Sáng kiến kinh nghiệm một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) Mang l■i tr■ nghi■m m■i m■ cho ng■■i dùng, công ngh■ hi■n th■ hi■n ■■i, b■n online khơng khác so v■i b■n g■c B■n có th■ phóng to, thu nh■ tùy ý SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Người thực hiện: ĐẶNG THANH HÃN Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học mơn: TỐN  - Lĩnh vực khác:  Có đính kèm: Các sản phẩm in SKKN  Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác (các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm) Năm học: 2014 - 2015 123doc Xu■t Sau Nhi■u h■n phát event s■ m■t t■ h■u thú ýn■m t■■ng m■t v■,raevent kho ■■i, t■oth■ c■ng ki■m 123doc vi■n ■■ng ti■n kh■ng ■ãthi■t t■ng ki■m l■ th■c b■■c v■i ti■nh■n 123doc online kh■ng 2.000.000 b■ng ■■nh tàitài v■ li■u t■o li■u tríhi■u c■ c■a ■ t■t h■i qu■ c■ gianh■t, l■nh t■nguy v■c: l■nh thu tínnh■p tài v■c cao nh■t tài online li■u tínMong cho d■ng, kinh t■t mu■n công c■ doanh mang ngh■ online thành l■i thơng cho viên Tính tin, c■ng c■a ■■n ngo■i website ■■ng th■i ng■, Khách ■i■m xã h■itháng m■thàng ngu■n 5/2014; có th■ tài 123doc nguyên d■ dàng v■■t tri tra th■c m■c c■u quý 100.000 tàibáu, li■uphong m■t l■■t cách truy phú,c■p ■am■i d■ng, xác, ngày, nhanh giàus■ giá chóng h■u tr■ 2.000.000 ■■ng th■ithành mongviên mu■n ■■ng t■oký, ■i■u l■t ki■n vào top cho200 chocác cácwebsite users cóph■ thêm bi■n thunh■t nh■p t■iChính Vi■t Nam, v■yt■123doc.net l■ tìm ki■m thu■c ■■i nh■m top 3■áp Google ■ng Nh■n nhu c■u ■■■c chiadanh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Nhi■u 123doc Sau Th■a thu■n event s■ cam nh■n h■u k■t s■ thú xác m■t d■ng v■, s■ nh■n mang event kho t■ th■ l■i ki■m ■■ng CH■P vi■n nh■ng ti■n h■ kh■ng NH■N quy■n th■ng thi■tl■ CÁC th■c s■ l■i v■ichuy■n ■I■U t■t h■n 123doc nh■t 2.000.000 KHO■N sang cho ng■■i ph■n TH■A tàit■o li■u thông dùng THU■N c■ ■ tin t■t h■i Khixác c■ khách giaminh l■nh t■ng Chào hàng tài v■c: thu m■ng kho■n tr■ nh■p tài thành b■n email online ■■n thành tínb■n cho d■ng, v■i viên ■ã t■t 123doc 123doc.net! công ■■ng c■a c■ ngh■ 123doc kýthành v■i Chúng thông 123doc.netLink viên n■p tin, c■a cung ti■n ngo■i website vào c■p ng■, Khách xác tài D■ch kho■n th■c V■ s■ c■a (nh■ hàng ■■■c 123doc, ■■■c cóg■i th■v■ mô b■n d■■■a t■ dàng s■ d■■i ■■■c ch■ tra■ây) email c■u h■■ng cho tài b■n li■u b■n, nh■ng ■ã m■t tùy ■■ng quy■n cách thu■c ky, l■i b■n vàosau xác, vuin■p lòng “■i■u nhanh ti■n ■■ng Kho■n chóng nh■p website Th■a email Thu■n c■a v■ S■vàD■ng click D■ch vào link V■” 123doc sau ■ây ■ã (sau g■i ■ây ■■■c g■i t■t T■i t■ng th■i ■i■m, chúng tơi có th■ c■p nh■t ■KTTSDDV theo quy■t Nhi■u Mang Luôn 123doc Th■a Xu■t Sau h■n h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chun ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n cơng ■■ng c■a c■ doanh b■n hồn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thơng B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i không t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Mangh■n Luôn 123doc Th■a Xu■t Sau Nhi■u h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n cơng ■■ng c■a c■ doanh b■n hồn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thông B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Lnh■n 123doc Th■a Xu■t Sau h■■ng phát thu■n cam nh■n m■t t■k■t s■ t■i ýxác n■m t■■ng d■ng s■ nh■n website mang ■■i, t■o t■l■i c■ng ■■ng d■n 123doc CH■P nh■ng ■■u ■■ng h■ NH■N ■ã quy■n th■ng chia t■ng ki■m CÁC s■s■ l■i b■■c ti■n vàchuy■n ■I■U t■t mua online kh■ng nh■t bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh ng■■i li■u ph■n tài TH■A v■ li■u hàng thơng dùng tríTHU■N hi■u c■a ■■u tin Khi qu■ Vi■t xác khách nh■t, minh Nam Chào hàng uy tài l■nh Tác m■ng tín kho■n tr■ phong v■c cao thành b■n email nh■t tàichuyên ■■n li■u thành b■n Mong v■i nghi■p, viên kinh ■ã 123doc 123doc.net! mu■n ■■ng c■a doanh hoàn mang 123doc kýonline v■i h■o, Chúng l■ivà 123doc.netLink cho Tính ■■ n■p tơi c■ng cao ■■n cung ti■n tính ■■ng th■i vào c■p trách xác tài ■i■m D■ch xãkho■n th■c nhi■m h■itháng V■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i ■■■c ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c g■i t■ng tài 123doc v■ mô nguyên b■n ng■■i ■■a t■s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ th■c m■c ■ây) email M■c h■■ng quý 100.000 cho b■n tiêu báu, b■n, nh■ng ■ã hàng phong l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau vuingày, n■p lòng “■i■u giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Lnh■n Th■a Xu■t Sau Nhi■u 123doc Mang h■■ng phát thu■n l■i event cam s■ nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thông B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mơ ngun b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t u■t phát Nhi■u Mang Ln 123doc Th■a Xu■t Sau h■n h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n t■ m■t tr■ t■ h■u ýk■t s■ thú nghi■m t■i ýt■■ng xác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event t■o kho m■i ■■i, t■o t■ c■ng th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■ng ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia ki■m t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c ti■n s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công online h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N b■ng sang b■ng cho tài ■■nh hi■n tài ng■■i li■u ph■n tài TH■A li■u tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng trí hi■u hi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin qu■ t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia nh■t, b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online uy hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác tín m■ng tín kho■n tr■ cao nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n nh■t email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tín Mong b■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã mu■n t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n mang hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i l■i h■o, Chúng l■i thơng B■n cho 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có c■ng tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i ■■ng tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác xã tài ■i■m D■ch xã to,h■i kho■n th■c nhi■m h■i thum■t tháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ngu■n ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cótài g■i t■ng th■ tài 123doc nguyên v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t tri d■■i tri dùng ■■■c ch■ th■c tra th■c m■c ■ây) email c■u quý M■c h■■ng quý 100.000 cho tài báu, b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng phong ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u phú, quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a ■a l■i b■n vào d■ng, 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p giàu lòng “■i■u nhanh giàu ti■n giá s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u tr■ thành tr■ nh■p ■■ng 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email th■i vi■n th■i Thu■n mong c■a thành mong tài v■ li■u mu■n viên mu■n S■ online ■■ng D■ng t■o click t■o l■n ■i■u ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n ki■n V■” vào Vi■t 123doc cho top sau cho Nam, cho 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■i users website c■p users ■âynh■ng có ■■■c cóph■ thêm thêm tài bi■n g■i thu thu li■u t■t nh■p nh■t nh■p ■■c T■it■i Chính khơng t■ng Chính Vi■tth■i vìth■ Nam, vìv■y v■y ■i■m, tìm 123doc.net t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racó ■■i thu■c ■■i tr■■ng th■ nh■m nh■m c■p top ngo■i ■áp 3nh■t ■áp Google ■ng tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net nhu Nh■n nhuc■u c■u ■■■c chia theo chias■ quy■t danh s■tàitài hi■u li■u li■uch■t ch■t c■ng l■■ng l■■ng ■■ng vàvàki■m bình ki■mch■n ti■n ti■nonline online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC –––––––––––––––––– I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: ĐẶNG THANH HÃN Ngày tháng năm sinh: 01 – 08 – 1976 Nam, nữ: NAM Địa chỉ: KP 9, phường Tân Biên, TP Biên Hòa, Tỉnh Đồng Nai Điện thoại: Fax: (CQ)/ (NR); ĐTDĐ: 0919302101 E-mail: Chức vụ: Giáo viên Nhiệm vụ giao (quản lý, đồn thể, cơng việc hành chính, cơng việc chun mơn, giảng dạy mơn, lớp, chủ nhiệm lớp,…): Giảng mơn Tốn lớp 10A2, 10A6, 12A4; Chủ nhiệm lớp 10A2 Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học - Năm nhận bằng: 2000 - Chuyên ngành đào tạo: Toán học III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên mơn có kinh nghiệm: Giảng dạy Tốn - Số năm có kinh nghiệm: 15 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: -Trang : Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 Tên SKKN : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BM03-TMSKKN PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Trong chương trình Tốn học phổ thơng, phương trình bất phương trình nội dung quan trọng xun suốt cấp học Trong đó, phương trình có chứa (cịn gọi phương trình vơ tỉ) nội dung phong phú đem lại nhiều thú vị Có thể nói, giải phương trình vơ tỉ đỉnh cao kĩ giải phương trình, để giải tốt phương trình vơ tỉ địi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức phép biến đổi thức , phải có tư mức độ cao biết cách nhận xét mối quan hệ biểu thức xuất phương trình để từ đề xuất cách giải phù hợp - Tuy vậy, chương trình tốn THPT, mà cụ thể phân môn Đại số 10, em học sinh tiếp cận với phương trình vơ tỉ vài cách giải thông thường với toán đơn giản Nhưng thực tế, tốn giải phương trình vơ tỉ xuất nhiều kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em đẳng kì thi học sinh giỏi Sự phong phú dạng tốn cách giải gây khơng khó khăn cho em học sinh, có số em biết phương pháp giải trình bày cịn lủng củng chưa gọn gàng, sáng sủa chí cịn mắc số sai lầm khơng đáng có trình bày Tại lại vậy? - Lý là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hành, phương trình vơ tỉ trình bày phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) hạn chế Chỉ có tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược ví dụ đưa cách giải thích vắn tắt dễ mắc sai lầm, phần tập đưa sau học hạn chế Hơn nữa, số tiết phân phối chương trình cho phần q nên q trình giảng dạy, giáo viên đưa đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh cách giải có chung mục đích làm thức đơn giản hình thức tốn - Trong năm học qua, phân công giảng dạy lớp 10 Qua nhận xét đánh giá, tơi thấy đa số học sinh nhận thức cịn chậm Từ đó, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho dạng toán để học sinh nắm tốt -Trang : Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 - Tôi viết chuyên đề nhằm mục đích tổng hợp số phương pháp giải phương trình vơ tỉ thường gặp kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao đẳng năm gần với tập phân dạng tương ứng, nhằm giúp em học sinh lớp 10 tự học để nâng cao kiến thức em học sinh lớp 12 tự ôn tập để giải tốt đề thi Đại học - Cao đẳng - Tôi hy vọng chuyên đề bổ túc cho em học sinh lượng kiến thức định Rất mong động viên ý kiến đóng góp q Thầy Cơ em học sinh sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Tôi xin chân thành cảm ơn ! -Trang : Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận: - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy giáo viên hoạt động học học sinh, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”, giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng Trong đó, mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn - Muốn học tốt mơn Tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc “học đơi với hành”, địi hỏi học sinh phải có tư logic Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em - Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn giải phương trình chứa ẩn dấu - Trong giới hạn SKKN giới thiệu phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu thường hay sử dụng:  Phương pháp biến đổi tương đương  Phương pháp nhân lượng liên hợp  Phương pháp đặt ẩn phụ  Phương pháp hàm số Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài: - Đưa số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu căn, có ví dụ cho học sinh tham khảo tâp áp dụng - Đây nội dung thường gặp kỳ thi Tuyển sinh Cao đẳng Đại học Với phương châm “ Từ dễ đến khó” , học sinh cần phải rèn luyện nhiều đạt kết tốt -Trang : Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP A BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: Biến đổi theo công thức:  A  hay B   A B  A  B   A B B   A  B  A  3B  A B  A  B  C  A  B  33 AB   A  B  C  A  B  33 ABC  C 1  x  x    3x   x       x 3x   x   x1    sa Giải sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em (Ở ta thu phương trình hệ quả, nên cần thử nghiệm) Chú ý Khi bình phương hai vế phương trình ta cần có điều kiện hai vế khơng âm để có phương trình tương đương Bài Giải phương trình: 3x   x  a) b) 2x2  4x  25  x  c) x   5 2x  d) x   1 x  1 2x e) x   3x   x  x  x3  f)  x   x2  x   x  x3 a) Vậy nghiệm phương trình là: x  x    x  3 x  b) 2x2  4x  25  x      x   x  10x  16  2x  4x  25   x  3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = c) x   5 2x  (1) Điều kiện: x  – (1)  x   2x    (x + 9) + (2x + 4) + ( x  9)(2x  4) = 25  2  x    ( x  9)(2x  4) = 12 – 3x    4( x  9)(2x  4)  12  3x    2  x  2  x     x      x  160x   x  160  x=0 So điều kiện, nghiệm phương trình x = Chú ý: Ta chuyển vế bước biến đổi để hai vế không âm -Trang : Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 d) x   1 x  1 2x (2) Điều kiện: –  x  (2)  x   1 2x  1 x  x   1 x  (1 x)(1 2x)  1 2x  1  1   x    x   x0  (1 x)(1 2x)  2x      (1 x)(1 2x)  (2x  1)2 x  0 x     So điều kiện, nghiệm phương trình x = e/ x   3x   x  x  (3) Điều kiện: x  Bình phương vế khơng âm phương trình (3) ta phương trình tương đương :   x  3 3x  1  x  x  x  1 , để giải phương trình dĩ nhiên khơng khó phức tạp chút Phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình : 3x   x   x  x  Bình phương hai vế thu gọn ta có : Thử lại x =1 nghiệm sa Mà có f  x  g  x  h x  k  x sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em  Nhận xét : Nếu phương trình : x  x   x  12 x  x  : f  x   h  x   g  x   k  x  , ta biến đổi phương trình dạng : f  x   h  x   k  x   g  x  sau bình phương ,giải phương trình hệ f) x3   x   x  x   x  (4) x3 Điều kiện : x  1 Nếu ình phương vế khơng âm phương trình (4) việc giải có vấn đề gì? Nếu chuyển vế chuyển nào? Nhận xét : (4)  x3  x   x  x  x  , từ ta có lời giải sau : x3 x3   x   x2  x   x  x3  x  1 x3   x  x   x2  x     Bình phương vế ta được: x3  x   Thử lại : x   3, x   nghiệm  Nhận xét : Nếu phương trình : f  x   g  x   h  x   k  x  -Trang : Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 Mà có : f  x  h  x   k  x  g  x  ta biến đổi phương trình dạng : f  x   h  x   k  x   g  x  sau bình phương , giải phương trình hệ Bài Giải phương trình: a) x  34  x   Giải a) b) x  34  x    x  34  x   33 x  34 x   3 x   3x   x   x  34  x    x  30  x  34.3 x   12   x  34 x  3  123  x2  31x  1830     x  61 Thử lại: + Nếu x = 30 phương trình thỏa mãn + Nếu x =  61 phương trình thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình cho là: x = 30 hay x = – 61   x  1 3x  1 33 x  3x   x   3x   x    x   3x   x   x   3x   x  sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em b)  33 x  3x  x   31  x    x  1 3x  1 x  1  1  x  x  x  x 1      x  1  3x  1 x  1   x  1        3x  1 x  1   x  1   4x   x   Thử lại: + Với x = phương trình thỏa mãn + Với x = phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm phương trình cho là: x = Bài tập tự luyện Bài Giải phương trình: 1/  x2  3x  5x2 1 ĐS: x = 1, x = – 2/ 3x  x  = 3x + ĐS: x =  3/ x  3x   x  ĐS: x = 4/ 3x   x   ĐS: x = 4, x = 5/ 3x   4x   5x  ĐS: x = 6/ (ĐH 2005B–db1) 3x    x  2x  ĐS: x = 2; x = -Trang : Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 7/ (ĐH 2005D) x+2+2 x   x   ĐS: x = x   3x   x   x  ĐS: x = 8/ ĐS: x = 1; x = – 3 9/ x2  x   x  x  10/ x 1  3x   x 1 ĐS: x = – Biến đổi phương trình tích: A  Tổng quát : A.B.C    B  C   Công thức biến đổi: u  v   uv   u 1 v 1  au  bv  ab  vu   u  b   v  a  Bài Giải phương trình: a) x +1 + x = x + x + x x +3 + 2x x +1 = 2x + x + 4x +3 c) 5x2 +14x +  x2  x  20 = x +1 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em b) d) 3(x2 – 1) + 4x = 4x x  Giải a) x +1 + x = x + x + x  x    x 1      x 1 + x +1  x =  x 1 x  x +1  =    x 1  3  x  x+1  Vậy phương trình có nghiệm x = x +3 + 2x x +1 = 2x + x + 4x +3 (1) b) Điều kiện: x  – (1)  x +3 + 2x x +1  2x  (x +1)(x +3) =    x   x   2x  x 1 1    2x  x    x 1 1      x   2x  x   x    x 1   So điều kiện, phương trình có hai nghiệm x = x = c) 2 5x +14x+9  x  x  20 = x+1 (2) -Trang : Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 Điều kiện: x  5x2 +14x +9  x2  x  20 +5 x +1 (2)     5x +14x +  x  x  20  25 x   10 x  x  20 x +1  4x2 10x +5  10  x    x  1 x +      x  4x     x  4x   x +  x                 x  4x    x +    x  4x    x +               x  4x  25x  56    x  4x    x +         61    x   2 x+4 4x  20x  36   4x  x          So điều kiện, nghiệm phương trình x = hay x =  61 d) 3(x2 – 1) + 4x = 4x x  (3) sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Điều kiện: x  sa (3)  3x2 + 4x – = 4x x   3x2 – 4x x  + 4x – =  x2  x   x  4x  x     (x – x  )(3x – x  ) =   9 x  x  3x  x  x 1  So điều kiện, phương trình có hai nghiệm x = x = Bài tập tự luyện Bài Giải phương trình: 1/ x   x    x  3x  ĐS: x = 0, x = – 2/ (ĐH 2006D –db2) x   x  x 1   x2  8x  1 ĐS: x = , x = 3/ x   x3  x  x    x  ĐS: x = 4/ x   x    x  10  21 ĐS: x = 1, x = 5/ 4x2 + 3x + = x x   2 x 1 ĐS: x = 6/ x2  3x    x 3x  ĐS: x = -Trang : 10 Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015   Dạng 2: F a f(x)  b g(x); f(x)g(x)  Với dạng ta thường đặt t  a f(x)  b g(x) Chú ý: - Nếu tốn có chứa đặt : t  f ( x) - Nếu tốn có chứa thể đặt: t  f ( x) , g ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)  k (với k số) k t f ( x)  g ( x) ; f ( x).g ( x) f ( x)  g ( x)  k có f ( x)  g ( x) t2  k f ( x).g ( x)  Bài Giải phương trình: a) x    x  12  (x  2)(6  x) b) (ĐH 2011B)  x   x  4  x2  10  3x sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em c) x  x2   x  x2   Giải a) x    x  12  (x  2)(6  x) (1) Điều kiện: 2  x  Đặt t  x    x,t  , suy t   (x  2)(6  x) (*) Phương trình (1) trở thành: t  12  2(t  8)  2t 2 t    t  28     t   (loai) &  Với t = , thay vào (*) ta có: 16   x2  4x  12  x2  4x  12   x2  4x    x  So điều kiện, phương trình có nghiệm x = b)  x   x  4  x2  10  3x (2) Điều kiện: 2  x  Đặt t   x   x  t2  9(10  3x  4  x2 ) Phương trình (2) trở thành : t2  9t   t  hay t =  2  x  x6 Với t = :  x   x     x  4(2  x)  2  x  Với t = :  x   x =     x   2  x 2  x  2  x     ) x 2 x – x         12  x  5x 15 vô nghiem  & -Trang : 18 Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 So điều kiện, phương trình có nghiệm x = c) x  x2   x  x   (3) Điều kiện: x  Nhận xét x  x  x  x   1 Đặt t  x  x  (*) , phương trình (3) trở thành: t    t  t Thay vào (*) tìm x = So điều kiện, phương trình có nghiệm x = Bài tập tự luyện Bài Giải phương trình: 1/  x   x  (1  x)(8  x)  ĐS: x = – ; x = 2x   x   3x  (2x  3)(x  1)  16 2/  2 3/ 12  x    x   x 1 x  x x     x2  ĐS: x = ĐS: x =  2 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Dạng 3: F(n f(x), n g(x))  , F(a,b) biểu thức đẳng cấp bậc k Với dạng ta xét hai trường hợp:  TH1: g(x) = thay vào phương trình ta kiểm tra, f(x)  TH2: g(x)  chia hai vế phương trình cho n g k (x) đặt t  n ta g(x) phương trình G(t) = phương trình đa thức bậc k Ta thường gặp dạng: a.f(x)  b.g(x)  c f(x)g(x)  Đặt t  f(x)  , ta có phương trình : at2  ct  b  g(x) Đối với dạng này, ta cần ý đến đẳng thức trình biến đổi: x3    x  1  x mx  1 x  x    x  x  1  x   x  x  1 x  x  1    x4   x2  x  x2  2x  x    x  x  1 x  x  1 Bài Giải phương trình: a) x   x2  4x   x b) x2  x4  x2  2x  c) x  x   x3  -Trang : 19 Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 Giải a) x   x2  4x   x (1) Điều kiện: x   x = khơng nghiệm phương trình (1)  x > 0, chia hai vế phương trình (1) cho x ta x   x    (*) x x Đặt t  x  , t  Suy t2   x    x    x   t  x x x x  Thay vào phương trình (*) ta có được: t  t2    t2    t t     t   x   25   x2  17 x    x  4,x  x 4  t    6t  t  So điều kiện, phương trình có nghiệm x = 4, x = b) x2  x4  x2  2x  (2) Ta thấy x = khơng nghiệm phương trình (2) Với x  0, chia hai vế phương trình (2) cho x ta được: x   x    (*) x x sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Đặt t  x  , phương trình (*)  t3  t    (t  1)(t2  t  2)   t  x Với t   x    x2  x    x   x Vậy phương trình có hai nghiệm x =  c) x  5x   x3  (3) Điều kiện: x  Phân tích Ta viết   x  1    x  x  1   x  1  x  x  1 Đồng thức ta (3)   x  1   x  x  1   x  1  x  x  1 (*) Ta thấy x = khơng nghiệm phương trình (*) Với x > 1, chia hai vế phương trình (*) cho x – ta phương trình: x2  x  x2  x  7  = (**) x 1 x 1 Đặt t = t  x2  x  , t  phương trình (**)  2t2 – 7t + =   t  (loai ) x 1  & Với t = 3, ta có x2 + x + = 9(x – 1)  x2 – 8x + 10 =  x =  (thỏa) -Trang : 20 Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 Bài tập tự luyện Bài Giải phương trình:  37 1/  x  2  x3  ĐS: x = 2/  x  3x    x3  ĐS: x =  13 3/ x  3x    4/ x4  x2  ĐS: x = 5x  14 x   x  x  20  x  ĐS: x = 8, x =  61 5/ x  x   x3   ĐS: x = 0, x = 2 Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Nhận xét: 2x   x 2x   x   Từ phương trình tích x   x   x   ,       sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Khai triển rút gọn ta phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Dạng 4: a.f(x)  g(x) f(x)  h(x)  Với phương trình dạng ta đặt t  f(x) , ta phương trình theo ẩn t: at2  g(x)t  h(x)  , ta giải phương trình theo t, xem x tham số Bài Giải phương trình: a) (4 x 1) x   x  x  b) 3(x2 – 1) + 4x = 4x 4x  c) x   x  x   x  d)    x  1 x2  x   x  e) x    3x   x   x Giải: a) (4 x  1) x   x  x  (1) Đặt t = x  , t   ) (1)  (4 x  1) x   2( x  1)  x   2t2 – (4x–1)t + 2x–1 =  t  (loai &  t  x 1 Với t = 2x – x 1  x 1    x  2    x 1  4x  4x 1 3x  x   x2 1  2x 1   Vậy phương trình có nghiệm x = -Trang : 21 Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 b) 3(x2 – 1) + 4x = 4x 4x  (2) Điều kiện: x  (2)  4x – – 4x 4x  + 3x2 = (*) t  x 4x  , phương trình (*) trở thành t2 – 4x.t + 3x2 =   t  3x Với t = x 4x  = x  x2 = 4x –  x = hay x = Đặt t = Với t = 3x 4x  = 3x  9x2 = 4x – (vơ nghiệm) Vậy phương trình có hai nghiệm x = , x =   c) x   x  x   x  (3) Đặt t  x2  , (t  2) t  (3)  t    x  t   3x    t  x  Với t = x  =  x2 + =  x =  sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Với t = x –  x   x 2 = x –       x x    x  1   x x     Vậy phương trình có hai nghiệm x =  d)  x  1 x2  x   x  Đặt : t  (4) x  x  , ( t  ) (4)  (x + 1)t = x2 +  x2 + – (x + 1)t = Bây ta thêm bớt, để phương trình bậc theo t có  dạng bình phương : t  x  x    x  1 t   x  1   t   x  1 t   x  1    t  x  Với t = x  x  =  x2 – 2x + =  x2 – 2x – =  x =  Với t = x –  x 1  x  2x  = x –   x    x  x x     Vậy phương trình có nghiệm x =  e) x    3x   x   x (5) Điều kiện: –  x  Đặt t =  x , (t  0) (5)   x  x  2t  t  x (*) -Trang : 22 Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015   Ta rút x = – t2 thay vào được: 3t    x t    Nhưng t    x  48     x 1   x   khơng có dạng bình phương Muốn đạt mục đích ta phải tách 3x theo    1 x , 1 x  Cụ thể sau : 3x   1  x   1  x  thay vào pt (*) ta được:  t    x  t    x t   x  1  x     t   x Với t =   x   x =  x  x = Với t =  x  x =  x  x = – Thử lại: Phương trình có nghiệm x = 0, x = – Nhận xét : Thông thường ta cần nhóm cho hết hệ số tự đạt mục đích 3x  x  x   3x  x  2 3/  x  3 x2 1  x2  3x 1 2/ sa Bài Giải phương trình: 1/ 1 x  x2  2x 1  x2  x 1 sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Bài tập tự luyện 4/ 3x   x  4x  x2   x 1  ĐS: x = 1  ĐS: x = –1, x = 10 ,x= 3 ĐS: x =  ĐS: x = 2, x = HD: Đặt t =  y với y = x –  3y = – t + 2(y + 1) – Phương pháp đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình: 3.1 Đặt ẩn phụ chuyển phương trình hệ phương trình với ẩn phụ: Dạng Phương trình F  n   cf(x), m   df(x)   Đặt u  n   f(x), v  m   f(x) ,  F(u,v)  ta có hệ phương trình  n m  du  cv  d  c Bài Giải phương trình: a)  x   x   (3  x)(6  x) b) 24  x  12  x  Giải  x   x   (3  x)(6  x) a) c) x   x   d) x  17  x  Điều kiện: –  x  -Trang : 23 Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 Đặt a  x   0, b   x  0, ta có hệ phương trình: Đây hệ đối xứng loại I, giải hệ ta a    b   hay a  b   ab   2 a  b   a    b   Với a   x  Với a   x  3 Vậy phương trình có hai nghiệm: x  6; x  3 b) 24  x  12  x  Điều kiện : x  12 Đặt u  24  x; v  12  x  u  36, v  , ta có hệ phương trình: u  v  v   u v   u         2  u  v  36  u  (6  u)  36  u(u  u  12)  (*) * *    Phương trình (*) có ba nghiệm : u  0;u  4;u  thỏa mãn u  36 Từ ta tìm được: x  24;x  88;x  Vậy phương trình cho có ba nghiệm: x  24;x  88;x  sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em c) x   x   Điều kiện: x  Đặt a  x  1, b   x  1(a  0, b  0) ta đưa hệ phương trình sau: a  b   (a  b)(a  b  1)   a  b    a  b   b  a  Vậy x 1 1   x 1  x 1   x  x  11  17 d) x  17  x  Điều kiện :  x  17 Đặt a  x; b  17  x; a,b  Ta có hệ 4 a  b    2 [(a  b)  2ab]   2a b2  17 a  b    ab   * Với hay ab  16 a  b  :  4 a  b  17  a  b    2 a b  18ab  32   a  b  a       ab  b    hay a  x       x  16 b    -Trang : 24 Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 * Với a  b    hệ  ab  16  vơ nghiệm Vậy phương trình cho có hai ngiệm x =1, x = 16 Bài tập tự luyện Bài Giải phương trình: 1/ x2 1  18  x2  2/ x   x   3/ x    x  ĐS: x = ± ĐS: x = ĐS: x = 2, x = 4/ (ĐH-2009A) 3x   65x   ĐS: x = – 5/ x    3x   2x  3x2  ĐS: x = – 1, x = 6/ x   x  x   x  ĐS: x = 3.1 Đặt ẩn phụ chuyển phương trình hệ phương trình với ẩn phụ ẩn x ban đầu: Dạng Phương trình  f(x)   b  a n af(x)  b n af(x) b ta có hệ: ax  b  c(dx  e)2  x  Với d = ac +α e = bc + β sa Ta thường gặp dạng:  t n  b  ay   n  y  b  at  sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Đặt t f(x);y  n Đặt dy  e  ax  b  , ta có hệ phương trình : dy  e  ax  b   dy  e  c dx  e     x   Chú ý: - Các hệ thu thông thường hệ đối xứng - Đối với dạng này, ta cần ý đến đẳng thức trình biến đổi Bài Giải phương trình: a) 2x2 – 6x – = x  b) x3   2x  c) x + 13  x2 + x 13  x2 = 11 Giải a) 2x2 – 6x – = x  5 Điều kiện x   Đặt 2y – = x  ta hệ phương trình sau: (2 x  3)  y   ( x  y )( x  y  1)   (2 y  3)  x  Với x  y  x   x   x   Với x  y    y   x  x   -Trang : 25 Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 Vậy nghiệm phương trình  ,  x3   2x  b) Đặt y  2x   y   2x Vậy ta có hệ phương trình: 3  x3   2y    y   2x  Trừ hai phương trình hệ: x3  y3  2(y  x)  (x  y)(x2  xy  y2  2)   x  y (Do x2  xy  y2   (x  y )2  y2   ) Thay vào hệ ta có:  x   2x  x  2x    (x  1)(x  x  1)  3 x    1  x   Vậy phương trình có ba nghiệm: x  1;x  1  c) x + 13  x2 + x 13  x2 = 11 Điều kiện :  13  x  13  x  y  xy  11 Đặt y = 13  x2 thỉ ta có hệ phương trình:  2  x  y  13 Hệ phương trình đối xứng loại I có nghiệm x = y = sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Bài tập tự luyện Bài Giải phương trình: 1/ x3 + 3x2 – 3 3x  = – 3x HD: Đặt y + 1= 3x  ĐS: x = 1, x = – 2/ 4x2 – 13x + + 3x  = HD: Đặt 3x  = – y + ( y  ĐS: x = 11  73 15  97 ,x= 8 ) D PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ : Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng tốn quen thuộc Ta có hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x)  k (k số) Bước 2: Xét hàm số y  f ( x) Bước 3: Nhận xét:  Với x  x0  f ( x)  f ( x0 )  k x0 nghiệm  Với x  x0  f ( x)  f ( x0 )  k phương trình vơ nghiệm  Với x  x0  f ( x)  f ( x0 )  k phương trình vơ nghiệm  Vậy x0 nghiệm phương trình Hướng 2: thực theo bước -Trang : 26 Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x)  g ( x) Bước 2: Dùng lập luận khẳng định f ( x) g(x) có tính chất trái ngược xác định x0 cho f ( x0 )  g ( x0 ) Bước 3: Vậy x0 nghiệm phương trình Hướng 3: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng f (u)  f (v) Bước 2: Xét hàm số y  f ( x) , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3: Khi f (u)  f (v)  u  v Nhận xét: Vấn đề quan trọng phương pháp nhận hàm f(x) đơn điệu nhẩm nghiệm phương trình 1) Để nhận hàm đơn điệu cần nắm số tính chất hàm đơn điệu: i) Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) thì: * Hàm y  n f(x) (với điều kiện n f(x) tồn tại) đồng biến(nghịch biến) sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em * Hàm y  (với f(x) > 0) nghịch biến (đồng biến) f(x) * Hàm y = – f(x) nghịch biến (đồng biến) ii) Tổng hai hàm đồng biến (nghịch biến) hàm đồng biến (nghịch biến) iii) Tích hai hàm dương đồng biến (nghịch biến) hàm đồng biến (nghịch biến) 2) Khi nhẩm nghiệm phương trình ta thường ưu tiên cho giá trị x mà biểu thức dấu nhận giá trị số lũy thừa mũ n (với bậc n) Bài Giải phương trình: 2x   x   a) b)  2x  x    c) x3  x  5x   x  x      d)  x  1  x  x   3x  x   Giải 2x   x   (1) a) Điều kiện: x  Xét hàm số f(x)  2x   x  3, x  Ta thấy f hàm liên tục  3;   f '(x)    0, x  2x  x  Nên hàm số f đồng biến  3;   Mặt khác f(4) = nên (1)  f(x) = f(4)  x = Vậy x = nghiệm phương trình -Trang : 27 Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015  2x  x    (2) b) Điều kiện: x  Xét hàm số f(x)   2x  x   Ta có f '(x)  f 3  hàm liên tục  ;   2 1   0, x   ;  2  2x 3.3 (x  2)2    3  Nên hàm số nghịch biến  ;  Mặt khác f(– 3) = nên (2)  f(x) = f(– 3)  x = – Vậy x = – nghiệm phương trình cho x3  x  x   x  x   x3  x  x   y 3  y  y  x    x  1   Đặt y  x  x  , ta có hệ :  7 x  x   y c) Xét hàm số : f  t   t  t , hàm đơn điệu tăng Từ phương trình x  f  y   f  x  1  y  x    x  1  x  x     x  1   2 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em  x  1   d)    x  1     x  x   3x  x    x  1       3x     3x     f  x  1  f  3x  Xét hàm số f  t   t  t  hàm đồng biến R, từ phương trình f  x  1  f  3x   2x + = – 3x  x   Bài tập tự luyện Bài Giải phương trình:  x  x2 –  x  x2 = 1/ ĐS: x = HD: Đặt t = x2 – x , biến đổi phương trình dạng: 2/ 3 x   x   2x2   2x2 HD: Đặt u = 1  t  1  t ĐS: x = 1, x   x  v = 2x2 -Trang : 28 Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 Để kết thúc cho chuyên đề , tồng kết lại phương pháp học thơng qua ví dụ sau: Giải phương trình 4x2  7x   (x  1) 2x2  4x  Để giải phương trình ta tìm cách loại bỏ thức Điều mà ta nghĩ tới bình phương hai vế để loại bỏ căn, sau bình phương ta thu phương trình bậc (x  1)(4x  7x  3)  (1) Cách Phương trình   2 2 (4x  7x  3)  (x  1) (2x  4x  3) (2) Khai triển rút gọn (2) ta phương trình : 7x4  32x3  33x2  20x    (7x  4x  3)(x  4x  2)  7x2  4x    x2  x2  4x   Kết hợp với (1) ta có x   nghiệm phương trình cho Ở cách giải trên, ta thấy sau khử ta đưa phương trình tích Điều gợi ý cho biến đổi phương trình ban đầu phương trình tích Do x = – khơng nghiệm phương trình nên ta có: sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em 4x2  7x   (ax  b)  2x2  4x   (ax  b) x1 (4  a)x  (7  a  b)x   b (2  a )x  (2ab  4)x   b   (*) x1 2x  4x   ax  b 4  a  k(2  a ) ka  a   2k      a b k(2ab 4)       7  a  b  k(2ab  4) Ta chọn a, b cho:   2   3  b  k( 3  b ) kb  b   3k  Ta chọn k = –  a = 2, b = – 2x  8x   Khi (*) trở thành: x1 2x  8x  2x  4x   2x  Tuy nhiên để có (**) ta cần có thêm điều kiện Như ta có cách giải thứ sau: (**) 2x  4x   2x    2  10 x  2  Cách Điều kiện: 2x  4x     2  10 x   Ta thấy x = – không nghiệm phương trình nên ta có Phương trình 4x2  7x    2x2  4x  x1 -Trang : 29 Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015  4x2  7x   (2x  1)  2x2  4x   (2x  1) x1 2x2  8x   2x2  4x   (2x  1) (3) x1 x   2 2x  4x    2x   x2 x2  4x     Xét Thay vào (3) ta thấy không thoả Suy 2x  4x    2x nên (3) tương 2x2  8x  2x2  8x   đương với: x1 2x2  4x   (2x  1)  x2  4x   x      2x2  4x   2x   x   2x2  4x   3x   x      x2 x  (vn )    7x  4x   sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Kết hợp với điều kiện, ta có x   nghiệm phương trình cho Vì phương trình xuất thức nên điều tự nhiên ta nghĩ đến việc đặt t  2x  4x  , ta phân tích 4x2  7x   2(2x  4x  3)  15x  Thì ta có phương trình: 2t  (x  1)t  15x   Ta xem x tham số phương trình có biệt thức   (x  1)2   15x    x2  122x  71 Vì  khơng đưa dạng ax  b2 nên việc đưa phương trình vào bế tắc Ta tìm phân tích:   4x  7x   a 2x  4x   (4  2a)x  (7  4a)x   3a Ta có phương trình : at  (x  1)t  (4  2a)x  (7  4a)x   3a    (x  1)2  4a (4  2a)x  (4a  7)x   3a         8a  16a  x  8a  14a  x  12a  12a  Ta chọn a    12a cho: 8a  14a  2    12a  8a  16a   Phương trình có nghiệm a = – Vậy ta có cách giải thứ sau: Cách Phương trình tương đương với: 2x2  4x   (x  1) 2x2  4x   6x  3x  -Trang : 30 Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 Đặt t  2x2  4x  , ta có phương trình: t  (x  1)t  6x  3x   t  2x  Phương trình có    x  1  4(6x2  3x)  (5x  1)2 Từ suy   t  3x Giải phương trình ta tìm nghiệm x   Vì vế trái xuất tích x + 2x2  4x  nên ta nghĩ đến việc đưa hai vế dạng bình phương Cách Phương trình tương đương với 2x2  4x   (x  1) 2x2  4x   (x  1)2 (x  1)2  6x2  3x  4  x  1 25x2  10x   5x     2x2  4x           x  5x    2x2  4x   2x   2x  4x        2x2  4x   x    5x   2x2  4x   3x  2 Giải phương trình ta x   sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Vì vế trái tam thức bậc hai vế phải chứa bậc hai, tức hai vế chứa hai phép toán ngược nên ta nghĩ đến cách chuyển hệ đối xứng Ta phân tích: 4x  7x   (2x  1)2  3x  2x  4x   (x  1)(2x  1)  3x  2  u  3x   (x  1)v Do đặt u  2x  1,v  2x  4x  ta có hệ:   v  3x   (x  1)u Đây hệ đối xứng loại Ta có cách giải thứ sau: Cách 5: Phương trình   2x  1  3x   (x  1) (x  1)(2x  1)  3x  2  u  3x   (x  1)v Đặt u  2x  1,v  2x  4x  ta có hệ:   v  3x   (x  1)u Suy  u  v  u  v   (x  1)(v  u)   u  v  u  v  x  1   2x2  4x   2x  u  v    u  v  x     2x  4x   3x Giải phương trình ta x   Qua lời giải trên, thấy có nhận xét tinh tế mối quan hệ biểu thức xuất phương trình có suy luận hợp lí cho nhiều lối khác để đến mục đích -Trang : 31 Giáo viên thực : Đặng Thanh Hãn SKKN môn Đại số năm 2015 IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI - Tài liệu phù hợp với đối tượng học sinh, học sinh tích cực, tự giác học tập - Củng cố nhiều kỹ Phân tích, Tư Tổng hợp Giúp em học sinh tự tin việc học mơn Tốn - Thống kê: Năm học ĐTB < 6,5 6,5 < ĐTB < 8,0 8,0 < ĐTB 2013 – 2014 20% 60% 20% 2014 – 2015 10% 50% 40% V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ Có thể đưa vào chương trình học xem đọc thêm, sở giáo viên học sinh tham khảo rèn luyện VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Phương (2002) Tuyển tập chuyên đề luyện thi Đại học mơn Tốn Đại Số Sơ cấp, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Phan Huy Khải (2011) Bài tập nâng cao theo chuyên đề toán THPT– Tập 3: Phương trình – Bất phương trình – Bất đẳng thức, Nhà xuất giáo dục ,Việt Nam Nguyễn Tất Thu (2013) Cẩm nang luyện thi Đại học Đại Số Sơ cấp, Nhà xuất Tổng hợp, Thành Phố Hồ Chí Minh Nguyễn Văn Cường (2014) Một số kỹ sử dụng lượng liên hợp để giải Phương trình – Bất phương trình vơ tỉ, Tốn học tuổi trẻ tháng 10 năm 2014 Một số tốn tác giả tích lũy q trình giảng dạy sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki sa ng ki nh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em -Trang : 32 ...  Phương pháp biến đổi tương đương  Phương pháp nhân lượng liên hợp  Phương pháp đặt ẩn phụ  Phương pháp hàm số Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài: - Đưa số phương pháp giải phương trình. .. đó, phương trình có chứa (cịn gọi phương trình vơ tỉ) nội dung phong phú đem lại nhiều thú vị Có thể nói, giải phương trình vơ tỉ đỉnh cao kĩ giải phương trình, để giải tốt phương trình vơ tỉ. .. viết sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn giải phương trình chứa ẩn dấu - Trong giới hạn SKKN giới thiệu phương pháp giải phương trình