Đang tải... (xem toàn văn)
Đó là những quy luật của dãy số cách đều, dãy số không cách đều hoặc dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm ra quy luật ở dạng 1, muốn giải bài toán về tìm chữ số cuối cùng của dãy khi biết dã[r]
(1)MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH NHANH (PHÂN SỐ, CHỮ SỐ TẬN CÙNG, TÌM X, DẤU HIỆU CHIA HẾT) Đề bài Đáp án a) Ph©n tÝch mÉu sè ta cã: Bµi 1: TÝnh biÓu thøc sau mét c¸ch hîp 1997 1996 – 1995 1996 = 1996 (1997 -1995) = 1996 2 lÝ nhÊt: 1998 1996 1997 11 1985 a) 1997 1996 1995 1996 1 1 b) A = + + + + 512 + 1024 Ph©n tÝch tö sè ta cã: 1998 1996 + 1997 11 + 1985 = 1998 1996 + (1996 + 1) 11 + 1985 = 1998 1996 + 1996 11 + 11 +1985 = 1998 1996 + 1996 11 +1996 = 1996 (1998 + 11 + ) = 1996 2010 1996 2010 VËy gi¸ trÞ ph©n sè trªn lµ: 1996 2 = 1005 1 1 b) A = + + + + 512 + 1024 1 1 Ta cã: x A = + + + + + 512 1 1 1 A = x A – A = + + + + .+ 512 - + + + 1 1023 + 512 + 1024 ; A = - 1024 A = 1024 Bài : Tính nhanh tổng sau : Đặt tổng trên A ta có : a) So s¸nh A vµ B: B = 1995 x 1995 Bµi 3: A = 1991 x 1999 = 1995 x (1991+4) a) Kh«ng lµm tÝnh h·y so s¸nh: = 1991 x (1995 + 4) = 1995 x 1991 + 1995 x A = 1991 x 1999 vµ B = 1995 x = 1991 x 1995 + 1991 x 1995 V× 1991 x 1995 = 1995 x 1991 vµ 1991 x < 1995 x b) TÝnh nhanh biÓu thøc sau: nªn 1991 x 1999 < 1995 x 1995 1 1 1 12 24 48 96 32 16 C¸ch 1: 96 98 96 96 96 96 32 16 96 = = 40 20 63 21 96 96 32 1 1 1 C¸ch 2: NhËn xÐt 3 ; 6 ; 12 12 1 1 1 1 24 12 24 ; 48 24 48 ; 96 48 96 C = 1 1 1 12 24 48 96 = (2) 1 1 1 1 1 3 12 12 24 24 48 48 96 64 63 21 = 69 69 69 32 C¸ch 3: NhËn xÐt: 1 3 ; 6 6 1 Do đó 6 1 7 1 1 ; 12 12 12 12 Do đó: 12 12 Cø theo quy luËt nµy ta cã: Bµi : Cho S = 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 H·y so s¸nh S vµ Bài :Tính nhanh: a) ( 1+3+5+7+…+2003+2005) x (125 125 x 127 – 127 127 x 125) 19,8 : 0,2x 44,44x 2x13,2 : 0,25 b) 3,3x88,88 : 0,5x 6,6 : 0,125x Bài 6: Không quy đồng tử số và mÉu sè H·y so s¸nh: a/ 13 15 vµ 17 19 ; b/ 12 vµ 48 36 1 1 1 64 63 21 C = 12 24 48 96 = 96 96 = 96 32 XÐt c¸c sè h¹ng cña tæng ta thÊy : 1 1 1 1 1 > > > > > > > > > Ta cã : 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 1 1 1 1 > x10 + + + + + + + + + 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 1 1 1 1 1 > + + + + + + + + + 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Nªn S > a) Ta có: 125 125x127 – 127 127x125 = 1001x125x127 – 1001x127x125 = nên : (1+3+5+ +2005)(125 125x127 – 127 127x125) = 19,8 : 0,2 x 44,44 x x13,2 : 0,25 19,8x 5x88,88x13,2 x b) 3,3x88,88 : 0,5x 6,6 : 0,125x 3,3x88,88x x 6,6 x8x 19,8x 5x88,88x13,2 x 19,8 3 3,3x88,88x13,2 x x x 3,3x 13 17 15 19 a/ Ta cã: + = =1 ; + = =1 17 17 17 19 19 19 4 Mµ v× hai ph©n sè cã cïng tö sè, ph©n sè nµo > 17 19 cã mÉu sè bÐ h¬n lµ ph©n sè lín h¬n 12 = ; = 48 36 Vậy ta xếp sau : b/ Bài : Cho phân số : Suy ra: suy 13 15 < 17 19 12 = 48 36 (3) Thăng chọn hai phân số Tổng hai phân số có giá trị lớn là : mà tổng có giá trị lớn Long chọn hai phân số mà tổng có giá trị nhỏ Tính tổng phân số mà Thăng Tổng hai phân số có giá trị nhỏ là : và Long đã chọn Do đó tổng bốn phân số mà Thăng và Long đã chọn là : Bài : Cho tổng : Bài giải : Ta đặt A = + + + + + + 49 + 50 Dãy số tự nhiên liên tiếp từ đến 50 có 50 số, đó số các số lẻ + + + + + + 49 + 50 số các số chẵn nên có 50 : = 25 (số lẻ) Vậy A là số lẻ Gọi a và b là hai số bất kì A, thay tổng a + b hiệu a Liệu có thể liên tục thay hai số - b thì A giảm : (a + b) - (a - b) = x b tức là giảm số bất kì hiệu chúng chẵn Hiệu số lẻ và số chẵn luôn là số lẻ nên kết là hay không ? sau lần thay, tổng là số lẻ Vì không nhận kết là Bài : Viết liên tiếp các số từ trái sang phải Giả sử số tạo cách viết trên có theo cách sau : Số đầu tiên là 1, số thứ hai là xuất nhóm chữ 2005 thì ta có : + là số có chữ 2, số thứ ba là chữ số tận cùng tổng số số tận cùng là (vô lí) Vậy dãy trên không thể xuất số 2005 thứ và số thứ hai, số thứ tư là chữ số tận cùng tổng số thứ hai và số thứ ba Cứ tiếp tục ta dãy các số sau : 1235831459437 Trong dãy trên có xuất số 2005 hay không ? Bµi 10: T×m x cho: 2,4 xX −0 , 23 1,2 x ( - 0,05 ) = 1,44 2,4 xX −0 , 23 X 1,2 x ( - 0,05 ) = 1,44 X 2,4 xX −0 , 23 ( - 0,05) = 1,44 : 1,2 X 2,4 xX −0 , 23 2,4 xX −0 , 23 - 0,05 = 1,2 nên = 1,2 + X X 0,05 2,4 xX −0 , 23 = 1,25 đó 2,4 x X – 0,23 = 1,25 x X X 2,4 x X –1,25 x X = 0,23 nên X x (2,4 -1,25 ) = 0,23 X = 0,23 : 1,15 Vậy X= 0,2 a) Tìm số tự nhiên bé để thay vào x thì được: (0, 75 đ) Bài 11: a) Tìm số tự nhiên bé X > 15,5 3,15 để thay vào x thì được: Hai tích có thừa số (*) giống thì tích nào lớn có 3,15 x X > 15,5 3,15 (4) b) Tìm số tự nhiên x biết rằng: x < < 6 c) 75% X + X + X = 30 thừa số còn lại lớn Vậy; X > 15,5 mà vì X là số tự nhiên bé nên X = 16 x < < b) Tìm số tự nhiên x biết rằng: ( 0, 75đ) 6 x 1 x < < < < ; ; 1< x< ; Vậy x = 6 6 c) 0,75 X + 0,75 X+1 X = 30 (0,75 + 0,75 + 1) X = 30 ; 2,5 X = 30 X = 30 : 2,5 ; X= 12 Bài 12 : Tìm các chữ số a và b thỏa mãn : Vì 1/3 là phân số tối giản nên a chia hết cho b chia hết cho Giả sử a chia hết cho 3, vì 1/a < 1/3 nên a > mà a < 10 đó a = ; Vậy a = b = Bài 13 : Tích sau đây có tận cùng chữ số nào ? Tích bốn thừa số là x x x = 16 và 2003 : = 500 (dư 3) nên ta có thể viết tích 2003 thừa số dạng tích 500 nhóm (mỗi nhóm là tích bốn thừa số 2) và tích ba thừa số còn lại Vì tích các thừa số có tận cùng là là số có tận cùng nên tích 500 nhóm trên có tận cùng là Do x x = nên nhân số có tận cùng với thì ta số có tận cùng (vì x = 48) Vậy tích 2003 thừa số là số có tận cùng Bài 14 : Cho A = 2004 x 2004 x x 2004 (A gồm 2003 thừa số) và B = 2003 x 2003 x x 2003 (B gồm 2004 thừa số) Hãy cho biết A + B có chia hết cho hay không ? Vì ? A = (2004 x 2004 x x 2004) x 2004 = C x 2004 (C có 2002 thừa số 2004) C có tận cùng là nhân với 2004 nên A có tận cùng là (vì x = 24) B = 2003 x 2003 x x 2003 (gồm 2004 thừa số) = (2003 x 2003 x 2003 x 2003) x x (2003 x 2003 x 2003 x 2003) Vì 2004 : = 501 (nhòm) nên B có 501 nhóm, nhóm gồm thừa số 2003 Tận cùng nhóm là (vì x = ; x = 27 ; 27 x = 81) Vậy tận cùng A + B là + = Do đó A + B chia hết cho a, Ta nhËn thÊy kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c thõa sè liÒn Bµi 15: Cho tÝch sau: đèu là đơn vị nêu số đầu là 0,9 -> thừa số cuối là 18,9 Vậy 0,9 x 1,9 x 2,9 x 3,9x … x 18,9 a, Kh«ng viÕt c¶ d·y, cho biÕt tÝch nµy cã tÝch nµy cã 19 thõa sè b, Vì tích này có 19 thừa số, mà các chữ số cuối cùng bao nhiªu thõa sè ? lµ nªn ch÷ sè cuèi cïng cña tÝch lµ ch÷ sè b, TÝch nµy tËn cïng b»ng ch÷ sè nµo? c,V× các thừa số có chữ số phần thập phân nên c, TÝch nµy cã bao nhiªu ch÷ sè phÇn thËp tÝch nµy cã 19 ch÷ sè ë phÇn thËp ph©n ph©n? Bài 16 : A là số tự nhiên có 2004 chữ Vì A là số chia hết cho mà B là tổng các chữ số A nên B số A là số chia hết cho ; B là tổng các chữ chia hết cho Tương tự ta có C, D chia hết cho và (5) số A ; C là tổng các chữ số B ; D là đương nhiên khác Vì A gồm 2004 chữ số mà chữ số tổng các chữ số C Tìm D không vượt quá nên B không vượt quá x 2004 = 18036 Do đó B có không quá chữ số và C < x = 45 Nhưng C là số chia hết cho và khác nên C có thể là ; 18 ; 27 ; 36 Dù trường hợp nào xảy thì ta có D = Bài 17 : Biết số A viết * Cách : A viết các chữ số nên: các chữ số Hãy tìm số tự nhiên nhỏ mà cộng số này với A ta số chia hết cho 45 Vậy A chia cho 45 dư Một số nhỏ mà cộng với A để số chia hết cho 45 thì số đó cộng với phải 45 Vậy số đó là : 45 - = 36 *Cách : Gọi số tự nhiên nhỏ cộng vào A là m Ta có A + m là số chia hết cho 45 hay chia hết cho và (vì x = 45 ; và không cùng chia hết cho số số nào đó khác 1) Vì A viết các chữ số nên A chia hết cho 9, đó m chia hết cho A + m chia hết cho A + m có tận cùng là mà A có tận cùng là nên m có tận cùng là Số nhỏ có tận cùng là mà chia hết cho là 36 Vậy m = 36 Bài 18 : Người ta lấy tích các số tự Xét tích A = x x x x 29 x 30, đó các thừa số chia nhiên liên tiếp từ đến 30 để chia cho hết cho là 5, 10, 15, 20, 25, 30 ; mà 25 = x đó có thể coi 1000000 Bạn hãy cho biết : là có thừa số chia hết cho Mỗi thừa số này nhân với số chẵn cho ta số có tận cùng là số Trong tích A có các thừa 1) Phép chia có dư không ? số là số chẵn và không chia hết cho là : 2, 4, 6, 8, 12, , 26, 28 (có 12 số) Như vật tích A có ít cặp số có tích tận 2) Thương là số tự nhiên có chữ cùng là 0, đó tích A có tận cùng là chữ số Số số tận cùng là bao nhiêu ? 000 000 có tận cùng là chữ số nên A chia hết cho 000 000 và thương là số tự nhiên có tận cùng là chữ số Câu 19: Khi chia 1095 cho số tự Theo đề bài, phép chia 1096 cho số tự nhiên có số d lớn nhiên ta đợc thơng là và số d là số lớn nên số bị chia cộng thêm thì đợc số chia hết cho số chia cũ Khi đó thơng tăng thêm đơn vị nhÊt cã thÓ T×m sè chia VËy sè chia cÇn t×m lµ: (1905 + ) : (7 + ) = 137 Đặt điều kiện số tự nhiên có chữ số vừa chia hết cho Bài 20: ( điểm) Tìm tất các số tự nhiên có chữ số vừa chia hết cho vừa và vừa chia hết cho là số có tận cùng là 0, số đó là số tròn chục chia hết cho lại vừa chia hết cho 5? Để các số tròn chục chia hết cho thì chữ số hàng chục phải chia hết cho 3(1đ) Vậy các số đó là: 30; 60 ; 90 Bài 20 : Hai số tự nhiên A và B, biết Vì A và B không chia hết cho và nên A và B A < B và hai số có chung đặc điểm có thể có tận cùng là ; ; ; Vì + = và + = 18 là sau : - Là số có chữ số số chia hết cho nên loại trừ số 33 và 99 A < B nên A = 11 và - Hai chữ số số giống B = 77 (6) - Không chia hết cho ; và b) Tổng hai số đó là : 11 + 77 = 88 a) Tìm số đó Ta có : 88 = x 88 = x 44 = x 22 = x 11 b) Tổng số đó chia hết cho số tự Vậy tổng số chia hết cho các số : ; ; ; ; 11 ; 22 ; 44 ; 88 nhiên nào ? Bài 21 Tìm số có ba chữ số, biết số đó chia cho dư 1, chia cho dư và chia hết cho 3, biết chữ số hàng trăm là - Theo đề bài ta có: số đó có dạng 8ab , a , b 9 , a - Để 8ab chia dư thì b = 1;3;5;7;9 - Để 8ab chia dư thì b = Từ (1) và (2) suy b = - Số đó có dạng 8a - ( 1) ( 2) Để 8a chia hết cho thì (8 +a + 3) chia hết cho hay (11 + a) chia hết cho Suy a = 1; 4; Vậy các số cần tìm là: 813; 843; 873 DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ Một số lưu ý giải toán “dãy số” Trong bài toán dãy số thường người ta không cho biết dãy số (vì dãy số có nhiều số không thể viết hết được) vì vậy, phải tìm quy luật dãy (mà có nhiều quy luật khác nhau) tìm các số mà dãy số không cho biết Đó là quy luật dãy số cách đều, dãy số không cách dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm quy luật.Ở dạng 2: Muốn kiểm tra số A có thoả mãn quy luật dãy đã cho hay không? Ta cần xem dãy số cho trước và số cần xác định có cùng tính chất hay không? (Có cùng chia hết cho số nào đó có cùng số dư) thì số đó thuộc dãy đã cho.Ở dạng và 4: Học sinh phải tự tìm công thức tổng quát, vận dụng cách thành thạo và biết biến đổi công thức để làm các bài toán khác Ở dạng 9: Có các yêu cầu: + Tìm tổng các số hạng dãy + Tính nhanh tổng Khi giải: Sau tìm quy luật dãy, ta xếp các số theo cặp cho có tổng nhau, sau đó tìm số cặp tìm tổng các số hạng dãy Chú ý: Khi tìm số cặp số mà còn dư số hạng thì tìm tổng ta phải cộng số dư đó vào (7) Nếu tính nhanh tổng các phân số phải dựa vào tính chất phân số Ở dạng 10: Đó là dãy chữ giải phải dựa vào quy luật dãy, sau đó có thể xem nhóm chữ có tất bao nhiêu chữ tìm có tất bao nhiêu nhóm và đó chính là phần trả lời bài toán * Bài tập lự luyện: Bài 1: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,… a Nêu quy luật dãy b Số 31 có phải là số hạng dãy không? c Số 2009 có thuộc dãy này không? Vì sao? Bài 2: Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,…, 2012 Hỏi số 1004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không? Bài 3: Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…, a Nêu quy luật dãy số viết tiếp số hạng b Trong số 1999 và 2009 thì số nào thuộc dãy số? Vì sao? Bài 4: Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,…… Có số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là mà thuộc dãy số trên không? Bài 5: Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,…… a Số 1997 có phải là số hạng dãy số này hay không? b Số 561 có phải là số hạng dãy số này hay không? Dạng 3: Tìm số số hạng dãy * Cách giải dạng này là: Đối với dạng toán này, ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (toán trồng cây) Ta có công thức sau : Số các số hạng dãy = số khoảng cách+ Đặc biệt, quy luật dãy là : Mỗi số hạng đứng sau số hạng liền trước cộng với số không đổi d thì: Số các số hạng dãy = ( Số hạng lớn – Số hạng nhỏ ) : d + Các ví dụ: Bài 1: Cho dãy số 11; 14; 17; ;65; 68 (8) Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng? Lời giải : Ta có : 14 - 11= 3; 17 - 14 = 3; Vậy quy luật dãy số đó là số hạng đứng liền sau số hạng đứmg liền trước nó cộng với Số các số hạng dãy số đó là: ( 68 - 11 ) : + = 20 ( số hạng ) Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992 Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng? Giải: Ta thấy: 4–2=2 ; 8–6 =2 6–4=2 ; ……… Vậy, quy luật dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau số hạng đứng trước cộng với Nói các khác: Đây là dãy số chẵn dãy số cách đơn vị Dựa vào công thức trên: (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + Ta có: Số các số hạng dãy là: (1992 - 2) : + = 996 (số hạng) Bài 3: Cho 1, 3, 5, 7, ……… là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 là số hạng thứ bao nhiêu dãy số này? Giải thích cách tìm? (Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981) Giải: Ta thấy: Số hạng thứ bằng: 1=1+2x0 Số hạng thứ hai bằng: 3=1+2x1 Số hạng thứ ba bằng: 5=1+2x2 ……… Còn số hạng cuối cùng: 1981 = + x 990 Vì vậy, số 1981 là số hạng thứ 991 dãy số đó Bài 4: Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153,… (9) a Tìm số hạng thứ 100 dãy b Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu dãy? Giải: a Số hạng thứ nhất: = + 15 x Số hạng thứ hai: 18 = + 15 x Số hạng thứ ba: 48 = + 15 x + 15 x Số hạng thứ tư: 93 = + 15 x + 15 X + 15 x Số hạng thứ năm: 153 = + 15 x + 15 x + 15 x + 15 x ……… Số hạng thứ n: + 15 x1 + 15 x +15 x + …… + 15 x (n - 1) Vậy số hạng thứ 100 dãy là: + 15 x + 15 x + …… + 15 x (100 - 1) = + 15 x (1 + + + …… + 99) (Đưa số nhân với tổng = + 15 x (1 + 99) x 99 : = 74253 b Gọi số 11703 là số hạng thứ n dãy: Theo quy luật phần a ta có: + 15 x + 15 x + 15 x + …… x (n – 1) = 11703 + 15 x (1 + + + ……+ ( n – 1)) = 11703 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) : = 11703 15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x = 23400 n x (n – 1) = 23400 : 15 = 1560 Nhận xét: Số 1560 là tích hai số tự nhiên liên tiếp 39 và 40 (39 x 40 = 1560) Vậy, n = 40, số 11703 là số hạng thứ 40 dãy Bài 5: Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4? Lời giải: Ta nhận xét : Số nhỏ có ba chữ số chia hết cho là 100 và số lớn có ba chữ số chia hết cho là 996 Như các số có ba chữ số chia hết cho lập thành dãy số có số hạng nhỏ là 100, số hạng lớn là 996 và số hạng dãy ( kể từ số hạng thứ hai ) số hạng đứng liền trước cộng với (10) Vậy số các số có ba chữ số chia hết cho là : ( 996 – 100 ) : = 225 ( số ) * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, ……,2008 Tìm xem dãy số có bao nhiêu số hạng ? Bài 2: Tìm số số hạng các dãy số sau: a 1, 4, 7, 10, ……,1999 b 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ; 108,9 ; 110,0 Bài 3: Xét dãy số: 100, 101, ………, 789 Dãy này có bao nhiêu số hạng? Bài 4: Có bao nhiêu số chia cho thì dư mà nhỏ 2010 ? Bài 5: Người ta trồng cây hai bên đường đoạn đường quốc lộ dài 21km Hỏi phải dùng bao nhiêu cây để đủ trồng trên đoạn đường đó ? Biết cây trồng cách cây 5m Dạng 4: Tìm số hạng thứ n dãy số Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, Hỏi số hạng thứ 100 dãy số là số nào Giải: Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là: 98 - = 99 Mỗi khoảng cách là - = -3 =2 Số hạng thứ 100 là + 99 = 199 Công thức tổng quát: Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách (Số số hạng - 1) Bài toán 2: Tìm số hạng thứ 100 các dãy số viết theo quy luật: 3, 8, 15, 24, 35,… (1) 3, 24, 63, 120, 195,… (2) 1, 3, 6, 10, 15,… (3) Giải: a) Dãy (1) có thể viết dạng: 1x3, 2x4, 3x5, 4x6, 5x7,… (11) Mỗi số hạng dãy (1) là tích hai thừa số, thừa số thứ hai lớn thừa số thứ đơn vị Các thừa số thứ làm thành dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy này có số hạng thứ 100 là 100 Số hạng thứ 100 dãy (1) bằng: 100x102 = 10200 b) Dãy (2) có thể viết dạng: 1x3, 4x6, 7x9, 10x12, 13x15,… Mỗi số hạng dãy (2) là tích hai thừa số, thừa số thứ hai lớn thừa số thứ đơn vị Các thừa số thứ làm thành dãy: 1, 4, 7, 10, 13, …; Số hạng thứ 100 dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: + (100 – ) x = 298 Số hạng thứ 100 dãy (2) bằng: 298 x 300 = 89400 c) Dãy (3) có thể viết dạng: 100 101 5050 Số hạng thứ 100 dãy (3) bằng: * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho dãy số : 101, 104, 107, 110, Tìm số hạng thứ 1998 dãy số đó Bài 2: Cho dãy số : 5, 8, 11, 14, a.Tìm số hạng thứ 200 dãy số b Nếu viết tiếp thì các số : 1000 ; 2009 ; 5000 có là số hạng dãy không ? Tại Bài 3: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên mà chia cho thì dư bát đầu từ số thành dãy số Viết đến số hạng thứ 100 thì phát đã viết sai Hỏi bạn đó đã viết sai số nào ? Dạng 5: Tìm số chữ số dãy biết số số hạng Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, .150 Hỏi để viết dãy số này người ta phải dùng bao nhiêu chữ số Giải: Dãy số đã cho có : ( - 1) : + = số có chữ số Có ( 99 - 10 ) : + = 90 số có chữ số Có ( 150 - 100) : + = 51 số có chữ số Vậy số chữ số cần dùng là : + 90 + 51 = 342 chữ số (12) Bài toán 2: Một sách có 234 trang Hỏi để đánh số trang sách đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số Giải: Để đánh số trang sách đó người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên từ đến 234 thành dãy số Dãy số này có ( - 1) : + = số có chữ số Có: ( 99 - 10) : + = 90 số có chữ số Có: ( 234 - 100) : + = 135 số có chữ số Vậy người ta phải dùng số chữ số là: + 90 + 135 = 594 chữ số * Bài tập tự luyện: Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ 101 đến 2009 thành số lớn Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số Bài 2: Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số Bài 3: Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang sách có tất là: a.752 trang b.1251 trang Dạng 6: Tìm số số hạng biết số chữ số Bài toán 1: Để đánh số trang sách người ta dùng hết 435 chữ số Hỏi sách đó có bao nhiêu trang? Giải: Để đánh số trang sách đó, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy số Dãy số này có số có chữ số có 90 số có chữ số Để viết các số này cần số chữ số là + 90 = 189 chữ số Số chữ số còn lại là: (13) - 189 = 246 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết tiếp các số có chữ số 100 Ta viết 246 : = 82 số Số trang sách đó là 99 + 82 = 181 ( trang) Bài toán 2: Để đánh số trang sách người ta phải dùng tất 600 chữ số Hỏi sách đó có bao nhiêu trang? Giải: 99 trang đầu cần dùng 9x1 + 90x2 = 189 chữ số 999 trang đầu cần dùng: 9x1 + 90x2 + 900x3 = 2889 chữ số Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối cùng phải có chữ số Số chữ số để đánh số các trang có chữ số la: 600 - 189 = 411 (chữ số) Số trang có chữ số là 411: = 137 trang Vậy sách có tất là: 99 + 137 = 236 trang Bài toán 3: Để ghi thứ tự các nhà trên đường phố, người ta dùng các số chẵn 2, 4, 6, để ghi các nhà dãy phải và các số lẻ 1, 3, 5, để ghi các nhà dãy trái đường phố đó Hỏi số nhà cuối cùng dãy chẵn trên đường phố đó là bao nhiêu, biết đánh thứ tự các nhà dãy này, người ta đã dùng 367 lượt chữ số thảy Giải: Số nhà có số thứ tự ghi chữ số chẵn là: (8 - 2) : + = (nhà) Số nhà có số thứ tự ghi chữ số chẵn là: (98 - 10) : + = 45 (nhà) Số lượt chữ số để đánh số thự tự các nhà có và chữ số là: + 45 = 94 (lượt) Số lượt chữ số để đánh số thứ tự nhà có chữ số là: 367 - 94 = 273 (lượt) Số nhà có số thứ tự chữ số là: 273 : = 91 (nhà) Tổng số nhà dãy chẵn là: + 45 + 91 = 140 (nhà) Số nhà cuối cùng dãy chẵn là: (140 - 1) + = 280 Bài toán 4: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, , n Hãy tìm số n để số chữ số dãy gấp lần số các số hạng dãy (14) Giải: Để tìm số n cho số các chữ số dãy gấp ba lần số các số hạng dãy đó, ta giả sử trung bình số lẻ liên tiếp dãy có chữ số Do đó: - Từ đến gồm các số lẻ có chữ số là: (9 - 1): + = (số) Môi số cần phải viết thêm chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là: x = 10 (chữ số) Các số lẻ gồm hai chữ số là (99 - 11): + = 45 (số) Mỗi số cần phải viết thêm chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là: x 45 = 45 (chữ số) Các số lẻ gồm chữ số là: ( 999 - 101) : + = 450 (số) Các số có chữ số đảm bảo số chữ số dãy gấp ba lần số số hạng dãy đó Từ 1001 trở đi, số cần bớt chữ số Số chữ số cần thêm phải số chữ số cần bớt và bằng: 10 + 45 = 55 (chữ số) Vì số phải bớt chữ số nên số các số lẻ có chữ số là: 55 : = 55 (số) Ta có: (n - 1001) : + = 55 (n - 1001) : = 55 - = 54 (n - 1001) = 54 x = 108 n = 108 + 1001 = 1109 * Bài tập tự luyện: Bài 1: Để viết dãy số tự nhiên liên tiếp người ta dùng hết 756 chữ số Hỏi số hạng cuối cùng dãy số là bao nhiêu Bài 2: Để ghi số thứ tự học sinh trường Tiểu học, người ta phải dùng 1137 chữ số Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh ? (15) Bài 3: Tính số trang sách Biết để đánh số trang sách đó người ta phải dùng 3897 chữ số? Bài 4: Để đánh số trang sách, người ta phải dùng trung bình trang chữ số Hỏi sách đó có bao nhiêu trang? Dạng 7: Tìm chữ số thứ n dãy Bài toán 1: Cho dãy số 1, 2, 3, Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào ? Giải: Dãy số đã cho có số có chữ số Có 90 số có chữ số Để viết các số này cần + 90 = 189 chữ số Số chữ số còn lại là 200- 189 = 11 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có chữ số 100 Ta viết 11 : = số (dư chữ số) Nên có số có chữ số viết liên tiếp đến 99 + = 102 Còn dư chữ số dùng để viết tiếp số 103 viết 10 Vậy chữ số thứ 200 dãy là chữ số số 103 Bài toán 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, Hỏi chữ số thứ 2010 dãy là chữ số nào? Giải: Dãy số đã cho có số có chữ số Có (98 - 10) : + = 45 số có chữ số Có (998 - 100) : + = 450 số có chữ số Để viết các số này cần: + 45 + 450 x = 1444 chữ số Số chữ số còn lại là: 2010 - 1444 = 566 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có chữ số 1000 Ta viết được: (16) 566 : = 141 số (dư chữ số) Nên có 141 số có chữ số viết , số có chữ số thứ 141 là: (141 - 1) x + 1000 = 1280 Còn dư chữ số dùng để viết tiếp số 1282 viết 12 Vậy chữ số thứ 2010 dãy là chữ số hàng trăm số 1282 Bài toán 3: Tìm chữ số thứ 2010 phần thập phân số thập phân phân số Giải: Số thập phân phân số là: : = 0,14285714285 Đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn Ta thấy chữ số thì lập thành nhóm 142857 Với 2010 chữ số thì có số nhóm là: 2010 : = 335 (nhóm) Vậy chữ số thứ 2010 phần thập phân số thập phân phân số là chữ số Bài toán 4: Cho số có chữ số, dãy số tạo nên cách nhân đôi chữ số hàng đơn vị số này cộng với chữ số hàng chục, ghi lại kết quả; tiếp tục với số vừa nhận (Ví dụ có thể là dãy: 59, 23, 8, 16, 13, ) Tìm số thứ 2010 dãy số thứ là 14 Giải: Ta lập dãy các số sau: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, Ta thấy hết 18 số thì dãy các số lại lặp lại dãy 18 số đầu Với 2010 số thì có số nhóm là: 2010 : 18 = 111 nhóm (dư12 số) 12 số dó là các số nhóm thứ 112 là: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, Vậy số thứ 2010 dãy là số * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, .Hãy tìm chữ số thứ 200 dãy số đó Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, Bạn Minh tìm chữ số thứ 2010 dãy là chữ số 0, hỏi bạn tìm đúng hay sai? Bài 3: Bạn Minh viết phân số dạng số thập phân Thấy bạn Thông sang chơi, Minh liền dố: Đố bạn tìm chữ số thứ 100 phần thập phân số thập phân mà tớ viết Thông nghĩ tí trả lời ngay: đó là chữ số Em hãy cho biết bạn Thông trả lời đúng hay sai? (17) Dạng 8: Tìm số hạng thứ n biết tổng dãy số Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, ., n Hãy tìm số n biết tổng dãy số là 136 Giải: Áp dụng công thức tính tổng ta có : + + + + n =136 Do đó: (1 + n ) n = 136 = 17 = 16 17 Vậy n = 16 Bài toán 2: Cho dãy số: 21, 22, 23, , n Tìm n biết: 21 + 22 + 23 + + n = 4840 Giải: Nếu cộng thêm vào tổng trên tổng các số tự nhiên liên tiếp từ đến 20 ta có tổng sau: + + + + 21 + 22 + 23 + .+ n Áp dụng công thức tính tổng ta có (1 + n) n : = + + + 20 + 4840 = ( + 20) 20 : + 4840 = 210 + 4840 = 5050 ( 1+ n) n = 5050 = 10100 = 101 100 Vậy n = 100 * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho biết: + + + + n = 345 Hãy tìm số n Bài 2: Tìm số n biết 98 + 102 + + n = 15050 Bài 3: Cho dãy số 10, 11, 12, 13, …, x Tìm x để tổng dãy số trên 5106 Dạng 9: Tính tổng dãy số Các bài toán trình bày chuyên đề này phân hai dạng chính, đó là: (18) Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách Dạng thứ hai: Dãy số với các số hạng không cách Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách Xuất phát từ bài Toán sau: Tính: A = + + + + 98 + 99 + 100 Ta thấy tổng A có 100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, nhóm có tổng là 101 sau: A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) = 101 + 101 + + 101 = 50 x 101 = 5050 Đây là bài Toán mà lúc lên tuổi nhà Toán học Gauxơ đã tính nhanh tổng các số Tự nhiên từ đến 100 trước ngạc nhiên thầy giáo và các bạn bè cùng lớp Như bài toán trên là sở đầu tiên để chúng ta tìm hiểu và khai thác thêm nhiều các bài tập tương tự, đưa nhiều dạng khác nhau, áp dụng nhiều thể loại toán khác chủ yếu là: tính toán, tìm số, so sánh, chứng minh Để giải các dạng toán đó chúng ta cần phải nắm quy luật dãy số, tìm số hạng tổng quát, ngoài cần phải kết hợp công cụ giải toán khác Cách giải: Nếu số hạng dãy số cách thì tổng hai số hạng cách đầu và số hạng cuối dãy số đó Vì vậy: Tổng các số hạng dãy tổng cặp hai số hạng cách đầu số hạng đầu và cuối nhân với số hạng dãy chia cho Viết thành sơ đồ: Tổng dãy số cách = (số đầu + số cuối) x (số số hạng : 2) Từ sơ đồ trên ta suy ra: Số đầu dãy = tổng x : số số hạng – số hạng cuối Số cuối dãy = tổng x : số số hạng – số đầu Sau đây là số bài tập phân thành các thể loại, đó đã phân thành hai dạng trên: Bài 1: Tính tổng 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên Giải: 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37 Ta thấy: + 37 = 38 ; + 33 = 38 (19) + 35 = 38 ; + 31 = 38 Nếu ta xếp các cặp số từ hai đầu số vào, ta các cặp số có tổng số là 38 Số cặp số là: 19 : = (cặp số) dư số hạng Số hạng dư này là số hạng chính dãy số và là số 19 Vậy tổng 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 39 x + 19 = 361 Đáp số: 361 Nhận xét: Khi số số hạng dãy số lẻ (19) thì cặp số dư lại số hạng chính gữa vì số lẻ không chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng thì việc tìm số hạng còn lại khó khăn Vậy ta có thể làm cách sau: Ta bỏ lại số hạng đầu tiên là số thì dãy số có: 19 - = 18 (số hạng) Ta thấy: + 37 = 40 ; + 33 = 40 + 35 = 40 ; + 31 = 40 ……… ……… Khi đó, ta xếp các cặp số từ đầu dãy số gồm 18 số hạng vào thì các cặp số có tổng là 40 Số cặp số là: 18 : = (cặp số) Tổng 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: + 40 x = 361 Chú ý: Khi số hạng là số lẻ, ta để lại số hạng đầu dãy số (số đầu, số cuối) để còn lại số chẵn số hạng cặp; lấy tổng cặp nhân với số cặp cộng với số hạng đã để lại thì tổng dãy số Bài 2: Tính tổng số tự nhiên từ đến n Giải: Ghép các số: 1, 2, ……, n – 1, n thành cặp (không thứ tự) : với n, với (n – 1), với (n – 2), …… Khi n chẵn, ta có S = n x (n + 1) : Khi n lẻ, thì n – chẵn và ta có: (20) + + …… + (n – 1) = (n – 1) x n : Từ đó ta có: S = (n – 1) x n : + n = (n - 1) x n : + x n : = [(n – 1) x n + x n] : = (n – + 2) x n : = n x (n + 1) : Khi học sinh đã làm quen và thực thành thạo thì hướng dẫn học sinh áp dụng công thức luôn mà không cần nhóm thành các cặp số có tổng Tổng dãy số cách = (số đầu + số cuối) x số số hạng : Bài 3: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 100 Lời giải Ta có thể đưa các số hạng tổng trên dạng số tự nhiên cách nhân hai vế với 100, đó ta có: 100 x E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 1000 Áp dụng công thức tính tổng ta tính tổng là E = 4954,95 Hoặc giải sau: Ta thấy: 11,12 - 10,11 = 12,13 - 11,12 = = 1,01 Vậy đây là dãy số cách 1,01 đơn vị Dãy số có số số hạng là : (100 - 10,11) : 1,01 + = 90 số hạng Tổng dãy số là : (10,11 + 100) x 90 : = 4954,95 Bài 4: Cho dãy số: 1, 2, 3, …… 195 Tính tổng các chữ số dãy? Giải: Ta viết lại dãy số và bổ sung thêm các số: 0, 196, 197, 198, 199 vào dãy: 0, 1, 2, 3, ……, 10, 11, 12, 13, ……, 19 90, 91, 92, 93, ……, 99 100, 101, 102, 103, ……, 109 (21) Vì có 200 số và dòng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 (dòng) Tổng các chữ số hàng đơn vị dòng là: + + + …… + = x 10 : = 45 Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là: 45 x 20 = 900 Tổng các chữ số hàng chục 10 dòng đầu tổng các chữ số hàng chục 10 dòng sau và bằng: x 10 + x 10 + …… + x 10 = (1 + + …… + 9) x 10 = 45 x 10 = 450 Vậy tổng các chữ số hàng chục là: 450 x = 900 Ngoài dễ thấy tổng các chữ số hàng trăm là: 10 x 10 = 100 Vậy tổng các chữ số dãy số này là: 900 + 900 + 100 = 1900 Từ đó suy tổng các chữ số dãy ban đầu là: 1900 – (1 + + + + + + + + + + + 9) = 1830 Trong Toán học nói riêng và khoa học nói chung, chúng ta thường nhờ vào suy luận quy nạp không hoàn toàn mà phát kết luận (gọi là giả thuyết) nào đó Sau đó chúng ta sử dụng suy luận diễn dịch quy nạp hoàn toàn để kiểm tra đúng đắn kết luận đó Khi dạy học tiểu học, điều nói trên lưu ý Bài 5: Tính tổng tất số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có chữ số: Giải: Các số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có chữ số là: 9,000; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999 tức là có 1000 số Tổng tất các số dãy số trên là: (9,000 + 9,999) x 1000 : = 9499,5 Đáp số: 9499,5 (22) Bài 6: Phải thêm vào tổng các số hạng dãy số: 2, 4, 6, 8, , 246 ít bao nhiêu đơn vị để số chia hết cho 100 ? Giải: Đây là dãy số chẵn liên tiếp hay dãy số cách đơn vị Dãy số có số số hạng là: (246 - 2) : + = 123 số hạng Tổng dãy số là: (246 + 2) x 123 : = 12252 Vì 100 - 52 = 48 nên phải thêm vào tổng dãy số ít 48 đơn vị Dạng 2: Dãy số mà các số hạng không cách Bài toán 1: Tổng nhiều phân số có tử số và mẫu số phân số liền sau gấp mẫu số phân số liền trước lần Ví dụ: 1 1 1 16 32 64 Cách giải: Cách 1: 1 1 1 Bước 1: Đặt A = 16 32 64 1 1 1 1 1 ; 4 ; 8 Bước 2: Ta thấy: 1 1 1 1 1 2 4 8 4 32 64 Bước 3: Vậy A = = = 1 1 1 1 1 2 4 32 64 = - 64 64 63 63 64 64 64 = 64 Cách 2: A = A X - A Bài toán 2: Tính tổng nhiều phân số có tử số và mẫu số phân số liền sau gấp mẫu số phân số liền trước n lần (n > 1) 5 5 5 Ví dụ: B = 18 54 162 486 Cách giải: Bước 1: Tính B x n (n = 3) (23) 5 5 15 5 5 5 5 18 54 162 486 = 2 18 54 162 Bx3=3x Bước 2: Tính B x n - B 5 15 5 5 5 5 2 18 54 162 - ( 18 54 162 486 ) Bx3-B= 5 5 5 B x (3 - 1) = 18 54 162 486 3645 15 3640 486 B x = 486 = 486 = 3640 1820 910 :2 B = 486 = 486 = 243 Bài toán 3: Tính tổng nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích thừa số có hiệu n và thừa số thứ mẫu phân số liền trước là thừa số thứ mẫu phân số liền sau: 3 4 5 6 1 1 x 3 x 4 x 5 x x 3 x 4 x 5x6 Ví dụ 1: A = = = x x3 3x4 3x4 x5 x5 x6 x6 1 1 1 1 1 = 3 4 5 = 6 6 Ví dụ 2: 11 14 11 3 3 x 5 x 8 x 11 11 x 14 x 5 x 8 x 11 11 x 14 M= = = 11 14 11 x5 x5 x x 8 x 11 x 11 11 x 14 11 x 14 = 1 1 1 1 5 8 11 11 14 = 1 14 14 14 14 * Bài tập tự luyện: Bài 1: Tính tổng: a) Của tất các số lẻ bé 100 b) + + + 16 + …… + 169 Bài 2: (24) a) Tính nhanh tổng tất các số có chữ số b) 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384 Dãy số trên có mười số hạng Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh Đố em, đố chị, đố anh Tìm phương pháp tính nhanh tài Bài 3: Tính nhanh: 4 4 4 a/ x 7 x 11 11 x 15 15 x 19 19 x 23 23 x 27 1 1 1 110 b/ 12 20 30 42 1 1 1 c/ 10 40 88 154 138 340 Bài 4: 1 1 1 + + + + 1024 + 2048 + 4096 Phép cộng phân số khó gì? Kê đủ số hạng thì uổng công Cách gì tỏ thông Cộng nhanh đáp đúng lại không tốn Đố bạn hiền đó em thơ Đố ai biết đây nhờ giải mau Bài 5: Hãy tính tổng các dãy số sau: a) 1, 5, 9, 13, 17, …Biết dãy số có 80 số hạng b) , 17, 27, 44, 71, 115 Biết dãy số có số hạng Bài 6: Tính nhanh: a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + 7,27 + … + 13,27 + 14,77 b) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 + … + 0,19 Bài 7: Cho dãy số: 1 1 1 , , , , , 12 20 30 42 a) Hãy tính tổng 10 số hạng đầu tiên dãy số trên (25) b) Số 10200 có phải là số hạng dãy số trên không? Vì sao? Dạng 10: Dãy chữ Khác với các dạng toán khác, toán dạng dãy chữ không đòi hỏi học sinh phải tính toán phức tạp Ngược lại để giải bài toán dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng sáng tạo kiến thức toán học đơn giản, hiểu biết xã hội, từ đó mà vận dụng dạng toán này vào đời sống hàng ngày và các môn học khác Các ví dụ: Bài toán 1: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH thành dãy chữ liên tiếp: HOCSINHGIOITINHHOCSINHGIOI…… hỏi chữ cái thứ 2009 dãy là chữ cái nào? Giải: Ta thấy nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH gồm 15 chữ cái Giả sử dãy chữ có 2009 chữ cái thì có: 2009 : 15 = 133 (nhóm) và còn dư 14 chữ cái Vậy chữ cái thứ 2009 dãy chữ HOCSINHGIOITINH là chữ N tiếng TINH đứng vị trí thứ 14 nhóm chữ thứ 134 Bài toán 2: Một người viết liên tiếp nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG thành dãy THIXAHAIDƯƠNGTHIXAHAIDƯƠNG …… Hỏi: a Chữ cái thứ 2002 dãy này là chữ gì? b Nếu người ta đếm dãy số có 50 chữ H thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ N? c Bạn Hải đếm dãy có 2001 chữ A Hỏi bạn đếm đúng hay đếm sai? Giải thích sao? d Người ta tô màu các chữ cái dãy theo thứ tự: XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM,… hỏi chữ cái thứ 2001 dãy tô màu gì? Giải: a Nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG có 13 chữ cái: 2002 : 13 = 154 (nhóm) Như vậy, kế từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 2002 dãy, người ta đã viết 154 lần nhóm THIXAHAIDƯƠNG, chữ cái thứ 2002 dãy là chữ G tiếng DƯƠNG b Mỗi nhóm chữ THIXA HAIDƯƠNG có chữ H và có chữ A và chữ N Vì vậy, người ta (26) đếm dãy có 50 chữ H thì tức là người đó đã viết 25 lần nhóm đó nên dãy đó phải có 50 chữ A và 25 chữ N c Bạn đó đếm sai, vì số chữ A dãy phải là số chẵn d Ta nhận xét: + 2001 chia cho thì dư + Những chữ cái dãy có số thứ tự là chia cho thì dư thì tô màu XANH Vậy chữ cái thứ 2001 dãy tô màu XANH Bài toán 3: Bạn Hải cho các viên bi vào hộp theo thứ tự là: bi xanh, bi đỏ, bi vàng lại đến bi xanh, bi đỏ, bi vàng Hỏi: a) Viên bi thứ 100 có màu gì? b) Muốn có 10 viên bi đỏ thì phải bỏ vào hộp ít bao nhiêu viên bi? Giải: a) Ta thấy, viên bi thì lập thành nhóm màu: xanh, đỏ, vàng 100 viên bi thì có số nhóm là: 100 : = 33 nhóm (dư viên bi) Như vậy, bạn Hải đã cho vào hộp 33 nhóm, còn dư viên nhóm thứ 34 và là viên bi đầu tiên nhóm này Vậy viên bi thứ 100 có màu xanh b) Một nhóm thì có viên bi, muốn có 10 viên bi đỏ thì cần bỏ vào hộp: x 10 = 30 viên bi Nhưng viên bi màu đỏ là viên bi thứ nhóm Vậy cần bỏ vào hộp ít số viên bi là: 30 - 1= 29 viên * Bài tập tự luyện: Bài 1: Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TOANNAM thành dãy: TOANNAMTOANNAMTOAN…… Hỏi: a Chữ cái thứ 2010 dãy là chữ gì? b Nếu người ta đếm dãy có 50 chữ N thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ O? c Một người đếm dãy có 2009 chữ A, hỏi người đó đếm đúng hay sai? Giải thích sao? d Người ta tô màu các chữ cái dãy theo thứ tự XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM…… hỏi chữ cái thứ 2009 dãy tô màu gì? (27) Bài 2: Người ta viết các chữ cái D, A, Y, T, O, T, H, O, C, T, O, T,…… thành dãy: DAYTOTHOCTOTDAYTOT… màu xanh, đỏ, tím, tiếng màu Hỏi chữ cái thứ 2010 là chữ cái gì? Màu gì? Bài 3: Bạn Dương viết liên tiếp các nhóm chữ DIENBIENPHU thành dãy: DIENBIENPHUDIENBIENPHU Hỏi: a) Chữ cái thứ 1954 là chữ gì? b) Nếu dãy đã viết có 2010 chữ E thì có bao nhiêu chữ H? Bài 4: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy TOQUOCVIETNAM TOQUOCVIETNAM … Hỏi: a) Chữ cái thứ 1975 dãy là chữ gì? b) Người ta đếm dãy đó có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ O? Bao nhiêu chữ I?c) Bạn An đếm dãy có 1945 chữ O Hỏi bạn đếm đúng hay sai? Vì sao? d) Người ta tô màu vào các chữ cái dãy trên theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím, vàng, …Hỏi chữ cái thứ 2010 tô màu gì? C¸c d¹ng to¸n ®iÓn h×nh vµ ph¬ng ph¸p gi¶i vÒ d·y sè Muốn làm đợc các bài toán dãy số ta càn phải nắm đợc các kiến thức sau: Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số chẵn lại đến số lẻ lại đến số chẵn … Vì vËy, nÕu: - D·y sè b¾t ®Çu tõ sè lÎ vµ kÕt thóc lµ sè ch½n th× sè lîng c¸c sè lÎ b»ng sè lîng c¸c sè ch½n - D·y sè b¾t ®Çu tõ sè ch½n vµ kÕt thóc còng lµ sè lÎ th× sè lîng c¸c sè ch½n b»ng sè lîng c¸c sè lÎ - NÕu d·y sè b¾t ®Çu tõ sè lÎ vµ kÕt thóc còng lµ sè lÎ th× sè lîng c¸c sè lÎ nhiÒu h¬n c¸c sè ch½n lµ sè - NÕu d·y sè b¾t ®Çu tõ sè ch½n vµ kÕt thóc còng lµ sè ch½n th× sè lîng c¸c sè ch½n nhiÒu h¬n c¸c sè lÎ lµ sè a Trong d·y sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ sè th× sè lîng c¸c sè d·y sè chÝnh b»ng gi¸ trÞ cña sè cuèi cïng cña sè Êy (28) b Trong d·y sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ sè kh¸c sè th× sè lîng c¸c sè d·y sè b»ng hiÖu gi÷a sè cuèi cïng cña d·y sè víi sè liÒn tríc sè ®Çu tiªn C¸c bµi to¸n vÒ d·y sè cã thÓ ph©n c¸c lo¹i to¸n sau: + Dãy số cách đều: - D·y sè tù nhiªn - D·y sè ch½n, lÎ - Dãy số chia hết không chia hết cho số nào đó + Dãy số không cách - D·y Phi bo na xi - D·y cã tæng(hiÖu) gi÷a hai sè liªn tiÕp lµ mét d·y sè + D·y sè thËp ph©n, ph©n sè: C¸ch gi¶i c¸c d¹ng to¸n vÒ d·y sè: D¹ng 1: §iÒn thªm sè h¹ng vµo sau, gi÷a hoÆc tríc mét d·y sè Trớc hết ta cần xác định lại quy luật dãy số: + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trớc nó cộng(hoặc trừ) với sè tù nhiªn a + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trớc nó nhân (hoặc chia) với mét sè tù nhiªn q kh¸c + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) tổng số hạng đứng trớc nó + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng số hạng đứng trớc nó cộng với số tù nhiªn d råi céng víi sè thø tù cña sè h¹ng Êy + Số hạng đứng sau số hạng đứng trớc nhân với số thứ tự + Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 2) trë ®i, mçi sè liÒn sau b»ng lÇn sè liÒn tríc + Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 2) trë ®i, mçi sè liÒn sau b»ng lÇn sè liÒn tríc trõ ®i VÝ dô 1: §iÒn thªm sè h¹ng vµo d·y sè sau: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…… Muốn giải đợc bài toán trên trớc hết phảI xác định quy luật dãy số nh sau: Ta thÊy: + = 3+5=8 2+3=5 + = 13 Dãy số trên đợc lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ trở dmỗi số hạng tổng hai sè h¹ng liÒn tríc nã Vậy dãy số đợc viết đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144… ViÕt tiÕp sè h¹ng vµo d·y sè sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27 Ta nhËn thÊy: 8=1+3+4 27 = 4+ + 15 15 = + + (29) Từ đó ta rút đợc quy luật dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) tổng ba số hạng đứng trớc nó Viết tiếp ba số hạng, ta đợc dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169 T×m sè h¹ng ®Çu tiªn cña c¸c d·y sè sau : a…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 : biÕt r»ng mçi d·y sè cã 10 sè h¹ng b , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 : biÕt r»ng mçi d·y sè cã 10 sè h¹ng *) Gi¶i: a Ta nhËn xÐt : Sè h¹ng thø 10 lµ : 1024 = 512 x Sè h¹ng thø lµ : 512 = 256 x Sè h¹ng thø lµ : 256 = 128 x Sè h¹ng thø lµ : 128 = 64 x …………………………… Từ đó ta suy luận quy luật dãy số đầu tiên là: số hạng dãy số gấp đôi số hạng liền trớc đó VËy sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y lµ: x = b Ta nhËn xÐt : Sè h¹ng thø 10 lµ : 110 = 11 x 10 Sè h¹ng thø lµ : 99 = 11 x Sè h¹ng thø lµ : 88 = 11 x Sè h¹ng thø lµ : 77 = 11 x ………………………… Từ đó ta suy luận quy luật dãy số trên là: Mỗi số hạng 11 nhân với số thứ tự sè h¹ng Êy VËy sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y lµ : x 11 = 11 T×m c¸c sè cßn thiÕu d·y sè sau : a 3, 9, 27, ., 729, b 3, 8, 32, , 608, Muốn tìm đợc các số còn thiếu dãy số, cần tim đợc quy luật dãy số đó a Ta nhËn xÐt : 3x3=9 x = 27 Quy luËt cña d·y sè lµ: KÓ tõ sè thø trë ®i, mçi sè liÒn sau b»ng lÇn sè liÒn tríc Vậy các số còn thiếu dãy số đó là: 27 x = 81 ; 81 x = 243 ; 243 x = 729 (đúng) VËy d·y sè cßn thiÕu hai sè lµ : 81 vµ 243 b Ta nhËn xÐt: 3x3–1=8; x – = 23 (30) Quy luËt cña d·y sè lµ: KÓ tõ sè thø trë ®i, sè h¹ng sau b»ng lÇn sè h¹ng tríc trõ ®i 1, v× vËy, c¸c sè cßn thiÕu ë d·y sè lµ: 23 x - = 68 ; 68 x – = 203 ; D·y sè cßn thiÕu hai sè lµ: 68 vµ 203 203 x – = 608 (đúng) Lúc 7h sáng, ngời từ A đến B và ngời từ B đến A ; hai cùng đến đích mình lúc 2h chiều Vì đờng khó dần từ A đến B ; nên ngời từ A, đầu đợc 15km, sau đó lại giảm 1km Ngời từ B cuối cùng đI đợc 15km, trớc đó lại giảm 1km Tính quãng đờng AB *) Gi¶i: giê chiÒu lµ 14h ngµy ngời đến đích mình số là: 14 – = giê Vận tốc ngời từ A đến B lập thành dãy số: 15, 14, 13, 12, 11, 10, Vận tốc ngời từ B đến A lập thành dãy số: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 Nhìn vào dãy số ta nhận thấy có các số hạng giống quãng đờng AB là: + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 (đáp số 84km) Điền các số thích hợp vào ô trống cho tổng số ô liên tiếp 2002 783 998 *) Gi¶i: Ta đánh số thứ tự các ô nh sau: «1 «7 «8 «9 998 «10 Theo điều kiện đề bài ta có: 783 + ¤7 + ¤8 = 2002 ¤7 + ¤8 + ¤9 = 2002 Vậy Ô9 + 783; từ đó ta tính đợc: ¤8 = ¤5 = ¤2= 2002 - (783 + 998) = 2002 ¤7 = ¤4 = ¤1 = 998 ¤3 = ¤6 = 783 Điền các số vào ta đợc dãy số: 998 221 783 998 221 783 998 221 783 «2 «3 «4 «5 783 «6 998 (31) Một số lu ý giảng dạy Toán dạng này là: Trớc hết phải xác định đợc quy luật dãy là dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ (ví dụ: 6) Từ đó mà học sinh có thể điền đợc các số vào dãy đã cho * Bµi tËp tù luyÖn: 13, 19, 25,……, D·y sè kÓ tiÕp thªm sè nµo? Sè nµo suy nghÜ thÊp cao? Đố em đố bạn làm kể liền? ViÕt sè h¹ng cßn thiÕu d·y sè sau: a 7, 10, 13,……, 22, 25 b 103, 95, 87,……, 55, 47 99 Lµ sè h¹ng cuèi ®©y mµ D·y sè: sè h¹ng nha Số hạng đứng trớc gấp sau liền Đố em tôi, đố bạn hiền D·y sè cã sè ®Çu tiªn lµ g×? Là gì nhanh đáp khó chi! Đố anh, đố chị cung thi tài §iÒn sè thÝch hîp vµo « trèng, cho tæng c¸c sè ë « liÒn b»ng: a n = 14,2 2,7 8,5 b n = 14,3 2,7 7,5 Dạng 2: Xác định số A có thuộc dãy đã cho hay không? C¸ch gi¶i cña d¹ng to¸n nµy: - Xác định quy luật dãy; - Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không? VÝ dô: Cho d·y sè: 2, 4, 6, 8,…… a Nªu quy t¾c viÕt d·y sè? b Sè 93 cã ph¶i lµ sè h¹ng cña d·y kh«ng? V× sao? *) Gi¶i: a Ta nhËn thÊy: Sè h¹ng thø 1: 2=2x1 (32) Sè h¹ng thø 2: 4=2x2 Sè h¹ng thø 3: 6=2x3 … Sè h¹ng thø n: ?=2xn Quy luËt cña d·y sè lµ: Mét sè h¹ng b»ng nh©n víi sè thø tù cña sè h¹ng Êy b Ta nhËn thÊy c¸c sè h¹ng cña d·y lµ sè ch½n, mµ sè 93 lµ sè lÎ, nªn sè 93 kh«ng ph¶i lµ sè h¹ng cña d·y Cho d·y sè: 2, 5, 8, 11, 14, 17,…… - ViÕt tiÕp sè h¹ng vµo d·y sè trªn? - Sè 2000 cã thuéc d·y sè trªn kh«ng? T¹i sao? *) Gi¶i: - Ta thÊy: – = 3; 11 – = 3; ……… Dãy số trên đợc viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ trở đi, số hạng số hạng đứng liền trớc nó cộng với VËy sè h¹ng tiÕp theo cña d·y sè lµ: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 - Số 2000 có thuộc dãy số trên, vì kể từ số hạng thứ dãy và số 2000 chia cho d Em h·y cho biÕt: a C¸c sè 60, 483 cã thuéc d·y 80, 85, 90,…… hay kh«ng? b Sè 2002 cã thuéc d·y 2, 5, 8, 11,…… hay kh«ng? c Sè nµo c¸c sè 798, 1000, 9999 cã thuéc d·y 3, 6, 12, 24,…… gi¶i thÝch t¹i sao? *) Gi¶i: a Cả số 60, 483 không thuộc dãy đã cho vì: - Các số hạng dãy đã cho lớn 60 - Các số hạng dãy đã cho chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho b Số 2002 không thuộc dãy đã cho vì số hạng dãy chia cho 2, mà 2002 chia th× d c Cả số 798, 1000, 9999 không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,… vì: - Mçi sè h¹ng cña d·y (kÓ tõ sè h¹ng thø 2) b»ng sè h¹ng liÒn tríc nhËn víi 2; cho nªn c¸c số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trớc là số chẵn, mà 798 chí cho = 399 là số lẻ - Các số hạng dãy chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho - Các số hạng dãy (kể từ số hạng thứ 2) chẵn, mà 9999 là số lẻ Cho d·y sè: 1, 2, 2; 3, 4;……; 13; 14, NÕu viÕt tiÕp th× sè 34,6 cã thuéc d·y sè trªn kh«ng? *) Gi¶i: - Ta nhËn xÐt: 2,2 - = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2;…… Quy luËt cña d·y sè trªn lµ: Tõ sè h¹ng thø trë ®i, mçi sè h¹ng sau h¬n sè h¹ng liÒn tríc nã 1,2 đơn vị: - Mặt khác, các số hạng dãy số trừ chia hết cho 1,2 VÝ dô: (13 - 1) : 1,2 (3,4 - 1) : 1,2 (33) (34,6 - 1) : 1,2 = 28 d VËy nÕu viÕt tiÕp th× sè 34,6 còng thuéc d·y sè trªn Cho d·y sè: 1996, 1993, 1990, 1997,……, 55, 52, 49 C¸c sè sau ®©y cã ph¶i lµ sè h¹ng cña d·y kh«ng? 100, 123, 456, 789, 1900, 1995, 1999? *) Giải: Nhận xét: Đậy là dẫy số cách đơn vị Trong dãy số này, số lớn là 1996 và số bé là 49 Do đó, số 1999 không phải là số hạng dẫy số đã cho Mỗi số hạng dãy số đã cho là số chia hết cho 3, d Do đó, số 100 và số 1900 là số dãy số đó Các số 123, 456, 789 và 1995 chia hết cho nên các số đó không phải là số hạng các dãy số đã cho * Bµi tËp lù luyÖn: Cho d·y sè: 1, 4, 7, 10,… a Nªu quy luËt cña d·y b Sè 31 cã ph¶i lµ sè h¹ng cña d·y kh«ng, nÕu ph¶i th× sè h¹ng thø bao nhiªu? c Sè 1995 cã thuéc d·y nµy kh«ng? V× sao? Cho d·y sè: 1004, 1010, 1016,…, 3008 Hái sè 2004 vµ 1760 cã thuéc d·y sè trªn hay kh«ng? Cho d·y sè: 1, 7, 13, 19,…, a Nªu quy luËt cña d·y sè råi viÕt tiÕp sè h¹ng tiÕp theo b Trong sè 1999 vµ 2001 th× sè nµo thuéc d·y sè? V× sao? Cho d·y sè: 3, 8, 13, 18,…… Cã d·y sè tù nhiªn nµo cã ch÷ sè tËn cïng lµ mµ thuéc d·y sè trªn kh«ng? Cho d·y sè: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,…… a Sè 1997 cã ph¶i lµ sè h¹ng cña d·y sè nµy hay kh«ng? b Số 561 có phải là số hạng dãy số này hay không? Nếu số đó đúng là số hạng dãy số đã cho thì số đó vị trí thứ dãy số đó? D¹ng 3: T×m sè h¹ng cña d·y * C¸ch gi¶i ë d¹ng nµy lµ: - Sö dông ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n kho¶ng c¸ch (gi¶i to¸n trång c©y) Ta cã c«ng thøc sau: Sè c¸c sè h¹ng cña d·y = sè kho¶ng + - Nếu quy luật dãy là: Số hạng đứng trớc vị trí thứ bao nhiêu dãy số thì số đó nx (n 1) tổng nhiêu, số tự nhiên liên tiếp (bắt đầu từ 1) thì đợc tính theo công thức: VÝ dô: Cho d·y sè: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992 a Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng? b NÕu ta tiÕp tôc kÐo dµi c¸c sè h¹ng cña d·y sè th× sè h¹ng thø 2002 lµ sè mÊy? (34) *) Gi¶i: a Ta cã: 10 ………… 1992 4–2=2 ; 8–6 =2 6–4=2 ; ……… Vậy, quy luật dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau số hạng đứng trớc cộng với Nói các khác: Đây là dãy số chẵn dãy số cách đơn vị Dùa vµo c«ng thøc trªn: (Sè h¹ng cuèi – sè h¹ng ®Çu) : kho¶ng c¸ch + Ta cã: Sè c¸c sè h¹ng cña d·y lµ: (1999 – 2) : + = 996 (sè h¹ng) b Ta nhËn xÐt: Sè h¹ng thø lµ: = – = + (2 – 1) x Sè h¹ng thø lµ: = + = + (3 – 1) x Sè h¹ng thø lµ: = + = + (4 – 1) x ……… Sè h¹ng thø 2002 lµ: + (2002 – 1) x = 4004 §¸p sè: a 996 sè h¹ng b 4004 sè h¹ng Cho 1, 3, 5, 7, ……… lµ d·y sè lÎ liªn tiÕp ®Çu tiªn; hái 1981 lµ sè h¹ng thø bao nhiªu d·y sè nµy? Gi¶i thÝch c¸ch t×m? (§Ò thi häc sinh giái bËc tiÓu häc 1980 – 1981) *) Gi¶i: Ta thÊy: Sè h¹ng thø nhÊt b»ng: = + x Sè h¹ng thø hai b»ng: 3=1+2x1 Sè h¹ng thø ba b»ng: 5=1+2x2 ……… Cßn sè h¹ng cuèi cïng: 1981 = + x 990 Vì vậy, số 1981 là số hạng thứ 991 dãy số đó Cho d·y sè: 3, 18, 48, 93, 153,… a T×m sè h¹ng thø 100 cña sü b Sè 11703 lµ sè h¹ng thø bao nhiªu cña d·y? *) Gi¶i: a Sè h¹ng thø nhÊt: = + 15 x Sè h¹ng thø nhÊt: 18 = + 15 x Sè h¹ng thø nhÊt: 48 = + 15 x + 15 x (35) 999 Sè h¹ng thø nhÊt: 93 = + 15 x + 15 X + 15 x Sè h¹ng thø nhÊt: 153 = + 15 x + 15 x + 15 x + 15 x ……… Sè h¹ng thø n: + 15 x1 + 15 x +15 x + …… + 15 x (n - 1) VËy sè h¹ng thø 100 cña d·y lµ: + 15 x + 15 x + …… + 15 x (100 – 1) = + 15 x (1 + + + …… + 99) (§a vÒ mét sè nh©n víi mét tæng = + 15 x (1 + 99) ; x 99 = 74253 b Gäi sè 11703 lµ sè h¹ng thø n cña d·y: Theo quy luËt ë phÇn a ta cã: + 15 x + 15 x + 15 x + …… x (n – 1) = 11703 + 15 (1 + + + …… n – 1) = 11703 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) x (n – 1) : = 11703 15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x = 23400 n x (n – 1) = 23400 ; 15 = 1560 NhËn xÐt: Sè 1560 lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp 39 vµ 40 (39 x 40 = 1560) VËy, n = 40, sè 11703 lµ sè h¹ng thø 40 cña d·y Trong c¸c sè cã ch÷ sè chia hÕt cho lµ 102 vµ sè lín nhÊt cã ch÷ sè chÝ hÕt cho lµ Nh vËy: C¸c sè cã ch÷ sè chia hÕt cho lµ: (999 - 102) : + = 300 (sè) §¸p sè: 300 sè Cho d·y sè: 1, 2, 3, 4, ……… 195 a TÝnh sè ch÷ d·y b Ch÷ sè thø 195 lµ ch÷ sè nµo? *) Gi¶i: a Ta viÕt l¹i d·y sè: 1, …… 9, 10, …… 99, 100, ……, 195 Trong d·y cã sè gåm ch÷ sè; c¸c sè nµy cho ch÷ sè Cã 90 sè gåm ch÷ sè; c¸c sè nµy cho x 90 = 180 ch÷ sè Cã 96 sè gåm ch÷ sè; c¸c sè nµy cho x 96 = 288 ch÷ sè VËy ch÷ sè d·y lµ: + 180 + = 477 (ch÷ sè) b Trên đây ta đã tính đợc số chữ số đoạn dãy 1………9, 10……99, 100……, 195 180 288 477 Vì < 195 < 477, nen chữ số thứ 195 là chữ số thuộc vào đoạn từ 100 đến 195, vì 195 – 189 = 6, nên đây là chữ số thứ đoạn từ 100 đến 195 (36) Ta thấy đó là chữ số (nằm số 101) * Bµi tËp tù luyÖn: Cho d·y sè: 3, 8, 13, 23, …… T×m sè h¹ng thø 30 cña d·y sè trªn? Cho d·y sè: 1, 4, 9, 16, …… a Nªu quy luËt cña d·y? b Sè 625 lµ sè h¹ng thø bao nhiªu? c Sè h¹ng thø 100 lµ sè nµo? Ngêi ta viÕt c¸c sè ch½n liªn tiÕp cã ch÷ sè liÒn thµnh mét sè lín theo quy t¾c sau: 10 12 14 16 18 ……… 96 98 a Số đó có bao nhiêu chữ số? b Trong đó có bao nhiêu số 6? XÐt d·y sè: 100, 101, ………, 789 a D·y nµy cã bao nhiªu sè? b Sè thø 100 lµ sè nµo? c D·y nµy cã bao nhiªu ch÷ sè? d Ch÷ sè 789 lµ ch÷ sè nµo? Cho d·y sè: 1, 1; 2, 2; 3, 3; ……… 108, 9; 110,0 a D·y sè nµy cã bao nhiªu sè h¹ng? b Sè h¹ng thø 50 cña d·y sè nµy lµ sè h¹ng nµo? D¹ng 4: T×m tæng c¸c sè h¹ng cña d·y sè *) Gi¶i: Nếu số hạng dãy số cách thì tổng hai số hạng cách đầu và số hạng cuối dãy số đó Vì vậy: Tæng c¸c sè h¹ng cña d·y b»ng tæng cña mét cÆp hai sè h¹ng c¸ch ®Çu sè h¹ng ®Çu vµ cuèi nh©n víi sè h¹ng cña d·y chia cho Viết thành sơ đồ: Tổng dãy số cách đèu = (số đầu + số cuối) x (số hạng : 2) Từ sơ đồ trên ta suy ra: Sè ®Çu cña d·y = tæng x : sè sè h¹ng – sè h¹ng cuèi Sè cuèi cña d·y – tæng x : sè sè h¹ng – sè ®Çu VÝ dô: TÝnh tæng cña 19 sè lÎ liªn tiÕp ®Çu tiªn *) Gi¶i: 19 sè lÎ liªn tiÕp ®Çu tiªn lµ: 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37 Ta thÊy: + 37 = 38 ; + 33 = 38 + 35 = 38 ; + 31 = 38 (37) Nếu ta xếp các cặp số từ hai đầu số vào, ta đợc các cặp số có tổng số là 38 Sè cÆp sè lµ: 19 : = (cÆp sè) d mét sè h¹ng Sè h¹ng d nµy lµ sè h¹ng ë chÝnh gi÷a d·y sè vµ lµ sè 19 VËy tæng cña 19 sè lÎ liªn tiÕp ®Çu tiªn lµ: 39 x + 19 = 361 §¸p sè: 361 NhËn xÐt: Khi sè sè h¹ng cña d·y sè lÎ (19) th× s¾p cÆp sè sÏ dù l¹i sè h¹ng ë chÝnh g÷a v× sè lÎ kh«ng chia hÕt cho 2, nªn d·y sè cã nhiÒu sè h¹ng th× viÖc t×m sè h¹ng cßn l¹i kh«ng s¾p sÏ rÊt khã kh¨n VËy ta cã thÓ lµm c¸ch nh sau: 19 – = 18 (sè h¹ng) Ta thÊy: + 37 = 40 ; + 33 = 40 + 35 = 40 ; + 31 = 40 ……… ……… Khi đó, ta xếp các cặp số từ đầu dãy số gồm 18 số hạng vào thì đ ợc các cặp số có tæng lµ 40 Sè cÆp sè lµ: 18 ; = (cÆp sè) Tæng cña 19 sè lÎ liªn tiÕp ®Çu tiªn lµ: + 40 x = 361 Chú ý: Khi số hạng là số lẻ, ta để lại số hạng đầu dãy số (số đầu, số cuối) để cßn l¹i mét sè ch½n sè h¹ng råi s¾p cÆp; lÊy tæng cña mçi cÆp nh©n víi sè cÆp råi céng víi sè h¹ng đã để lại thì đợc tổng dãy số - Tõ vÝ dô trªn, ta thÊy gi¶i to¸n b»ng ph¬ng ph¸p cña lý thuyÕt tæ hîp, ph¶i ph©n biÖt rạch ròi cặp xếp thứ tự với cặp không xếp thứ tự Dới đay là ví dụ, đó có khái niệm nµy Tính tổng số tự nhiên từ đến n * Gi¶i: GhÐp c¸c sè: 1, 2, ……, n – 1, n thµnh tõng cÆp (kh«ng s¾p thø tù) : víi n, víi n – 1, víi n – 2, …… Khi n ch½n, ta cã (n ; 2) = n x (n + 1) : Khi n lÎ, th× n – ch½n vµ ta cã: + + …… + (n – 1) = (n – 1) x n : Từ đó ta có: S = (n – 1) x n : + n = (n - ) x n : + x n : = [(n – 1) x n : + x n] : = (n – + 2) x n : = n x (n + 1) : Cho d·y sè: 1, 2, 3, …… 195 TÝnh tæng c¸c ch÷ sè d·y? *) Gi¶i: - C¸ch 1: Ta viÕt l¹i d·y sè vµ bæ sung thªm c¸c sè: 0, 196, 197, 198, 199 vµo d·y: 0, 1, 2, 3, ……, (38) 10, 11, 12, 13, ……, 19 90, 91, 92, 93, ……, 99 100, 101, 102, 103, ……, 109 V× cã 200 sè vÌ mçi dßng cã 10 sè, nªn cã 200 : 10 = 20 (dßng) Tổng các chữ số hàng đơn vị dòng là: + + + …… + = x 10 : = 45 Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là: 45 x 20 = 900 Tổng các chữ số hàng chục 10 dòng tổng các chữ số hàng chục 10 dòng sau vµ b»ng: x 10 + x 10 + …… + x 10 = (1 + + …… +) x 10 = 45 x 10 = 450 VËy tæng c¸c ch÷ sè hµng chôc lµ: 450 x = 900 Ngoµi dÔ thÊy tæng c¸c ch÷ sè hµng tr¨m lµ 100 VËy tæng c¸c ch÷ sè cña d·y sè nµy lµ: 900 + 900 + 100 = 1900 Từ đó suy tổng các chữ số dãy ban đầu là: 1900 – (1 + + + + + + + + + + + 9) = 1830 - Cách 2: Ta bổ sung thêm số và các số từ 196 đến 199 vào dãy và ghép các số thành cặp: 0, 199 1, 198 2, 197 …… x, 199 – x Ta thấy các tổng các chữ số số này 19 (nếu số x có chữ số là a, b thì 199 – x cã c¸c ch÷ sè lµ: 1, – a vµ – b Tæng c¸c ch÷ sè – x vµ 199 – x lµ: a + b + + – a + – b = + + = 19 VËy tæng c¸c ch÷ sè cña d·y sè bæ sung lµ: 19 x 100 = 1900 Sau bớt các chữ số các số bổ sung nh cách giải trên, ta đợc tổng cần tìm là 1830 Trong To¸n häcnãi riªng vµ khoa häc nãi chung, chóng ta thêng nhê vµo suy luËn quy nạp không hoàn toàn mà phát kết luận 9gọi là giả thuyết) nào đó Sau đó chúng ta sử dụng luận diễn dịch quy nạp hoàn toàn để kiểm tra đúng đắn kết luận đó Khi dạy học tiểu học, điều nói trên đợc lu ý TÝnh tæng cña d·y sè sau: + + + 18 + 512 Mét häc sinh lËp luËn nh sau: (39) Ta nhËn thÊy: 2 4 8 16 15 16 VËy, cø nh thÕ ta cã 16 512 – 511 512 Học sinh đã s dụng quy nạp không hoàn thiện để đoán kết tổng Mặc dù kết đó đúng và quá trình suy luận là hợp lý, nhng không thể xem đó là lời giải chặt chẽ Để có lời giải chặt chẽ cần sử dụng suy luận diễn dịch, chẳng hạn, đầu tiên ta viết đầy đủ tæng: C¸ch 2: S= + = 256+128+64 +32+16+8+ 4+ 2+1 512 + 16 + 32 + 64 + 128 + = 511 512 §¸p sè: 511 512 + 256 + 512 Ký hiÖu: + + + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 Nhân vế trá và vế phải với 2, biến đổi, ta đợc: Sx2=1+s- 512 Từ đó suy ra: S = Sx2=1+s- 512 = 511 512 512 TÝnh tæng tÊt c¶ sè thËp ph©n cã phÇn nguyªn lµ 9, phÇn thËp ph©n cã ch÷ sè: *) Gi¶i: TÝnh tæng tÊt c¶ sè thËp ph©n cã phÇn nguyªn lµ 9, phÇn thËp ph©n cã ch÷ sè lµ: 9,00; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999 tøc lµ cã 1000 sè Ta thÊy: 9,001 + 9,999 = 19 9,005 + 9,995 = 19 9,002 + 9,998 = 19 9,006 + 9,994 = 19 …………… …………… (40) Nếu ta bỏ số đầu tiên và xếp các cặp số cách đầu dãy vào nh trên thì đợc các cặp số có tổng là 19, còn lại 9,005 cha đợc tính Số cặp số xếp đợc là: 998 : = 499 (cÆp sè) cha kÓ hai sè 9,000 vµ 9,500 Tæng tÊt c¶ c¸c sè cña d·y sè trªn lµ: 19 x 499 + 9,5 + 9,005 = 9499,5 §¸p sè: 9499,5 * Bµi tËp tù luyÖn: TÝnh tæng: a Cña tÊt c¶ c¸c sè lÎ bÐ h¬n 100 b + + + 16 + …… + 169 Tính nhanh tổng các só trên mặt đồng hồ? Cho ví dụ tơng tự suy cách tính dãy số cách đều? TÝnh nhanh c¸c tæng sau: a + + + …… + 999 b + + + 10 + …… + x (cha biÕt x lµ sè thø 50) c TÝnh nhanh tæng cña tÊt c¶ c¸c sè co¸ ch÷ sè d 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384 D·y sè trªn cã 10 sè h¹ng Tæng bao nhiªu, mêi b¹n tÝnh nhanh Đố em, đố chị, đố anh T×m ph¬ng ph¸p tÝnh nhanh míi tµi a So s¸nh S víi BiÕt r»ng: S=1+ + + 10 + +…+ 45 b Viết đầy đủ các số hạng và tính nhanh tổng sau: + + 12 + 20 + …… + 90 a TÝnh tæng c¸c ch÷ sè cña d·y: 1, 2, 3, ………, 799 b + + + …… + 1024 + 2048 + 4096 =? PhÐp céng ph©n sè khã g×? Kê đủ số hạng thì uổng công C¸ch g× tá th«ng Cộng nhanh đáp đúng lại không tốn Đố bạn hiền đó em thơ §è ai biÕt ®©y nhê gi¶i mau (41) D¹ng 5: d·y ch÷ Khác với các dạng toán khác, toán dạng dãy chữ không đòi hỏi học sinh phải tính toán phức tạp Ngợc lại để giải bài toán dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng sáng tạo kiến thức toán học đơn giản, hiểu biết xã hội, từ đó mà vận dụng dạng toán này vào đời sống hàng ngày và các môn học khác VÝ dô: Ngêi ta viÕt liªn tiÕp nhãm ch÷: häc sinh giái tØnh thµnh mét d·y ch÷ liªn tiÕp: (häc sinh giái tØnh, häc sinh……) hái ch÷ c¸i thø 2002 cña d·y lµ ch÷ c¸i nµo? * Gi¶i: Ta thÊy nhãm ch÷: häc sinh giái tØnh gåm 15 ch÷ c¸i Gi¶ sö d·y ch÷ cã 2002 ch÷ c¸i th× cã: 2002 : 15 = 133 (nhãm) vµ cßn d ch÷ c¸i Vậy chữ cái thứ 2002 dãy chữ học sinh giỏi tỉnh là chữ H tiếng SINH đứng ë vÞ trÝ thø cña nhãm 134 Ngêi ta viÕt liªn tiÕp c¸c ch÷ sè 13579 thµnh mét sè M Hái ch÷ sè thø 764 cña sè m lµ ch÷ sè nµo? *) Gi¶i: Ta thÊy nhãm ch÷ sè 13579 gåm cã ch÷ sè Gi¶ sö sè M cã 764 ch÷ sè th× cã: 764 : = 152 (nhãm) d ch÷ sè Vậy chữ số 764 dãy số là chữ số 7, đứng vị trí thứ nhóm, thứ 153 Mét ngêi viÕt liªn tiÕp d·y ch÷ thÞ x· th¸i b×nh, thµnh thi xa thai binh, thi xa…… a Ch÷ c¸i thø 2002 d·y nµy lµ ch÷ g×? b Nếu ngời ta đếm đợc dãy số có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu ch÷ N? c Bạn Bình đếm đợc dãy có 2001 chữ A Hỏi bạn đếm đúng hay đếm sai? Giải thích t¹i sao? d Ngời ta tô màu các chữ cái dãy theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím,… hỏi chữ cái thứ 2001 trang dãy đợc tô màu gì? *) Gi¶i: a Nhãm ch÷ THI XA THAI BINH cã 13 ch÷ c¸i: 2002 ; 13 = 154 (nhãm) Nh vậy, kế từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 2002 dãy, ngời ta đã viết 154 lần nhóm THI XA THAI BINH, vËy ch÷ c¸i thø 2002 d·y lµ ch÷ H cña tiÕng BINH b Mçi nhãm ch÷ THI XA THAI BINH cã ch÷ T vµ còng cã ch÷ A vµ ch÷ N V× vËy, ngời ta đếm đợc dãy số có 50 chữ T thì tức là ngời đó đã viết 25 lần nhóm đó nên dãy đó ph¶i cã 50 ch÷ A vµ 25 ch÷ N c Bạn đó đếm sai, vì dố chữ A dãy phải là số chẵn d Ta nhËn xÐt: + 2001 chia cho d + Những chữ cái dãy có số thứ tự là chia hết cho d thì đợc tô màu XANH Vậy chữ cái thứ 2001 dãy đợc tô màu XANH (42) Mét d·y sè gåm c¸c nhãm ch÷ nh sau: H·y cè g¾ng, H·y cè g¾ng, H·y cè g¾ng… a Em h·y cho biÕt ch÷ c¸i thø 273 d·y lµ ch÷ g×? b NÕu d·y sè cã 426 ch÷ A th× d·y sè cã bao nhiªu ch÷ N? *) Gi¶i: a Ta thÊy r»ng nhãm ch÷ H·y cè g¾ng cã ch÷ c¸i vµ 273 : = 30 (nhãm) vµ d ch÷ cái Nh vậy, kể từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 273 dãy thì nhóm chữ Hãy cố gắng phải viết đợc 30 lần nhóm và chữ cái là chữ HAY VËy ch÷ c¸i thø 273 lµ ch÷ Y b Mçi nhãm ch÷ d·y trªn cã hai ch÷ A vµ cã ch÷ T §Ó d·y cã 426 ch÷ A th× ch÷ H·y cè g¾ng ph¶i viÕt lµ 426 : = 213 (nhãm) Nhng cã nh÷ng kh¶ n¨ng sau ®©y: - Nhóm chữ cái thứ 213 viết là Hãy cố ga, đó nhóm chữ cuối này không có chữ N, nªn ch÷ N d·y lµ: 213 – = 212 (ch÷) - Nhóm chữ 1213 viết là: Hãy cố gan, đó chữ N dãy là 213 - Nhóm chữ 213 đợc viết trọn vẹn đó số chữ N dãy là 213 Mét b¹n häc sinh viÕt: a 2, 3, 4, 5, 1, 1, 3, 4, 5, 1, 2, ……… Và tiếp tục nh để có dãy số Hãy tính xem số hạng thứ 1996 mà bạn học sinh viết là sè mÊy? *) Gi¶i: Trong d·y sè b¹n häc sinh viÕt cø sè l¹i lÆp l¹i tõ ®©u Ta cã: 1996 : = 399 (d 1) Nh bạn học sinh đã viết 399 lần các sô 1, 2, 3, 4, và đợc x 399 = 1995 (số hạng) Nh vËy, sè h¹ng thø 1996 ph¶i lµ sè * Bµi tËp tù luyÖn: Mét ngêi viÕt liªn tiÕp nhãm nh÷: to¸n n¨m thµnh toan nam toan nam toan…… a Ch÷ c¸i thø 2002 d·y lµ g×? b Nếu ngời ta đếm đợc dãy có 50 chữ N thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ O? c Một ngời đếm đợc dãy có 2000 chữ A, hỏi ngời đó đếm đúng hay sai? Giải thích sao? d Ngời ta tô màu các chữ cái dãy theo thứ tự xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím…… hỏi chữ cái thứ 1999 dãy đợc tô màu gì? Một ngời đánh máy chữ phải đánh liên tiếp nhóm chữ “tiền hải” thành dãy chữ TIEN HAI TIEN HAI… hái lÇn gâ vµo m¸y thø 2001 r¬i vµo ch÷ c¸i nµo? ViÕt liªn tiÕp c¸c sè tù nhiªn ch½n thµnh d·y: 2, 4, 6, 8, 10, …… hái ch÷ sè thø 1994 ch÷ sè mÊy? Ngêi ta viÕt liªn tiÕp c¸c ch÷ sè 0123456789 thµnh mét sè A, hái ch÷ sè thø 195 cña sè A lµ ch÷ sè nµo? (43) Ngêi ta viÕt c¸c ch÷ c¸i d¹y tèt, häc tèt,…… thµnh DAY TOT HOC TOT… màu xanh, đỏ, tím, tiếng màu Hái ch÷ c¸i thø 2002 lµ ch÷ c¸i g×? Mµu g×? Néi dung 3: Mét sè lu ý gi¶i to¸n vÒ “d·y sè” Trong bµi to¸n vÒ d·y sè thêng, ngêi ta cho biÕt c¶ d·y sè (v× d·y sè cã nhiÒu sè kh«ng thÓ viết hết đợc) vì vậy, phải tìm đợc quy luật dãy (mà có nhiều quy luật khác nhau) tìm đợc các số mà dãy số khô cho biết Đó là quy luật dãy số cách đều, dãy số không cách dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm quy luật dạng 1, muốn giải bài toán tìm chữ số cuối cùng dãy (khi biết dãy đó có tất bao nhiêu số hạng) thì ta phải tìm số khoảng cách dãy số cách lấy dãy đó có bao nhiêu số hạng trừ 1, sau đó tìm hiệu số cuối cùng cña d·y b»ng hiÖu cña sè cuèi cïng vµ sè ®Çu b»ng kho¶ng c¸ch gi÷a sè nh©n víi sè kho¶ng cách Từ đó tìm đợc số cuối cùng dãy hiệu số cuối và số đầu cộng với số đầu tiên d·y dạng 2: Muốn kiểm tra số a có thoả mãn quy luật dãy đã cho hay không? Ta cần xem dãy số cho trớc và số cần xác định có cùng tính chất hay không? (Có cùng chia hết cho số nào đó có cùng số d) thf số đó thuộc dãy đã cho ë d¹ng 3: Cã c¸c yªu cÇu sau: + T×m tÊt c¶ c¸c ch÷ sè cña d·y + T×m tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña d·y Khi giải tính công thức nh phần cách giải đã nói + T×m chø sè thø n cña d·y Ta cần phải tìm số đầu tiên đến số liên quan đến chữ số thứ n dãy là số có bao nhiêu chữ số, từ đó tìm câu hỏi bài toán + T×m sè h¹ng thø n cña d·y Ta cần tìm đấn quy luật dãy là đợc (nếu là dãy số cách đều), là dãy số (không cách đều) đợc tính theo công thức n x (n – 1) : ë d¹ng 4: Cã c¸c yªu cÇu: + T×m tæng c¸c sè h¹ng cña d·y + TÝnh nhanh tæng * Khi gi¶i: Sau t×m quy luËt cña d·y, ta s¾p xÕp c¸c sè theo tõng cÆp cho cã tæng nhau, sau đó tìm cặmp số tìm tổng các số hạng dãy Chú ý: Khi tìm số cặp số mà còn d số hạng thì tìm tổng ta phải cộng số d đó vào NÕu tÝnh nhanh tæng ph¶i dùa vµo tÝnh chÊt cña ph©n sè dạng 5: Đó là dãy chữ giải đề phải dựa vào quy luật dãy, sau đó có thể xem dãy chữ dãy số có tất bao nhiêu chữ số tìm có tất bao nhiêu nhóm và đó chính là phÇn tr¶ lêi cña bµi to¸n Chuyên đề dãy số cách - Dãy số cách là dạng toán thường gặp tiểu học Từ quy luật dãy số , ta có thể tìm thấy nhiều bài toán mà giải nó cần vận dụng nhiều kiến thức mà các em dã trang bị Chúng ta cần tìm hiểu bài toán sau : Bài toán : (44) Cho daõy soá : , , , , 9,….,17 , 19 … a Xaùc ñònh quy luaät cuûa daõy soá b Vieát tieáp soá haïng cuoái cuøng cuûa daõy c Tính caùc soá haïng cuûa daõy Phân tích : Muốn xác định quy luật dãy , ta dựa vào các số hạng đã cho dãy để rút quy luật Từ quy luật ta tìm số hạng cuối cùng dãy Tính các số hạng dãy tức là tính xem dãy đó có bao nhiêu số hạng Có nhiều cách tính mà cách đó dựa vào toán trồng cây hai đầu đường Khi trồng cây hai đầu đường thì số cây số khoảng cách cộng thêm Baøi giaûi : a Nhaän xeùt : 3-1 = 5-3 = …………… 19- 17 = Quy luật : Hai số đứng liền ( kém ) đơn vị b Boán soá haïng cuoái cuøng cuûa daõy laø : 19 + = 21 21 + = 23 23 + = 25 25 + = 27 Ta coù daõy soá : 1, ,5 ,7 … 17, 19 , 21 , 23, 25, 27 c Hai số liền gọi là khoảng cách nên khoảng cách là Từ đến 27 có số khoảng cách là : ( 27 – ): = 13 Khoảng cách Vậy từ đến 27 có các số lẻ liên tiếp là : 13 + = 14 ( soá) Nhận xét : Từ cách tính số các số hạng dãy ta có thể nêu thành công thức tìm số các số hạng dãy số cách sau : Số các số hạng = ( Số lớn – số bé ) : khoảng cách + Bài toán 2: Cho dãy số : 1,4, , 10,… 97 , 100 a Tính soá caùc soá haïng cuûa daõy b Tính toång caùc soá haïng cuûa daõy Phân tích : Áp dụng công thức tính số các số hạng dãy cách ta dễ dàng tìm số các số hạng dãy trên Tuy nhiên trước hết ta phải tìm quy luật để suy khoảng cách khoảng cách hai số liền dãy (45) Ta coù : + + + 10 + …+ 94 + 97 + 100 = ( + 100 ) + ( + 97 + + ( + 94 ) + …+ = 101 + 100 +101 + … Nhö vaäy soá caëp coù toång baèng 101 + 101 + 101 + … Như số cặp có tổng 101 ½ số các số hạng dãy Do đó để Tính tổng các số hạng trên ta có thể tính công thức sau : Tổng các số hạng = ( số lớn + số bé ) (số các số hạng): Baøi giaûi : a Nhaän xeùt 4- = 7- = 10 – = ……………… 100 – 97 = Quy luật : Hai số đứng liền ( kém ) 3đơn vị Soá caùc soá haïng cuûa daõy laø : ( 100 – ) : + = 34 ( soá ) Toång soá caùc soá haïng cuûa daõy laø : ( 100 + ) x 34 : = 1717 Bài toán : Cho daõy soá : 2, 5, 8, 11, 14 , 17 , …98 , 101 , 104 , 107 , 110 , a Tính số các số hạng thứ 25 dãy b Tìm số hạng thứ 25 dãy c Xét xem số 56 , 75 , 113 có thuộc dãy số trên không , có thì nó là thứ bao nhiêu daõy ? Phân tích : Tìm số hạng 25 dãy tức là tính đến số hạng cần tìm là 25 số hạng Do đó ta gọi số hạng đó là x vân dụng công thức tính số các số hạng dãy để tính Nếu dựa vào quy luật cách thì không nhận biết số nào số đã cho là số haïng cuûa daõy Chaúng haïn muoán bieát soá 56 coù phaûi laø soá haïng cuûa daõy khoâng ta phaûi xeùt xem soá 53 thuoäc daõy khoâng , muoán bieát 53 coù thuoäc daõy khoâng laïi phaûi xem xeùt soá 50 coù thuộc dãy không….Tuy nhiên ta có thể giả sử số cần xét là số hạng dãy và tìm vị trí nó , không tìm vị trí nào thì số đó không thuộc dãy Ta có thể tìm cách khác chẳng hạn : Nếu lấy số dãy chia cho ( khoảng cách ) thì luôn có số dư là Như số nào chia cho có số dư là thì là số hạng dãy Dựa vào cách tính số các số hạng dãy thương nó so với số vị trí số hạng biết vị trí số hạng đó Baøi giaûi : a Nhaän xeùt : + 3= 5 + 3= (46) + 3=11 …………… 101 + = 104 104 + = 107 107 + = 110 Quy luật : Hai số đứng liền ( kém ) đơn vị Soá caùc soá haïng cuûa daõy laø : ( 110 – ): + = 37 ( soá ) b Gọi số hạng thứ 25 dãy là y ta có : ( y – ) : + = 25 ( y – ) : = 25 -1 ( y – ) : = 24 ( y – ) = 24 x Y – 2= 72 Y = 72 + Y = 74 Vậy số hạng thứ 25 dãy là 74 Caùch : - Giả sử 56 là số hạng dãy thì vị trí nó dãy số đó là : - ( 56- ) : + = 19 Tìm vị trí số 56 dãy nên 56 là số hạng dãy và là số hạng thứ 19 - Giả sử 75 là số hạng dãy thì vị trí nó dãy số đó là : ( 75 – ) : 3+ = 24 Không tìm vị trí số 75 dãy nên số 75 không thuộc dãy số đó - Số 113 > 110 ( 110 là số lớn dãy ) Vậy số 113 không phải là số hạng daõy soá treân Caùch : Nhaän xeùt : = ( dö ) : = ( dö ) : = ( dö 3) …………………………… 107 : = 35 ( dö ) 110 : = 2( dö ) Quy luật : Mỗi số hạng dãy chia cho dư và thương kém số vị trí nó ñôn vò + Xeùt soá 56 , ta coù : 56 : = 18 ( dö ) neân 56 laø soá haïng cuûa daõy soá treân (47) Vì thương luôn kém số vị trí đơn vị mà 18 + = 19 nên số 56 là số hạng thứ 18 dãy soá treân + Xeùt soá 60 khoâng phaûi laø soá haïng cuûa daõy + Xét số 113 : Ta thấy số 113 lớn số lớn dãy là 110 nên 113 không thuộc dãy soá treân Lưu ý : Ta có thể tìm số hạng thứ 25 dãy dựa vào quy luật đồng dư trên Caùch laøm nhö sau : Vì số hạng dãy chia cho dư và thương kém số vị trí nó đơn vị nên số hạng thứ 25 chia cho dư 2và thương là: 25 – = 24 Số hạng thứ 25 dãy là 24 x + 2=74 Trên đây là bài toán tiêu biểu cho dạng toán dãy số cách (48) Baøi taäp veà nhaø Baøi : Cho daõy soá : 1,5, 10 , 15 , 20 …245 , 250 a Tính soá caùc soá haïng cuûa daõy b Tính toång caùc soá haïng cuûa daõy Baøi : Cho daõy soá : 1, 5, 9,13 , 17, 21 … a Xaùc ñònh quy luaät cuûa daõy roài vieát theâm soá haïng cuûa daõy b Tìm số hạng thứ 32 dãy Baøi : Cho daõy soá : 500 , 496, 492 … , 30 , 26 , 22… a Xaùc ñònh quy luaät cuûa daõy roài vieát theâm soá haïng cuoái cuøng cuûa daõy b Tính toång caùc soá haïng cuûa daõy c Xem xét các số : 504 , 74 , 47 , 18 ( có thuộc dãy không ? Nếu có thì nó là số hạng thứ bao nhieâu cuûa daõy ? (49)