■u ■■■c chia theo chias■ quy■t danh s■tàitài hi■u li■u li■uch■t ch■t c■ng l■■ng l■■ng ■■ng vàvàki■m bình ki■mch■n ti■n ti■nonline online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Nhi■u Mang Luôn 123doc Th■a Xu■t Sau h■n h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n cơng ■■ng c■a c■ doanh b■n hồn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thông B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh A.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Đề tài thực năm học 2013 – 2014 , năm học 2014 – 2015 tiếp tục nghiên cứu bổ sung Trong trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi trường, nhận thấy mảng kiến thức phương trình , hệ phương trình nghiêm nguyên, nguyên dương thật đa dạng khơng có phương pháp giải chung cho loại toán học sinh người dạy gặp nhiều khó khăn Nhằm giúp học sinh đội tuyển toán trường học sinh u thích mơn tốn trường giải phần khó khăn trên, tơi viết chuyên đề “ Kinh nghiệm giải phương trình,hệ phương trình nghiêm nguyên” sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em B TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I Cơ sở lý luận - Tốn học mơn khoa học , học tốn địi hỏi người học ngồi việc phải nắm vững khái niệm, định lý, tính chất cịn địi hỏi phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức vào tốn cụ thể để giải , đơn thuộc - Trong trình học tốn giải tốn lại khơng có phương pháp chung để giải tốn, khác vận dụng phương pháp giải khác - Phân loại dạng tốn , phân tích tìm phương pháp giải để từ rút kinh nghiệm giải đồng thời vận dụng kinh nghiệm , kiến thức để giải tốn khác II Nội dung biện pháp thực giải pháp đề tài 2.1 Thuận lợi: - Được quan tâm đạo Ban lãnh đạo nhà trường công tác đổi phương pháp giảng dạy - Các em học sinh ngoan có ý thức học tập 2.2 Khó khăn: - Điều kiện học tập chưa tốt, sở vật chất hạn chế - Là trường miền núi nên mặt kiến thức chưa đồng học sinh với nhau, nhiều học sinh có hồn cảnh gia đình khó khăn , em phải phụ giúp gia đình kiếm bữa ăn nên thời gian cho học tập dẫn đến học yếu tất nhiên 2.3 Phạm vi , đối tượng, thời gian thực hiện: - Đối tượng nghiên cứu: Một số phương trình,hệ phương trình nghiệm nguyên, nguyên dương - Phạm vi nghiên cứu: Một số toán - Thực đề tài chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10,11 2.5 Các biện pháp thực đề tài: Bước 1: Hệ thống hố kiến thức Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh Bước 2: Đưa số ví dụ điển hình, phân tích học sinh xây dựng phương pháp giải Bước 3: Rèn luyện kĩ giải tập tương ứng cho học sinh thông qua số tập bổ sung Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng NỘI DUNG A PHƯƠNG TRÌNH I Một số kiến thức cần nắm Phương trình vơ định: ax by c (1) với a,b,c ngun a Định lý: Phương trình (1) có nghiệm nguyên (a,b) c b Hệ quả: Nếu (a, b) Thì phương trình (1) ln có nghiệm ngun Ta coi phương trình (1) phương trình đường thẳng mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm nghiêm riêng nguyên (x o ; y o ) Khi phương trình x x o bt (1) có nghiệm nguyên tổng quát (t ¢ ) y y at sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Nếu phương trình (1) nhẩm nghiệm ngun ta tính nhẩm cho nhanh Nếu khơng ta dùng thuật tốn Euclide để tìm Trước tiên tìm nghiệm riêng phương trình ax by với (a, b) Viết thuật toán Euclide cho hai số a b a bqo r1 b r1q1 r2 r1 r2q2 r3 rk 1 rk qk Viết “ thương số” dãy phép chia thuật toán Tính m qo q1 q2 p q qk x p x q Nghiệm riêng ax+by=1 thỏa o o y o q Thử trường hợp xác định (x o ; y o ) y o p Cuối nghiệm riêng (1) (cx o ; cy o ) Phương trình bậc nhiều ẩn: Định lý: Phương trình a1 x1 a2 x2 an xn c ( ¢ , b ¢ ) có nghiệm nguyên (a1, a2 , , an ) c Các tính chất chia hết, số nguyên tố, đồng dư; Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CƠ BẢN: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: n n i 2 i 2 a x i b c x i n a x i 2 c ( với a , b , c số tự nhiên) i n n i 2 i 2 a x i b c x i a Phương trình dạng: + Khi n = ( Dùng phương pháp phân tích) Ta có a( x + y ) + b = c.xy ( 1) (1) (cx a)(cy a) a bc m.n ( 2) cx a a bc cx a m , cy a n cy a ( Giải hệ tìm nghiệm thích hợp x, y IN * ) Nên (2) Do x , y bình đẳng nên ( x0 ; y0) nghiệm ( y0 ; x0) nghiệm + Khi n > ( Dùng bất đẳng thức để thu nhỏ miền nghiệm) Ta viết a( x1 + x2 + ….+ xn ) + b = c.x1.x2…xn ( 3) Do x , y bình đẳng nên ta giả sử x1 x2 xn a a a b c x x3 x n x1 x3 x n x1 x x n 1 x1 x x n sa Do x1 x2 xn Nên sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Ta có (3) a a a a b b n 1 , ., n 1 , n 1 x x n x n x1 x n 1 x n x1 x n x n na b c(na b) c(na b) na b c x nn 1 m IN * Suy n 1 n 1 c na b xn c.x n ( 4) Từ (4) tìm xn thay vào PT (3) ta PT n – ẩn x1 , x2 , …, xn-1 Tiếp tục bước để tìm xn-1 , …, x1 + Cần ý: - Nếu tìm xn = p cần giả sử x1 x2 xn1 p - Nếu có nghiệm phân biệt p1 , p2 , …., pn Thì số nghiệm PT n! hốn vị từ nghiệm b Phương trình dạng n a x i 2 c có cách giải loại a i Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x + y + z = xyz (1) Giải: Do x,y,z bình đẳng Ta giả sử x y z 1 1 z Do z IN * nên z = yz xz xy z + VớI z = (1) x y xy ( x 1)( y 1) (1) Phương trình, hệ nghiệm nguyên x y 1 Ta có Gv: Đinh Quang Minh x y + Vậy nghiệm ( ; ; 1) Khi PT cho có nghiệm hốn vị từ nghiệm Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun dương PT 5( x+y+z+t) + 10 = 2xyzt (2) Giải: Do x,y,z bình đẳng Ta giả sử x y z t (2) 5 5 10 30 t 15 t t t 2 yzt xzt xyt xyz xyzt 2t + Với t = Ta có 5(x+y+z) + 15 = 2xyz (3) 5 15 30 z 15 z z z z yz xz xy xyz 2z + Với z = Ta có 5( x y ) 20 xy (2 x 5)( y 5) 65 2 x 65 2 x 13 x 35 x Ta có 2y 2y y3 y (3) sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Vậy có nghiệm ( 13 ; ; ; 1) ( ; ; ;1 ) Nghiệm phương trình hốn vị + Với z = , Phương trình vơ nghiệm + Với t =2 Ta có 5( x+ y + t) + 20 = 4xyz ( 4) 5 20 35 35 1 z2 z2 yz xz xy xyz 4z Do x y t Nên z = Ta có 5( x+y) + 30 = 8xy (4) (8 x 5)(8 y 5) 265 5.53 (5) Vì x y t nên x y 11 Vậy PT (5) vơ nghiệm + Kết luận: có nghiệm ( 13 ; ; ; 1) ( ; ; ;1 ) Nghiệm hốn vị Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương lẻ phân biệt phương trình 1 1 563 x y z t k 315 ( 1) Giải: Do x,y,z bình đẳng Ta giả sử x y z t k (1’) 563 5.315 k 2,7 k ( k lẻ ) k 315 563 1 1 248 + k =1 ta có (1) ( 2) x y z t 315 VớI x y z t (2’) 248 4.248 t t Từ (2) (2’) suy t 315 315 1 143 + t = ta có (2) x y z 315 Từ (1) (1’) suy Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh + Các bước tương tự tìm z = , y = , x = + Vậy có nghiệm ( ; ; ; ; 1) Nghiệm hoán vị nghiệm Ví dụ 4: Một tam giác có số đo đường cao số nguyên bán kính đường tròn nội tiếp tam giác chứng minh tam giác tam giác Giải: A c O b C B a Mặt khác: S S ABO S AOC S BOC Đặt a BC, b AC, c AB Gọi x,y,z độ dài đường cao ứng với cạnh a,b,c tam giác Do bán kính đường trịn nội tiếp tam giác r = nên x, y, z Giả sử x y z Diện tích tam giác ABC 1 S ax by cz (1) 2 (a b c) (2) sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Từ (1) (2) suy ra: ax by cz a b c a b c a bc abc 1 1 1 x y z x y z 1 1 x y z z z3 z ( z 2) 1 1 Từ 3( x y) xy x y z x y (2 x 3)(2 y 3) x y x 6, y (loại) Khi a = b = c Vậy tam giác ABC Ví dụ 5: Tìm hai số ngun dương x,y cho tổng số với chia hết cho số Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh Giải: ( x 1)My Theo giả thiết ta có ( y 1)Mx ( x 1)( y 1)Mxy ( xy x y 1)Mxy ( x y 1)Mxy x y nxy (n ¢ ) 1 n (1) x y xy Khơng tính tổng quát ta giả sử x y 1 1 , x y xy y 1 (2) x y xy y (1),(2) n y y 1,2,3 y Với y = ta có: x nx (n 1) x 2Mx x 1,2 Với y = ta có x x (2n 1) x 3Mx Ta có x y x x 1 Với y = ta có: x y n ( loại) x y xy Kiểm tra thấy thỏa Vậy cặp số cần tìm là: ( x, y) (1,1),(1,2),(2,1),(3,2),(2,3) sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Ví dụ 6: Tìm tất ba số nguyên dương x,y,z cho tích hai ba số thêm chia hết cho số thứ Giải: ( xy 1)Mz Theo giả thiết ta có ( yz 1)Mx (*) ( xz 1)My Từ (*) ( xy 1)( xz 1)( yz 1)Mxyz ( xy yz zx 1)Mxyz xy yz zx mxyz (m ¢ ) 1 1 m (1) x y z xyz Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Khơng tính tổng qt ta giả sử z y x Ta có 1 1 1 , , x y x z x xyz 1 1 m x x y z xyz x3 x 1,2,3 ( y 1)Mz (a) (b ) Xét x = hệ (*) thành ( yz 1)M ( z 1)My (c) (b) thỏa với yz ngun dương Khi theo ví dụ ta có: ( y, z ) (1,1),(1,2),(2,3) Kiểm tra ba thỏa đề ( x, y, z ) (1,1,1),(1,1,2),(1,2,3) hoán vị Xét x = Từ (1) Ta có 1 1 m y z yz m đạt giá trị lớn y,z nhỏ nhất: 1 1 1 1 13 Ta có y z yz 2 8 13 Suy m lớn mà m nguyên dương nên m = 1 1 1 y z yz 1 1 y z yz 2z 2 Vậy ta có y z2 z2 ( z 2) z 3,7 Với z y = Với z y = Xét x = Từ (1) Ta có 1 1 m Tương tự x = m xảy m = y z yz Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh 1 1 1 y z yz 3z y 3z y 1 3z (3 z 3) (*) Mà z nên (*) khơng xảy Kiểm tra thì (x,y,z)=(2,3,7) hốn vị thỏa đề Kết luận: Các số (1,1,1),(1,1,2),(1,2,3),(2,3,7) hoán vị chúng sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHỜ TÍNH CHẤT CHIA HẾT, SỐ NGUN TỐ Ví dụ 1: Giải phương trình với nghiệm nguyên: 3x + 17y = 159 (1) Hướng dẫn: Giả sử x, y số ngun thỗ mãn phương trình (1) Ta thấy 159 3x chia hết 17y 3; Do y 3 (vì 17 ngun tố nhau) Đặt y = 3t (t Z) thay vào (1) ta được: 3x + 17.3t = 159 suy x = 53 – 17t Đảo lại, thay biểu thức x, y vào (1), phương trình nghiệm Vậy pt (1) có vơ số nghiệm ngun (x, y) biểu thị cộng thức: x 53 17t (t ¢ ) y 3t Chú ý : Ta thể tìm nghiệm nguyên riêng (x ;y) (53 ;0) x 53 17t (t ¢ ) y 3t nghiệm phương trình : Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – 2y2 = (2) Hướng dẫn: Từ phương trình (2) ta suy x phải số lẻ Thay x = 2k + (k Z) vào (2), ta được: 4k2 + 4k + – 2y2 2(k2 + k – 1) = y2 => y2 số chẵn Đặt y = 2t (t Z), ta có: 2(k2 + k – 1) = 4t2 k2 + k – = 2t2 k(k + 1) = 2t2 + (**) Nhận xét: k(k + 1) số chẵn, 2t2 + số lẻ => pt (**) vô nghiệm Ví dụ 3: Chứng minh khơng tồn số nguyên x, y, z thoả mãn: x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2000 (3) Hướng dẫn: Ta có (x – x) = (x – 1)x(x + 1) tích số nguyên liên tiếp (với x số nguyên) Do đó: x3 – x 3 Tương tự y3 – y z3 – z chia hết cho Từ ta có : x3 + y3 + z3 – x – y – z chia hết cho Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh Vì 2000 không chia hết x + y + z – x – y – z 2000 với số 3 nguyên x, y, z; tức phương trình (3) khơng có nghiệm ngun (4) Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy + x – 2y = Hướng dẫn: Ta có (4) y(x – 2) = -x + x Vì x = khơng thoả mãn phương trình nên (4) y y 1 x2 x2 Ta thấy: y số nguyên x – ước 1, suy : x – = x = x = Ta cĩ : x y 2,x y Kiểm tra thấy phương trình có nghiệm (x, y) (1; -2) (3; 0) Lưu ý: Bài dùng phương pháp đưa tích để đưa dạng: (x – 2)(y + 1) = sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Ví dụ 5: Cho đa thức f(x) có hệ số nguyên Biết f(1).f(2) = 35 Chứng minh đa thức f(x) nghiệm nguyên Hướng dẫn: Giả sử f(x) có nghiệm nguyên a Thế thì: f(x) = (x – a).g(x); g(x) đa thức có hệ số nguyên Suy f(1) = (1 – a) g(1) f(2) = (2 – a).g(2); g(1), g(2) số nguyên Do đó: f(1).f(2) = (1 – a)(2 – a) g(1).g(2) Suy 35 = (1 – a)(2 – a) g(1).g(2) (*) Ta thấy (1 – a)(2 – a) tích số nguyên liên tiếp nên số chẵn nên vế phải số chẵn, vế trái số lẻ nên khơng xảy đẳng thức (*) Tức đa thức f(x) khơng có nghiệm ngun Ví dụ 6: Tìm nghiệm ngun phương trình: x 2x 4y 37 Hướng dẫn : x 2x 4y 37 (x 1)2 (2y)2 38M 19 ( dạng 4k+3) 2 192 (vô lý) (x 1)M 19 2yM 19 (x 1) (2y) M Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Ví dụ 7: Tìm nghiệm ngun phương trình: x y3 Hướng dẫn : x y3 x (y 2)(y 2y 4) Nếu y chẵn (x2 1)M x2 3(mod4) vơ lý Nếu y lẻ y2 2y (y 1)2 có dạng 4k + nên phải có ước nguyên tố dạng đó, x2 có ước nguyên tố dạng 4k + điều vô lý Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun 10 Phương trình, hệ nghiệm ngun Gv: Đinh Quang Minh Ví dụ 8: ( Đề thi HSG lớp 10 năm học 2014 – 2015 Đồng Nai ) Tìm nguyên x,y thoả: 3x 5y 255 (*) Giải : với k,m số nguyên mà số nguyên tố nên xM x 5k x2 25k Từ PT(*) suy x2 M Khi (*) thành 75k 5y 255 15k y 51 (**) (**) suy y2 M mà số nguyên tố nên yM y 3m y2 9m2 (**) thành 15k 9m2 51 5k 3m2 17 (***) 17 (***) 5k2 17 k2 k 1 m 2 Suy nghiệm (x ;y) (5 ;6),(5-6),(-5 ;6),(-5 ;-6) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình: 19x 28y 729 (1) Hướng dẫn : Ta có: 19x 28y 729 (18x 27y ) (x y ) 729 (*) (*) ( x2 y2 )M xM ; yM x 3x ; y 3b (1) thành 19a2 28b2 81 (18a2 27b2 ) a2 b2 81 (**) Tương tự x,y (**) thành 19u2 28v2 vô nghiệm sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH: Ta biến đổi phương trình dạng: vế trái tích đa thức chứa ẩn, vế phải tích số ngun Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy – x – y = (1) Hướng dẫn: Ta có (1) x(y – 1) – y = x(y – 1) – (y – 1) = (y – 1) (x – 1) = Do vai trị bình đẳng x y pt nên giả sử x y x – y – ìï x = x 1 x0 ïì x - = ïí Vậy ta có : ïí hay hay ïïỵ y - = ïïỵ y = y 3 y 2 Kiểm tra thấy đúng.Vậy nghiệm nguyên pt (4; 2), (0; -2); (2; 4), (-2;0) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: y3 – x3 = 91 (2) Hướng dẫn: (2) (y – x)(y2 + xy + x2) = 91 (*) Vì y2 + xy + x2 > với x, y nên từ (*) => y – x > Mặt khác: 91 = 1.91 = 7.13 y – x, y2 + xy + x2 nguyên dương nên ta có khả sau: y x 1 ïìï y - x = 91 í 2 ïïỵ x + xy + y = x xy y 91 11 Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh ìïï y - x = 13 yx7 ; í 2 ïïỵ x + xy + y = x xy y 13 Giải ta nghiệm pt là: ìïï x = - ìïï x = x 4 ; ; ; í í ïïỵ y = ïïỵ y = y3 x 6 y 5 Ví dụ3: Tìm nghiệm ngun phương trình: x + y + xy = Hướng dẫn: Biến đổi pt dạng: (x + 1)(y + 1) = 10 Khi nghiệm ( x;y) l (1, 4); (4, 1); (-3, -6); (-6, -3), (9, 0); (0, 9); (-2; -11); (-11, -2) Ví dụ 4: Tìm nghiệm ngun phương trình sau: y2 = x(x + 1)(x + 7)(x + 8) (4) sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Hướng dẫn: (4) y2 = ( x2 + 8x)(x2 +8x + 7) Đặt z = x2 + 8x; ta có y2 = z2 + 7z 4y2 = (2z + 7)2 – 49 (2z – 2y + 7)(2z + 2y +7) = 49 Chỉ xảy trường hợp sau: 2z 2y y 12 a 2z 2y 49 z y 12 y 12 Ta có : x 8x x x 9 2z 2y 1 y 12 b 2z 2y 49 z 16 y 12 y 12 Ta có : x 8x 16 x 4 2z 2y 49 y 12 c 2z 2y z9 y 12 y 12 Ta có : x 8x x x 9 2z 2y 49 y 12 d 2z 2y z 16 y 12 y 12 Ta có : x 8x 16 x 4 e 2z – 2y + = 2z + 2y +7 = y = z = 12 Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh y y 12 Ta có : x 8x x x 8 f 2z – 2y + = 2z + 2y +7 = -7 y = 0; z = -7 y y 12 a có : x 8x 7 x 1 x 7 Kiểm tra kết luận Ví dụ 5: Tìm nghiệm ngun phương trình: xy = p(x + y) với p số nguyên tố cho trước Hướng dẫn: xy = p(x + y) px + py – xy = x(p – y) – p(p – y) = – p2 p số ngun tố Do ta có: ìïï x - p = p2 ïìï x - p = - p2 x p 1 (1) (2) (3) í í ïïỵ y - p = ïïỵ y - p = - y p p ìïï x - p = p x p p (5) (6) í ïïỵ y - p = p y p p x p 1 (4) y p p sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Giải ta nghiệm nguyên là: (p2 + p; + p); (1 + p; p2 + p); (-p2 + p; -1 + p) (-1 + p; -p2 + p); (2p; 2p); (0; 0) SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC: Dùng bất đẳng thức để đánh giá ẩn từ đánh giá suy giá trị nguyên ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – xy + y2 = (1) 3y y Hướng dẫn: (1) x = – 2 3y y -2 y Vì x – 2 Lần lượt thay y = 2; y = 1; vào phương trình để tính x Ta có nghiệm nguyên phương trình là: (-1; -2), (1; 2); (-2; -1); (2; 1), (-1; 1), (1; -1) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 x y Hướng dẫn: Do vai trị bình đẳng x y nên giả sử: x y Hiển nhiên ta có: 1 nên y > y Mặt khác do: x y nên (1) 1 1 1 = + Do đó: x y x y y y y 13 Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh nên y y (2) Ta xác định khoảng giá trị y là: y 1 1 = = nên x = 12 x 12 1 Với y = ta được: = - = , loại x số nguyên x 15 1 1 Với y = ta được: = = nên x = x 6 Với y = ta được: Vậy nghiệm phương trình là: (4; 12), (12; 4), (6; 6) Ch ý : Ta đưa phương trình tích: yx xy – 3x – 3y = (x – 3)(y – 3) = xy Ví dụ 3: Tìm nghiệm ngun phương trình: yz xz xy + + =3 x y z Hướng dẫn: Điều kiện x, y, z Ta có: y2x2 + z2x2 + x2y2 = 3xyz xyz >0 Ap dụng BĐT Cosi ta có: y2x2 + z2x2 + x2y2 x 4y 4z4 3xyz x 4y 4z4 xyz xyz = (do xyz >0) sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Vậy ta có nghiệm: (1, 1, 1); (1, -1, -1); (-1, 1, -1); (-1, -1, 1); ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG: Biến đổi phương trình dạng: vế trái tổng bình phương, vế phải tổng số phương hay Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + y2 – x – y = (1) Hướng dẫn: (1) 4x2 + 4y2 – 4x – 4y = 32 (4x2 – 4x + 1) + (4y2 – 4y + 1) = 34 |2x – 1|2 + |2y – 1|2 = 32 + 52 Do phương trình thoả mãn khả năng: 2x 2y ìï 2x - = ï í ïï 2y - = ïỵ Giải hệ v kiểm tra Phương trình cho có nghiệm (x;y)là: (2; 3), (3; 2), (-1; -2), (-2; -1) Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phương trình: x2 + 2y2 + z2 – 2xy – 2y + 2z + = Hướng dẫn: Ta biến đổi dạng: (x – y)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = x – y = 0; y – = 0; z + = phương trình có nghiệm (1; 1; -1) 14 Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh Ví dụ 3: Giải phương trình tập số ngun Z: x2 – 6xy + 13y2 = 100 Hướng dẫn: Ta biến đổi phương trình dạng: (x – 3y)2 = 4(25 – y2) (1) Từ (1) 25 – y2 y2 25 25 – y2 số phương Vậy: y2 {0, 9, 16, 25} y {0, 3, 4, 5} Thay vào ta tìm giá trị x PHƯƠNG PHÁP XUỐNG THANG: Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – 5y2 = (1) Hướng dẫn: Giả sử (x0; y0) nghiệm (1) thì: x02 – 5y02 = x0 5 ; Đặt x0 = 5x1 (x1 Z) Ta có: 25x12 – 5y02 = 5x12 – y02 = y0 5 Đặt y0 = 5y1 (y1 Z) Từ ta có: 5x12 – 25y12 = x12 – 5y12 = x0 y0 ; nghiệm (1) 5 ỉx y ÷ với k ngun dương bất kỳ, Tiếp tục lập luận tương tự, ta cú ỗỗỗ k0 ; k0 ữ ữ ỗố 5 ÷ ø sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Vậy (x0; y0) nghiệm (1) nghiệm nguyên (1): hay x0; y0 chia hết cho 5k với k số nguyên dương tuỳ ý Điều xảy x0 = y0 = Vậy phương trình cho có nghiệm : x = y = Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 = 2y3 + 4z3 Hướng dẫn: Từ phương trình cho ta suy x chẵn, hay x = 2x1 (x1 Z) Thay vào ta 4x13 = y3 + 2z3 Ta lại suy y chẵn, y = 2y1 (y1 Z) Thay vào ta được: 2x13 = 4y13 + z3 Do z chẵn, z = 2z1 (z1 Z) Thay vào ta được: x13 = 2y13 + 4z13 Vậy (x, y, z) nghiệm phương trình cho x y z ; ; nghiệm phương trình cho Một cách tổng quát, ta suy 2 2 æx y z ữ ỗỗ ; ; ữ cng l nghiệm phương trình cho, với n N, hay x, y, z ỗố2n 2n 2n ữ ữ ø chia hết cho 2n với n, Do x = y = z = 15 Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh Sử dụng liên phân Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun dương phương trình x y Hướng dẫn: 10 Biểu diễn 1 ta có x 2 nên x 1, y 2, z 1 y z 1 1 2 z 10 phân tích Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 31( xyzt xy xt zt 1) 40( yzt y t) sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Hướng dẫn: Dễ thấy x,y,z,t không đồng thời không nên yzt y t 31( xyzt xy xt zt 1) 40( yzt y t ) 31( xyzt xy xt zt 1) 40 yzt y t 31 40 zt x yzt y t 31 40 x (do zt 0) t 31 y zt 1 31 TH1: t Ta có x y IN 31 y 9 40 1 x 1 TH2: t Ta có x t 1 31 y y 3 1 zt z 2 t Suy ra: x 1, y 3, z 2,t A HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải - Dựa vào phép biến đổi tương tương kết hợp phương pháp giải hệ phương trình quen thuộc biết - Kết hợp phương pháp biết giải phương trình nghiệm nguyên 3x 2y (1) Ví dụ : Tìm nghiệm ngun hệ 3x 6y 2z 1 (2) Hướng dẫn: 16 Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh - Ta coi phương trình hệ phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz Tìm nghiệm riêng nguyên chẳng hạn x 1, y 1, z x 2t Viết dạng phương trình đường thẳng y 1 3t (t ¢ ) (*) z 6t Khi (*) nghiệm tổng qt phương trình x 2t (t ¢ ) thay vào (2) - Cũng viết phương trình (1) dạng y t Được : z 6t (**) z 6k (k ¢ ) (**) có nghiệm nguyên t k x 2(1 k) x 2k Từ ta có y 1 3(1 k) y 4 3k (k ¢ ) z 6k z 6k sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em 2x 3y 5z Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên hệ 3x 5y 2z Hướng dẫn: x 1 t Một nghiệm riêng x 1, y z nghiệm tổng quát y t (t ¢ ) z t Ví dụ : Trên trục hồnh tìm tất điểm có toạ độ nguyên mà ta dựng đường thẳng vng góc với trục Ox cắt đường thẳng x 5y 0, x 8y 0, x 11y điểm có toạ độ nguyên Hướng dẫn: Ta cần tìm số nguyên x, y1, y2 , y3 thoả hệ thức x 5y1 8y2 11y3 8y 5y1 (1) Ta có hệ : 5y1 11y (2) y 5 8t1 Nghiệm tổng quát (1) (t1 ¢ ) y t y 2 11t2 Nghiệm tổng quát (2) (t2 ¢ ) y t Suy 5 8t1 2 11t2 8t1 11t2 17 Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh t 1 11k Nghiệm tổng quát 8t1 11t2 (k ¢ ) t k 2 y1 13 88k Thay t1,t2 vào y1,y2,y3 ta y2 8 55k y 6 40k Khi x 63 440k (k ¢ ) x2 y2 z2 Ví dụ : Tìm nghiệm ngun dương hệ (a) 2( x y z ) xy Hướng dẫn: 2 x y z (1) (a) 2 2 4z x y 4xy( x y) 4( x y) (2) (1),(2) ta có : x2 y2 4xy( x y) 4( x y)2 4( x2 y2 ) sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em x2 y2 4xy( x y) 4( x y)2 4( x y)2 8xy xy( xy 4x 4y 8) xy 4x 4y (dox, y 0) x( y 4) 4y + Với y thay vào hệ (a) x2 z2 16 ( x z)( x z) 16 x z x ( loại) x z z 2( x z) 4x x z 4y 8 x 4 + Với y x( y 4) 4y x y4 y4 Khi y ước x 12 x x x Tìm nghiệm y , y , y , y 12 z 13 z 10 z 10 z 13 x2 2y2 9z2 2xy 6yz (1) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên hệ x y z 199 (2) Hướng dẫn: - Phương trình (1) biến đổi dạng tổng bình phương x2 2y2 9z2 2xy 6yz (1) ( x2 2xy y2 ) ( y2 6yz 9z2 ) x y z 199 (2) x y z 199 18 Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh ( x y)2 ( y 3z)2 x y z 199 x y y 3z x y z 199 x 81 x y 3z y 81 x y z 199 z 27 x y z Ví dụ : Tìm nghiệm ngun hệ 2 3x 5y 345 Hướng dẫn: Phương trình 3x2 5y2 345 có nghiệm ( x; y) là: (10;3),(10; 3),(10;3),(10; 3) ( trình bày mục , ví dụ 8) Khi hệ có nghiệm (x;y;z) (10;3; 13),(10; 3; 7),(10;3;7),(10; 3;13) BÀI TẬP VẬN DỤNG sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Bài tập 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình y2 - 2x2 = sa (2x + 5y + 1)( x + y + x2 + x) = 105 x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 (x + y + z + t) + 10 = 2xyzt x + y + z + t = xyzt Bài tập : Tìm nghiệm nguyên phương trình y2 + y = x4 + x3 + x2 + x x2 + 3y = 3026 xy + = z x2 - 4xy + 5y2 = 169 Bài tập : Tìm số nguyên tố P để 4p số phương Bài tập : Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + y2 + z2 = x2 y2 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = x2 - (y + 5)x + 5y + = 6x2 + 5y2 = 74 x2 + y2 = 2x2y2 2x2 + 2y2 - 2xy + y + x - 10 = 19 Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh Bài tập : Chứng minh phương trình y z x + + = b khơng có nghiệm ngun dương z x y b = b = , có nghiệm nguyên dương b =3 Bài tập : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x2 -3xy + 2y2+ = x2 + 4x - y2 = Bài tập : Tìm giá trị nguyên thỏa (y + 2)x2 + = y2 x3 3y3 9z3 x2 y2 z2 t 2xyzt x y z2 x 2y Bài tập : Chứng minh P(x) đa thức với hệ số nguyên, thêm vào P(0) P(1) số lẻ đa thức P(x) khơng thể có nghiệm ngun Bài tập 9: Tìm số ngun x để biểu thức sau số phương: x4 – x2 + 2x + sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Bài tập 10: Tìm nghiệm nguyên hệ x y x y z 2 xy z 2xy z x y z 3 x y z 3 3 x4 y4 13 x2 y2 x2 y2 2xy xy z2 Bài tập 10: Tìm nghiệm nguyên dương hệ xy yz xz x3 y3 z3 3xyz 3 z x y x 2( y z) 15x y z 16t 2 x 5y 4z 4xy 4yz 125 2 x 3y 4z 4xy 4yz 75 20 Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh C.KẾT QUẢ VẬN DỤNG ĐỀ TÀI Đề tài phần chuyên đề số học mà áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10,11,12 trường Kết đạt đa số học sinh đội tuyển học sinh giỏi trường dự thi cấp Tỉnh giải toán số học đề thi Qua việc áp dụng đề tài phần giúp em học tập cách say mê hứng thú, chất lượng học tập học sinh tăng nên rõ rệt Góp phần khơng nhỏ vào luyện trí thơng minh, khả tư sáng tạo học sinh D.KẾT LUẬN: sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Các tập phương trình, hệ phương trình nghiệm nguyên, nguyên dương thường tương đối khó học sinh khơng có phương pháp cụ thể cho loại mà địi hỏi phải biết phân tích, tổng hợp từ định hướng giải Nhưng giảng dạy xong đề tài học sinh phần định phương pháp giải cho quen thuộc có hướng giải cho không mẫu mực khác Để đạt kết tốt thiết học sinh phải nắm số kiến thức số học như: Số nguyên tố, hợp số, số phương, đồng dư, số định lý chia hết…cho nên giáo viên kết hợp dạy với chuyên đề số học Nội dung đề tài cịn nhiều hạn chế tơi bước hồn thiện Thơng qua đề tài mong hội đồng khoa học đồng nghiệp kiểm định góp ý để đề tài ngày hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi việc bồi dưỡng học sinh giỏi Xin chân thành cảm ơn! Thực đề tài Đinh Quang Minh 21 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh Tài liệu tham khảo: Báo Toán học – Tuổi trẻ : Các năm 2010,2011,2012,2013,2014 Phương trình- hệ phương trình khơng mẫu mực Nguyễn Đức Tấn Phan Ngọc Thảo Chuyên đề bồi dưỡng chuyên toán số học Nguyễn Vũ Thanh Tài liệu bồi dưỡng số học trường ĐH Quy Nhơn 22 Phương trình, hệ nghiệm nguyên SỞ GD &ĐT ĐỒNG NAI NAM Đơn v : THPT Đoàn Kết Gv: Đinh Quang Minh CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT Độc lập - tự - hạnh phúc Tân Phú, ngày 18 tháng 05 năm 2014 PHIẾU NHẬN XÉT,ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học:2013 - 2014 Tên đề tài: “ KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN, NGUYÊN DƯƠNG” sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Người viết: Đinh Quang Minh ; Đơn vị: Tổ Toán - Trường THPT Đồn Kết Lĩnh vực: Quản lí giáo dục Phương Pháp dạy học môn Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác 1.Tính - Có giải pháp hồn tồn - Có giải pháp cải tiến,đổi từ giải pháp có 2.Hiệu - Hồn tồn triển khai áp dụng toàn nghành có hiệu cao: - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng tồn nghành có hiệu cao -Hoàn toàn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao -Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao 3.Khả áp dụng - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt Khá Đạt - Đưa giải pháp khuyến khích có khả ứng dụng thực tiễn,dễ thực dễ vào sống: Tốt Khá Đạt - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt Khá Đạt XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Tần Thế Anh HIỆUTRƯỞNG Nguyễn Văn Hiển 23 ... 2,t A HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải - Dựa vào phép biến đổi tương tương kết hợp phương pháp giải hệ phương trình quen thuộc biết - Kết hợp phương pháp biết giải phương trình nghiệm nguyên. .. XÉT,ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học:2013 - 2014 Tên đề tài: “ KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN, NGUYÊN DƯƠNG” sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng... dụ : Tìm nghiệm nguyên hệ 3x 6y 2z 1 (2) Hướng dẫn: 16 Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh - Ta coi phương trình hệ phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz Tìm nghiệm riêng
Ngày đăng: 15/10/2021, 14:32
Xem thêm:
