Các tính chất SNC của một tập hợp

MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .1 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ .3 CHƯƠNG II CÁC TÍNH CHẤT SNC CỦA MỘT TẬP HỢP .7 2.1. Tính compact pháp tuyến theo dãy của các tập .7 2.2. Đối chiều hữu hạn của tập SNC 8 2.3. Tính chất SNC qua ảnh ngược của ánh xạ khả vi ngặt 17 2.4. Tính chất SNC qua ảnh ngược của toán tử tuyến tính liên tục .20 2.5. Tính chất SNC của tập compact epi-Lipschitzian 21 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 1 MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết một trong những điểm khác biệt cơ bản giữa giải tích biến phân hữu hạn chiều và giải tích biến phân vô hạn chiều là sự cần thiết phải đặt ra các yêu cầu về tính compact pháp tuyến theo dãy (SNC) khi ta xét các tập hợp trong không gian vô hạn chiều. Nếu những yêu cầu đó được thõa mãn thì khi lấy giới hạn theo dãy tôpô yếu * ta mới có những kết quả không tầm thường. Vấn đề này đã được nhiều nhà Toán học quan tâm và nghiên cứu như Nguyễn Đông Yên [3], B. S. Mordukhovic [5]… Vì những lí do trên nên chúng tôi đã chọn đề tài “Các tính chất SNC của một tập hợp” nhằm nghiên cứu các tính chất SNC của các tập hợp, từ đó đưa ra những kết quả không tầm thường về tính chất địa phương của các tập con trong không gian Banach vô hạn chiều. Luận văn được trình bày gồm 2 chương Chương I Các khái niệm và tính chất cơ sở. Chương II Các tính chất SNC của một tập hợp. Phần lớn các kết quả trình bày trong luận văn đã thu được bởi tác giả B. S. Mordukhovic trong tài liệu [5] và được trích dẫn trong khoá luận. Các Bổ đề 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3, Chú ý 2.3.1, Nhận xét 2.5.1,… đã được Mordukhovic [5] sử dụng nhưng tác giả chưa tìm thấy các kết quả này được chứng minh trong các tài liệu mà tác giả đã tham khảo. Khoá luận này tập trung chứng minh để làm sáng tỏ các kết quả trên. Tuy nhiên, do thời gian và trình độ có hạn nên tác giả không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của độc giả. Nhân dịp này xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn Thị Toàn, người đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và viết bài 2 khoá luận này. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích, trong khoa Toán đã tận tình giảng dạy, động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Vinh. Vinh, tháng 5 năm 2010 Tác giả 3 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ Định nghĩa 1.1. Giả sử E là một không gian định chuẩn trên trường K. Không gian ℒ(E,K) = E * là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào K được gọi là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu (tôpô) của E. Nhận xét 1.1. Với mọi không gian định chuẩn E, không gian liên hợp E * là Banach. Định nghĩa 1.2. Tôpô yếu nhất trên E để các ánh xạ f ∈ E * liên tục được gọi là tôpô yếu trên E. Định nghĩa 1.3. Dãy {x n } được gọi là hội tụ yếu đến x ∈ E, kí hiệu x n ω → x nếu mọi lân cận yếu U của x tồn tại n 0 sao cho x n ∈ U với mọi n ≥ n 0 . Nói cách khác, x n ω → x nếu mọi f 1 , f 2 ¸…,f n ∈ E * , ε > 0, tồn tại số n 0 sao cho x n ∈ U(f 1 , f 2 ¸…, f n , x, ε) với mọi n ≥ n 0 . Ở đây U(f 1 , f 2 ¸…, f n , x, ε) = 1 n i= I U(f i , x, ε) = {y ∈ E : 1 sup i n≤ ≤ │f i (y) – f i (x)│< ε }. Sự hội tụ yếu có đặc trưng sau Dãy {x n } trong không gian định chuẩn E hội tụ yếu đến x ∈ E nếu và chỉ nếu f(x n ) → f(x) với mọi f ∈ E * . Định nghĩa 1.4 ( Pháp tuyến tổng quát). Giả sử Ω là tập con khác rỗng của X. i) Cho ε ≥ 0, ta định nghĩa tập các véc tơ ε - pháp tuyến Fréchet của Ω tại x ∈ Ω bởi 4 ˆ ( ; )x N ε Ω := * * * , | limsup u x u x x x X u x ε Ω →   −   ∈ ≤   −     . (1.1) Nếu x ∉ Ω thì ta đặt ˆ ( ; )x N ε Ω := ∅ . Khi ε = 0, mỗi phần tử của ˆ ( ; )x N ε Ω được gọi là pháp tuyến Fréchet của Ω tại x và tập hợp ˆ ˆ ( ; ): ( , )x N x N ε Ω = Ω được gọi là nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x. ii) Cho x ∈ Ω. Lúc đó, mỗi phần tử x * ∈ X * là pháp tuyến cơ sở / pháp tuyến Mordukhovic của Ω tại x nếu tồn tại các dãy k ε ↓ 0, k x x Ω → và xx k ** * ω → sao cho * k x ∈ ˆ ( ; ) k k x N ε Ω , với mọi k ∈ N. Tập hợp các pháp tuyến như vậy, kí hiệu 0 ( ; ): sup x x N x Lim ε → ↓ Ω = ˆ ( ; )x N ε Ω , (1.2) được gọi là nón pháp tuyến (cơ sở / Mordukhovic) của Ω tại x . Đặt ( ; ):N x Ω = ∅ , nếu x ∉Ω . Nhận xét 1.2. i) ˆ ˆ ( ; ) ( ; )x x N N ε ε Ω = Ω và ( ; ) ( ; )N x N xΩ ⊂ Ω , với mọi Ω ⊂ Χ , x ∈ Ω, ε ≥ 0. ii) Với mỗi ε ≥ 0, tập ˆ ( ; )x N ε Ω là lồi và đóng trong theo tôpô chuẩn của X * . Mệnh đề 1.1 (Pháp tuyến đối với tích Đề các). Cho XX 21 21 ×⊂ Ω × Ω . Lúc đó, nếu x = 1 2 1 2 1 2 ( , ) x x X X ∈ × ⊂ × Ω Ω thì 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ( , ) ( , ) ( , )N x N N x x × = × Ω Ω Ω Ω ; 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , )N x N N x x × = × Ω Ω Ω Ω . Mệnh đề 1.2 ( ε - pháp tuyến đối với tập lồi). Cho Ω là tập lồi. 5 Khi đó { } * * * ˆ ( ; ) , ,x x x x x x x x X N ε ε Ω = ∈ − ≤ − ∈Ω , với mọi ε ≥ 0 và x ∈ Ω. Tức là, ˆ ( ; )N x Ω đồng nhất với nón pháp tuyến của giải tích lồi. Định nghĩa 1.5. Cho f : X → Y là ánh xạ giữa các không gian Banach và Θ là tập con của Y. Ảnh ngược của Θ dưới f được định nghĩa bởi: f -1 (Θ) := { x ∈ X │ ( )f x ∈ Θ }. Định nghĩa 1.6. Ánh xạ f : X → Y được gọi là khả vi ngặt tại x nếu ( ) ( ) ( )( ) lim 0 x x u x f x f u f x x u x u → → − − ∇ − = − . Hệ số khả vi ngặt của f tại x là hàm f r ( x ; .) : (0; ∞) → [0; ∞) định nghĩa bởi f r ( x ; η ) , ( ) ( ) ( )( ) : sup u x x x u f x f u f x x u x u η ∈ + Β ≠ − − ∇ − = − . Bổ đề 1.3. Cho f : X → Y, Θ ⊂ Y và ( )y f x= ∈Θ . Nếu f khả vi ngặt tại x thì tồn tại các hằng số c 1 > 0, 0 η > sao cho với bất kì y * ˆ ( ( ); )f x N ε ∈ Θ ( ε ≥ 0), 1 ( ) ( )x x f η − ∈ + Β ∩ Θ và ( ) 0, η η ∈ ta có * * 1 ˆ ˆ ( ; ( )) ( ) x f x y f N ε − ∇ ∈ Θ với ˆ : ε = c 1 ε + * ( ; ) f x y r η . Nếu ( )f x∇ là toàn ánh thì tồn tại các hằng số c 2 > 0, η > 0 sao cho với bất kì 1 * ˆ ( ; ( ))x f x N ε − ∈ Θ ( ε ≥ 0), 1 ( ) ( )x x f η − ∈ + Β ∩ Θ và ( ) 0, η η ∈ ta có * * ˆ ( ( ); ) ( ) f x f x x N ε ∈∇ Θ % + * * 2 ( ( ) ( ; )) f x c x r ε ε η + + Β , với * 2 2 : ( ) ( ; ) f x c c x r ε ε ε η = + + % . 6 Bổ đề 1.4 (Tính chất của toán tử tuyến tính liên hợp). Cho A * : Y * → X * là toán tử tuyến tính liên hợp với toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y . Giả sử A là toàn ánh, khi đó với bất kì y * ∈ Y * ta có * * * y y κ ≥ Α , với { } ( ) * * * inf | 1 0; y y κ = = ∈ ∞ Α . Cụ thể, A là đơn ánh hay * * * * 1 2 y y ≠ Α Α nếu * * 1 2 y y ≠ . Định lí 1.5. Cho f : X → Y là ánh xạ khả vi ngặt tại x , lúc đó f chính quy quanh x khi và chỉ khi toán tử đạo hàm ( ):f x∇ Χ → Y là toàn ánh. Định lí 1.6 (Định lí Josefson – Nissenzweig). X là không gian Banach vô hạn chiều khi và chỉ khi tồn tại dãy { } * * * : 1 n n x x ⊂ = Χ và * * 0 n x ω → . Định nghĩa 1.7. Tập n Ω ⊂ ¡ được gọi là tập affin nếu (1 )x y λ λ − + ∈Ω , với , ,x y λ ∀ ∈Ω ∈ ¡ . Định nghĩa 1.8. Tổ hợp tuyến tính của hai tập con 1 Ω và 2 Ω của X được định nghĩa bởi 1 2 1 2 1 2 1 2 : { , } x x x x α β α β + = + ∈ ∈ Ω Ω Ω Ω , với các số thực , α β . 7 CHƯƠNG II CÁC TÍNH CHẤT SNC CỦA MỘT TẬP HỢP 2.1. Tính compact pháp tuyến theo dãy của các tập hợp Định nghĩa 2.1.1. Tập Ω ⊂ Χ được gọi là compact pháp tuyến theo dãy (SNC) tại x∈Ω nếu với dãy ( ) [ ) * * , , 0, k k k x x X ε ∈ ∞ × Ω× thỏa mãn ( ) * ˆ 0, , ; k k k k k x x x N x ε ε ↓ → ∈ Ω và * * 0 k x ω → thì * 0 k x → khi k → ∞ . Nhận xét 2.1.1. Từ định nghĩa ta thấy i) Nếu Ω là SNC tại x∈Ω thì Ω là SNC tại x vì ( ) ( ) ˆ ˆ ; ;N x N x ε ε Ω = Ω . ii) Mỗi tập khác Ø trong không gian hữu hạn chiều là SNC tại mỗi điểm thuộc nó (vì trong không gian hữu hạn chiều, sự hội tụ yếu đồng nhất với hội tụ theo chuẩn). Định nghĩa 2.1.2. Cho XΩ ⊂ . Bao affin của Ω được định nghĩa như sau aff 1 1 : , , 1, l l i i i i i i i x x l α α α = =   Ω = ∈Ω ∈ = ∈     ∑ ∑ ¥¡ , là tập affin nhỏ nhất chứa Ω. Bổ đề 2.1.1. AffΩ là một phép tịnh tiến của một không gian con tuyến tính của X. Chứng minh. Lấy 0 affx ∈ Ω , ta chứng minh rằng tồn tại duy nhất V là không gian vectơ con của X sao cho 0 aff x VΩ = + (không phụ thuộc vào điểm 0 x ). 8 Thật vậy, 0 1 , affx x∀ ∈ Ω và V, V ′ là các không gian con của X mà 0 aff x VΩ = + = x 1 + V’, ta sẽ chứng minh V V ′ = . Lấy x bất kỳ thuộc V, lúc đó 0 1 x x x V ′ + ∈ + . Suy ra 1 0 x x x V ′ ∈ − + . (1) Mà 0 1 0 1 x V x V x x V V ′ ′ + = + ⇒ − + ∈ , nên 0 1 0x x V ′ − + ∈ (do V chứa 0). Suy ra 1 0 x x V ′ − ∈ . Từ (1) ta có x V V V ′ ′ ′ ∈ + = . Nên V V ′ ⊂ . Tương tự ta chứng minh được V V ′ ⊂ . Vậy .V V ′ = W Bao đóng của tập affΩ trong X được gọi là bao affin đóng của Ω. Ký hiệu aff Ω. Lấy x bất kỳ thuộc aff Ω , tập aff xΩ − là không gian con tuyến tính đóng của X (hiệu của một tập đóng và một tập compact), nó không phụ thuộc vào cách chọn x. Đối chiều của aff Ω được định nghĩa bởi số chiều của không gian thương ( ) / aff xΧ Ω − . Phần trong tương đối của Ω ⊂ Χ là phần trong của Ω tương ứng với aff Ω (tức là phần trong của Ω đối với tôpô trong aff Ω ). Ký hiệu là riΩ. 2.2. Đối chiều hữu hạn của tập SNC Định lý 2.2.1. Tập Ω ⊂ Χ là SNC tại x∈Ω nếu codim ( ) aff UΩ ∩ < ∞ , với mọi lân cận U của x . Cụ thể, tập một điểm trong X là SNC nếu và chỉ nếu X là hữu hạn chiều. Hơn nữa, khi Ω là tập lồi và ri φ Ω ≠ , tính chất SNC của Ω tại x∈ Ω tương đương với điều kiện codim aff Ω < ∞ . 9 Để chứng minh định lý, trước hết ta chứng minh các bổ đề sau Bổ đề 2.2.2. Nếu đặt : affL = Ω và { } * * * , 0,L x X x x x L ⊥ = ∈ < >= ∀ ∈ thì L ⊥ đẳng cấu với ( ) * /X L . Chứng minh. Lập ánh xạ Ф : ( ) * /X L L ⊥ → ( ) * x ϕ ϕ Φ =a sao cho ( ) * , ,x x x L x ϕ = + ∀ ∈Χ . Đầu tiên ta chứng minh Ф là một đẳng cấu. Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được Φ là một ánh xạ tuyến tính. Ta chứng minh Ф đơn ánh. Giả sử ( ) * , /X L ϕ ϕ ′ ∈ mà ϕ ϕ ′ ≠ thì x X∃ ∈ để ( ) ( ) * * 1 , ,x L x L x x x x ϕ ϕ ′ + ≠ + ⇒ ≠ . Do đó * * 1 x x≠ (với ( ) ( ) * * 1 ,x x ϕ ϕ ′ Φ = Φ = ). Vậy Ф đơn ánh. Tiếp theo ta chỉ ra Ф toàn ánh. Với * x L ⊥ ∀ ∈ thì * , 0,x x x L = ∀ ∈ . Đặt : /X L ϕ → ¡ ( ) * ,x L x L x x ϕ + + =a . Lúc đó, ϕ là một ánh xạ vì nếu với mọi , /x L x L X L ′ + + ∈ mà x L x L ′ + = + , ta có * , 0x x L x x x ′ ′ − ∈ ⇒ − = . Do đó * * , ,x x x x ′ = hay ( ) ( ) x L x L ϕ ϕ ′ + = + . Dễ thấy ϕ tuyến tính. , ; , /x L x L L α β ′ ∀ ∈ + + ∈Χ¡ ta có ( ) ( ) ( ) ( ) x L x L x x L ϕ α β ϕ α β ′ ′ + + + = + + 10