0

Các tính chất snc của một tập hợp

28 0 0
  • Các tính chất snc của một tập hợp

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 14/10/2021, 23:46

0 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ CHƯƠNG II CÁC TÍNH CHẤT SNC CỦA MỘT TẬP HỢP 2.1 Tính compact pháp tuyến theo dãy tập 2.2 Đối chiều hữu hạn tập SNC 2.3 Tính chất SNC qua ảnh ngược ánh xạ khả vi ngặt 17 2.4 Tính chất SNC qua ảnh ngược tốn tử tuyến tính liên tục 20 2.5 Tính chất SNC tập compact epi-Lipschitzian 21 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 MỞ ĐẦU Như biết điểm khác biệt giải tích biến phân hữu hạn chiều giải tích biến phân vơ hạn chiều cần thiết phải đặt yêu cầu tính compact pháp tuyến theo dãy (SNC) ta xét tập hợp không gian vô hạn chiều Nếu u cầu thõa mãn lấy giới hạn theo dãy tơpơ yếu* ta có kết không tầm thường Vấn đề nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu Nguyễn Đơng n [3], B S Mordukhovic [5]… Vì lí nên chọn đề tài “Các tính chất SNC tập hợp” nhằm nghiên cứu tính chất SNC tập hợp, từ đưa kết khơng tầm thường tính chất địa phương tập không gian Banach vơ hạn chiều Luận văn trình bày gồm chương Chương I Các khái niệm tính chất sở Chương II Các tính chất SNC tập hợp Phần lớn kết trình bày luận văn thu tác giả B S Mordukhovic tài liệu [5] trích dẫn khoá luận Các Bổ đề 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3, Chú ý 2.3.1, Nhận xét 2.5.1,… Mordukhovic [5] sử dụng tác giả chưa tìm thấy kết chứng minh tài liệu mà tác giả tham khảo Khoá luận tập trung chứng minh để làm sáng tỏ kết Tuy nhiên, thời gian trình độ có hạn nên tác giả khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý, bảo độc giả Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Thị Tồn, người tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình nghiên cứu viết khoá luận Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích, khoa Tốn tận tình giảng dạy, động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu trường Đại học Vinh Vinh, tháng năm 2010 Tác giả CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ Định nghĩa 1.1 Giả sử E không gian định chuẩn trường K Không gian ℒ(E,K) = E* không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào K gọi không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu (tôpô) E Nhận xét 1.1 Với không gian định chuẩn E, không gian liên hợp E* Banach Định nghĩa 1.2 Tôpô yếu E để ánh xạ f  E* liên tục gọi tôpô yếu E  Định nghĩa 1.3 Dãy {xn} gọi hội tụ yếu đến x  E, kí hiệu xn  x lân cận yếu U x tồn n0 cho xn  U với n ≥ n0  Nói cách khác, xn  x f1, f2¸…,fn  E*, ε > 0, tồn số n0 cho xn  U(f1, f2¸…, fn, x, ε) với n ≥ n0 Ở U(f1, f2¸…, fn, x, ε) = n i1 U(fi, x, ε) = {y  E : sup │fi(y) – fi(x)│< ε } 1i  n Sự hội tụ yếu có đặc trưng sau Dãy {xn} khơng gian định chuẩn E hội tụ yếu đến x  E f(xn)  f(x) với f  E* Định nghĩa 1.4 ( Pháp tuyến tổng quát) Giả sử Ω tập khác rỗng X i) Cho  ≥ 0, ta định nghĩa tập véc tơ  - pháp tuyến Fréchet Ω x  *   x ,u  x  *  * ˆ :=  | limsup   ( x ;  ) x X   N  u  x   u x   (1.1) Nếu x  Ω ta đặt Nˆ  ( x; ) :=  Khi  = 0, phần tử Nˆ  ( x; ) gọi pháp tuyến Fréchet Ω x tập hợp Nˆ  ( x; ) : Nˆ ( x, ) gọi nón pháp tuyến Fréchet Ω x ii) Cho x  Ω Lúc đó, phần tử x* X* pháp tuyến sở / pháp   * tuyến Mordukhovic Ω x tồn dãy  k  0, x k  x x  x* * k cho x *k  Nˆ  k ( x k; ) , với k N Tập hợp pháp tuyến vậy, kí hiệu N ( x ; ) : Lim sup Nˆ  ( x; ) , (1.2) x x  0 gọi nón pháp tuyến (cơ sở / Mordukhovic) Ω x Đặt N ( x ; ) :  , x  Nhận xét 1.2 i) Nˆ  ( x ; )  Nˆ  ( x ; ) N ( x ; )  N ( x ; ) , với    , x  Ω,  ≥ ii) Với  ≥ 0, tập Nˆ  ( x; ) lồi đóng theo tơpơ chuẩn X* Mệnh đề 1.1 (Pháp tuyến tích Đề các) Cho 1  2  X  X Lúc đó, x = ( x 1, x 2)  1  2  X  X Nˆ ( x , 1  2)  Nˆ ( x 1, 1)  Nˆ ( x 2, 2) ; N ( x , 1  2)  N ( x 1, 1)  N ( x 2, 2) Mệnh đề 1.2 (  - pháp tuyến tập lồi) Cho Ω tập lồi Khi  * * Nˆ  ( x ; )  x  X  * x , x  x   x  x , x  , với  ≥ x  Ω Tức là, Nˆ ( x ; ) đồng với nón pháp tuyến giải tích lồi Định nghĩa 1.5 Cho f : X → Y ánh xạ không gian Banach Θ tập Y Ảnh ngược Θ f định nghĩa bởi: f -1(Θ) := { x  X │ f ( x)  Θ } Định nghĩa 1.6 Ánh xạ f : X → Y gọi khả vi ngặt x lim x x ux f ( x)  f (u )  f ( x )( x  u )  x u Hệ số khả vi ngặt f x hàm r f ( x ; ) : (0; ∞) → [0; ∞) định nghĩa r f ( x ; ) : sup u , xx  x u f ( x)  f (u )  f ( x )( x  u ) xu Bổ đề 1.3 Cho f : X → Y, Θ  Y y  f ( x )  Nếu f khả vi ngặt x tồn số c1 > 0,   cho với y* Nˆ  ( f ( x); ) (  ≥ 0), x  ( x  )  f 1()    0,  ta có  f ( x)* y*  Nˆ ˆ ( x; f 1()) với ˆ : c1  + y* r f ( x ; ) Nếu f ( x ) tồn ánh tồn số c2 > 0,  > cho với 1 1 * x  Nˆ  ( x; f ()) (  ≥ 0), x  ( x  )  f ()    0,  ta có * * * * x  f ( x ) Nˆ  ( f ( x); ) + (  c 2(  x )r f ( x ; )) , với  : c 2  c 2(  x* )r f ( x ; ) Bổ đề 1.4 (Tính chất tốn tử tuyến tính liên hợp) Cho A* : Y* → X* tốn tử tuyến tính liên hợp với tốn tử tuyến tính liên tục A : X → Y Giả sử A tồn ánh, với y*  Y* ta có   * * * * * *  y   y , với   inf  y | y    0;   Cụ thể, A đơn ánh hay * y1  * y y1  y * * * * Định lí 1.5 Cho f : X → Y ánh xạ khả vi ngặt x , lúc f quy quanh x tốn tử đạo hàm f ( x ) :   Y tồn ánh Định lí 1.6 (Định lí Josefson – Nissenzweig) X không gian Banach vô * hạn chiều tồn dãy  x    : x  x  * n Định nghĩa 1.7 Tập   n * * n * n gọi tập affin (1   )x   y  , với x, y ,   Định nghĩa 1.8 Tổ hợp tuyến tính hai tập 1 2 X định nghĩa  1   2 : { x1   x2 x1  1, x2  2} , với số thực  ,  CHƯƠNG II CÁC TÍNH CHẤT SNC CỦA MỘT TẬP HỢP 2.1 Tính compact pháp tuyến theo dãy tập hợp Định nghĩa 2.1.1 Tập    gọi compact pháp tuyến theo dãy (SNC) x   với dãy   k , xk , xk*    0,      X * thỏa mãn *  k  0, xk  x, x  Nˆ   xk ;   x  * k k * k xk*  k   Nhận xét 2.1.1 Từ định nghĩa ta thấy i) Nếu  SNC x    SNC x     Nˆ  x;   Nˆ  x;  ii) Mỗi tập khác Ø không gian hữu hạn chiều SNC điểm thuộc (vì không gian hữu hạn chiều, hội tụ yếu đồng với hội tụ theo chuẩn) Định nghĩa 2.1.2 Cho   X Bao affin  định nghĩa sau l  l  aff  : i xi xi ,i  , i  1, l   , i 1  i1  tập affin nhỏ chứa Ω Bổ đề 2.1.1 AffΩ phép tịnh tiến không gian tuyến tính X Chứng minh Lấy x0  aff  , ta chứng minh tồn V không gian vectơ X cho aff   x0  V (không phụ thuộc vào điểm x0 ) Thật vậy, x0 , x1  aff  V, V  không gian X mà aff   x0  V = x1 + V’, ta chứng minh V  V  Lấy x thuộc V, lúc x0  x  x1  V  Suy x  x1  x0  V  (1) Mà x0  V  x1  V   x0  x1  V V  , nên x0  x1  V  (do V chứa 0) Suy x1  x0 V  Từ (1) ta có x V   V   V  Nên V  V  Tương tự ta chứng minh V   V Vậy V  V  Bao đóng tập affΩ X gọi bao affin đóng Ω Ký hiệu aff  Lấy x thuộc aff  , tập aff   x khơng gian tuyến tính đóng X (hiệu tập đóng tập compact), khơng phụ thuộc vào cách chọn x Đối chiều aff  định nghĩa số chiều không gian thương    / aff   x Phần tương đối    phần Ω tương ứng với aff  (tức phần Ω tôpô aff  ) Ký hiệu riΩ 2.2 Đối chiều hữu hạn tập SNC Định lý 2.2.1 Tập    SNC x   codim aff    U    , với lân cận U x Cụ thể, tập điểm X SNC X hữu hạn chiều Hơn nữa, Ω tập lồi ri    , tính chất SNC Ω x  Ω tương đương với điều kiện codim aff    Để chứng minh định lý, trước hết ta chứng minh bổ đề sau   Bổ đề 2.2.2 Nếu đặt L : aff  L  x*  X *  x* , x  0, x  L L đẳng cấu với  X / L  * Chứng minh Lập ánh xạ Ф :  X / L   L *      x* cho x* , x    x  L  , x   Đầu tiên ta chứng minh Ф đẳng cấu Thật vậy, dễ dàng kiểm tra  ánh xạ tuyến tính Ta chứng minh Ф đơn ánh Giả sử  ,    X / L  mà     x  X để *   x  L      x  L   x* , x  x1* , x Do x*  x1* (với     x* ,     x1* ) Vậy Ф đơn ánh Tiếp theo ta Ф tồn ánh Với x*  L x* , x  0, x  L Đặt :X /L xL   x  L   x* , x Lúc đó,  ánh xạ với x  L, x  L  X / L mà x  L  x  L , ta có x  x  L  x* , x  x  Do x* , x  x* , x hay   x  L     x  L  Dễ thấy  tuyến tính  ,   ; x  L, x  L   / L ta có    x  L     x  L      x   x  L   x * ,  x   x   x* , x   x* , x (do  ,   ) 13  * ánh xạ tuyến tính Thật vậy, với x* , x*  X * , ,   , ta có  *  x*   x*    x*   x* | ,  x*   x* |   Y * Z  *    x*| *   x*| *, x*| *   x*| * Y Y Z Z    y *   y * ,  z *   x *     y* , z*     y* , z *     *  x *     *  x*  Vậy  * tuyến tính liên tục từ khơng gian Banach X * vào không gian Banach * * Y Z Theo định lý ánh xạ mở  * đồng phơi Tóm lại,  * đẳng cấu Ta chứng minh với  y * , z *   Y *  Z * Thật vậy, ta có y ,z  * *  y , z  ,  y, z  *  sup y  z 1  sup y  z 1  *  y, z  y* , y  z * , z y  z   max y* , z* Ngược lại, * y ,z *  sup y  z 1 y* , y  z * , z y  z y ,z  * *    max y* , z * 14 y* y  z * z  sup y  z y  z 1    sup max y* , z* y  z 1   y  z  y  z   max y* , z* Vậy y ,z  * *    max y* , z* Ta chứng minh từ hội tụ yếu X * kéo theo hội tụ yếu Y*  Z* Thật vậy, giả sử  x   X , x  x*   x*k    y k , z *k   Y *  Z * * k * * k Ta có lim xk* , x  x* , x , * * * x  X k  Lúc đó, với  y, z  Y  Z y  z  X , nên   * lim y*k , z*k ,  y, z  = lim   x*k  ,  y , z k  k   = lim x*k ,  y, z  k   lim xk* , y  z  x* , y  z  x* , ( y, z ) =  *  x*  ,  y, z  =   y , z  ,  y, z   * * * Hay  yk* , zk*    y * , z *  Y *  Z *   Bây ta chứng minh Nˆ  x; | X   Nˆ  x; |   Z  aff  * với x ;   15 Thật vậy, lấy x  X x  x1  x2 với x1  aff , x2  Z Do X  aff  Z nên x   x1, x2  Lúc đó, với x  , x  x  (với  Z ), ta có  Nˆ   x ;  | X   Nˆ  x ;  |aff Z  = Nˆ  x; | aff    Nˆ  0; |    Z  = Nˆ  x ;  |aff   Z *  Vậy Nˆ  x; | X   Nˆ  x; |  Z , x ,   *  aff  Chứng minh định lý Đầu tiên ta chứng minh điều kiện cần cho tập  X Từ tính chất địa phương SNC ta giả sử x  U  X (do x      x    Ω tập SNC x  tập SNC 0) Khi L : aff  khơng gian tuyến tính đóng X (vì aff   x khơng gian tuyến tính đóng X mà 0 Ω nên aff không gian tuyến tính đóng X (theo Bổ đề 2.1.1))   * *  * L : x  X | x, x  0, x  L tập Nˆ  0;   Giả sử ngược lại codimΩ = dim  X / L    * Sử dụng Định lý Josefson - Nissenzweig, ta tìm dãy xk*   X / L  cho * * x  1, k  N , x   X / L  * k * k * Sử dụng tính chất đẳng cấu  X / L   L (Bổ đề 2.2.2) ta tìm dãy * x   L * k   X cho x  1, k  * * k * x  X* * k 16 Từ bao hàm thức L  Nˆ  0;    Nˆ   0;   ,   , suy xn*  Nˆ   0;   , xn*  mà xn*   * Điều mâu thuẫn với tính chất SNC  Vậy codim   dim  X / L    Bây ta chứng minh điều kiện đủ với tập lồi có phần tương đối khác rỗng Khơng tính tổng quát ta giả sử 0 , từ aff  khơng gian đóng X Từ codim aff    nên tồn không gian hữu hạn chiều Z  X cho X  aff   Z Nghĩa là: X  aff   Z aff   Z  0 Ta có:  Nˆ  x; | X   Nˆ  x; |   Z , x ,    (theo Bổ đề 2.2.3) * aff  Từ Z hữu hạn chiều nên ta xét với trường hợp aff   X Khi ri   int   Cố định x   x0  int  x0  rB   với r >0 (do int    ) Lấy  * tùy ý xk   x  Nˆ  k  xk ,   với xk  x,  k  xk*  k   Lúc * k xk*  c , với số c đó, c > 0, k  Do  lồi nên xk* , x  xk   k x  xk , x , k  Lấy x  x0  ru với u  , ta có xk* , x0  xk  ru   k x0  xk  ru , u   17 Do đó, 1 xk* , u   k x0  xk  ru  xk* , x0  xk , u  r r Suy 1 xk* , u   k x0  ru  xk  xk* , x  x0  xk* , xk  x r r r 1   k  x0  xk  ru   xk* , x  x0  xk* , xk  x r r r Nên xk*  k   ,  *  sup x* , u   xk  k u   Hay  SNC x 2.3 Tính chất SNC qua ảnh ngược ánh xạ khả vi ngặt  Định lý 2.3.1 Cho f : X  Y khả vi ngặt x với đạo hàm f x  toàn ánh,   Y cho y : f x  Khi đó, f 1    SNC x  SNC y Chứng minh Đầu tiên ta giả sử  SNC y , ta chứng minh f 1    SNC x Thật vậy, lấy  dãy k , xk , xk*    0;    f 1     X * * f ( xk )  , x  Nˆ  k  xk ; f 1      k  0, xk  x, xk*  k   * k Lúc đó,  xk*  bị chặn X * Sử dụng Bổ đề 1.3 (với    k ) ta tìm dãy ˆk  0,  k   yk*  Nˆ  k  f  xk  ;   với xk*  f x yk*  ˆk , k  * * Ta chứng minh y  * k cho 18    *  * * x   f x y  k  k Thật vậy, từ  *   xk*    *  * * Suy f x y  * k  Lúc đó, với y  Y , f x : X  Y toàn ánh nên tồn x  X cho  f x  x   y  Do yk* , y  yk* , f x  x   f ( x )* y* , x → 0, Nên y  Y * y  * k Từ tính chất SNC tập  y tính liên tục f x , ta có yk*   Mà xk*  ˆk  f  x  y*  ˆk  m yk*  (do f x liên tục) * Nên * x 0 Vậy f 1  SNC x Chiều ngược lại, giả sử f 1   SNC x , lấy dãy   k , yk , yk*    * * cho y  Nˆ  k  yk ;    k  0, y k  y , y k  k   Từ tính quy * k  f quanh x (do f khả vi ngặt x f x tồn ánh), ta tìm   xk  f 1  yk  cho xk  x   yk  y   (do yk  y  d yk , y   với   bất kỳ), nghĩa xk  x với yk  f  xk  Sử dụng Bổ đề 1.3 (với    k ) ta có dãy ˆk  19  xk* : f x y*  Nˆ  k  xk ;f 1     , k  * Lúc  y , f  x   x  * xk* , x  f x y* , x  * k * (vì y  0, x  X ) * k * Suy x  * k Do tính chất SNC f 1   x ta có xk*  Suy f  x  y*  * Mà f  x  yk*   yk* * (từ Bổ đề 1.4) Do yk*  , hay  SNC y Chú ý 2.3.1 Nếu f(x) = Ax tốn tử tuyến tính liên tục khơng gian Banach X Y Định lý 2.3.1 đảm bảo tương đương tính SNC   Y nghịch ảnh A-1   điểm tương ứng A toàn ánh Chứng minh Do A: X  Y tuyến tính liên tục nên A khả ngặt  A x  A Thật vậy, ta có lim x x x x  lim x x x x   A x   A x  A x  x  xx   A x   A x  A x   A x xx 0 Khi A tồn ánh theo Định lý 2.3.1 ta có điều phải chứng minh 20 2.4.Tính chất SNC qua ảnh ngược tốn tử tuyến tính Mệnh đề 2.4.1 Cho A: X  Y tốn tử tuyến tính liên tục với ảnh AX:= y Y | x  X để Ax  y đóng Y Lấy tập   AX cho  SNC y : Ax  Khi đó, nghịch ảnh A1    SNC x Chứng minh Trước hết ta chứng minh tập   AX SNC y tương ứng với Y SNC y tương ứng với AX Khi ta sử dụng Định lý 2.3.1 cho tốn tử tồn ánh A : X  AX Thật vậy, sử dụng điều kiện cần Định lý 2.2.1 ta có codim AX <  (vì aff   AX ) nghĩa tồn khơng gian đóng Z  Y để Y  Z  AX  Ký hiệu Nˆ  ; |  k AX   - pháp tuyến  tương ứng với AX lấy tùy ý , yk , y    0;      Y * k  y*  Nˆ  k yk ; | AX *  * cho  k  0, yk  y , y   AX  , * k *  Từ AX - Banach, sử dụng Bổ đề 2.2.3 ta có  y ,0   Nˆ  y ;   với  Z * k  * k Nˆ  k .;   tập vectơ  k - pháp tuyến  tương ứng với Y Lúc đó, từ tính chất SNC  tương ứng với Y ta có yk* ,0 (vì * * y k ,0 Y * Y →  y*k  = max y* AX* ,0 Z* * AX  y* → AX* ) Do  SNC y tương ứng với AX  Từ Chú ý 2.3.1 ta có A1    SNC x với A x  y 21 Tiếp theo ta nghiên cứu tính chất SNC tập Ω mà không liên quan tới pháp tuyến, dựa biểu diễn phần tử Ω 2.5 Tính chất SNC tập compact epi – Lipschitzian Định nghĩa 2.5.1 Cho   X , x  Lúc i) Ω compact epi-Lipschitzian (CEL) quanh x , tồn tập compact C  X , lân cận U x , lân cận O X số   cho   U  tO    tC, t   0,   (5) ii) Ω epi-Lipschitzian quanh x tập compact C (5) tập điểm Nhận xét 2.5.1 Nếu Ω epi-Lipschitzian (CEL) quanh x thi  epiLipschitzian quanh x Thật vậy, từ Ω CEL quanh x   nên U lân cận x , O lân cận 0, tập compact C   cho   U  tO    tC, t   0,   Ta chứng minh   U  tO    tC , t   0,    x   U Thật vậy, z    U  tO  z  x  ty với   y O  x  Từ  , ta có với lân cận V x V      x U Chọn V  U lân cận x  x  Lúc đó,   0,    x U để x  x   Suy x  ty   U  tO    tC, t   0,   22 Ta có x  ty   x  ty   x  x   , nên x  ty   tC    tC Vậy   U  tO    tC hay  CEL quanh x Mệnh đề 2.5.1 (Tính epi – Lipschitzian tập lồi) Tập lồi   X epi – Lipschitzian quanh x int    Chứng minh Trước hết ta chứng minh tập lồi   X epiLipschitzian quanh x tồn v  X cho x   v  int  , với   Thật vậy, Điều kiện cần Giả sử  tập epi-Lipschitzian quanh x   Lúc  lân cận U x , O lân cận v  X ,   cho   U  tO    t v, t   0;  Suy   U  t  O \ v  , t   0;   Do x  tu  int  , với u  v (   U  t  O \ v lân cận x  tu x  tO  tv  x  tu  tO lân cận x  tu ) Điều kiện đủ Giả sử v  X để x   v  int , với   Lấy   lân cận V X để x   v   V   (lúc x   v   V lân cận x  tv ) Suy x    v  V    Chọn lân cận V cho  V V V Lúc ta có   x   v  V  x    v  V  V   x    v  V    , với x  x  V      Khi  tập lồi     x  t v  V  , x   x  V t   0;  23 Khi   t  0, x   x  V   ; t   có x    v  V    Ta có t    0;1 từ Ω lồi nên  t t 1    x   x   v  V     tx tx  x    t v V            t   0;    x  t v  V  ,     Vậy ta có x  t v  V  , x   x  V , t   0;      Suy   x  V  t v  V  , t   0;  Chọn U  x  V lân cận x , O  V lân cận X, C  v Ta có  epi – Lipschitzian quanh x Việc lại chứng minh int    v  X ,   cho x   v  int  Từ int    x0  int    0:   x0 ,    , ta chứng minh tồn   0, v  X để x   v   x0 ,  Từ giả thiết x   int    xn   int  cho lim x n  x  n Suy x  xn   với n đủ lớn x  x0  x0  xn   với n đủ lớn Xét v  X ,   cho x0  xn   v , ta có 24 x   v  x0   Hay x   v   x0 ,   int  Định lý 2.5.2 (Tính chất SNC tập CEL) Cho tập   X CEL quanh x   Lúc  SNC x Chứng minh Giả sử  CEL x   tồn tập compact C  X số  ,  cho     x    t     tC, t   0;  Ta điều kéo theo tồn   cho   Nˆ   x;    x*  X * :  x*        max x* , c ,  cC  với x   x     Thật vậy, lấy x   x   áp dụng tính chất CEL  cho e , t   0;  lấy ct  C cho x  t  e  ct   Do tính compact C, tồn dãy ct  hội tụ tới c  C t  Hơn nữa, từ định nghĩa  - pháp tuyến  x nên ta có x  Nˆ   x;    lim sup  * x x  x* , t e  ct  limsup Suy x* , e  c   e  c  t e  ct x  x   Do t 0 x* , x  x  x* , e  x* , c   e  c  x* , e   e   c  x* , c  x*      max c  max x* , c cC cC 25         max x* , c , với  : max c cC cC Như ta chứng minh  Nˆ   x;     x*  X * :  x*        max x* , c cC * * (6) Bây ta lấy  k  0, xk  x x  Nˆ  k  xk ;   , xk*  , tính compact C kéo theo xk* , c  Từ (6) ta có xk*  k   Hay  SNC x * k 26 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau 1) Trình bày khái niệm tính chất nón pháp tuyến,  - pháp tuyến 2) Trình bày tính chất tập SNC  Đối chiều hữu hạn tập SNC;  Tính chất SNC qua ảnh ngược ánh xạ khả vi ngặt;  Tính chất SNC qua ảnh ngược tốn tử tuyến tính liên tục;  Tính chất SNC tập CEL 3) Chứng minh số tính chất mà [5] đưa chưa chứng minh Bổ đề 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3, Chú ý 2.3.1, Nhận xét 2.5.1 Làm sáng tỏ mệnh đề định lí [5] đưa chứng minh cịn vắn tắt 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] TS Đậu Thế Cấp, 2002, Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, 2001, Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Đông Yên, 2007, Giáo trình Giải tích đa trị, Nhà xuất khoa học tự nhiên công nghệ TIẾNG ANH [4] B.S Dacorogna, 2004, Introduction to the Calculus of Variational, Imperrial College Press [5] B S Mordukhovic, 2006, Variational analysic and Generalized differentiation I, Basis Theory, Spring, trang – 32 [6] B S Mordukhovic, 2006, Variational analysic and Generalized differentiation II, Spring [7] J – P Aubin and I Ekeland, 1984, Applied Nonliear Analysic, Wiley, NewYork [8] J M Borwen and Qiji J Zhu, 2005, Technique of Variational Analysic, Spring, NewYork [9] W Rudin, 1991, Functional Analysic, Mc.Graw.Hill, Inc, NewYork ... Trình bày tính chất tập SNC  Đối chiều hữu hạn tập SNC;  Tính chất SNC qua ảnh ngược ánh xạ khả vi ngặt;  Tính chất SNC qua ảnh ngược tốn tử tuyến tính liên tục;  Tính chất SNC tập CEL 3)... ? ?Các tính chất SNC tập hợp? ?? nhằm nghiên cứu tính chất SNC tập hợp, từ đưa kết khơng tầm thường tính chất địa phương tập không gian Banach vô hạn chiều Luận văn trình bày gồm chương Chương I Các. .. với số thực  ,  CHƯƠNG II CÁC TÍNH CHẤT SNC CỦA MỘT TẬP HỢP 2.1 Tính compact pháp tuyến theo dãy tập hợp Định nghĩa 2.1.1 Tập    gọi compact pháp tuyến theo dãy (SNC) x   với dãy   k ,
- Xem thêm -

Xem thêm: Các tính chất snc của một tập hợp , Các tính chất snc của một tập hợp