Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 29 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
29
Dung lượng
1,97 MB
Nội dung
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT MỤC LỤC Trang I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP 2 Mang l■i tr■ nghi■m m■i m■ cho ng■■i dùng, công ngh■ hi■n th■ hi■n ■■i, b■n online khơng khác so v■i b■n g■c B■n có th■ phóng to, thu nh■ tùy ý KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH MŨ KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT MỘT SỐ CƠNG THỨC MŨ – LOGARIT CẦN NHỚ 3 4 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ 4.1 Phương pháp 1: Giải phương trình mũ 5 13 4.5 Phương pháp 5: Logarit hóa 4.6 Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu hàm số 4.7 Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá 14 15 17 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em 4.2 Phương pháp 2: Đưa số 4.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ 4.4 Phương pháp 4: Đưa phương trình tích MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 5.1 Phương pháp 1: Giải phương trình logrit 18 18 5.2 Phương pháp 2: Đưa số 5.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ 5.4 Phương pháp 4: Đưa phương trình tích 19 20 22 5.5 Phương pháp 5: Logarit hóa 5.6 Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu hàm số 5.7 Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá 23 24 26 MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG TRONG CÁC NĂM GẦN ĐÂY IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI V ĐỀ XUẤT, KHUYỄN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG 27 27 28 VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 123doc Xu■t Sau Nhi■u h■n phát event s■ m■t t■ h■u thú ýn■m t■■ng m■t v■,raevent kho ■■i, t■oth■ c■ng ki■m 123doc vi■n ■■ng ti■n kh■ng ■ãthi■t t■ng ki■m l■ th■c b■■c v■i ti■nh■n 123doc online kh■ng 2.000.000 b■ng ■■nh tàitài v■ li■u t■o li■u tríhi■u c■ c■a ■ t■t h■i qu■ c■ gianh■t, l■nh t■nguy v■c: l■nh thu tínnh■p tài v■c cao nh■t tài online li■u tínMong cho d■ng, kinh t■t mu■n công c■ doanh mang ngh■ online thành l■i thơng cho viên Tính tin, c■ng c■a ■■n ngo■i website ■■ng th■i ng■, Khách ■i■m xã h■itháng m■thàng ngu■n 5/2014; có th■ tài 123doc nguyên d■ dàng v■■t tri tra th■c m■c c■u quý 100.000 tàibáu, li■uphong m■t l■■t cách truy phú,c■p ■am■i d■ng, xác, ngày, nhanh giàus■ giá chóng h■u tr■ 2.000.000 ■■ng th■ithành mongviên mu■n ■■ng t■oký, ■i■u l■t ki■n vào top cho200 chocác cácwebsite users cóph■ thêm bi■n thunh■t nh■p t■iChính Vi■t Nam, v■yt■123doc.net l■ tìm ki■m thu■c ■■i nh■m top 3■áp Google ■ng Nh■n nhu c■u ■■■c chiadanh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Nhi■u 123doc Sau Th■a thu■n event s■ cam nh■n h■u k■t s■ thú xác m■t d■ng v■, s■ nh■n mang event kho t■ th■ l■i ki■m ■■ng CH■P vi■n nh■ng ti■n h■ kh■ng NH■N quy■n th■ng thi■tl■ CÁC th■c s■ l■i v■ichuy■n ■I■U t■t h■n 123doc nh■t 2.000.000 KHO■N sang cho ng■■i ph■n TH■A tàit■o li■u thông dùng THU■N c■ ■ tin t■t h■i Khixác c■ khách giaminh l■nh t■ng Chào hàng tài v■c: thu m■ng kho■n tr■ nh■p tài thành b■n email online ■■n thành tínb■n cho d■ng, v■i viên ■ã t■t 123doc 123doc.net! công ■■ng c■a c■ ngh■ 123doc kýthành v■i Chúng thông 123doc.netLink viên n■p tin, c■a cung ti■n ngo■i website vào c■p ng■, Khách xác tài D■ch kho■n th■c V■ s■ c■a (nh■ hàng ■■■c 123doc, ■■■c cóg■i th■v■ mơ b■n d■■■a t■ dàng s■ d■■i ■■■c ch■ tra■ây) email c■u h■■ng cho tài b■n li■u b■n, nh■ng ■ã m■t tùy ■■ng quy■n cách thu■c ky, l■i b■n vàosau xác, vuin■p lịng “■i■u nhanh ti■n ■■ng Kho■n chóng nh■p website Th■a email Thu■n c■a v■ S■vàD■ng click D■ch vào link V■” 123doc sau ■ây ■ã (sau g■i ■ây ■■■c g■i t■t T■i t■ng th■i ■i■m, chúng tơi có th■ c■p nh■t ■KTTSDDV theo quy■t Nhi■u Mang Luôn 123doc Th■a Xu■t Sau h■n h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thông dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thông B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mơ ngun b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Mangh■n Ln 123doc Th■a Xu■t Sau Nhi■u h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chun ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thơng B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i không t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Luônh■n 123doc Th■a Xu■t Sau h■■ng phát thu■n cam nh■n m■t t■k■t s■ t■i ýxác n■m t■■ng d■ng s■ nh■n website mang ■■i, t■o t■l■i c■ng ■■ng d■n 123doc CH■P nh■ng ■■u ■■ng h■ NH■N ■ã quy■n th■ng chia t■ng ki■m CÁC s■s■ l■i b■■c ti■n vàchuy■n ■I■U t■t mua online kh■ng nh■t bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh ng■■i li■u ph■n tài TH■A v■ li■u hàng thơng dùng tríTHU■N hi■u c■a ■■u tin Khi qu■ Vi■t xác khách nh■t, minh Nam Chào hàng uy tài l■nh Tác m■ng tín kho■n tr■ phong v■c cao thành b■n email nh■t tàichuyên ■■n li■u thành b■n Mong v■i nghi■p, viên kinh ■ã 123doc 123doc.net! mu■n ■■ng c■a doanh hoàn mang 123doc kýonline v■i h■o, Chúng l■ivà 123doc.netLink cho Tính ■■ n■p tơi c■ng cao ■■n cung ti■n tính ■■ng th■i vào c■p trách xác tài ■i■m D■ch xãkho■n th■c nhi■m h■itháng V■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i ■■■c ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c g■i t■ng tài 123doc v■ mô nguyên b■n ng■■i ■■a t■s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ th■c m■c ■ây) email M■c h■■ng quý 100.000 cho b■n tiêu báu, b■n, nh■ng ■ã hàng phong l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau vuingày, n■p lòng “■i■u giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Lnh■n Th■a Xu■t Sau Nhi■u 123doc Mang h■■ng phát thu■n l■i event cam s■ nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thông B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t u■t phát Nhi■u Mang Luôn 123doc Th■a Xu■t Sau h■n h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n t■ m■t tr■ t■ h■u ýk■t s■ thú nghi■m t■i ýt■■ng xác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event t■o kho m■i ■■i, t■o t■ c■ng th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■ng ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia ki■m t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c ti■n s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công online h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N b■ng sang b■ng cho tài ■■nh hi■n tài ng■■i li■u ph■n tài TH■A li■u tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng trí hi■u hi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin qu■ t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia nh■t, b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online uy hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác tín m■ng tín kho■n tr■ cao nh■p không tài phong v■c cao thành b■n nh■t email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tín Mong b■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã mu■n t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n mang hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i l■i h■o, Chúng l■i thông B■n cho 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có c■ng tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i ■■ng tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác xã tài ■i■m D■ch xã to,h■i kho■n th■c nhi■m h■i thum■t tháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ngu■n ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cótài g■i t■ng th■ tài 123doc nguyên v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t tri d■■i tri dùng ■■■c ch■ th■c tra th■c m■c ■ây) email c■u quý M■c h■■ng quý 100.000 cho tài báu, b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng phong ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u phú, quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a ■a l■i b■n vào d■ng, 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p giàu lòng “■i■u nhanh giàu ti■n giá s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u tr■ thành tr■ nh■p ■■ng 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email th■i vi■n th■i Thu■n mong c■a thành mong tài v■ li■u mu■n viên mu■n S■ online ■■ng D■ng t■o click t■o l■n ■i■u ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n ki■n V■” vào Vi■t 123doc cho top sau cho Nam, cho 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■i users website c■p users ■âynh■ng có ■■■c cóph■ thêm thêm tài bi■n g■i thu thu li■u t■t nh■p nh■t nh■p ■■c T■it■i Chính khơng t■ng Chính Vi■tth■i vìth■ Nam, vìv■y v■y ■i■m, tìm 123doc.net t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racó ■■i thu■c ■■i tr■■ng th■ nh■m nh■m c■p top ngo■i ■áp 3nh■t ■áp Google ■ng tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net nhu Nh■n nhuc■u c■u ■■■c chia theo chias■ quy■t danh s■tàitài hi■u li■u li■uch■t ch■t c■ng l■■ng l■■ng ■■ng vàvàki■m bình ki■mch■n ti■n ti■nonline online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình mũ phương trình logarit gọi phương trình siêu việt Khi nói đến phương trình mà khơng nhắc tới phương trình mũ phương trình logarit thiếu vẻ đẹp phương trình nói riêng tốn học nói chung Phương trình mũ – logarit sử dụng nhiều ngành khoa học, nên việc nghiên cứu phương pháp giải chúng quan trọng Đối với chương trình tốn học phổ thơng phương trình mũ – logarit đưa vào giảng dạy lớp 12 Nhưng thời gian dành để dạy học phương trình mũ – logarit kể lí thuyết thực hành Mặt khác tập mà sách giao khoa yêu cầu chưa cao, chưa tương ứng đươc đề thi tuyển sinh Trong thi cử ứng dụng mức độ cao nhiều Đặc biệt sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng nhiều năm có số câu liên quan đến phương trình mũ - logarit Để giúp em hiểu sâu phương trình mũ logarit, mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình mũ – phương trình logarit” II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Nghiên cứu đề tài “Một số phương pháp giải phương trình mũ – phương trình logarit ” để giúp học sinh rèn kỹ giải tốn phương trình mũ - logarit, qua phát triển tư logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập em, tạo hứng thú học tập mơn tốn, góp phần đổi phương pháp giảng dạy môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo học sinh, góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh giỏi mơn tốn, góp phần kích thích đam mê, u thích mơn tốn, phát triển lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh Đối tượng áp dụng: học sinh lớp 12 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Trong chương trình hoc sách giáo khoa chương trình chuẩn để giải phương trình mũ - phương trình logarit đề cập đến ba phương pháp giải thường gặp Tuy nhiên, có nhiều toán hay, toán thương gặp đề thi tuyển sinh phương pháp lại khơng giải Nên việc đưa thêm số phương pháp vào giảng dạy cho học sinh để em nắm bắt giải số tốn khó hơn, hay hơn… III TỔ CHỨC THỰC HIỆN VÀ GIẢI PHÁP sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1.1 Phương trình mũ Phương Trình mũ phương trình có dạng a x b với a 0, a 1.2 Phương pháp giải 1.2.1 Dùng định nghĩa logarit Nếu b > 0, ta có: a x b x log a b Nếu b 0, phương trình a x b vô nghiệm Dùng tương giao hai đồ thị Số nghiệm phương trình a x b số giao điểm đồ thị hàm số y a x với đồ thị y = b Dựa vào đồ thị hai hàm số ta có kết luận: Phương trình a x b với a 0, a b>0 Có nghiệm x log a b vô nghiệm b0 KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 2.1 Phương trình logarit Phương trình logarit phương trình có chứa ẩn số biểu thức dấu logarit 2.2 Phương trình logarit Phương trình logarit phương trình có dạng log a x b với a 0, a Phương pháp giải Theo định nghĩa logarit, ta có: log a x b x a b Dùng tương giao hai đồ thị Số nghiệm phương trình log a x b số giao điểm đồ thị hàm số y log a x với đồ thị y = b Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Vẽ đồ thị hàm số y log a x hàm số y = b hệ trục tọa độ Trong hai trường hợp, ta thấy đồ thị hàm số y log a x đồ thị y = b cắt điểm với b¡ Kết luận: phương trình log a x b , ( a 0, a ) ln có nghiệm x a b với b¡ MỘT SỐ CƠNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT CẦN NHỚ 3.1 Cơng thức mũ lũy thừa: a, b số thực dương, m, n số thực tùy ý 1) a n a{ a a n 6) n soáa 2) a m n a m a n am an n n a a n 5) a nb n ab m n sa 4) a mn a m a n n 7) m an 8) m a m b m ab 9) sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em 3) a mn an a bn b m a n am a0 3.2 Công thức logarit: cho a 1, b, c số dương 1) log a x b x a b 2) 3) log a 0, log a a 6) log a log a b log a c c 7) log a b log a b log a a b b 8) log a b 4) a loga b b 3) a logb c c logb a 5) log a (b.c) log a b log a c Công thức đổi số 1) log a b log c b log c a Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức b log b a 9) log a n b log a b n 10) lg b log b log10 b ; ln b loge b Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT log a b 2) log b a 4) log ab c 1 log a c log b c MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Phương pháp 1: Giải phương trình mũ dạng 4.1 a f ( x ) b f ( x) log a b, (a 0, b 0) Ví dụ 1: Giải phương trình sau a) 5x 5 x6 b) c) 3x.2 x1 72 d) 2 x x x 0,125 2.3x 1 6.3x 1 3x 15 Giải x x2 5x x Vậy phương trình có nghiệm: x 2; x 5x 5 x sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em a) 1 2x 7 x 3 2 x 3 b) x x x 0,125 22.2 23 2x 2x 17 log 2 x 14 x 6 17 Vậy phương trình có nghiệm: x x x 1 x x c) 72 2.6 72 36 x log 36 x Vậy phương trình có nghiệm: x x 1 x 1 x x x x d) 2.3 6.3 15 6.3 2.3 15 3.3x 15 3x x log Vậy phương trình có nghiệm: x log3 Nhận xét: Đại đa số phương trình mũ giải đưa phương trình mũ Nên việc giải phương trình mũ tốt điều kiện để giải tốt phương trình Đối với phương trình mũ cần phải biết cách sử dụng công thưc mũ, lũy thừa … Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Bài tập đề nghị Giải phương trình sau: 1) x 3 x 2 2) 3 3) 5x.22 x1 50 5) x 1 x 2 36 3 4) 2x1 42 x1 83 x 0,125 6) 3x 1 2.3x 25 x2 3 x 1 Phương pháp 2: Đưa số 4.2 Đối với phương trình mũ biến đổi dạng: a f ( x ) a g ( x ) Trường hợp 1: Nếu a a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x) Trường hợp 2: Nếu a biểu thức có chứa ẩn x sa Ví dụ 2: Giải phương trình sau sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em a a f ( x) a g ( x) a 1 f ( x) g ( x) a) 2x x8 c) 3 b) 413x 23 x 3 d) x x 2 27 x 81x 3 x x7 e) ( x2 1) x 2 x ( x2 1)3 f) ( x 1) x3 9 x x 9 x 2x 1 Giải 226x x2 x 6x x2 5x x 2 x 5x x 3 Vậy phương trình có nghiệm: x 2; x 3 a) 2x b) x 8 413x 2x 3 x 7 3 x 8 x 9 3 x 7 3 5 x 9 x 5 x x 2 Vậy phương trình có nghiệm: x 2 c) Ta có: 1 3 x 3 x 27 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức x x 3 81 x2 3 2x 3x 3 x 12 x2 3 17 x 24 3 Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 5x 17 x 24 36 x 13 Vậy phương trình có nghiệm: x 36 13 d) điều kiện: x 3 x Khi đó: x2 x 9 x2 x2 x x2 x 9 x2 x2 2x 1 80 x2 x2 x ( n) x , (vì x2 x 0, x ¡ ) 9 x n x x x x x 5 ;x 3 x x 1 x e) ( x 1) x x ( x 1)3 x (n) x x x 2x (l) x 3 (n) Vậy phương trình có nghiệm x 3; x 2; x Vậy phương trình có nghiệm: x 1; x sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em f) Điều kiện: x x x nên x+1 > 0 Khi đó: ( x 1) x 3 ( x 1) x 3 x 1 x x (n) Vậy phương trình có nghiệm: x = Nhận xét: Thực phương trình đưa số gần giống với phương trình mũ Việc giải phương trình dạng chủ yếu sử dụng tốt công thức, phép biến đổi mũ lũy thừa mà Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 2x 3x2 22 x 1 x2 3) 36 1) x- 2) ( 10 + 3)x - = x+1 ( 10 - 3)x + Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức 4) 2x - x+1 x+ x- 5) 7x = 0, 25 ( ) 1- x = 16x x+2 x+2 = 23x.53x 6) Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 4.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ Dạng 1: Nếu phương trình có dạng đa thức: P a f ( x ) với a Thì ta đặt: t a f ( x) , t 0 ta phương trình mới: P t Dạng 2: Nếu phương trình có dạng đa thức: ma f ( x) n(ab) f ( x) kb2 f ( x) với a 1, b Thì ta chia hai vế phương trình cho b f ( x ) (hoặc a f ( x ) ) a đặt t b f ( x) , t 0 Khi ta phương trình sau: mt nt k Dạng 3: Nếu phương trình có dạng đa thức: a f ( x ) b f ( x ) với a , b ,ab=1 t Thì ta đặt: t a f ( x ) b f ( x ) , t Khi ta phương trình mới: t t a f ( x ) g ( x ) Dạng 4: Nếu phương trình có dạng đa thức: a f ( x ) sa a 1 a g ( x ) với sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em a f ( x ) g ( x ) u a f ( x ) Thì ta đặt: g ( x) v a 0 Khi ta đưa phương trình tích, phương trình hệ Lưu ý: Một số trường hợp ta đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Nghĩa sau đặt ẩn phụ x Khi ta giải phương trình theo ẩn t cịn với x xem số Bài tập áp dụng Ví dụ 3: Giải phương trình sau ( Dạng 1: P a f ( x ) ) a) x 4.3x 45 b) x 2 16 10.2 x 2 c) 9sin x 9cos x 10 2 Giải a) x 4.3x 45 32 x 4.3x 45 (*) Đặt: t 3x , t Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT t 5 (l) t (n) Khi (*) trở thành: t 4t 45 Khi t 3x x Vậy phương trình có nghiệm: x =2 b) x2 16 10.2 x2 Điều kiện: x Khi đó: x2 16 10.2 x2 22 x2 10.2 Đặt: t x2 , t x2 16 (1) t (n) t (n) Khi (1) trở thành: t 10t 16 Khi t x2 x x (n) Khi t x2 x x 11 (n) Vậy phương trình có nghiệm: x = 3; x = 11 c) 9sin x 9cos x 10 9sin x 91sin x 10 92sin x 10.9sin x (2) Đặt: t 9sin x , t 2 2 2 t (n) t (n) sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Khi (1) trở thành: t 10t Khi t 9sin x sin x sin x = x k sa Khi t 9sin x sin x cosx = x Vậy phương trình có nghiệm: x k k ; x k Nhận xét: Đối với phương trình dạng không đặt ẩn phụ giải bình thường Tuy nhiên việc đặt ẩn phụ làm cho phương trình đẹp hơn, gọn khơng giải nhanh Khi đặt ẩn phụ cần phải lưu ý điều kiện Ví dụ 4: Giải phương trình sau ( Dạng 2: ma f ( x ) n(ab) f ( x ) kb2 f ( x ) ) a) 6.4 x 13.6 x 6.9 x b) 42 x 2.4 x x 42 x 2 c) x 1 2.2 x 5 x 2.4 x Giải 2x x 2 a) 6.4 13.6 6.9 13 1 3 3 x x x x Đặt: t , t 3 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT t Khi (1) trở thành: 6t 13t t (n) 3 (n) x 2 Khi t x 3 x 3 Khi t x 1 3 Vậy phương trình có nghiệm: x 1; x 1 b) 42 x 2.4x x 42 x 2.4x x (2) Đặt: t 4x x , t Khi (1) trở thành: t 2t t (n) 2 x2 x 2 x x Khi t x x x x Vậy phương trình có nghiệm: x 1; x c) x5 1 2.2 x5 x 2.4x 4.22 x5 x 2.2 Đặt: t x5 x , t 3 3 x 5 x (3) sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em sa t 1(l ) Khi (1) trở thành: 4t 2t t ( n ) 1 Khi t x 5 x x x 1 x x x x 3x 3x 2 x 3x x x Vậy phương trình có nghiệm: x Nhận xét: Đối với dạng cách đặt ẩn phụ ta phân tích thành tích đơn thức, đa thức để giải Tuy nhiên việc phân tích khơng phải đơn giản Ví dụ 5: Giải phương trình sau ( Dạng 3: a f ( x ) b f ( x ) ) a) x x b) 5 21 5 21 c) 8 8 x x sinx x sin x Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức 16 Trang - 10 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Vậy phương trình có nghiệm: x 3; x log3 b) x 4.52 x log (2 x 4.52 x ) log 2 x 4 log 52 x 2 x x x x log x x log 5 x 2 log Vậy phương trình có nghiệm: x 2; x log c) Điều kiện: x x 1 x 3 log 5x 3.2 x x 3 1 x 3 log x 3 log x x x 1 đó: 5x.8 x 500 5x.8 x 53.22 5x 3.2 log x 3 log 2 x 3 x x 3 x x x log x log5 x Vậy phương trình có nghiệm: x 3; x log5 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Nhận xét: Đối với phương trình loại lấy logarit hai vế thường đặt nhân tử chung để đưa phương trình tích đơn giản Chú ý lấy logarit hai vế cần chọn số tốt tốn tính dẽ dàng Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 2x 2x 1) 57 75 x x x+2 2) 4.6 =6 3) 3x 1.22 x 2 129 x 4) x x2 36.32 x Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu hàm số Lý thuyết Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc ln nghịch biến) liên tục khoảng K số nghiệm khoản K phương trình f(x) = a không nhiều f(u) = f(v) u = v Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) y = g(x) đơn điệu ngược chiều liên tục khoản K số nghiệm khoảng K phương trình f(x) = g(x) khơng nhiều Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 15 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Định lí 3: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến khoảng K f(x) > f(a) x > a, x, a K Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng K f(x) > f(a) x < a, x, a K Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục đoạn [a;b] tồn F'(x) khoảng (a;b) c a; b : F ' c F b F a Khi áp dụng giải phương trình có F(b) – F(a) = ba c a; b : F ' c F ' x có nghiệm thuộc (a;b) Định lý Rôn: Nếu hàm số y = f(x) lồi lõm khoảng K phương trình f(x) = khơng có q hai nghiệm thuộc K Ví dụ 9: Giải phương trình sau a) 5x 12 x 13x d) 2 x x x 1 ( x 1)2 b) 3x x x e) 3x 2x 3x 2 6x 2x 5x 3x sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Giải: c) a) Ta có: x 12 x 13x x x 12 1 13 13 x x 12 Xét hàm số f ( x) tập R 13 13 x x 12 12 f '( x) ln ln 13 13 13 13 Suy f(x) hàm nghịch biến R, mặt khác f(2) = nên f ( x) x Vậy phương trình có nghiệm x = b) 3x x x Xét hàm số f ( x) 3x x g ( x) x tâp ¡ ta có: f '( x) 3x ln x ln 0, x ¡ g '( x) 7 0, x ¡ nên f(x) hàm đồng biến tập R g(x) hàm nghịch biến tập ¡ mặt khác f (0) g (0) f ( x) g ( x) x Vậy phương trình cho có nghiệm x = c) Ta có: 6x 2x 5x 3x x x 3x x Giả sử phương trình có nghiêm Khi đó: 5 3 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 16 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Xét hàm số f t t 1 t , với t > Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn c 2;5 cho: f ' c c 1 1 c 1 0, , thử lại ta thấy x = 0, x = nghiệm phương trình d) Ta có : 2 x x x 1 ( x 1)2 2x1 x 2x x x2 x Xét hàm số f t t t tập R f ' t 2t ln 0, x ¡ nên f(t) hàm đồng biến R Vậy phương trình viết dạng: f x 1 f x2 x x x2 x x Vậy phương trình có nghiệm x = e) Ta có: 3x 2x 3x Dễ dàng ta tìm nghiệm: x = x = Ta cần chứng minh phương trình khơng cịn nghiệm khác Xét hàm số f x 3x 2x 3x Ta có: f ' x 3x ln3 2x ln 3; f '' x 3x ln 2x ln 2 Đồ thị hàm số lõm R, suy phương trình khơng có q hai nghiệm Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = 2 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Nhận xét: Đây loại tốn khó sử dụng tính đơn điệu hàm số phải nhẩm nghiệm, thường nghiệm số nguyên Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 1) 3x x 2) x x x 4.7 3) x x x 4) x x x x Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá Ví dụ 10: Giải phương trình sau a) x 1 x b) x x1 x 2 x Giải: a) x 1 x Điều kiện: x Ta có: VT x 1 2.2 x 2.20 (vì x 0, x ) 2 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 17 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Mặt khác: VP x 2, x 2.2 x x0 Nên VT VP x Vậy phương trình có nghiệm x = b) x x 1 x 2 x x 1 x 2 x Ta có: VT x 1 2 Mặt khác: VP 2x 2 x 2x.2 x x 2 Nên VT VP x0 x x 2 Vậy phương trình có nghiệm x = sa Bài tập đề nghị Giải phương trình sau sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Nhận xét: Với loại tốn phải biết sử dụng số bất đẳng thức thông dụng biết phân tích đánh giá 1) 3x 3 x x x 2) 2 x x 1 x 12 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 5.1 Phương pháp 1: Giải phương trình logarit dạng log a f ( x) b f ( x) a b với a Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) log2 3x c) log x x b) log x x 12 Giải a) log2 3x 2 3x 23 x Vậy phương trình có nghiệm: x Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 18 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT x 1 x 4 b) log x x 12 x x 12 23 x x Vậy phương trình có nghiệm: x 1; x 4 c) Điều kiện: x x log 2x x 0(n) log x 9.2 x 2 x n Vậy phương trình có nghiệm: x 0; x x 3 x x 2x x Nhận xét: Đa số phương trình logarit thường đưa phương trình logarit nên việc giải thành thạo loại cần thiết để giải tốt loại khó Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 1) log (5 x 1) 4) log3 (9 x 8) x Phương pháp 2: Đưa số sa 5.2 log x x x sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em 2) 3) log x x Đối với phương trình logarit biến đổi dạng: 0 a log a f ( x) log a g ( x) f ( x) hoaë c g(x) > f ( x) g ( x) Ví dụ 2: Giải phương trình sau a) log3 x log3 ( x 2) c) log ( x 1) log x1 b) log2 (1 x 1) 3log2 x 40 log x 2 Giải a) Điều kiện: x Khi đó: log3 x log3 ( x 2) log3 x( x 2) x2 x x2 x x (n) x 3 (l) Vậy phương trình có nghiệm: x b) Điều kiện: x 40 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 19 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT log (1 x 1) 3log x 40 log (1 x 1) log x 40 x x 40 x 41 x 41 x 41 x x 41 x 48 n x 83x 1680 x 35 l x x 41 Vậy phương trình có nghiệm: x 48 c) Điều kiện: x 1 1 1 log ( x 1) log x log x 1 log x 1 log x log x 1 2 2 log x 1 x 1 log x x x x x 1 l x 3x x n 2 Vậy phương trình có nghiệm: x sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Nhận xét: Để giải phương trình đưa số ta cần phải vận dụng tốt công thức logarit biến đổi thành thạo để đưa dạng bản… Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 1) log( x3 1) log( x x 1) log x 3) log ( x 3) log ( x 7) 2) log ( x 2) 6log 3x 4) 5.3 log5 x log25 x log0,2 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ Ví dụ 3: Giải phương trình sau a) log ( x 1) log x1 b) log3 (3x 1).log (3x1 3) c) x log x 3log x x log d) log x x 3log x x 2 2 Giải: a) Điều kiện: x log ( x 1) log x 1 log ( x 1) Đặt: t log2 x 1 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức (1) log x 1 Trang - 20 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT t t t 2 Khi (1) trở thành: t t t Khi t log2 x 1 x 1 x n Khi t 2 log x 1 2 x x Vậy phương trình có nghiệm: x 3; x n b) log3 (3x 1).log (3x1 3) Điều kiện: x log3 (3x 1).log3 (3x1 3) log3 (3x 1).log3 [3.(3x 1)] log 23 (3x 1) log3 (3x 1) Đặt: t log3 3x 1 t t 3 Khi (2) trở thành: t t Khi t log3 3x 1 3x x log 10 (n) 28 x log (n) 27 27 28 Vậy phương trình có nghiệm: x log 10; x log 27 log log log x c) x x x (3) sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Khi t 3 log 3x 1 3 3x Điều kiện: x > Đặt: t log x x 2t Khi (3) trở thành: 2t log2 22t.3t 2t log2 9t 12t 3t 3t 4t 3t 4t 3t t t 3 1 4t 3t 4 4 t t Xét hàm số f (t ) tập R 4 4 t t 3 1 Ta có: f '(t ) ln ln nêm f(t) hàm nghịch biến tập R 4 4 4 4 Mặt khác: f (1) nên f (t ) f 1 t Khi t x Vậy phương trình có nghiệm: x d) log x x 3log x x (4) Điều kiện: x Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 21 - 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Vì x x x x 1 t Đặt: t x x x x , t 1 Khi (4) trở thành: log t 3log log t 3log t log t 1 t n t 2 2 Khi t x x x x x x x x Vậy phương trình có nghiệm: x n (vì x 1) Nhận xét: Loại toán đặt ẩn phụ để đưa từ toán phức tạp toán gọn Tuy nhiên việc đặt ẩn phụ phụ thuộc vào toán Lưu ý điều kiện ẩn phụ Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 1) log x log (8 x) 3) log x 16 log x 64 2) 4lg(10 x ) 6lg x 2.3lg(100 x ) 4) log x 10 log x sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em 5.4 Phương pháp 4: Đưa phương trình tích Ta tách, thêm, bớt … đặt nhân tử chung để đưa phương trình cho thành tích đa thức đơn giản để việc giải dễ dàng Ví dụ 4: Giải phương trình sau a) log (5x 2) log3 ( x 1) log3 ( x 1) b) x 1 log32 x 4x log3 x 16 Giải: log (5x 2)log3 ( x 1) log3 ( x 1) log3 ( x 1) log (5 x 2) 1 a) Điều kiện: x x l log ( x 1) x 1 x n 5 x log (5 x 2) Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 22 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Vậy phương trình có nghiệm: x b) Điều kiện: x ta có: x 1 log32 x 4x log3 x 16 x log3 x log3 x 4 log3 x 4 log3 x 4 x ( n) log3 x log3 x x log3 x log3 x 81 x log3 x log3 x x log3 x log3 x 0(*) t Đặt t log x x 4 Khi (*) trở thành: 3t.t t t t t t (1) 1 1 Xét hàm số: f (t ) t t tập R 1 4.3t ln 0, t Ta có: f '(t ) t sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Nên f(t) hàm đồng biến R Mặt khác: f(1) = nên f (t ) f (1) t nghiệm (1) Khi t x (n) sa Vậy phương trình có nghiệm: x 3; x Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 1) x2 (3 2x )x 2(1 2x ) 3) log 22 x ( x 4) log x x 5.5 Phương pháp 5: Mũ hóa 81 2) log x log3 x log x.log3 x Ví dụ Giải phương trình sau a) log3 (9 x 8) x b) log ( x x 2) log x Giải 3x x 3 x 3log3 a) log3 (9x 8) x 9x 3x2 32 x 9.3x x Vậy phương trình có nghiệm: x 0; x 3log3 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 23 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT b) Điều kiện: x 11 log ( x x 2) log x (*) Đăt: t log x x 3t Khi (*) trở thành: log5 (32t 6.3t 2) t 32t 6.3t 5t 9t 5t 6.3t t t t 5 1 1 (**) 9 3 9 t t t 1 Đặt: f (t ) tập R 9 3 9 t t t sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em 5 1 1 Ta có: f '(t ) ln ln ln 0, ¡ 9 9 3 3 9 9 Nên f (t ) hàm nghịch biến tập R Mặt khác f (2) suy f (t ) f (2) t nghiệm (**) Khi t x (n) Vậy phương trình có nghiệm: x Nhận xét: Đối với loại tốn việc giải bình thường gặp khó khăn khơng giải nên ta mũ hóa đưa phương trình mũ việc giải dễ dàng Lưu ý chon số hợp lý điều quan trọng Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 1) log5 x log7 ( x 2) 3) x log (5 x1 20) 2) 2log3 tan x log sin x 4) 2log6 ( x x ) log x 5.6 Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu hàm số Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến ( nghịch biến ) liên tục khoangr K số nghiệm khoảng K phương trình f(x) = a khơng nhiều f(u) = f(v) u = v Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) y = g(x) đơn điệu ngược chiều liên tục khoảng K số nghiệm khoảng K phương trình f(x) = g(x) khơng nhiều Định lí 3: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến khoảng K f(x) > f(a) x > a, x, a K Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng K f(x) > f(a) x < a, x, a K Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 24 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Ví dụ 6: Giải phương trình sau: a) log x log x b) log 22 x ( x 1) log x x Giải: a) Điều kiện: x > log x log3 x (1) Đặt t log x x 7t Khi (1) trở thành: t log3 t 7 t t t 1 * t t t 1 Xét hàm số f t tập R 3 t t 1 1 f ' t ln ln 0, x ¡ sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Suy f(t) hàm nghịch bến R, mặt khác f(2) = nên f (t ) f (2) t nghiệm (*) Khi t x 49 n Vậy phương trình có nghiệm x = 49 b) Điều kiện: x > Khi đó: log 22 x ( x 1) log x x log 22 x log x x log x x log x 3 log x x log x log x log x x x log x log x x log x x (**) Xét hàm số f ( x) log x x với x > Ta có: f '( x) với x > x ln nên f(x) hàm đồng biến với x > mặt khác f (2) f ( x) f 2 x n nghiệm (**) Vậy phương trình cho có nghiệm: x ; x Nhận xét: Đây loại tốn khó cần phải nhẩm nghiệm thương nghiệm số nguyên Nhiều phải dùng tới đạo hàm cấp hai giải Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 25 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Bài tập đề nghị Giải phương trình sau log5 x 3 1) 3) log 22 x ( x 3).log x x x 2) 3x 2x 2log3 1 x 4) x x log x x 1 5.7 Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá Ví dụ 7: Giải phương trình sau a) log3 x log x x 5 b) log x x log x x x Giải: a) log3 x log x x 5 Điều kiện: x 82 Ta có: x VT log3 x log3 x2 x x 1 VP log x x 5 log 2 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em log3 x Nên VT VP x n log x x Vậy phương trình có nghiệm x = b) log x x log x x x Điều kiện: x Khi đó: log x x log x x x log x x 1 x Ta có: x 2 x VT log x log x x 1 2 x x VP x 1 log x x x n Nên VT VP 3 x Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Loại tương đối khó Phải biết sử dụng linh hoạt bất đẳng thức thông dụng biết cách so sánh Tuy nhiên loại tốn thường có nghiệm nghiệm thường số nguyên Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 26 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 2) log ( x x 5) x 1 1 x 1) log ( x x 3) 3) log ( x 4) log3 ( 8) x 1 MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG TRONG CÁC NĂM GẦN ĐÂY 1) Giải phương trình: x x 22 x x Đại học khối D-2003 x x x x 2) Giải phương trình : 3.8 4.12 18 2.27 Đại học khối A-2006 3) Giải phương trình x 4) Giải phương trình: 2x 4.2 x x 22 x Đại học khối D-2006 x x 2 Đại học khối B-2007 5) Giải phương trình: log x 15.2 x 27 log Đại học khối D-2007 4.2 x 6) Giải phương trình: log x 1 (2 x x 1) log x 1 (2 x 1) Đại học khối A-2008 7) Giải phương trình: 42x x2 2x 42 x2 2x 4x4 Đại học khối D-2010 8) Giải phương trình: log2 x2 log1 1 x 1 x Đại học khối D-2011 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em 9) Giải phương trình: 2log2 x log1 1 x log 2 x2 x Đại học khối D-2013 10) Giải phương trình 32x+1 – 4.3x + = Cao đẳng khối D - 2014 IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Qua q trình giảng dạy tơi thấy việc đưa phương pháp giải phương trình siêu việt học sinh nắm bài, hiểu sâu kiến thức Từ học sinh rèn luyện kỹ giải toán, củng cố kỹ giải tốn giải phương trình siêu việt, số học sinh đam mê u thích mơn tốn ngày tăng, lực tư kỹ giải toán học sinh nâng cao, học sinh giỏi Học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức có kỹ giải tốn tương tự, sở học sinh giải toán tổng hợp Đối với kiểm tra em trình bày chặt chẽ logic, kết cao, với kết sau : Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 27 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Trong năm học 2012 - 2013, chọn 30 học sinh dự thi khối A ,tôi khảo sát kết cụ thể sau : Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá Tỷ lệ 12B5 12B6 6,7% 3,3% 20% 23,3% Trung bình Tỷ lệ Yếu Tỷ lệ 20% 26,7% 16 14 53,3% 46,7% Kết thử nghiệm cuối tháng năm học 2013 - 2014, chọn ngẫu nhiên 30 học sinh dự thi khối A khảo sát kết cụ thể sau : Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá Tỷ lệ 12B2 12B8 20% 26,7% 12 10 40 % 33,3% Trung bình Tỷ lệ Yếu 20 % 16,6% Tỷ lệ 20% 23,3% sa Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá 12B7 12B9 10 10 33,3% 33,3% 12 13 IV sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Kết thử nghiệm cuối tháng 12 năm học 2014 - 2015, chọn ngẫu nhiên 30 học sinh dự thi khối A khảo sát kết cụ thể sau : Tỷ lệ Trung bình 40 % 43,3% Tỷ lệ Yếu Tỷ lệ 20 % 20% 6,7% 3,4% ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho học sinh đại trà khá, giỏi Học sinh yếu, trung bình nắm phương pháp giải để vận dụng giải toán đơn giản Học sinh khá, giỏi sở nắm vững phương pháp áp dụng vào tập phức tạp từ nâng cao khả tư tính sáng tạo học sinh Sáng kiến kinh nghiệm tác giả thực số lớp đạt kết tương đối Trên sơ sở tơi xin đề xuất sáng kiến kinh nghiệm “một số phương pháp giải phương trình mũ – phương trình logarit” áp dụng đơn vị thời gian tới Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 28 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuấn (2010) Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuấn (2010) Sách tập giải tích 12 nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam Trần Đức Huyên (chủ biên) (2011) Giải tích 12 (sách dung cho lớp chuyên ) –NXB giáo dục Việt Nam Các đề thi đại học thống toàn quốc năm 2009 -2014 Các đề thi tốt nghiệp thống toàn quốc năm 2009 -2014 Vũ Thế Hựu (2010) Bộ tài liệu ôn thi đại học - NXB đại học sư phạm LỜI KẾT sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Chuyên đề đề cập số phương pháp thường gặp để giải phương trình mũ lơgarit, nhiều phương pháp hay hơn, khó hữu dụng mà tơi chưa thể đề cập tới Mặc dù cố gắng nhiều, song chun đề chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong tồn thể q thầy bạn đọc đóng góp ý kiến để chuyên đề tốt hữu ích Qua tơi xin chân thành cảm ơn q thầy giúp tơi hồn thành chuyên đề Định Quán, ngày 03 tháng năm 2015 Người thực Nguyễn văn Đức Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 29 - ...MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình mũ phương trình logarit gọi phương. .. Vậy phương trình có nghiệm: x log3 Nhận xét: Đại đa số phương trình mũ giải đưa phương trình mũ Nên việc giải phương trình mũ tốt điều kiện để giải tốt phương trình Đối với phương trình mũ cần... tính sáng tạo học sinh Sáng kiến kinh nghiệm tác giả thực số lớp đạt kết tương đối Trên sơ sở tơi xin đề xuất sáng kiến kinh nghiệm ? ?một số phương pháp giải phương trình mũ – phương trình logarit? ??